辽宁省五校协作体高三数学上学期期初联考试题 理 新人
教A 版
数学试题(理)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． （1）设非空集合P 、Q 满足P
Q P =，则
（A ）?x ∈Q ，有x ∈P （B ）?x Q ?，有x P ? （C ）?x 0?Q ，使得x 0∈P
（D ）?x 0∈P ，使得x 0?Q
（2）在等比数列}{n a 中，若公比1>q ，且1673=a a ，1064=+a a ，则=3a
（A ）1± （B ）2± （C ）2 （D ）1 （3）在空间中，下列命题正确的是
（A ）平面α内的一条直线a 垂直与平面β内的无数条直线，则βα⊥ （B ）若直线m 与平面α内的一条直线平行，则α//m
（C ）若平面βα⊥，且l =βα ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面β （D ）若直线a 与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有α⊥a .
（4）约束条件为50100,0x y x y x y +-≤??
--≤??≥≥?
，目标函数2Z x y =-，则Z 的最大值是
（A ）
4-
（B ）4
（C ）5- （D ）5
（5）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是
（A ）()
1ln 2++=x x y （B ）()1log 2-=x y
（C ）?????<-≥=-0
,30
,3x x y x x （ D ）x y 1-=
（6） 在等差数列}{n a 中，305=a ，510=a ，则6
21??? ?
?+x x 的展开式中的常数项是该数列
的
（A ）第9项 （B ）第8项 （C ）第7项 （D ）第6项
（7） 函数)sin()(?ω+=x A x f （其中0>A ，0>ω，2
||π
?<）的图象如图所示，为了得
到x y 2cos =的图象，则只要将)(x f 的图象
（A ）向左平移6π
个单位长度 （B ）向右平移6π
个单位长度
（C ）向左平移12π
个单位长度
（D ）向右平移12π
个单位长度
（8） 双曲线14
2
22=-
y a x 的左、右焦点分别为21F F 、，P 是双曲线上一点，1PF 的中点在y 轴上，线段2PF 的长为3
4
，则该双曲线的离心率为
（A ）
23
（B ）213 （C ）313 （D ）3
13
（9）由直线1=y 与曲线2
x y =所围成的封闭图形的面积是
（A ）
34 （B ） 32 （C ）31 （D ）2
1
（10）在Rt ABC ?中，90,60C A ==∠∠,从顶点C 出发，在ACB ∠内等可能地引射线
CD 交线段AB 于点D ，则1
2ACD ABC S S ??≤
的概率是 ()
()
()()
1
1233
2
34
A B C D
（11）已知向量(2,1),(1,)a b k ==且a 与b 的夹角为锐角，则k 的取值范围是
()
()()112,2,,,22,222A B C D ????
-+∞-+∞-∞-- ? ?
????
（12）函数x x y ln sin +=的零点个数为
（A ）0 （B ）1 （C ）2
（D ）3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置
上．
（13）12
2= ；
（14）阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为
（15）右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体 外接球的表面积是 ；
（16）设函数)(x f y =，满足)
(1
)1(x f x f -
=+，对一切R x ∈都成立，又知当(]3,1时，x x f -=2)(，则()2013f =
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2=a ，7=b ， 60=B ．
（I ）求c 及△ABC 的面积S ； （II ）求)2sin(C A +．
（18）（本小题满分12分）
如图(1)在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD ＝2，E 、F 、G 分别是PC 、PD 、BC 的中点，现将△PDC 沿CD 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD (如图2) (1)求二面角G －EF －D 的大小；
(2)在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，并给出证明过程.
（19）．（本小题满分12分） 甲乙两名射手互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们设计成绩的分布列如下：
射手甲
射手乙
环数 8 9 10 环数 8 9 10
概率
13 13 13
概率
13 12 16
（Ⅰ）若甲乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中10环的概率； （Ⅱ）若两个射手各射击1次，记所得的环数之和为ξ，求ξ的分布列和期望．
(20)（本小题满分12分）
设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A 与
2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=．
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线l ：330x y --=相切，求椭圆C 的方
程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，
在x 轴上是否存在点(,0)P m 使得以,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果
存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由。
（21）（本小题满分12分）
已知函数a ax x x x f +-+-=ln )1(2
1
)(2． （I ）若2
3
=
a ，求函数)(x f 的极值； （II ）若对任意的)3,1(∈x ，都有0)(>x f 成立，求a 的取值范围．
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交
DC 的延长线于P ，PC =ED =1，PA =2．
（I ）求AC 的长； （II ）求证：BE ＝EF ．
（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程是)(242
2
22
是参数t t y t x ???
?
??
?
