运动学
§1.1质点运动学的基本概念
一、竞赛要求
1、匀变速直线运动
2、相对运动
3、运动的合成与分解
4、抛体运动
5、圆周运动
二、重点知识
相对运动抛体运动
三、难点突破
相对运动
1．1．1、参照物和参照系
(1).参照物：要准确确定质点的位置及其变化，必须事先选取另一个假定不动的物体作参照，这个被选的物体叫做参照物。
(2)．参考系：为了定量地描述物体的运动需要在参照物上建立坐标，构成坐标系。
a．通常选用直角坐标系O–xyz，。平面直角坐标系一般有三种，一种是两轴沿水平竖直方向，另一是两轴沿平行与垂直斜面方向，第三是两轴沿曲线的切线和法线方向（我们常把这种坐标称为自然坐标）。
b. 有时也采用极坐标系
1．1．2、位矢位移
在直角坐标系中，质点的位置可用三个坐标x，y，z表示，当质点运动时，它的坐标是时间的函数
x=X（t）y=Y（t）z=Z（t）
这就是质点的运动方程。
y 图1-1-1
(1)位矢：质点的位置也可用从坐标原点O 指向质点P （x 、y 、z ）的有向线段r 来表示。r
为位矢，如图1-1-1所示, r 也是描述质点在空间中位置的物理量。r 的长度为质点到原点之
间的距离，的方向由余弦αcos 、βcos 、γcos 决定,它们之间满足
1cos cos cos 222=++γβα
当质点运动时,其位矢的大小和方向也随时间而变,可表示为=(t)。在直角坐标系中,设分别为、j 、沿方向x 、y 、z 和单位矢量，则可表示为
k t z j t y i t x t r )()()()(++=
位矢与坐标原点的选择有关。
研究质点的运动，不仅要知道它的位置，还必须知道它
的位置的变化情况，如果质点从空间一点),,(1111z y x P
运动到另一点),,(2222z y x P ，相应的位矢由r 1
变到r 2，其改
变量为?
z z y y x x r r )()()(12121212-+-+-=-=?
称为质点的位移，如图1-1-2所示，
（2）位移：位移是矢量，它是从初始位置指向终止位置的一个有向线段。它描写在一定时间内质点位置变动的大小和方向。它与坐标原点的选择无关。
1．1．3、速度
（1）平均速度 ： 质点在一段时间内通过的位移和所用的时间之比叫做这段时间内的平均速度
t s v ?=
平均速度是矢量，其方向为与r
?的方向相同。平均速度的大小，与所取的时间间隔t ?有关，因此须指明是哪一段时间（或哪一段位移）的平均速度。
（2）瞬时速度 ： 当t ?为无限小量，即趋于零时，r
?成为t 时刻的瞬时速度，简称速度
t s v v t t ?==→?→?
00
lim
lim
瞬时速度是矢量，其方向在轨迹的切线方向。 瞬时速度的大小称为速率。速率是标量。 1．1．4、加速度
（1）平均加速度： 质点在t ?时间内，速度变化量为v ?，则v
?与t ?的比值为这段时间内的平均加速度
t v a ??=
平均加速度是矢量，其方向为v ?的方向。
)
2z
（2）瞬时加速度 当t ?为无限小量，即趋于零时，v
?与t ?的比值称为此时刻的瞬时加速度，）简称加速度
t v
a t ??=→? 0lim
加速度是矢量，其方向就是当t ?趋于零时，速度增量的极限方向。 1．1．5、匀变速直线运动
加速度a 不随时间t 变化的直线运动称为匀变速直线运动。若a 与v
同方向，则为匀加速直线运动；若a 与v
反方向，则为匀减速直线运动。
匀变速直线运动的规律为：
at v v +=ο1
2
021at t v s =
=
as v v 22
2
1=-ο t v v vt s t )(21
0+=
=
匀变速直线运动的规律也可以用图像描述。其位移—时间图像（s ～t 图）和速度—时间图像（v ～t 图）分别如图1-1-3和图1-1-4所示。
从(s ～t )图像可得出： (1)任意一段时间内的位移。 (2)平均速度，在（12t t -）的时间内的平均速度的大小，是通过图线上点1、点2的割线的斜率。
(3)瞬时速度，图线上某点的切线的斜率值，等于该时刻的速度值。从s ～t 图像可得出：
从(v ～t )图像可得出： (1)任意时刻的速度。
(2)任意一段时间内的位移，21t t -时间内的位移等于v ～t 图线，21t t 、时刻与横轴所围
的“面积”。这一结论对非匀变速直线运动同样成立。
(3)加速度，v ～t 图线的斜率等于加速度的值。若为非匀变速直线运动，则v ～t 图线任一点切线的斜率即为该时刻的瞬时加速度的大小。
§1.2 运动的合成与分解相对运动
1．2．1、运动的合成与分解 (1)矢量的合成与分解
矢量的合成与分解的基本方法是平行四边形法则，即两分量构成平行四边形的两邻边，合矢量为该平行四边形与两分量共点的对角线。由平行四边形法则又衍生出三角形法则，多个矢量的合成又可推导出多边形法则。
t
1
2
图1-1-3
图1-1-4
同一直线上的矢量的合成与分解可以简化为代数运算，由此，不在同一直线上的矢量的合成与分解一般通过正交分解法进行运算，即把各个矢量向互相垂直的坐标轴投影，先在各轴上进行代数运算之后，再进行矢量运算。
(2)运动的合成和分解
运动的合成与分解是矢量的合成与分解的一种。运动的合成与分解一般包括位移、速度、加速度等的合成与分解。运动的合成与分解的特点主要有：①运动的合成与分解总是与力的作用相对应的；②各个分运动有互不相干的性质，即各个方向上的运动与其他方向的运动存在与否无关，这与力的独立作用原理是对应的；③位移等物理量是在一段时间内才可完成的，故他们的合成与分解要讲究等时性，即各个运动要取相同时间内的位移；④瞬时速度等物理量是指某一时刻的，故它们的合成分解要讲究瞬时性，即必须取同一时刻的速度。
两直线运动的合成不一定就是直线运动，这一点同学们可以证明。如：①两匀速直线运动的合成仍为匀速直线运动；②两初速为零（同一时刻）的匀加速直线运动的合成仍为初速为零的匀加速直线运动；③在同一直线上的一个匀速运动和一个初速为零的匀变速运动的合运动是一个初速不为零的匀变速直线运动，如：竖上抛与竖下抛运动；④不在同一直线上的一个匀速运动与一个初速为零的匀加速直线运动的合成是一个曲线运动，如：斜抛运动。
1．2．2、相对运动
任何物体的运动都是相对于一定的参照系而言的，相对于不同的参照系，同一物体的运动往往具有不同的特征、不同的运动学量。
通常将相对观察者静止的参照系称为静止参照系；将相对观察者运动的参照系称为运动参照系。物体相对静止参照系的运动称为绝对运动，相应的速度和加速度分别称为绝对速度和绝对加速度；物体相对运动参照系的运动称为相对运动，相应的速度和加速度分别称为相对速度和相对加速度；而运动参照系相对静止参照系的运动称为牵连运动，相应的速度和加速度分别称为牵连速度和牵连加速度。
绝对运动、相对运动、牵连运动的速度关系是：绝对速度等于相对速度和牵连速度的矢量和。
牵连相对绝对v v v +=
这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。 当运动参照系相对静止参照系作平动时，加速度也存在同样的关系：
牵连相对绝对a a a +=
当运动参照系相对静止参照系作转动时，这一关系不成立。
如果有一辆平板火车正在行驶，速度为火地v （脚标“火地”表示火车相对地面，下同）。
有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度为汽火v ，那么很明显，
汽车相对地面的速度为：
火地汽火汽地v v v +=
（注意：汽火v 和火地v 不一定在一条直线上）如果汽车中有一只小狗，以相对汽车为狗汽
v
的速度在奔跑，那么小狗相对地面的速度就是
火地汽火狗汽狗地v v v v ++=
从以上二式中可看到，上列相对运动的式子要遵守以下几条原则：
①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。合速度的后脚标和最后一个分速度的后脚标相同。
