二次函数的含参计算
1、如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”。
（1）“抛物线三角形”一定是__________三角形；
（2）直接写出抛物线y=x2+bx(b＞0)的顶点A坐标__________；若“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=x2+b’x(b’＞0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？如存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由。
2、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐
标为（3，-3）。
（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由。
3、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1,3）和N
（3,5）
（1）试判断该抛物线与x 轴交点的情况；
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（-2,0），且与y 轴交于点B，同时满足以A、O、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由。
4、在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过A（1,0）、B（3,0）两点。
（1）写出这个二次函数图象的对称轴；
（2）设这个二次函数图象的顶点为D，与y 轴交于点C，它的对称轴与x 轴交于点E，连接AC、DE 和DB，当△AOC 与△DEB 相似时，求这个函数的表达式。
练习1：抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点，与
y 轴交于点C。已知A （-3,0），该抛物线的对称轴是直
线x=-
2
1. （1）求抛物线解析式及B、C 的坐标；
（2）将BC 平移，使得平移后线段的一个端点在这条
抛物线上，另一个端点在x 轴上，并将B、C 对应的点
记作D、E，求以B、C、D、E 为顶点四边形面积的最大
值。
2、已知抛物线l:y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（3,0）、B（-1,0）、C（0,3）三点。
（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；
（2）将l平移到l’，若l’经过点C时，那么在l’上是否存在点D，使得以A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，应将l如何平移；若不存在，请说明理由。
3、抛物线y=ax2+bx+1经过点A（1,0）、B（-1,3）两点。
（1）求a、b值；
（2）以线段AB为边作正方形ABB'A'，能否将已知抛物线平移使其经过A'、B'两点？若能，求出平移后A'、B’两点的抛物线解析式；若不能，请说明理由。
含参二次函数 类型一 函数类型确定型 1. 已知抛物线y ＝3ax 2＋2bx ＋c . (1)若a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝k ＋1，试说明此类函数图象都具有的性质； (2)若a ＝13，c ＝2＋b ，且抛物线在－2≤x ≤2区间上的最小值是－3，求b 的值； (3)若a ＋b ＋c ＝1，是否存在实数x ，使得相应的y 值为1，请说明理由． 2. 在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于A (－3，0)、B (0，－3)两点，二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点A . (1)求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式； (2)若二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象顶点在直线AB 上，求m ，n 的值； (3)①设m ＝－2，当－3≤x ≤0时，求二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的最小值； ②若当－3≤x ≤0时，二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的最小值为－4，求m ，n 的值． 3. 在平面直角坐标系中，二次函数y 1＝x 2＋2(k －2)x ＋k 2－4k ＋5. (1)求证：该二次函数图象与坐标轴仅有一个交点；
(2)若函数y 2＝kx ＋3经过y 1图象的顶点，求函数y 1的表达式； (3)当1≤x ≤3时，二次函数的最小值是2，求k 的值． 4. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过A (1，1)、B (2，4)和C 三点． (1)用含a 的代数式分别表示b 、c ； (2)设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(p ，q )，用含a 的代数式分别表示p 、q ； (3)当a ＞0时，求证：p ＜32，q ≤1. 5. 已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )过点A (1，0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限． (1)用含a 、c 的代数式表示b ； (2)判断点B 所在象限，并说明理由； (3)若直线y 2＝2x ＋m 经过点B ，且与该抛物线交于另一点C (c a ，b ＋8)，求 当x ≥1时，y 1的取值范围．
中考数学专项突破——含参二次函数 类型一 函数类型确定型 1. 已知抛物线y ＝3ax 2＋2bx ＋c . (1)若a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝k ＋1，试说明此类函数图象都具有的性质； (2)若a ＝13，c ＝2＋b ，且抛物线在－2≤x ≤2区间上的最小值是－3，求b 的值； (3)若a ＋b ＋c ＝1，是否存在实数x ，使得相应的y 值为1，请说明理由． 解：(1)∵a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝k ＋1， ∴抛物线y ＝3ax 2＋2bx ＋c 可化为y ＝9kx 2＋10kx ＋k ＋1＝(9x 2＋10x ＋1)k ＋1， ∴令9x 2＋10x ＋1＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝－19， ∴图象必过点(－1，1)，(－19，1)， ∴对称轴为直线x ＝－10k 2×9k ＝－59； (2)∵a ＝13，c ＝2＋b ， ∴抛物线y ＝3ax 2＋2bx ＋c 可化为y ＝x 2＋2bx ＋2＋b ， ∴对称轴为直线x ＝－2b 2＝－b ，
