自Z09孙禹09081 6 自Z09 邹雷雷090835
自091 王雪090810
购房贷款问题建模
李四夫妇计划贷款30万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的贷款利率是%／月。他们采用等额本息还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。
1. 在上述条件下，李四夫妇每月的还款额是多少？共计需要付多少利息？
2. 在贷款10年零7个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付第10年的第7个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？
3. 如果在第4年初，银行的贷款利率由%／月调到%／月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的17年内将贷款还清，那么在第4年后，每月的还款额应是多少？
4. 又如果在第8年初，银行的贷款利率由%／月调到%／月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的13年内将贷款还清，那么在第8年后，每月的还款额应是多少？
5. （在第三问四问假设的基础上）银行调整利率以后，在贷款10年零7个月时，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付第10年的第7个月的还款额后（第8个月应还款前）的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？
6. 李四夫妇发现银行提供了6种不同的还款方式：
①等额本息还款法：是指在贷款期内每月以相等的金额平均偿还贷款本息的还款方法；
②等额本金递减法：是指在贷款期内每月等额偿还本金，贷款利息随本金逐月递减的还款方法；
③等额递增还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定增加额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；
④等额递减还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定减少额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；
⑤等比递增还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递增，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；
⑥等比递减还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递减，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法。
李四夫妇认为，随着他们工作经历的增长，家庭收入也会随着增长，因此，打算采用③等额递增还款法的还款方式来偿还贷款，具体办法：每5年为一个时间段，后一个时间段比前一个时间段每月多还400元。在此情况下，如果贷款利率还是%／月，那么，第1个时间段的每月还款额是多少？以后各时间段的每月还款额又是多少？共计付了多少利息？在贷款10年零7个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付第10年的第7个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？
7. 在6提出的等额递增还款法方式下，在第4年初，银行的贷款利率由%／月调到%／月，又如果在第8年初，银行的贷款利率由%／月调到%／月，那么以后各时间段的每月还款额分别是多少？在贷款10年零7个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付第10年的第7个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？
一、问题的提出
随着生活水平的提高，住房问题成了老百姓们关心的头等大事，分期付款也成了多数工薪阶层的选择。如何选择合适的还款方式，也成了一个重大的问题。
二、 模型假设
1、每个月按30天计算
2、这对夫妇每月都能够还清本月应还贷款金额
3、银行贷款月利率在无特别说明的情况下不发生变化
三、符号说明
0x ----贷款本金
k x ----第k 个月的欠款数 k=1，2，3 (240)
r ----月利率%
1r -----月利率%
2r ----月利率%
K----贷款总月数 a ----月还款数
m ----递增间隔
d ----递增（递减）金额
n ----开始递增期数。
四、 模型的建立
1、等额本息还款法
等额本息还款法：即借用人每月以相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清。
每月应还金额： 0[(1)]/[(1)1]k k a x r r r =++-
其中，a 为月还款数，0x 为贷款本金，r 为月利率%，K 为贷款月数 2、等额本金还款法
等额本金还款法：即借款人每月等额偿还本金，贷款利息逐月递减，本息合计逐月递减。其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并当月结清。
每月应还本金： 0/x k
每月应还利息： k x r ?
每月应还金额： a =0/x k +k x r ?