②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。 ③所有分速度都用矢量合成法相加。 ④速度的前后脚标对调，改变符号。
以上求相对速度的式子也同样适用于求相对位移和相对加速度。
相对运动有着非常广泛的应用，许多问题通过它的运用可大为简化，以下举两个例子。 例 如图1-2-1所示，在同一铅垂面上向图示的两个方向以s m v s m v B A /20/10==、的初速度抛出A 、B 两个质点，问1s
后A 、B 相距多远？这道题可以取一个初速度为零，当A 、B 抛出时开始以加速度g 向下运动的参考系。在这个参考系中，A 、B 二个质点都做匀速直线运动，而且方向互相垂直，它们之间的距离
()()4.225102
2==+=
m t v t v s B A AB m
在空间某一点O ，向三维空间的各个方向以相同的速度οv 射出很多个小球，球ts 之后这些小球中离得最远的二个小球之间的距离是多少（假设ts 之内所有小球都未与其它物体碰撞）？这道题初看是一个比较复杂的问题，要考虑向各个方向射出的小球的情况。但如果我们取一个在小球射出的同时开始自O 点自由下落的参考系，所有小球就都始终在以O 点为球心的球面上，球的半径是t v 0，那么离得最远的两个小球之间的距离自然就是球的直径2t v 0。
§1.3抛体运动
1．3．1、曲线运动的基本知识
轨迹为曲线的运动叫曲线运动。它一定是一个变速运动。图1-3-1表示一质点作曲线运动，它经过P 点时，在P 点两旁的轨迹上取11b a 、两点，过11b P a 、、三点可作一圆，当这两点无限趋近于P 点时，则圆亦趋近于一个定圆，我们把这个圆叫P 点的曲率圆，曲率圆的半径叫P 点的曲率半径，曲率圆的圆心叫P 点的曲率中心，曲率半径的倒数叫P 点的曲率。如图1-3-1，亦可做出Q 点的曲率圆。曲率半径大，曲率小，表示曲线弯曲较缓，曲率半径小，曲率大，表示曲线弯曲厉害。直线可认为是曲率半径为无穷大的曲线。
质点做曲线运动的瞬时速度的方向总是沿该点的切线方向。如图1-3-2所示，质点在△t 时间内沿曲线由A 点运动到B 点，速度由V A 变化到V B ，则其速度增量V ?为两者之矢量差，V ?=V B ―
V A ，这个速度增量又
图1-2-1
P Q
O 1
R 1 O 2
a 1 a 2
b 1
b
2 图1-3-1
B
图1-3-2
可分解成两个分量：在V B 上取一段AC 等于V A ，则△V 分解成△V 1和△V 2，其中△V 1表示质点由A 运动到B 的速度方向上的增量，△V 2表示速度大小上的增量。
法向加速度a n 表示质点作曲线运动时速度方向改变的快慢，其大小为在A 点的曲率圆的向心加速度：
t V a t n ??=→?20lim
其方向指向A 点的曲率中心。切向加速度τa 表示质点作曲线运动时速度大小改变的快慢，
方向亦沿切线方向，其大小为
A A t R V t V a 2
10lim =
??=→?τ
总加速度a 方法向加速度和切向加速度的矢量和。 1．3．2、抛物运动是曲线运动的一个重要特例
物体以一定的初速度抛出后，若忽略空气阻力，且物体的运动在地球表面附近，它的运动高度远远小于地球半径，则在运动过程中，其加速度恒为竖直向下的重力加速度。因此，抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。
根据运动的叠加原理，抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成。常用的处理方法是:将抛体运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
如图1-3-3。取抛物轨迹所在平面为平面，抛出点为坐标原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴。则抛体运动的规律为：
??
?-==g a a y x 0 ??
?==θθsin cos 00v v v v y x ?????-==20021sin cos gt t v y t v x θθ
其轨迹方程为
2
22
cos 2x v g xtg y o θθ-
=
这是开口向下的抛物线方程。
在抛出点和落地点在同一水平面上的情况下，飞行时间T ，射程R 和射高H 分别为
g v T θ
sin 20=
g v R θ2sin 20=
g v H 2sin 220θ= 抛体运动具有对称性，上升时间和下降时间（抛出点与落地点在同一水平面上）相等（一
般地，从某一高度上升到最高点和从最高点下降到同一高度的时间相等）；上升和下降时经
如图1-3-3
过同一高度时速度大小相等，速度方向与水平方向的夹角大小相等。
下面介绍一种特殊的抛体运动——平抛运动：
质点只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的运动叫平抛运动。它可以看成水平方向上的匀速运动（速度为v 0）与竖直方向上的自由落体运动的合成。
①速度：采用水平竖直方向的直角坐标可得：0v v x = gt v y =，其合速度的大小为
22
0)(gt v v +=，其合速度的方向为（设水平方向夹角为θ），可见，当∞→t 时，2/,πθ→→gt V ，即表示速度趋近于自由落体的速度。
②位移：仍按上述坐标就有，2/,2
0gt y t V x ==。仿上面讨论也可得到同样结论，当时间很长时，平抛运动趋近于自由落体运动。
③加速度：采用水平和竖直方向直角坐标系有,g a a y x ==,0，用自然坐标进行分解，如图1-3-4其法向加速度为θcos g a n =，切向加速度为θτsin g a =，θ为速度与水平向方的夹角，将速度在水平与竖直方向的坐标系中分解可知：
2
22
0sin t g v gt
V
V y +=
=
θ
22200
cos t g V V V V x +==
θ
由此可知，其法向加速度和切向加速度分别为：
2
220
t g V gV a n +=
22202t g V t g a +=
τ
由上两式可以看出，随着时间的推移，法向加速度逐渐变小趋近于零，切向加速度趋近于定值g ，这表示越来越接近竖直下抛运动。在生活中也很容易看到，平抛物体的远处时就接近竖直下落了。
运动的轨迹方程：
2
202x V g y =
从方程可以看出，此图线是抛物线，过原点，且0V 越大，图线张开程度大，即射程大。根据运动的独立性，经常把斜抛运动分解成水平方向匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动来处理，但有时也可以用其它的分解分法。
抛体运动另一种常用的分解方法是：分解沿0v
方向的速度
图1-3-4
图1-3-5
为0v 的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动二个分运动。
如图1-3-5所示，从A 点以0v 的初速度抛出一个小球，在离A 点水平距离为s 处有一堵高度为h 的墙BC ，要求小球能越过B 点。
问小球以怎样的角度抛出，才能使0v 最小？
将斜抛运动看成是0v 方向的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动，如图1-3-6所示。
在位移三角形ADB 在用正弦定理 )sin(1sin sin 2102
ββ+=
=a t v a gt
①
④轨迹：由直角坐标的位移公式消去时间参数t 便可得到直角坐标系中的平抛运
由①式中第一个等式可得
βsin sin 20g a v t =
②
将②式代入①式中第二个等式
)sin(sin sin 2202ββ+=
a l
g a v
a a gl v sin )sin(sin 222
0ββ+=
βββcos )2cos(sin 22
0++-=
a gl v
当)2cos(β+-a 有极大值1时，即πβ=+a 2时，0v 有极小值。
因为 πβ=+a 2，π
π
?=++22a
所以
?