当－b ＞2时，即b ＜－2， ∴x ＝2时，y 取到最小值为－3. ∴4＋4b ＋2＋b ＝－3，解得b ＝－95(不符合题意，舍去)，当－b ＜－2时即b ＞2， ∴x ＝－2时，y 取到最小值为－3. ∴4－4b ＋2＋b ＝－3，解得b ＝3； 当－2＜－b ＜2时，即－2＜b ＜2，当x ＝－b 时，y 取到最小值 为－3，∴4（2＋b ）－4b 24 ＝－3， 解得b 1＝1＋212(不符合题意，舍去)，b 2＝1－212， 综上所述，b ＝3或1－212； (3)存在．理由如下：∵a ＋b ＋c ＝1， ∴c －1＝－a －b ， 令y ＝1，则3ax 2＋2bx ＋c ＝1. ∴Δ＝4b 2－4(3a )(c －1)＝4b 2＋4(3a )(a ＋b )＝9a 2＋12ab ＋4b 2＋3a 2＝(3a ＋2b )2＋3a 2， ∵a ≠0， ∴(3a ＋2b )2＋3a 2＞0， ∴Δ＞0， ∴必存在实数x ，使得相应的y 值为1. 2. 在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴、y 轴分
专题：二次函数含参问题小综合~2018年九年级中考数学模拟篇 1．(2018武昌模拟一16题)已知抛物线y＝x2－2x－1在－1≤x≤4之间的图像与抛物线y＝－x2＋2x＋1＋a的图像有且只有一个交点，则a的取值范围是_________________________ 2．(2018江汉模拟一16题)无论x为何值，关于x的代数式x2＋2ax－3b的值都是非负数，则a ＋b的最大值为 3．(2018硚口模拟二16题)已知a、b为y关于x的二次函数y＝(x－c)(x－c－1)－3的图象与x 轴两个交点的横坐标，则|a－c|＋|c－b|的值为___________ 4．(2018二中广雅模拟一16题)已知当－1＜x＜0时，二次函数y＝x2－4mx＋3的值恒大于1，则m的取值范围是________ 5．(2018文华中学模拟一16题)已知二次函数y＝x2－2nx＋n＋2的最小值大于0，则n的取值范围是___________ 6．(2018文华中学模拟二16题)已知二次函数y＝(x－h)2－h＋2，当自变量x的取值在0≤x≤2的范围中时，函数有最小值h，则h的值为___________
7．(2018青山模拟一16题)已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋2－m ，在自变量x 的值满足－1≤x ≤2的情况下．若对应的函数值y 的最大值为6，则m 的值为_________ 8．(2018勤学早模拟一16题)已知抛物线y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m 的顶点坐标为(x 0，y 0)，当4 25410≤≤y 时，m 的取值范围是___________ 9．(2018勤学早模拟二16题)抛物线2 3212++=bx x y ，当0≤x ≤1时抛物线上的点到x 轴距离的最大值为3，则b 的值为_______________ 10．(2018新观察模拟五16题)关于x 的二次函数y ＝－(x －m )2＋2，当2≤x ≤4时函数有最大值－m ，则m 的最大值为____ 11．(2018新观察模拟六16题)二次函数42 12-+-= m mx x y 与x 轴交于A 、B 两点，则AB 的最小值为___________ 12．(2018新观察模拟七16题)已知函数|3)(3 1|2--=h x y ，当0≤x ≤2时，函数y 随x 的增大而增大，则实数h 的最大值为___________
二次函数的含参计算 1、如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”。 （1）“抛物线三角形”一定是__________三角形； （2）直接写出抛物线y=x2+bx(b＞0)的顶点A坐标__________；若“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； （3）如图，△OAB是抛物线y=x2+b’x(b’＞0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？如存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由。 2、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐 标为（3，-3）。 （1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标； （2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB； （3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由。 3、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1,3）和N
（3,5） （1）试判断该抛物线与x 轴交点的情况； （2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（-2,0），且与y 轴交于点B，同时满足以A、O、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由。 4、在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过A（1,0）、B（3,0）两点。 （1）写出这个二次函数图象的对称轴； （2）设这个二次函数图象的顶点为D，与y 轴交于点C，它的对称轴与x 轴交于点E，连接AC、DE 和DB，当△AOC 与△DEB 相似时，求这个函数的表达式。 练习1：抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点，与 y 轴交于点C。已知A （-3,0），该抛物线的对称轴是直 线x=- 2 1. （1）求抛物线解析式及B、C 的坐标； （2）将BC 平移，使得平移后线段的一个端点在这条 抛物线上，另一个端点在x 轴上，并将B、C 对应的点 记作D、E，求以B、C、D、E 为顶点四边形面积的最大 值。
含参变量二次函数的最值问题（简案） 海安县南莫中学 万金圣 【教学目标】 1、让学生理解掌握二次函数的解析式以及其图象和性质 2、让学生学会用分类讨论法解决含参变量的二次函数的最值问题 3、引导学生灵活运用数形结合、化归转化等数学思想方法解决问题 【教学重点、难点】 参变量的分类讨论和数学思想方法的运用 【教学形式】 学生合作学习探究和多媒体教学相结合 【教学过程】 （一）知识回顾 （二）基础训练 1．若二次函数2223y x mx m =-+-+的图象对称轴为20x +=，那么m =_____； 顶点坐标为________；函数的递增区间为_________，递减区间为__________. 2．已知函数2 ()23f x x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值为3，最小值为2， 则m 的取值范围是__________. 3．已知函数()f x 满足2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4， 则实数a 的值为___________. 4．（2010全国，15）直线1y =和曲线2||y x x a =-+有四个交点， 则实数a 的取 值范围是___________. 5．求函数y x =+.
