JIU JIANG UNIVERSITY
毕业论文
题目行列式的计算方法
英文题目The Calculation Method of
Determinant
院系理学院
专业信息与计算科学
姓名熊绪沅
班级学号 A1021 指导教师石定琴
二零一四年五月
摘要
高等代数是大学数学系的一门专业基础课，而行列式又是高等代数课程里最基本的内容之一。行列式最早是由解线性方程而引进的，时至今日，行列式已不仅如此，在许多方面都有着广泛的应用，如解析几何、数值计算和工程计算等。因此懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文阐述了行列式计算的12种方法，这些方法不但可以提高我们对行列式的认识，而且也有利于我们把行列式的研究推向深入。
关键词：行列式；拉普拉斯定理；三角形法；特征值；分块矩阵法
Abstract
Higher Algebra is a basic professional course in the Department of Mathematics, and determinant is one of the most basic content of higher algebra courses. The determinant is firstly developed by the solution of linear equations and the development of the determinant, today, has more than that, it is widely used in many aspects, such as analytic geometry, numerical calculation, engineering calculation and so on. Therefore, how to calculate the determinant is particularly important. This paper describes 12 kinds of methods to calculate determinant, these methods can not only improve our understanding of the determinant but also help us push the determinant research to deeper.
Key words: Determinant; Laplace theorem; Triangle method；Block matrix method
一、n阶行列式定义与基本性质 (1)
1 行列式的定义 (1)
2 行列式的性质 (2)
二、 n阶行列式的计算方法 (3)
1. 行列式性质法 (3)
2. 化三角形法 (4)
3. 展开法 (5)
4. 范德蒙行列式法 (5)
5. 升阶法 (7)
6. 数学归纳法 (9)
7. 特征方程法 (10)
8. 拆项法 (10)
9. 逐行（列）相加减法 (11)
10. 特征值法 (13)
11. 分块矩阵法 (13)
三、总结概述 (16)
参考文献 (17)
致谢 (18)
行列式是高等数学中一个十分重要的课题，在数学理论的研究中起到了相当重要的作用。早在十七世纪末和十八世纪初，日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨在解线性方程组的过程中，就分别提出了行列式的概念；到了1772年的时候，法国数学家范德蒙(Vandermonde)最早把行列式独立于线性方程之外，将其作为专门的理论来进行研究；而十九世纪又是行列式理论的形成和发展的重要时期，尤其在十九世纪中叶出现了行列式的大量定理。因此，在十九世纪末的时候，数学家们已经清楚的描述出了行列式的基本形式。
行列式最早产生于解线性方程组的过程中，而其初步的应用也是服务于解线性方程组，不过它现在的应用范围不仅仅局限于解线性方程组的过程中，而且已经成为许多学科十分重要的计算工具。所以，对于我们来说掌握行列式的计算方法是非常重要的。行列式的计算是数学研究中的一个十分重要的问题，也是一个复杂的问题。当行列式的阶数相对比较低（不超过3阶）时，通常可以按照行列式的定义和性质直接计算得出结果，而当行列式出现很多的零元素时（如某些三角形行列式）也可以按行列式的定义直接进行求值。但是对于阶数比较大的n阶行列式，按照其定义和性质直接去计算行列式，这几乎是不可能的事，因此，对于研究一般的n阶行列式的计算方法，是高等代数中十分必要的。为此，我们首先要给出行列式的定义并讨论它的性质，从而引出行列式的各种计算方法。
一、n阶行列式定义与基本性质
1行列式的定义
（1）逆序数
在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序[1]。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2513中，21，51，53是逆序，逆序数是3，即为奇排列。
（2）n阶行列式记为
12
12
1112121222()
1122()
1
2
(1)n n n n j j j j j njn j j j n n nn
a a a a a a D a a a a a a τ=
=
-∑
有时也简单记为A 或det()A 或ij n n
a ?，其中(τn j j 1）为排列n j j 1的逆序
数，
12
n
j j j ∑
就是对所有n 级排列求和。行列式也可以表示为：
12
12
1112121222()
1122()
1
2
(1)n n n n i i i i i nin i i i n n nn
a a a a a a a a a a a a τ=
-∑
.