π214-=a ??????
?
-=-=2
020cos 21sin sin 21cos t g at v y t g at v x ??
当小球越过墙顶时，y 方向的位移为零，由②式可得
?cos sin 20g a v t =
C
图1-3-6
③式代入式①：我们还可用另一种处理方法
以AB 方向作为x 轴（图1-3-7）这样一取，小球在x 、y 方向上做的都是匀变速运动了，
0v 和g 都要正交分解到x 、y 方向上去。
小球运动的方程为
??????
?-=-=2
2
2121t g v y t g t v x y oy x ox
2
000)
cos sin 2(sin 21cos sin 2cos ???g a v g g a v a v x -=
)sin sin cos (cos cos sin 220???a a g a
v -= )cos(sin cos 22
2
0??+=a a g v
[]???sin )2sin(cos 2
2
-+=a g v
∴
???
sin )2sin(cos 220
-+=
a xg v 当)2sin(?+a 最大，即
22π
?=
+a 时，
?
π
21
4-=
a ，0v 有极小值
)sin 1/(cos 220??-=xg v
)sin 1/()sin 1(cos 22???-+=xg )sin 1(?+=xg
)
1(x h
xg +=
)(22s h h g ++=
§1.4质点的圆周运动
刚体平面平行运动与定轴转动
1．4．1、质点的圆周运动
(1)匀速圆周运动 如图1-4-1所示，质点P 在半径为R 的圆周上运动时，它的位置可用角度θ表示（习惯上以逆时针转角正，顺时针转角为负），转动的快慢用角速度表示：
t t ??=→?θ
ω0lim
图1-3-7
图1-4-1
质点P 的速度方向在圆的切线方向，大小为
R t R t l
v t t ωθ=?=??=→?→?000lim lim
ω（或v ）为常量的圆周运动称为匀速圆周运动。这里的“匀速”是指匀角速度或匀速率，
速度的方向时刻在变。因此，匀速圆周运动的质点具有加速度，其加速度沿半径指向圆心，称为向心加速度（法向加速度）。
v R R v n ωωω===22/
向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(2)变速圆周运动 ω（或v ）随时间变化的圆周运动，称为变速圆周运动，描述角速度变化快慢的物理量为角加速度
t t ??=→?ωβ0lim
质点作变速圆周运动时，速度的大小和方向都在变化。将速
度增量v ? 分解为与2v 平行的分量//v ?和2v 垂直的分量1v
?，如
图1-4-2。1v 相当于匀速圆周运动个的v ? ,11v
?的大小为 R R v v v 121212ωω-=-=?=ω?R
质点P 的加速度为
t v t v t v
a t t t ??+??=??=⊥
→?→?→?
//
lim
lim lim
n a a
+=τ
其中n r a a ,就是切向加速度和法向加速度。 R a r βτ=
R R v a n 22/ω==
β为常量的圆周运动，称为匀变速圆周运动，类似于变速直线运动的规律，有
t βωω+=0
2
021t t βωθ+=
R v 00ω=
t a v Rt v R v r +=+==00βω
(3)圆周运动也可以分解为二个互相垂直方向上的分运动。参看图1-4-3一个质点A 在t=0时刻从x 正方向开始沿圆周逆时针方向做匀速圆周运动，在x 方向上
t R x ωcos =
t R t v v x ωωωsin sin -=-=
t R t a a x ωωωcos cos 2-=-=
v ?
图1－4－2
在y 方向上：
)
2cos(sin π
ωω-
==t R t R y
)2sin(cos π
ωωω-
-==t R t v v y
)
2cos(sin 2π
ωωω-
-=-=t R t a a y
从x 和y 方向上的位移、速度和加速度时间t 表达的参数方程可以看出：匀速圆周运动可以分为两个互相垂直方向上的简谐运动，它们
的相位相差2π
1．4．2、刚体的平面平行运动
刚体平面平行运动的特征是，刚体上的任意质点都作平行于一个固定平面的运动。如圆柱沿斜面的滚动，即为平面平行运动。可取刚体上任意平行于固定平面的截面作为研究对
象。
刚体的平面平行运动，常有两种研究方法：
一种是看成随基点（截面上任意一点都可作为基点）的平动和绕基点的转动的合运动；另一种是选取截面上的瞬时转动中心S （简称瞬心）为基点。瞬心即指某瞬间截面上速度为零的点。这样，刚体的平面平行运动看成仅作绕瞬心的转动。
确定瞬心的方法有两种：如图1-4-4(a)所示，若已知截面上两点的速度，则与两速度方向垂直的直线的交点即为瞬心。或如图1-4-4(b)所示，已知截面转动的角速度及截面上某一点A 的速度A v ，则在与速度垂直的直线上，与A 点距离为ω/A v 的点即为瞬心。
注意，瞬心的速度为零，加速度不一定为零。 1．4．3、刚体的定轴转动
刚体运动时，刚体上或其延展部分有一根不动直线，该直线称为定轴，刚体绕这一轴转动。刚体作定轴转动时，其上各点都在与轴垂直的平面内作圆周运动，各点作圆周运动的半径不同，在某一时刻，刚体上所有各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的。而各点的线位移、线速度和线加速度则随各点离开转轴的垂直距离不同而不同。
1．4．4、一些求曲率半径的特殊方法
先看椭圆曲线122
22=+B y A x ，要求其两顶点处的曲率半径。介绍以下两种方法：
(1)将椭圆看成是半径R=A （设A ＞B ）的圆在δ平面上的投影，圆平面和δ平面的夹角?
满足关系式（如图1-4-5）
（a ） 图1-4-4
A B R B ==
?cos
设一个质点以速率v 在圆上做匀速圆周运
动，则向心加速度A v a 2=
，从上图中可以看出，
当顶点的投影在椭圆的长轴（x 轴）上的P 点
时，其速率和加速度分别为：
v
A B
v v x ==?cos ，
A v a x 2
=
当质点的投影在椭圆的短轴（y 轴）上的Q 点时，其速率和加速度分别为：
v v y = 2
2
c o s A v B a a y =Φ=。
因此椭圆曲线在P 、Q 的曲率半径分别为：
A B a v x x p 22=
=ρ
B A a v y y Q 2
2=
=ρ
(2)将椭圆看成是二个简谐运动的合成，可以把椭圆的参数方程（设A ＞B ）（如图1-4-6）
???==θθsin cos B y A x 可改写为 ???
??-==)2cos(cos π
ωwt B y t
A x
即可进一步写出x ，y 二个方程的速度v 和加速度a ：
???-=-=wt A a t A v x x cos sin 2
ωωω
那么在长轴端点P 处（0
0=t ω）的曲率半径：
A B A B a v p
p p 2
2
22)(===
ω
ωρ
在短轴端点Q 处（
2π
ω=
t ）的曲率半径
???
???
?