（三）例题精析 例1．求二次函数2 ()22f x x ax =-+在区间[2，4]上的最小值。 [指导学生合作探究学习] 例2．已知函数2 ()44,[,1]()f x x x x t t t =--∈+∈R 求（1）函数()f x 的最小值()g t 的解析式； （2）作()g t 的图象并写出()g t 的最小值。 [走进高考] （四）探究延伸 已知对于x 的所有实数值，二次函数2()4212()f x x ax a a =-++∈R 的值都非负，求关于x 的方程|1|22 x a a =-++的根的范围。 （五）归纳小结 （六）布置作业
使用日期：2020年月日2020 中考数学培优压轴题训练 【含参二次函数最值讨论问题】 模型分析： 【1】具体例子：已知二次函数y=-x2+4x+6． （1）当x为何值时，y有最值？是多少？ （2）当一2≤x≤1时，求函数的最值． （3）当x≥4时．求函数的最值； （4）当0≤x≤5时，求函数的最值. 【2】讨论：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当m≤x≤n时，求其最值. （一）当a＞0（a＜0）时，求最小（大）值. （二）当a＞0（a＜0）时，求最大（小）值.
例1 例2 （2018?黄冈）当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（） A．-1 B．2 C．0或2 D．-1或2 例3（2018?潍坊）已知二次函数y=-（x-h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的 函数值y的最大值为-1，则h的值为（） A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
例5（2019秋?昌江区校级期末）已知函数y=（m+2）x2+kx+n． （1）若此函数为一次函数； ①m，k，n的取值范围； ②当-2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式； ③当-2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m=-1，n=2，当-2≤x≤2时，此函数有最小值-4，求实数k的值.
例6 （2020 白云广雅九下月考）如图①,将抛物线y=ax2(?1 含参二次函数最值问题探讨 甘肃畜牧工程职业技术学院 张发荣 733006 二次函数模型是重要的函数模型，在北师大版高中《数学》新教材中占了大量的篇幅，详尽介绍了二次函数的性质及应用．特别是二次函数的最值问题是历年来高考命题的一个热点问题，而求二次函数的最值问题归纳起来主要有四种形式：（1）轴定区间定，（2）轴定区间动，（3）轴动区间定．（四）轴动区间动。一般来说，讨论二次函数在区间上的最值，主要看区间落在二次函数的哪一个单调区间上，从而用相应的单调性来求最值，这种思路体现了分类讨论的思想方法．下面就新教材，通过例子具体谈谈二次函数最值的几种求解方法． 一、轴定区间定 由于这种类型的二次函数的对称轴是固定的，区间也是固定的，因而求它的最值，只 要直接应用单调性求出最值即可． 例1（2002年高考数学上海卷）()222 ++=ax x x f ，[]5,5-∈x ． （1）当1-=a 时，求函数()x f 的最大值和最小值； （2）求实数a 的取值范围，使()x f y =在区间[]5,5-上是单调函数． 解：方法（一）：（1）当1-=a 时，()()11222 2+-=+-=x x x x f ，[]5,5-∈x ，由于对称轴为1=x ，区间为[]5,5-，而当51≤≤x 时，()x f 是单调递增的；当15≤≤-x 时，()222++=ax x x f ()x f 是单调递减的，所以()()11min ==f x f ，()()375max =-=f x f ． （2）=()22 2a a x -++，所以对称轴为a x -=，由数形结合可知，当5-≤a 时，()x f 在区间[]5,5-上单调递减；当5≥a 时，()x f 在区间[]5,5-上单调递增． 方法（二）：（导数法） （1）当1-=a 时，因为()22'-=x x f ，令()0'=x f ，得1=x 当15<<-x 时，()0' 二次函数综合专题 含参不简单，只因特征藏，找寻关键点，看它难不难。 （不等关系类）例1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02342 ≠-+-=a a ax ax y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）． （1）当抛物线过原点时，求实数a 的值； （2）①求抛物线的对称轴； ②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a 的代数式表示）； （3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围． % 巩固练习：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-4ax +3a (a ＞0)与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧）． （1）求抛物线的对称轴及点A ，B 的坐标； （2）点C （t ，3）是抛物线243(0)y ax ax a a =-+>上一点，（点C 在对称轴的右侧），过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ． ①当CD AD =时，求此时抛物线的表达式； ②当CD AD >时，求t 的取值范围． . （翻折类）例2.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n-1(n ≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ． (1)求抛物线顶点M 的坐标； (2)若点A 的坐标为（0，3），AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标； (3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线m x y += 2 1 与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围． 、 巩固练习：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2 43y ax ax a =-+的最高点的纵坐标是2． （1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式； （2）将抛物线在1≤x ≤4之间的部分记为图象G 1，将图象G 1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G 2，图象G 1和G 2组成图象G ．过(0，b )作与y 轴垂直的直线l ，当直线l 和图象G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求b 的取值范围和x 1 + x 2的值． 《 . （平移类）例3．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2 2y x ax b =-+的顶点在 x 轴上， 1(,)P x m 2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点． （1）若1a =，含参二次函数最值问题探讨
二次函数含参综合专题
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