§3 函数平方逼近 用均方误差最小作为度量标准，研究函数],[)(b a C x f ∈的逼近多项式，就是最佳平方逼近问题。
若存在n n H x P ∈)(*，使
*
2
2
inf n P H
f P
f P
∈-=
=-，
)(*x P n
就是)(x f 在],[b a 上的最佳平方逼近多项式。
定义 设在区间),(b a 上非负函数)(x ρ，满足条件： 1）
x
x x n
b a
d )(ρ?
存在
),1,0(Λ=n ；
2） 对非负的连续函数)(x g ，若
0d )()(=?
x x x g b
a
ρ，
则在),(b a 上0)(≡x g ，就称)(x ρ为区间),(b a 上的权函数。
对],[)(b a C x f ∈及],[b a C 中的一个子集},,,span{10n ????Λ=，若存在?∈)(*
x S ，使
x S x f x S f S
f b
a
S S )]
()()[(inf inf 2
2
222
*-=-=-?∈∈ρ?
?
则称)(*x S 是)(x f 在子集],[b a C ??中的最佳平方逼近函数。 令
0()()
n
j j j S x a x ?==∑,求)(*x S 等价于求
多元函数
x
x f x a x a a a I j j n
j b
a
n d )]()()[(),,,(2
10-=∑?=?ρΛ
的最小值。()x ρ为权函数。
由于),,,(10n a a a I Λ是关于
n a a a ,,,10Λ的二次函数，利用多元
函数求极值的必要条件
)
,,1,0(0n k a I
k
Λ==??， 0
d )()]()()[(20
=-=??∑?=x x x f x a x a I
k j j n
j b
a k ??ρ ,
,1,0(k Λ=，
()()()d ()()()d n
b b
j j k k a
a
j a x x x x x f x x x
ρ??ρ?==∑?
?
内积定义
x x g x f x g f b
a d )()()(),(ρ?=
222
2
()0
f
f x =-= 于
是
有
)
,,1,0(),(),(0
n k f a k j j k n
j Λ==∑
=??? .
00010010
111101(,)(,)(,)(,(,)(,)
(,)(,(,)(,)(,)(,n n n n n n n a f a f a f ???????
???????
???????
???????????????=
????????????????????L L L L L L M M
L
这是关于n a a a ,,,10Λ的线性方程组，称为法方程，由于
n ???,,,10Λ线性无关，故系数行列
式0),,,(10≠n G ???Λ，于是此方程组有唯一解*k
k a a =),,1,0(n k Λ=，从
而得到
).()()(*0*0
*
x a x a x S n n
??++=Λ
定理 5 01(),(),,()n x x x ???L 在
],[b a 上线性无关的充分必要条件是
它的克来姆（Gramer ）行列式
0n G ≠，其中
01(,,,)n n G G ???=L
000101011101(,)(,)(,)(,)(,)(,)
(,)(,)(,)
n n n n n n ??????????????????=
L L L L L L L
证：
01(),(),,()n x x x ???L 在],[b a 上线性无关，则由方程
0011()()()()0
n n S x a x a x a x ???=+++=L
知 02(,,)(0,0,0)n a a a =L L 将此方程两边分别乘以
01,,n ρ?ρ?ρ?L 之后在积分，便得到
下列方程组：
(,)0
(0,,)
n
k
k j k a
j n ??===∑L
即
00010010
111101(,)(,)(,)(,)(,)
(,)0(,)(,)(,)n n n n n n n a a a ??????????????????????
????????
=????????????????
L L L L L L M L
此齐次方程组只有零解，故其系数行列式的值一定不为0，即
0n G ≠。
反之，若0n G ≠，同样对n G 可经过适当变换得到01(),(),,()
n x x x ???L 在],[b a 上线性无关。
证明)(*
x S 为最佳平方逼近函数
即对任何?∈)(x S ，有
.
d )]()()[(d )]()()[(2
2
*x x S x f x x x S x f x b
a
b
a
-≤-??
ρρ 为此只考虑
x
x S x f x x x S x f x D b
a
b
a
d )]()()[(d )]()()[(2
*
2
---=??ρρ
x x S x S x b
a d )]()()[(2
*-=?ρ
*
*
2()[()()][()()]d b
a
x S x S x f x S x x
ρ+--?
*2
*
*
()[()()]d 2()()()[()(b a
n
b k
k k a
k x S x S x x
a a x x f x S x
ρρ?==-+--?
∑?
由于)(*
x S 的系数*k a 是方程
)
,,1,0(),(),(0
n k f a k j j k n
j Λ==∑
=???
的解，故
d )()]()()[(*
=-?
x x x S x f x k b
a
?ρ
),,1,0(n k Λ=，
从而上式第二个积分为0，于是
d )]()()[(2
*
≥-=?x x S x S x D b
a ρ
这就证明了)(*
x S 是)(x f 在?中的最
佳平方逼近函数。
若令)()(*
x S x f -=δ，则平方误差为
2
*****
2(,)(,)(,)
f S f S f f S S f S δ=--=---
***
(,)(,)(,)f f S f S f S =---
由
于 *
*
**0
(,)(,)
n
n
k
k j
j k j S f S a f a ??==-=-∑∑
**0
(,)
n n
k
k j
j k j a f a ??===-∑∑
**0
((,)(,))n
n
k
k j k j
k j a f a ???===-=
∑∑ 所以
)
,(),(),(*
**2
2f S f f S f S f -=--=δ
).
,(*0
22
f a f
k k
n
k ?∑=-=
若
取
]1,0[)(,1)(,)(C x f x x x k
k ∈≡=ρ?，
则要在n H 中求n 次最佳平方逼近多项式
*
****0
1
()n
n k n
k
k S x a a x a x a x
==+++=∑L ， 此时 ,
11
d ),(1
++==+?j k x x
j
k k j ??
.d )(),(10
k k
k d x x x f f ≡=?
?
若用H 表示),,,1(n
n
x x G G Λ=对应
的矩阵，即
?
????
?
?
??
???
+++++=)12/(1)
2/(1)1/(1)2/(13/12/1)1/(12/11n n n n n Λ
Λ
ΛΛΛΛΛH
为希尔伯特（Hilbert ）矩阵，记
T
n d d d )
,,(0Λ=，则
d
Ha = 的解
),,1,0(*
n k a a k k Λ==即为所求。
例:设2
1)(x x f +=，求]1,0[上的一次最佳平方逼近多项式。 解:利用公式，得
1
*011010()1,(),()()i i i x x x S x a x a a x
???=====+∑
1
00d 1.147,d x =≈?
1
10
d 0.609d x =≈?
得方程组
???
???=???????
???
?
?????609.0147.1312
121110a a ， 解出
426.0,934.010==a a ， 故
.426.0934.0)(*1
x x S +=
平方误差
2*1
20
(,)(,)(,)(n
k k
k f f S f f f a δ
?==-=-∑
12
010
(1)d 0.9340.4260.002
x x d d =+--=?
最大误差
.
066.0)(1max *1
2
1
0≈-+=≤≤∞
x S x x δ
用},,,1{n
x x Λ做基，求最佳平方逼近多项式，当n 较大时，系数矩阵是高度病态的，求法方程的解，舍入误差很大，这时要用正交多项式做基，才能求得最小平方逼近多项式。