--=--=)2cos()2sin(2πωπωωwt B a t B v y y y
如图1-4-5
x
图1-4-6
B A B A a v Q
Q
Q 22
22)(===
ω
ωρ
再把抛物线y=Ax 2
，要求其任意一点的曲率半径（如图1-4-7）因为抛物线可以写作参数方程
?????==2021at y t
v x
其中A
v a
o =2，这样就可以导出
???==???==a
a a at v v v y x y o x 0
和
对任意一个t 值： v=
2
2022）
（at v v v y x +=+
a N =acos θ=a
2200
）（at v av v
v x
+=
所以这一点的曲率半径
2
3
222
2av t a v a v N ）（+=
=ρ
将t=0v x 代入，可得
2
023
2402/1v a x v a ）（+=ρ 因为
2
02v a A =，所以抛物线y=Ax 2上任意一点的曲率半径 A x A 2/412
322）（+=ρ
§1．5几种速度的特殊求法
1．5．1、相关的速度
当绳端在做既不沿绳方向，又不垂直于绳方向的运动时，一般
要将绳端的运动分解为沿绳方向和垂直于绳方向二个分运动。 如图1-5-1所示的情况，绳AB 拉着物体m 在水平面上运动，
A 端以速度v 做匀速运动，问m 做什么运动？有的同学会将绳的
速度v 分解成竖直 分速度vsina 和水平分速度vcosa ，以为木块的速度a v u cos =(u
a
x
图1-4-7
图1-5-1
的增大而越来越大。
如图1-5-2所示，杆AB 沿滑下，A 、B 二端的速度A v 和B v 也是二个相关的速度。将A v 分解成沿杆方向的分速1A v 和垂直于杆的分速
2B v 。由于杆的长度不会发生变化，所以11B A v v =，即a v a v B A sin cos =，即
B A v tga v ?=
1．5．2、两杆交点的运动 两杆的交点同时参与了二杆的运动，而且相对每一根杆还有自己的运动，因而是一种比较复杂的运动。图1-5-3（a ）中的AC 、BD 两杆均以角速度ω绕A 、B 两固定轴在同一竖直面内转动，转动方向如图示。当t=0时，==βa 60o，试求t 时刻两棒交点M 点的速度和加速度。t=0时，△ABM 为等边三角形，因AM=BM=l ，它的外接圆半径l OM R 3
3
=
=，图1-5-3（b ）。二杆旋转过程中，a 角增大的角度一直等于β角减小的角度，所以M 角的大小始终不变（等于60o），因此M 点既不能偏向圆内也不能偏向圆外，只能沿着圆周移动，因为∠M MO '和∠M MA '是对着同一段
圆弧（M M '）的圆心角和圆周角，所以∠M MO '=2∠M MA '，即M
以2ω的角速度绕O 点做匀速圆周运动，任意时刻t 的速度大小恒为
l R v ωω33
2)2(=
= 向心加速度的大小恒为
l R a 2
2334)2(ωω=
=
再看图1-5-4（a ），一平面内有二根细杆1l 和2l ，各自
以垂直于自己的速度1v 和2v
在该平面内运动，试求交点相
对于纸平面的速率及交点相对于每根杆的速率。
参考图1-5-4（b ），经过时间t ?之后，1l 移动到了1l '的位置，2l 移动到了2l '的位置，1l '和2l 的原位置交于O '点，1l '和2l '交于O ''点。
O O '=θsin /1t v ?
B
α
A v
A
2A
v v 1B v
图1-5-2
图1-5-3（a ） A
B
M
M '
O
α
β
l 图1-5-3（b ）
1l
2l
2
图1-5-4（a ）
θsin /2t v O O ?='''
在O O O '''?中：
?cos 22
22O O O O O O O O O O '''?'-'''+'=''
因为?角和θ角互补，所以
θ?cos cos -=
θθ
sin cos 22122
21
t
v v v v O O ?++=''
因此两杆交点相对于纸平面的速度
t O O v ?''=
θθ
sin 1cos 2212
221v v v v ++=
不难看出，经过t ?时间后，原交点在1l 上的位置移动到了A 位置，因此交点相对1l 的位
移就是O A ，交点相对1l 的速度就是：
t O O O A v ?'''+'='/)(1
=t
t v ctg t v ???? ??
?+??/sin 21θθ
θθsin /)cos (21v v +=
用同样的方法可以求出交点相对2l 的速度
θθsin /)cos (212
v v v +=' 因为t ?可以取得无限小，因此上述讨论与21,v v 是否为常量无关。如果21,v v 是变量，上
述表达式仍然可以表达二杆交点某一时刻的瞬时速度。
如果1v 和2v 的方向不是与杆垂直，这个问题应该如何解决？读者可以进行进一步的讨论。
θsin /2t v O O ?=''' 在O O O '''?中：
?cos 22
22O O O O O O O O O O '''?'-'''+'='' 因为?角和θ角互补，所以
θ?cos cos -=
θθ
sin cos 2212
221t
v v v v O O ?++=''
因此两杆交点相对于纸平面的速度
t O O v ?=
1l
2l
O
A
B
O '
O '' ?
1l '
2
l '
图1-5-4（b ）
θθ
sin 1cos 2212
221v v v v ++=
不难看出，经过t ?时间后，原交点在1l 上的位置移动到了A 位置，因此交点相对1l 的位
移就是O A ''，交点相对1l 的速度就是：
t O O O A v ?+='/)(1
=t
t v ctg t v ???? ??
?+??/sin 21θθ
θθsin /)cos (21v v +=
用同样的方法可以求出交点相对2l 的速度
θθsin /)cos (212
v v v +=' 因为t ?可以取得无限小，因此上述讨论与21,v v 是否为常量无关。如果21,v v 是变量，上
述表达式仍然可以表达二杆交点某一时刻的瞬时速度。
如果1v 和2v 的方向不是与杆垂直，这个问题应该如何解决？读者可以进行进一步的讨论。 练习
1.设河面宽km l 1=，河水由北向南流动，流速s m v /2=，有一船相对于河水以s m v /5.1='的速率从西岸驶向东岸。
（1）如果船头与正北方向成
15=α角，船到达对岸要花多少时间？到达对岸时，船在下游何处？
（2）如果船到达对岸的时间为最短，船头与河岸应成多大角度？最短时间等于多少？到达对岸时，船在下游何处？
(3)如果船相对于岸走过的路程为最短，船头与岸应成多大角度？到对岸时，船又在下游何处？要花多少时间？
2.在篮球运动员作立定投篮时，如图出手球的中心为坐标原点，建立坐标系Oxy 如图示。设篮
筐中心坐标为（y x ，），出售高度为1H ，球的出手速度为0v ，试证球的出手角度α应满足下式才能投入：
])2(211[tan 20
2
2020v gx y v g gx v +-±=α
3.一斜面体两斜面的倾角分别为θ和?，如图（a ）所示。一物体从倾角为θ的斜面底角处作斜上抛运动。求为使物体从斜面体的顶角处切过，并落在倾角为?的斜面底角处，则物体的抛射角α与倾角θ、?应满足什么关系？（用简单形式写出）
4.如图所示，高为h 的旗杆顶端有一物P ，一男孩在离旗杆底端A 距离s 处的o 点，欲用弹弓弹射小石块击中物
P 。已知弹弓弹射出的小石块初速度为0v ，问小石块能
击中物P 的最小0v 值为多少？相应的弹射角（弹射方向与水平方向的夹角）为多大？
5.A 、B 、C 、D 四个小孩分别站在正方形的四个顶点，以相同的不变速率v 作追逐游戏，A 追B 、B 追C 、C 追D 、D 追A ，而且每个小孩始终对准自己追逐的目标运动。设在追逐过程中某一时刻，正方形的边长为l ，如图2-练17（a ）所示。求： 1） 四个小孩再经过多少时间追到自己的目标； 2） 每个小孩子自那时刻起跑了多长路程？ 3） 每个小孩在那一时刻跑动的加速度多大？
6.如图所示，杆AB以角速度 绕A点转动，并带动水平杆OC上的质点M运动，设起始时刻杆在竖直位置，OA=h。
（1）列出质点M沿杆的运动学方程；
（2）求质点M沿杆OC滑动的速度和加速度的大小。