2 行列式的性质
1) 行与列相互对换，行列式不变，即行列式与其转置行列式相等[1]；
111211121121222122221
2
12n n n n n n nn
n
n
nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a =
2) 如果某一行是两组数的和，则这个行列式就等于两个行列式的和，而这
个行列式除这一行外全与原来行列式的对应的行相等；
12111
12111
12
1121211221
2
1
2
1
2n
n
n n
n n n n n n nn
n n nn n n nn
a a a a a a a a a
b
c b b c c b c b c b c a a a a a a a a a +++=
+ 3) 一个数乘以行列式的某一行（或列），等于这个数乘以此行列式；
11111211
1212121
2
1
2
n
n i i in i i in n n nn
n n nn
a a a a a a k ka ka ka a a a a a a a a a = 4) 如果行列式满足下列条件之一，则该行列式等于零；
行列式两行（或列）成比例；行列式两行（或列）元素相同；行列式一行（或列）元素全为0。
5) 把一行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变； 6) 对换行列式中两行（或列）的位置，行列式反号；
7) 设11
121212221
2
n n n n n nn
a a a a a a D a a a =，那么n D 可以按某一行（或列）展开，即有
()()112211221,2,,1,2,,n i i i i in in j j j j nj nj D a A a A a A i n a A a A a A j n =++
+==+++=，
其中ij A 是n D 中的元素ij a 的代数余子式。
二、 n 阶行列式的计算方法
1. 行列式性质法
行列式的性质是计算行列式的最基本的方法，其它的一切计算行列式方法都是以此为根据。通过初等行变换或列变换，或者两种变换交替使用，可以把复杂的行列式简单化，从而快速计算出来。
例：一个n 级行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 那么称n
D 为反对称行列式,证明：奇数阶反对称行列式等于零[2]。 证：因为ij ji a a =-所以ii ii a a =-，得0,1,2,
,ii a i n ==
故行列式n D 可表示为如下形式：
1213112
23213
233123000
n n
n n n
n
n
a a a a a a D a a a a a a -=-----，再由行列式的性质A A '=，得到12
1311
223
2
1
3
23
312
3
00
n n
n n n
n n a a a a a a
D a a a a a
a -----=-12
1311
223
2
13
23
3
12300
(1
)0
n
n
n n
n n
n
a a a
a a
a a a a a a a -=------
(1)n n D =- ，故当n 为奇数时，有n n D D =-，因而得0n D =.
2. 化三角形法
即把已知行列式利用行列式性质变换为上（或下）三角行列式，因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式。在许多情况下，我们先利用行列式的定义与性质将其作某种初等变换后，再将其化为三角形行列式,即把已知行列式通过变换化为下列三角形行列式中的某一种，则其值就可快速计算出来[3]。
1
20...00...0............00...n λλλ=
12
...0...............
0...
...n λλλ*
*
*=
12120...
0 0
...............n n
λλλλλλ*=**
1
200...0...0............0...
0n λλλ=1
2
......0............0...0n λλλ***=1
2
00...
0..................
n λλλ*
=**
(1)
212(1)...n n n λλλ-- 一般箭形行列式，可化为箭形的行列式与各行（列）和相等的行列式均可化为三角形行列式加以计算。
例：计算123
1234
1345
1
212
21
n n n n D n n n -=--
解：如果直接化为三角形行列式，计算相当繁琐。注意到从第1列开始；每一列与它的下一列中有n-1个数是相差1的，所以先从第n-1列开始乘以（－1）倍加到第n 列，第n-2列乘以（－1）倍加到第n-1列，一直到第一列乘以（－1）倍加到第2列，最后将其化为三角形行列式，计算就简单多了。
1
1(2,,)
(2,,)1111
1111
1
1
1211111
0003
11112
00011
11
10
0010000001000
20011(1)2
00020000
1
1(1)()2i i
n n i n r r i n r r n n n D n n n n n n n
n n n n n n n
n n
n n n n
n n n n ===+
--=-----+
+----+=
?-----+=??-()(1)(2)(1)
1122(1)(
1)12
n n n n n n n -----+?-=??-
3. 展开法
由拉普拉斯定理可知，()11221,2,,n i i i i i n i n