+==，圆C 的极坐标方程为
)4
cos(2π
θρ+=．
（I ）求圆心C 的直角坐标；
（II ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
对于任意的实数(0),||||||a a b a b a b M a ≠++-≥?和不等式恒成立，记实数
M 的最大值是m ． （1）求m 的值；
（2）解不等式|1||2|.x x m -+-≤
高三数学（理科）参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
（1）B （2）D （3）D （4）B （5）A （6）B （7）C （8）D （9）A （10）C （11）B （12）C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
（13）1- （14）3 （15）π8 （16）4- 三、解答题：本大题共6小题，共70分． （17）（本小题满分12分）
解：（I ）方法1：由余弦定理2
1
22472???-+=c c ， …………（2分）
0322
=--c c ，3=c ，或1-=c ，取3=c ， …………（4分）
△ABC 的面积S 33sin 21==
B ac ； …………（6分） （II ） 60,7,2===B b a ，72.60sin A ∴
=21
sin .7
A ∴= ∵b a <，∴角A 是锐角，∴7
7
2cos =A ， …………（8分）
∵A A C A C A +=++=+ 120)(2 …………（10分）
.14
21sin 21cos 23)120sin()2sin(=-=
+=+∴A A A C A …………（12分） （18）（本小题满分12分）
解：(1)建立如图所示空间直角坐标系，设平面GEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则
???n →·EF →＝－y ＝0
n →·EG →
＝x ＋y －z ＝0
取n ＝(1，0，1) …………4分 又平面EFD 的法向量为m ＝ (1，0，0)
∴cos
2
…………6分
∴
则AQ
→＝AP →＋PQ →＝(－2＋2λ，2λ，2－2λ) …………9分 ∵AQ ⊥PC ? AQ →·PC →＝0 ? 2×2λ－2(2－2λ)＝0
? λ＝1
2 …………11分
又AD ⊥PC ，∴PC ⊥平面ADQ ? λ＝1
2
? 点Q 是线段PB 的中点. …………12分 （19）（本小题满分12分）
解 （Ⅰ）记事件;C 甲命中1次10环，乙命中两次10环，事件D ；甲命中2次10
环，乙命中1次10环，则四次射击中恰有三次命中10环为事件C D +
12222
2222111517()()()336366162
P C D C C C ∴+=???+??= （6 分）
（Ⅱ）ξ的取值分别为16，17，18，19，20， （9 分）
11111115
(16),(17)33932331811111161
(18),
363233183
111142111
(19),(20)3632189361815121107
161718192091839186
P P P P P E ξξξξξξ==?===?+?=
==?+?+?====?+?====?=
∴=?+?+?+?+?=
（12分）
（20）（本小题满分12分）
（1）解：设Q （x 0，0），由2F （c ，0），A （0，b ）
知),(),,(02b x b c F -=-=
c
b x b cx AQ A F 2
02
02,0,-==--∴⊥ ，
由于2221=+F F F 即1F 为2F Q 中点．
故c c c
b 22
-=+-22223c a c b -==∴， 故椭圆的离心率2
1
=
e （3 分） （2）由⑴知,21=a c 得a c 21=于是2F （21a ，0） Q )0,2
3
(a -，
△AQF 的外接圆圆心为（-21a ，0），半径r=2
1
|FQ|=a
所以
a a =--2
|321
|，解得a =2，∴c =1，b=3， 所求椭圆方程为13
42
2=+y x （6 分） （3）由（Ⅱ）知)0,1(2F l ：)1(-=x k y
?????=+-=134
)
1(22y
x x k y 代入得 01248)43(2222=-+-+k x k x k
设),(11y x M ，),(22y x N
则2
2
21438k
k x x +=+，)2(2121-+=+x x k y y （8分） =-+-=+),(),(2211y m x y m x ),2(2121y y m x x +-+
由于菱形对角线垂直，则?+)( 0=MN
故02)(2121=-+++m x x y y k 则02)2(21212
=-++-+m x x x x k
2
k )2438(22-+k k 024382
2
=-++m k k （10分）
由已知条件知0≠k 且R k ∈
431432
2
2+=+=∴k k k m 410<<∴m
故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是4
1
0<
（21）（本小题满分12分） 解：（I ）()x x x x x x f 22522512+-=-+='， …………（2分） ()0='x f ，得1 1=x ，或22=x ，列表： 函数)(x f 在2=x 处取得极大值2ln 8 )2(-=f ， …………（4分） 函数)(x f 在2=x 处取得极小值12ln )2(-=f ； …………（6分） （II ）：())1(1a x x x f +-+='，()3,1∈x 时，)3 10 ,2(1∈+x x ， （i ）当21≤+a ，即1≤a 时， ()3,1∈x 时，()0>'x f ，函数)(x f 在()3,1是增函数 ()3,1∈?x ，()()01=>f x f 恒成立； ……（8分） （ii ）当3 10 1≥+a ，即37≥a 时， ()3,1∈x 时，()0<'x f ，函数)(x f 在()3,1是减函数