高中物理竞赛辅导（2） 静力学力和运动 共点力的平衡 n个力同时作用在物体上，若各力的作用线相交于一点，则称为 共点力，如图1所示。 作用在刚体上的力可沿作用线前、后滑移而不改变其力 学效应。当刚体受共点力作用时，可把这些力沿各自的作用 线滑移，使都交于一点，于是刚体在共点力作用下处于平衡 状态的条件是：合力为零。 （1） 用分量式表示： （2） [例1]半径为R的刚性球固定在水 平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀 弹性细绳圈，原长为，绳 圈的弹性系数为k。将圈从球的正上方 轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持 水平，最后停留在平衡位置。考虑重力， 不计摩擦。①设平衡时绳圈长 ，求k值。②若 ，求绳圈的平衡位置。
分析：设平衡时绳圈位于球面上相应于θ角的纬线上。在绳圈上任取一小元段， 长为，质量为，今将这元段作为隔离体，侧视图和俯视图分别由图示（a）和（b）表示。 元段受到三个力作用：重力方向竖直向下；球面的支力N方向沿半径R 指向球外；两端张力，张力的合力为 位于绳圈平面内，指向绳圈中心。这三个力都在经 线所在平面内，如图示（c）所示。将它们沿经线的切向和法向分 解，则切向力决定绳圈沿球面的运动。 解：（1）由力图（c）知：合张力沿经线切向分力为： 重力沿径线切向分力为： （2-2） 当绳圈在球面上平衡时，即切向合力为零。 （2-3） 由以上三式得 （2-4） 式中
由题设：。把这些数据代入（2-4）式得。于是。 （2）若时，C=2，而。此时（2-4）式变成 tgθ=2sinθ-1, 即 sinθ+cosθ=sin2θ, 平方后得。 在的范围内，上式无解，即此时在球面上不存在平衡位置。这时由于k值太小，绳圈在重力作用下，套过球体落在桌面上。 [例2]四个相同的球静止在光滑的球形碗内，它们的中心同在一水平面内，今以另一相同的球放以四球之上。若碗的半径大于球的半径k倍时，则四球将互相分离。试求k值。 分析：设每个球的质量为m，半径为r ，下面四个球的相互作用力为N，如图示（a）所示。 又设球形碗的半径为R，O' 为球形碗的球心，过下面四球的 球心联成的正方形的一条对角线 AB作铅直剖面。如图3（b）所示。 当系统平衡时，每个球所受的合 力为零。由于所有的接触都是光 滑的，所以作用在每一个球上的 力必通过该球球心。 上面的一个球在平衡时，其 重力与下面四个球对它的支力相平衡。由于分布是对称的，它们之间的相互作用力N， 大小相等以表示，方向均与铅垂线成角。
高中物理《竞赛辅导》力学部分 目录 ：力学中的三种力 【知识要点】 （一）重力 重力大小G=mg，方向竖直向下。一般来说，重力是万有引力的一个分力，静止在地球表面的物体，其万有引力的另一个分力充当物体随地球自转的向心力，但向心力极小。 （二）弹力 1．弹力产生在直接接触又发生非永久性形变的物体之间(或发生非永久性形变的物体一部分和另一部分之间)，两物体间的弹力的方向和接触面的法线方向平行，作用点在两物体的接触面上．2．弹力的方向确定要根据实际情况而定． 3．弹力的大小一般情况下不能计算，只能根据平衡法或动力学方法求得．但弹簧弹力的大小可用．f=kx(k 为弹簧劲度系数，x为弹簧的拉伸或压缩量)来计算． 在高考中，弹簧弹力的计算往往是一根弹簧，而竞赛中经常扩展到弹簧组．例如：当劲度系数分别为k1,k2,…的若干个弹簧串联使用时．等效弹簧的劲度系数的倒数为：，即弹簧变软；反之．若
以上弹簧并联使用时，弹簧的劲度系数为：k=k 1+…k n ，即弹簧变硬．(k=k 1+…k n 适用于所有并联弹簧的原长相等；弹簧原长不相等时，应具体考虑) 长为 的弹簧的劲度系数为k ，则剪去一半后，剩余 的弹簧的劲度系数为2k （三）摩擦力 1．摩擦力 一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。方向沿接触面的切线且阻碍物体间相对运动或相对运动趋势。 2．滑动摩擦力的大小由公式f=μN 计算。 3．静摩擦力的大小是可变化的，无特定计算式，一般根据物体运动性质和受力情况分析求解。其大小范围在0＜f≤f m 之间，式中f m 为最大静摩擦力，其值为f m =μs N ，这里μs 为最大静摩擦因数，一般情况下μs 略大于μ，在没有特别指明的情况下可以认为μs =μ。 4．摩擦角 将摩擦力f 和接触面对物体的正压力N 合成一个力F ，合力F 称为全反力。在滑动摩擦情况下定义tgφ=μ=f/N ，则角φ为滑动摩擦角；在静摩擦力达到临界状态时，定义tgφ0=μs =f m /N ，则称φ0为静摩擦角。由于静摩擦力f 0属于范围0＜f≤f m ，故接触面作用于物体的全反力同接触面法线 的夹角≤φ0，这就是判断物体不发生滑动的条件。换句话说，只要全反力的作用线落在（0，φ0）范围时，无穷大的力也不能推动木块，这种现象称为自锁。 本节主要内容是力学中常见三种力的性质。在竞赛中以弹力和摩擦力尤为重要，且易出错。弹力和摩擦力都是被动力，其大小和方向是不确定的，总是随物体运动性质变化而变化。弹力中特别注意轻绳、轻杆及胡克弹力特点；摩擦力方向总是与物体发生相对运动或相对运动趋势方向相反。另外很重要的一点是关于摩擦角的概念，及由摩擦角表述的物体平衡条件在竞赛中应用很多，充分利用摩擦角及几何知识的关系是处理有摩擦力存在平衡问题的一种典型方法。 【典型例题】 【例题1】如图所示，一质量为m 的小木块静止在滑动摩擦因数为μ=的水平面上，用一个与水平方 向成θ角度的力F 拉着小木块做匀速直线运动，当θ角为多大时力F 最小？ 【例题2】如图所示，有四块相同的滑块叠放起来置于水平桌面上，通过细绳和定滑轮相互联接起来.如果所有的接触面间的摩擦系数均为μ，每一滑块的质量均为 m ，不计滑轮的摩擦.那么要拉动最上面一块滑块至少需要多大的水平拉力?如果有n 块这样的滑块叠放起 来，那么要拉动最上面的滑块，至少需多大的拉力? 【例题3】如图所示，一质量为m=1㎏的小物块P 静止在倾角为θ=30°的斜面 上，用平行于斜面底边的力F=5N 推小物块，使小物块恰好在斜面上匀速运动，试求小物块与斜面间的滑 动摩擦因数（g 取10m/s 2 ）。 【练习】 1、如图所示，C 是水平地面，A 、B 是两个长方形物块，F 是作用在物块B 上沿水平方向的力，物块A 和B 以相同的速度作匀速直线运动，由此可知， A 、 B 间的滑动 θ F P θ F A B F C N F f m f 0 α φ
7.1简谐振动 一、简谐运动的定义 1、平衡位置：物体受合力为0的位置 2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力 3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反 F k x =- 二、简谐运动的性质 F kx =- ''mx kx =- 取试探解（解微分方程的一种重要方法） cos()x A t ω?=+ 代回微分方程得： 2m x kx ω-=- 解得： 22T π ω== 对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数 cos()x A t ω?=+ sin()v A t ωω?=-+ 2cos()a A t ωω?=-+ 由以上三个方程还可推导出： 222()v x A ω += 2a x ω=- 三、简谐运动的几何表述 一个做匀速圆周运动的物体在一条直径 上的投影所做的运动即为简谐运动。 因此ω叫做振动的角频率或圆频率， ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫 做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心 角，也叫做初相位。
四、常见的简谐运动 1、弹簧振子 (1)水平弹簧振子 (2)竖直弹簧振子 2、单摆（摆角很小） sin F mg mg θθ=-≈- x l θ≈ 因此： F k x =- 其中： mg k l = 周期为：222T π ω=== 例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？ 例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架 ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?