D a A a A a A i n
=++
+=或()11221,2,,n j j j j nj nj D a A a A a A j n =++
+=，其中ij A 为n D 中的元素ij a 的代数余
子式[1]，通常可以按某一行（列）展开，可以将一个n 阶行列式化为n 个n-1阶行列式。一般情况下，按某一行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素，展开后又是三角行列式，可采用展开法。
例：计算行列式12211
021*********
1n n n x x D x x
----=-
解：观察发现可以直接按第一行展开：
12(n 1)x 21n n D nx x --=+-+
++
4. 范德蒙行列式法
逐行（或列）元素方幂递增或递减的行列式，可以考虑将其转化为范德蒙 列式并利用相应的结果求值，首先给出它的定义与性质。形如行列式
1
2
3
2
2221
2
3
12
221231111n
n n n n
a a a a D a a a a a a a a -=
称为n 阶的范德蒙（Vandermonde ）行列式[4]，其结果可以表示为
1
2
3
2
22212
3
11
2
221231111()n
n n i j j i n
n n
a a a a D a a a a a a a a a a ≤<≤-==
-∏
利用行列式的性质我们可以得到范德蒙行列式的三个变形，形状相似，结果却又有差异，在碰到类似范德蒙行列式时我们需要特别注意。
如果错误！未找到引用源。逆时针旋转90可以得到：
21
211
11
(n
1)2
12
2
2
2
21
1
1111(1)
11
n n
n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a D D a a
a
a a a -----------==-
如果范德蒙行列式顺时针旋转90可以得到：
1
2
3
1111232
2
2
(n 1)12
32
3
3
312311(1)11
n n n n n n n n n n n n n n n n n n
a a a a a a D D a a
a
a a a -------------==-
如果范德蒙行列式顺时针旋转180可以得到：
111
1
121222
2
1213
3331
2
1111
1
n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n
n n a a a a a a a a D D a a a a ------------------==
例：计算行列式
[5]
12
2221
2
22
2121
2
111n
n
n n n n n n n n n
a a a a a a D a a a a a a ---=
解：作如下行列式,使之成为范德蒙行列式：
1
2
22221
2
22221221111121
2
2
1111()n
n
n n n n n n n n n n n n n
a a a y a a a y P y a a a y a a a y a a a y --------=
1
1()
()n
i i j i j i n
y a a a =≤<≤=--∏∏
)(y P 中1-n y 的代数余子式等于原行列式，故n D 等于)(y P 中1-n y 的系数的相反数,
而)(y P 中1-n y 的系数为1
1()n
k
i j k j i n
a a a =≤<≤--∑∏
，求得原行列式为：
1
1()n
n k
i j k j i n
D a a a ==≤<≤=
-∑∏
.
5. 升阶法
升阶法（又称加边法）就是在原行列式的基础上增加一行一列，使所得的高一阶行列式方便计算且保持原行列式不变的方法。要根据原行列式的特点适当选取需要加的行和列，才能简化计算。一般加边法适用于除对角线（或次对角线）外，其余元素相同或成比例的行列式，增加一行一列后变成n+1阶行列式。但是也有特殊情况，即可能出现增加一行一列后行列式的值不一样，如在计算某些类似范德蒙行列式时，增加一行一列使之成为范德蒙行列式，利用代数余子式求出原行列式。升阶法一般采取的方法如下：
111
111
11
11121221
222121
1
1
110
00
00n n n
n n n n n n nn
n nn
n
n nn
x x x x x x y a a x x D x x y a a x x x x y a a ===
特殊情况时选取121n x x x ====或 121n y y y ==
==.
例：计算)2(≥n n 阶行列12
3
11111
11111111
1
1
1n n
x x D x x
++=
++， 120n x x x ≠.
解：先在n D 上添加一行一列，使之变成下面的1+n 阶行列式：
112
11110
1110
1110
1
1
1n n
x D x x ++=++
显然，增加一行一列后行列式与原行列式相等，将1+n D 的第一行乘以（1-）倍后加到其余各行，得到
1
121
1111
001
01
n n
x D x x +-=-- 因0i x ≠，将上面这个行列式的第)1,,2(+=n i i 列的1
1
(
)i x -倍加到第一列有 11
1122111111111100000 =10
0 00010
n
i i
n n n
n
x x x D D x x x x =++-=-=-∑
1
212
11000011 1 x 10
n
n
n i i i i
n
x x x x x x x ==????=+=+ ? ???
??