其中，a 为月还款数，0x 为贷款本金，r 为月利率%，K 为贷款月数，k x 为第k 个月的欠款数（k=1，2，3….240）
3、等额递增（递减）还款法
等额递增还款方式是指客户在办理个人住房商业贷款业务时，与银行商定还款递增的间隔期和额度；在初始时期，按固定额度还款；此后每月根据间隔期和相应递增额度进行还款的操作办法。其中，间隔期最少为1个月。
第一个时间段还款金额： 其中，a 为第一个时间段还款金额，0x 为贷款本金，r 为月利率%，K 为贷款月数，m 为递增间隔，d 为递增（递减）金额，n 为开始递增期数。
4、一次付清贷款
令k x 为第k 个月的欠款数，a 为月还款数，0x 为贷款总额，r 为月利率%，
得到迭代关系式 1(1)k k x r x a +=+-
则有：
五、模型的求解
问题1：
每月应还金额： 0[(1)]/[(1)1]k k a x r r r =++- （1）
把0x =30万元，r =%，k =240代入（1）式得
每月还款额a =万元
共付利息：*240-30=万元
问题2：
第k 个月的欠款数： k x 0(1)[(1)1]/k k r x a r r =+-+- （2）
把0x =30万元，r =%，k=127，a =万元代入（2）式得
第127个月的欠款数127x =万元
即在贷款10年零7个月后应一次付给银行万元，才能将余下的全部贷款还清。 问题3：
在第4年初，银行利率进行了调整。在调整后第一次付款前欠款总数利用式（2）计算得36x =万元，调整利率后，利用式（1）计算得调整利率后，每月应还的贷款额为a =万元，其中利率为1r =%
问题4：
在第8年初，银行利率又进行了调整。在调整后第一次付款前欠款总数利用式（2）计算得84x =万元，调整利率后，利用式（1）计算得调整利率后，每月应还的贷款额为a =万元其中利率为2r =%
问题5：
利用式（2）计算得127x =万元，其中利率为2r =%
问题6：
第一个时间段还款金额：
0(1)/[(1)1]1[2(/1)]
1/[(1)1]
2(1)^[(1)%][(1)^(int((1)/)1)1]/[(1)^1]K K n a x r r r z z K m z d r z r K n m r K n m m r m =++---+=+-=+-++-++-+- (3)把0x =30万元，r =%，K=240, m =60, d =, n =61代入式（3）得
第一个时间段还款金额a =万元
第二个时间段的还款金额为2335元
第三个时间段的还款金额为2735元
第四个时间段的还款金额为3135元
总付款为 （1935+2335+2735+3135）*60=608400，总付利息为 308400元
按等额递增还款法还款时每月欠款为
第1个月 1x =00x x r a +?-
第2个月 2x = 012x a x r -+?
……
第60个月 60x = 059(60)x a x -+
第61个月 61x = 060(61(0.04))x a x -++
…….
第120个月 120x = 0119(120(0.04))x a x -++
第121个月 121x = 0120(121(0.08))x a x -++
……
第127个月127x = 0126(127(0.08))x a x -++
利用matlab 计算得127x =万元
问题7：
在第4年初，银行利率进行了调整，在调整后第一次付款前欠款总数
第一阶段末欠款总额为
在第8年初，银行利率又进行了调整，在调整后第一次付款前欠款总数
第二阶段末欠款总额为
第三阶段末欠款总额为
第四阶段末欠款总额为
把240x =0，0x =30万元，r =%，1r =%，2r =%代入得
第一个时间段还款金额a =2037元
第二个时间段的还款金额为2437元
第三个时间段的还款金额为2837元
第四个时间段的还款金额为3237元
在支付第10年第7个月的欠款后，欠款总数经计算得万元
六、 模型的检验
建立模型后计算出来的结果与房贷计算器计算出来的结果一致，从而验证了该模型的正确性和合理性。
七、模型的评价与分析
该模型比较准确的给出了这对夫妇各种还款方式的月还款额及付的总利息，把一个复杂的实际问题用数学方式解决了。
由于计算结果为小数，受到显示位数的限制，有一定的误差，第6个问题中计算出的每月还款数较实际偏低，导致最后累计计算出的一次性付款的误差比较大，计算结果相对偏高。针对这对夫妇的情况，在不考虑其他因素的影响的情况下选择等额本金还款方式会比较省钱，但是前期的负担会比较重。综合考虑各方面的因素，选择等额递增还款方式会是最适合的，如果条件允许，提前还贷会是更好的选择。
附录一：
第6问求解一次付款的matlab程序
r=;
a=;
s(1)=30;
for j=1:127
if j<61
i=j+1;
for i=2:61
s(i)=s(i-1)*(1+r)-a;
end
elseif j<121
i=j+1;
for i=62:121
s(i)=s(i-1)*(1+r)-(a+;
end
elseif j<128
i=j+1;
for i=122:128
s(i)=s(i-1)*(1+r)-(a+;
end
end
end
disp(s)