高中物理竞赛辅导 .（分）一质量为M的平顶小车，以速度0v沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。现将一质量为m的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的动摩擦系数为μ。 若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？ 若车顶长度符合问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？ .（分）在用铀作燃料的核反应堆中，铀核吸收一个动能约为eV的热中子（慢中子）后，可发生裂变反应，放出能量和～个快中子，而快中子不利于铀的裂变．为了能使裂变反应继续下去，需要将反应中放出的快中子减速。有一种减速的方法是使用石墨（碳）作减速剂．设中 子与碳原子的碰撞是对心弹性碰撞，问一个动能为 01.75MeV E=的快中子需要与静止的碳原子碰撞多少次，才能减速成为eV的热中子？
参考解答 . 物块放到小车上以后，由于摩擦力的作用，当以地面为参考系时，物块将从静止开始加速运动，而小车将做减速运动，若物块到达小车顶后缘时的速度恰好等于小车此时的速度，则物块就刚好不脱落。令v 表示此时的速度，在这个过程中，若以物块和小车为系统，因为水平方向未受外力，所以此方向上动量守恒，即 0()Mv m M v =+ （） 从能量来看，在上述过程中，物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功，即 2112 mv mg s μ= （） 其中1s 为物块移动的距离。小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功，即 22021122 Mv mv mgs μ-=- （）其中2s 为小车移动的距离。用l 表示车顶的最小长度，则 21l s s =- （）由以上四式，可解得 202() Mv l g m M μ=+ （） 即车顶的长度至少应为202()Mv l g m M μ=+。．由功能关系可知，摩擦力所做的功等于系统动量的增量，即 2201 1()22W m M v Mv =+- （）由（）、（）式可得
高中物理竞赛辅导讲义 第2篇 运动学 【知识梳理】 一、匀变速直线运动 二、运动的合成与分解 运动的合成包括位移、速度和加速度的合成，遵从矢量合成法则（平行四边形法则或三角形法则）。 我们一般把质点对地或对地面上静止物体的运动称为绝对运动，质点对运动参考照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动。以速度为例，这三种速度分别称为绝对速度、相对速度、牵连速度，则 v 绝对 = v 相对 + v 牵连 或 v 甲对乙 = v 甲对丙 + v 丙对乙 位移、加速度之间也存在类似关系。 三、物系相关速度 正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成知识外，还可充分利用物系相关速度之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用。 1．刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（速度投影定理）。 2．接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同。 3．线状交叉物系交叉点的速度，是相交物系双方运动速度沿双方切向分解后，在对方切向运动分速度的矢量和。 四、抛体运动： 1．平抛运动。 2．斜抛运动。 五、圆周运动： 1．匀速圆周运动。 2．变速圆周运动： 线速度的大小在不断改变的圆周运动叫变速圆周运动，它的角速度方向不变，大小在不断改变，它的加速度为a = a n + a τ，其中a n 为法向加速度，大小为2 n v a r =，方向指向圆心；a τ为切向加速度，大小为0lim t v a t τ?→?=?，方向指向切线方向。 六、一般的曲线运动 一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看做圆 周运动的一部分。在分析质点经过曲线上某位置的运动时，可 以采用圆周运动的分析方法来处理。对于一般的曲线运动，向心加速度为2n v a ρ =，ρ为点所在曲线处的曲率半径。 七、刚体的平动和绕定轴的转动 1．刚体 所谓刚体指在外力作用下，大小、形状等都保持不变的物体或组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动。刚体的任
运动学综合题 例1、如图所示，绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为R，放在与水平面成α角的光滑斜面上，当绳变为竖直方向时，圆 筒转动角速度为ω，(此时绳未松弛)，试求此刻圆筒与绳分离处A 的速度以及圆筒与斜面切点C的速度 例2、如图所示，湖中有一小岛A，A与直湖岸的距离为d,湖岸边有一点B，B沿湖岸方向与A点的距离为l．一人自B点出发，要到达A 点．已知他在岸上行走的速度为v1，在水中游泳的速度为v2，且v1>v2，要求他由B至A所用的时问最短，问此人应当如何选择其运动路线?
例3、一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠 子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质 小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及 与细杆摩擦皆可忽略不计），细杆与A在同一竖直平面 内．开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图所示，已 知，绳长为l，A点到杆的距离为h，绳能承受的最大 T，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断， 张力为 d 求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳子 之间无摩擦） 例4、在某铅垂面上有一光滑的直角三角形细管轨道，光滑小球从顶点A沿斜边轨道自静止出发自由滑到端点C所需时间恰好等于小球从A由静止出发自由地经B滑到C所需时间，如图所示．设AB为铅直轨道，转弯处速度大小不变，转弯时间忽略不计，在此直角三角形范围内可构建一系列如图中虚线所示的光滑轨道，每一轨道由若干铅直和水平的部分连接而成，各转弯处性质都和B点相同，各轨道均从A点出发到C点终止，且不越出△ABC的边界．试求小球在各条轨道中，从静止出发自由地由A到C所需时间的上限与下限之比值．
高中物理竞赛辅导讲义 第1篇 静力学 【知识梳理】 一、力和力矩 1．力与力系 （1）力：物体间的的相互作用 （2）力系：作用在物体上的一群力 ①共点力系 ②平行力系 ③力偶 2．重力和重心 （1）重力：地球对物体的引力（物体各部分所受引力的合力） （2）重心：重力的等效作用点（在地面附近重心与质心重合） 3．力矩 （1）力的作用线：力的方向所在的直线 （2）力臂：转动轴到力的作用线的距离 （3）力矩 ①大小：力矩=力×力臂，M =FL ②方向：右手螺旋法则确定。 右手握住转动轴，四指指向转动方向，母指指向就是力矩的方向。 ③矢量表达形式：M r F =? （矢量的叉乘），||||||sin M r F θ=? 。 4．力偶矩 （1）力偶：一对大小相等、方向相反但不共线的力。 （2）力偶臂：两力作用线间的距离。 （3）力偶矩：力和力偶臂的乘积。 二、物体平衡条件 1．共点力系作用下物体平衡条件： 合外力为零。 （1）直角坐标下的分量表示 ΣF ix = 0，ΣF iy = 0，ΣF iz = 0 （2）矢量表示 各个力矢量首尾相接必形成封闭折线。 （3）三力平衡特性 ①三力必共面、共点；②三个力矢量构成封闭三角形。 2．有固定转动轴物体的平衡条件：