∑∑
6. 数学归纳法
数学归纳法是数学中常用的一种方法，计算行列式时一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的可能猜想值，再利用数学归纳法给出猜想的证明。如当n D 与 1+n D 是相同类型的行列式时，可考虑采用数学归纳法求之。一般碰到行列式等式证明时，采用数学归纳法证明比较方便。
例： 证明：
2cos 10001
2cos 100012cos 00sin(1)(sin 0)sin 0002cos 10
1
2cos n n D ββββ
ββ
ββ
+=
=
≠
证：当1n =时，1sin(11)2cos sin D β
ββ
+==
；
当2n =时，222cos 1sin(21)4cos 112cos sin D ββ
βββ
+=
=-=
；即当1,2n =时结论显然成立；现假定对21sin(21)sin(11),sin sin n n n n D D ββ
ββ
---+-+==成立，对于n
D 按第一列展开有
(1)
12
2cos 1002cos 0001
2cos 0
12cos 00002cos 1002cos 10
01
2cos 0
1
2cos 2cos sin(11)sin(21)2cos sin sin 2cos sin sin(1)sin 2cos sin sin cos cos s n n n n D D D n n n n n n n βββ
ββββ
β
βββ
βββ
βθββ
βββββ---=
-=?--+-+=?
-
?--=
?-?+?=
in sin βθ
sin cos cos sin sin sin(1)sin n n n ββββ
β
ββ
?+?=
+=
综上所述，上述行列式等式成立。 7. 特征方程法
如果n 阶行列式n D 满足关系式：120n n n aD bD cD --++=，则作特征方程为
20ax bx c ++=
1) 若240b ac -≠，则方程有两个不相等复根12x x 与，那么12
12,n n n D Ax Bx --=+其
中A ，B 为待定系数，可以令n=1和n=2时求出；
2) 若240b ac -=，则方程有重根12x x =，那么11(A nB)x n n D -=+，其中A ，B 为
未知数，可以令n=1，2时算出即可。 在计算行列式时如出现了含有n D ，1n D -，
2n D -的等式，可以采用此种方法。
例：求n 阶三对角行列式2100
01
2100012
10D 001200000
2
n =
的值
解：此行列式为三对角行列式，按第一列展开可以得到1220n n n D D D ---+=，
)2(>n ，当n=1时12D =，当n=2时2D 3=，事实上0D 无实际意义。因此由递
推关系得出对应的特征方程为0122=+-x x ，解得121x x ==，则A nB n D =+，令n=1，2算出1,1A B ==，因此1n D n =+. 8. 拆项法
拆项法是将某行列式的某一行或一列元素写成两数和的形式，再把原行列式拆为两行列式之和的形式。新得到的行列式中其中一个行列式计算相对简单，另
外一个行列式与原行列式之间有某种关系，比如1n aD -或2n bD -，两次使用拆项法，解方程组即可算得结果。
例：计算行列式1
2...
..................n n
x a
a
b
x a
D b
b x =
解：将第n 列写成两项和的形式有()n n x x a a =-+，0a a =+那么n D 可以拆成两 个行列式的和，即
1
1
22 0
......0....................................n n x a
a
x a
a
b x a
b x a D b b b x a b b a =+-=121
...
00...0()......
.........n n x b a b
x b x a D b b
a
-----+ =1
11
()()n n n i i x a D a x b --=-+-∏.
同理由,b a 的对称性，类似可以得到等式1
11
D ()()n n n n i i x b D b x a --==-+-∏，若a b ≠，由
上述两式所组成的方程组解得11
1
[()()]n n
n i j i j D b x a a x b b a ===----∏∏，若a b =，利用上
述式子递推得到：12
1
1
()[()]n
n
n
n i j i i j j i
D x x a a x a ===≠=-+-∑∑∏.
9. 逐行（列）相加减法
1) 用逐行（或列）相加减法计算行列式：此法适合每相邻两行（或列）之间有许 多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上，巧用逐行（列）相加减可化出许多零元素来。
解：从第2行起，每一行的（-1）倍都加到上一行上，有
可再用相邻两列逐列相减的方法：从第1
n-列起，每一列的(-1)倍加到后一列上有
1
(1)(1)
n n n
x x
+
=-+-.
2)对于一些箭型行列式，可以利用逐行（或列）的某倍数加到某条边，即利用对角元素或次对角元素逐步将某一条边化为零来计算。如对于有如下特征的行列式可以使用此种方法来计算：
.
例：计算行列式
1
1
1
1
2
1
1
1
1
n
n
D
n
-
=
解：11
111
1
111
22
20101
000
n n n n c c n D c c n n n
---
-=
-- ()
(1)
2
1
11!(1)2n n n n
-=---
-. 10. 特征值法
如果行列式所对应矩阵的特征根易求，利用n A λλλ...21=，其中i λ为矩正A 的特征根，就可以方便求得行列式的值。
例：计算行列式1231
23
1231
2
3
n n n n n a b a a a a a b a a D a a a b a a a a a b
++=++
解：
123123
1231
23n n n n a b a a a a a b a a D a a a b
a a a a a
b +??
?+ ? ?=+ ? ? ?+??1
2312
31
231
2
3
n n n n n n n a a a a a a a a bE a a a a bE A a a a a ?? ? ?
?=+=+ ?
? ???
， 显然n bE 的n 个特征根为,,,b b b ，n A 的n 个特征根为,0,0,
0n i i
a ∑，
故D 的n 个特征根为1
,,,
n
i i
n b a b b b -+∑，由λλλ=12...
n n D 关系知：1
(b)n n n i i
D b a -=+∑. 11. 分块矩阵法
在行列式的计算中，对于级数较高的行列式，可采用分块的方法，将行列式分成若干子块，再进行计算，可以使行列式的结构清晰，计算简化。
定义1 设A 是n m ?矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则
??
??
?
?? ??=rs r r s s A A A A A A A A A A
2
1
22221
11211 就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ?矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）。
定理[7]1 设A 是m 阶方阵，B 是n m ?阶矩阵，C 是n 阶矩阵，则
C A C
O B A =．
定理2 设A 、B 、C 都是n 阶方阵，则B C O
C B A n 2
)1(-=．
定理[8]3 ?
?
?
???=D C B A P 是分块n 阶矩阵，其中A 为r 阶方阵，B 为s r ?阶矩阵，C 为r s ?阶矩阵，D 为s 阶方阵，若A 为可逆方阵，则B CA D A P 1--=，若D 为可逆方阵，则B CD A D P 1--=．
定理[8]4设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵，则 (1) 若0≠A 且CA AC =，则
=D C
B A CD AB -； (2) 若A 0≠且BA AB =时，则=D
C B A CB DA -；
(3) 若0≠D 且CD DC =时，则=D C B A BC AD -；
(4) 若0≠D 且BD DB =时，则=D
C
B A B
C DA -．
定理
[9]
5 设A 、B 都是n 阶方阵，那么B A B A A
B
B A -+=．
定理
[10]
6 设A 为n 阶可逆方阵，α与β均为n 维列向量，那么
)1(1βαβα-+=+A A A T T .
例:计算n 2阶行列式[11]
b
c
b c d a d
a H
=
，
其中0≠a .
解：方法1（运用定理3）
首先对行列式分块，令D C B
A H =，其中????
? ??=a a A ，
????? ??=b b B ，????? ??=c c C ，????? ??
=d d D ．A 、B 、C 、D 均为n 阶
方阵，由
≠=n a A 可知，A 为可逆矩阵，又
??
???
?
?--=----d ca b d ca b D CA B 111
，所以根据定理3有
n n cd ab d ca b a D CA B A H )()(11-=-=-=--．
方法2（展开法）
首先我们可以按第一列展开得到b c
b c d a d
a H
=
21
0000
00
00n a
d d a d
a d
a
c
c b
a d c b
c b b
c
b
-=-
22
n a
d a
d
a d a d a
b cd
c b
c b
c
b
c
b -=-== n cd ab )(-．
方法3（化三角形法）
利用行列式的性质，经初等变换后可以将H 化为上三角行列式[12]，即
b c b c d a d a H
=
1
--=
cda b b c d a d
a
1
1
0----=
cda b cda
d d
a
d
a
n n cda b a )(1--=n cd ab )(-=
三、总结概述
不同类型的行列式在计算过程中可能需要用到不同的计算方法，要视其具体的结构形式而定，而且同样的题目有的时候也可以用不同的方法来计算。n 阶行列式的计算虽说并不是非常的简单，但是其计算方法和技巧却也不是想象中的那么复杂，只要我们多观察行列式的特点，就能够找到合适的计算方法。在实际应用中，阶数较高的行列式并不方便手动计算，可以用数学软件Matlab 等来计算。