3．一般物体的平衡条件： （1）合外力为零。 （2）合力矩为零。 4．摩擦角及其应用 （1）摩擦力 ①滑动摩擦力：f k = μk N（μk－动摩擦因数） ②静摩擦力：f s ≤μs N（μs－静摩擦因数） ③滑动摩擦力方向：与相对运动方向相反 （2）摩擦角：正压力与正压力和摩擦力的合力之间夹角。 ①滑动摩擦角：tanθk=μ ②最大静摩擦角：tanθsm=μ ③静摩擦角：θs≤θsm （3）自锁现象 三、平衡的种类 1．稳定平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使之回到平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡。2．不稳定平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使它的偏离继续增大，这样的平衡叫不稳定平衡。 3．随遇平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它能在新的位置上再次平衡，这样的平衡叫随遇平衡。 【例题选讲】 1．如图所示，两相同的光滑球分别用等长绳子悬于同一点，此两球同时又支撑着一个等重、等大的光滑球而处于平衡状态，求图中α（悬线与竖直线的夹角）与β（球心连线与竖直线的夹角）的关系。 面圆柱体不致分开，则圆弧曲面的半径R最大是多少？（所有摩擦均不计） R
原 子 物 理 自1897年发现电子并确认电子是原子的组成粒子以后，物理学的中心问题就是探索原子内部的奥秘，经过众多科学家的努力，逐步弄清了原子结构及其运动变化的规律并建立了描述分子、原子等微观系统运动规律的理论体系——量子力学。本章简单介绍一些关于原子和原子核的基本知识。 §1.1 原子 1．1．1、原子的核式结构 1897年，汤姆生通过对阴极射线的分析研究发现了电子，由此认识到原子也应该具有内部结构，而不是不可分的。1909年，卢瑟福和他的同事以α粒子轰击重金属箔，即α粒子的散射实验，发现绝大多数α粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进，但有少数发生偏转，并且有极少数偏转角超过了90°，有的甚至被弹回，偏转几乎达到180°。 1911年，卢瑟福为解释上述实验结果而提出了原子的核式结构学说，这个学说的内容是：在原子的中心有一个很小的核，叫原子核，原子的全部正电荷和几乎全部质量都集中在原子核里，带负电的电子在核外的空间里软核旋转，根据α粒子散射的实验数据可估计出原子核的大小应在10-14nm 以下。 1、1． 2、氢原子的玻尔理论 1、核式结论模型的局限性 通过实验建立起来的卢瑟福原子模型无疑是正确的，但它与经典论发生了严重的分歧。电子与核运动会产生与轨道旋转频率相同的电磁辐射，运动不停，辐射不止，原子能量单调减少，轨道半径缩短，旋转频率加快。由此可得两点结论： ①电子最终将落入核内，这表明原子是一个不稳定的系统； ②电子落入核内辐射频率连续变化的电磁波。原子是一个不稳定的系统显然与事实不符，实验所得原子光谱又为波长不连续分布的离散光谱。如此尖锐的矛盾，揭示着原子的运动不服从经典理论所表述的规律。 为解释原子的稳定性和原子光谱的离经叛道的离散性，玻尔于1913年以氢原子为研究对象提出了他的原子理论，虽然这是一个过渡性的理论，但为建立近代量子理论迈出了意义重大的一步。 2、玻尔理论的内容： 一、原子只能处于一条列不连续的能量状态中，在这些状态中原子是稳定的，电子虽做加速运动，但并不向外辐射能量，这些状态叫定态。 二、原子从一种定态（设能量为E 2）跃迁到另一种定态（设能量为E 1）时，它辐射或吸收一定频率的光子，光子的能量由这种定态的能量差决定，即 γh =E 2-E 1 三、氢原子中电子轨道量子优化条件：氢原子中，电子运动轨道的圆半径r 和运动初速率v 需满足下述关系： π2h n rmv =，n=1、2…… 其中m 为电子质量，h 为普朗克常量，这一条件表明，电子绕核的轨道半径是不连
牛顿运动定律 班级 姓名 1、一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB 边重 合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为1μ，盘与桌面间的动摩擦因数为2μ。现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB 边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么？(以g 表示重力加速度) 解：设圆盘的质量为m ，桌长为l ，在桌布从圆盘上抽出的过程中，盘的加速度为1a ，有 11`ma mg =μ ① 桌布抽出后，盘在桌面上作匀减速运动，以a 2表示加速度的大小，有 22`ma mg =μ ② 设盘刚离开桌布时的速度为v 1，移动的距离为x 1，离开桌布后在桌面上再运动距离 x 2后便停下，有 11212x a v = ③ 22212x a v = ④ 盘没有从桌面上掉下的条件是 122 1 x l x -≤ ⑤ 设桌布从盘下抽出所经历时间为t ，在这段时间内桌布移动的距离为x ，有 at x 21= ⑥ 21121 t a x = ⑦ 而 12 1 x l x += ⑧
由以上各式解得 g a 12 2 12μμμμ+≥ ⑨ 2、质量kg m 5.1=的物块（可视为质点）在水平恒力F 作用下，从水平面上A 点由静止 开始运动，运动一段距离撤去该力，物块继续滑行s t 0.2=停在B 点，已知A 、B 两点间的距离m s 0.5=，物块与水平面间的动摩擦因数20.0=μ，求恒力F 多大。（2 /10s m g =） 解：设撤去力F 前物块的位移为1s ，撤去力F 时物块速度为v ，物块受到的滑动摩擦力 mg F μ=1 对撤去力F 后物块滑动过程应用动量定理得mv t F -=-01 由运动学公式得t v s s 2 1=- 对物块运动的全过程应用动能定理011=-s F Fs 由以上各式得2 22gt s mgs F μμ-= 代入数据解得F=15N 3、如图所示，两个用轻线相连的位于光滑水平面上的物块，质量分别为 m 1和m 2，拉力F 1和F 2方向相反，与轻线沿同一水平直线，且F 1>F 2。试求在两个物块 运动 过程中轻线的拉力T 。 设两物质一起运动的加速度为a ，则有 a m m F F )(2121+=- ① 根据牛顿第二定律，对质量为m 1的物块有
微积分初步 一、微积分的基本概念 1、极限 极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式 0sin lim 1x x x →= *1lim 11x x x →∞??+= ??? 2、导数 当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。 0'lim x dy y y dx x ?→?==? 导数含义，简单来说就是y 随x 变化的变化率。 导数的几何意义是该点切线的斜率。 3、原函数和导函数 对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。 00()()'()lim lim x x y y x x y x y x x x ?→?→?+?-==?? 4、微分和积分 由原函数求导函数：微分 由导函数求原函数：积分 微分和积分互为逆运算。 例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数 （1）2y x = （2） (0)n y x n =≠ （3）sin y x = 二、微分 1、基本的求导公式 （1）()'0 ()C C =为常数 （2）()1' (0)n n x nx n -=≠ （3）()'x x e e = *（4）()'ln x x a a a = （5）()1ln 'x x = *（6）()1log 'ln a x x a =
（7）()sin 'cos x x = （8）()cos 'sin x x =- （9）()21tan 'cos x x = （10）()21cot 'sin x x = **（11）() arcsin 'x = **（12）()arccos 'x = **（13）()21arctan '1x x =+ **（14）()2 1arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则 设u =u (x )，v =v (x ) （1）()'''u v u v ±=± （2）()'''uv u v uv =+ （3）2'''u u v uv v v -??= ??? 例2、求y=tan x 的导数 3、复合函数求导 对于函数y =f (x )，可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)]，即y=f (u )，u =g (x ) 'dy dy du y dx du dx == 即：'''u x y y u = 例3、求28(12)y x =+的导数 例4、求ln tan y x =的导数 三、积分 1、基本的不定积分公式 下列各式中C 为积分常数 （1） ()kdx kx C k =+?为常数 （2）1 (1)1n n x x dx C n n +=+≠-+?
高中物理竞赛辅导讲义 第8篇 稳恒电流 【知识梳理】 一、基尔霍夫定律（适用于任何复杂电路） 1． 基尔霍夫第一定律（节点电流定律） 流入电路任一节点（三条以上支路汇合点）的电流强度之和等于流出该节点的电流强度之和。即∑I =0。 若某复杂电路有n 个节点，但只有（n ?1）个独立的方程式。 2． 基尔霍夫第二定律（回路电压定律） 对于电路中任一回路，沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零。即∑U =0。 若某复杂电路有m 个独立回路，就可写出m 个独立方程式。 二、等效电源定理 1． 等效电压源定理（戴维宁定理） 两端有源网络可以等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路端电压，其内阻等于从网络两端看除源（将电动势短路，内阻仍保留在网络中）网络的电阻。 2． 等效电流源定理（诺尔顿定理） 两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的电流I 0等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除源网络的电阻。 三、叠加原理 若电路中有多个电源，则通过电路中任一支路的电流等于各个电动势单独存在时，在该支路产生的电流之和（代数和）。 四、Y?△电路的等效代换 如图所示的（a ）（b ）分别为Y 网络和△网络，两个网络中的6个电阻满足一定关系 时完全等效。 1． Y 网络变换为△网络 12 2331 123 R R R R R R R R ++=， 122331 231R R R R R R R R ++= 122331 312 R R R R R R R R ++= 2． △网络变换为Y 网络 12311122331R R R R R R = ++，23122122331R R R R R R =++，3123 3122331 R R R R R R =++
运动定律 §3.1牛顿定律 3．1．1、牛顿第一定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。这是牛顿第一定律的容。牛顿第一定律是质点动力学的出发点。 物体保持静止状态或匀速直线运动状态的性质称为惯性。牛顿第一定律又称为惯性定律，惯性定律是物体的固有属性，可用质量来量度。 无论是静止还是匀速直线运动状态，其速度都是不变的。速度不变的运动也就是没有加速度的运动，所以物体如果不受到其他物体的作用，就作没有加速度的运动，牛顿第一定律指出了力是改变物体运动状态的原因。 牛顿第一定律只在一类特殊的参照系中成立，此参照系称为惯性参照系。简称惯性系。相对某一惯性系作匀速运动的参照系必定也是惯性系，牛顿第一定律不成立的参照系称为非惯性参照系，简称非惯性系，非惯性系相对惯性系必作变速运动，地球是较好的惯性系，太阳是精度更高的惯性系。 3．1．2．牛顿第二定律 (1)定律容：物体的加速度跟所受外力的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同 (2)数学表达式：ma F m F a ==∑∑或 (3)理解要点 ①牛顿第二定律不仅揭示了物体的加速度跟它所受的合外力之间的数量关系，而且揭示了加速度方向总与合外力的方向一致的矢量关系。在应用该定律处理物体在二维平面或三维空间中运动的问题，往往需要选择适当的坐标系，把它写成分量形式 x x ma F = ∑=ma F y y ma F = z z ma F = ②牛顿第二定律反映了力的瞬时作用规律。物体的加速度与它所受的合外力是时刻对应的，即物体所受合外力不论在大小还是方向上一旦发生变化，其加速度也一定同时发生相应的变化。 ③当物体受到几个力的作用时，每个力各自独立地使物体产生一个加速度，就如同其他力不存在—样；物体受几个力共同作用时，产生的加速度等于每个力单独作用时产生的加速度的矢量和，如图3-1-1示。这个结论称为力的独立作用原理。 ④牛顿第二定律阐述了物体的质量是惯性大小的量度，公式∑=a F m /反映了对同—物体，其所受合外跟它的加速度之比值是个常数，而对不同物体其比值不同，这个比值的大小就是物 体的质量，它是物体惯性大小量度，当合外力不变时，物体加速度跟其质量成反比，即质量 图3-1-1
运动定律 §牛顿定律 3．1．1、牛顿第一定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力 迫使它改变这种状态为止。这是牛顿第一定律的内容。牛顿第一定律是质 点动力学的出发点。 物体保持静止状态或匀速直线运动状态的性质称为惯性。牛顿第一定 律又称为惯性定律，惯性定律是物体的固有属性，可用质量来量度。 无论是静止还是匀速直线运动状态，其速度都是不变的。速度不变的运动也就是没有加速度的运动，所以物体如果不受到其他物体的作用，就作没有加速度的运动，牛顿第一定律指出了力是改变物体运动状态的原因。 牛顿第一定律只在一类特殊的参照系中成立，此参照系称为惯性参照系。简称惯性系。相对某一惯性系作匀速运动的参照系必定也是惯性系，牛顿第一定律不成立的参照系称为非惯性参照系，简称非惯性系，非惯性系相对惯性系必作变速运动，地球是较好的惯性系，太阳是精度更高的惯性系。 3．1．2．牛顿第二定律 (1)定律内容：物体的加速度跟所受外力的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同 (2)数学表达式： ma F m F a= =∑ ∑ 或 (3)理解要点 ①牛顿第二定律不仅揭示了物体的加速度跟它所受的合外力之间的数量关系，而且揭示了加速度方向总与合外力的方向一致的矢量关系。在应用该定律处理物体在二维平面或三维空间中运动的问题，往往需要选择适当的坐标系，把它写成分量形式 ②牛顿第二定律反映了力的瞬时作用规律。物体的加速度与它所受的合外力是时刻对应的，即物体所受合外力不论在大小还是方向上一旦发生变化，其加速度也一定同时发生相应的变化。 ③当物体受到几个力的作用时，每个力各自独立地使物体产生 一个加速度，就如同其他力不存在—样；物体受几个力共同作用时， 产生的加速度等于每个力单独作用时产生的加速度的矢量和，如图 3-1-1示。这个结论称为力的独立作用原理。 ④牛顿第二定律阐述了物体的质量是惯性大小的量度，公式 ∑ =a F m/ 反映了对同—物体，其所受合外跟它的加速度之比值 是个常数，而对不同物体其比值不同，这个比值的大小就是物体的质量，它是物体惯性大小量度，当合外力不变时，物体加速度跟其质量成反比，即质量越大，物体加速度越小，运动状态越难改变，惯性也就越大。 ⑤牛顿第二定律的数学表达式∑=ma F 定义了力的基本单位；牛顿（N）。因为， ∑ ∞m F a/ ， 故∑=kma F ，当定义使质量为1kg的物体产生 2 1s m 加速度的作用力为1N时，即1N= 2 1 1s m kg? 时，k=1。由于力的单位1N的规定使牛顿第二定律公式中的k=1，由此所产生的单位制即我们最常用的国际单位制。 ⑥在惯性参考系中，公式∑=ma F 中的ma不是一个单独的力，更不能称它是什么“加速力”， 它是一个效果力，只是在数值上等于物体所受的合外力。 ⑦对一个质点系而言，同样可以应用牛顿第二定律。 图3-1-1 图3-2-1
郑梁梅高级中学高一物理竞赛辅导讲义 第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心 【知识要点】 （一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。 （二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL ，单位“牛·米”。一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。 （三）有固定转轴物体的平衡条件 作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。 （四）重心：物体所受重力的作用点叫重心。 计算重心位置的方法： 1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。 2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。 3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m 1和m 2的A 、B 两质点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为： 212211m m x m x m x C ++= 212211m m y m y m y C ++= 一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系， 其重心C 位置由如下公式求得： i i i C m x m x ∑∑= i i i C m y m y ∑∑= i i i C m z m z ∑∑= 本节内容常用方法有：①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。 【典型例题】 【例题1】如图所示，光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球A 和B 两球之间连有弹簧，平衡时圆心O 与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为α和β，求两球质量之比。 y y y 12C α β A B O
1.4运动学综合题 例1、如图所示，绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为R，放在与水平面成α角的光滑斜面上，当绳变为竖直方向时，圆 筒转动角速度为ω，(此时绳未松弛)，试求此刻圆筒与绳分离处A 的速度以及圆筒与斜面切点C的速度 例2、如图所示，湖中有一小岛A，A与直湖岸的距离为d,湖岸边有一点B，B沿湖岸方向与A点的距离为l．一人自B点出发，要到达A 点．已知他在岸上行走的速度为v1，在水中游泳的速度为v2，且v1>v2，要求他由B至A所用的时问最短，问此人应当如何选择其运动路线?
例3、一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠 子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质 小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及 与细杆摩擦皆可忽略不计），细杆与A在同一竖直平面 内．开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图所示，已 知，绳长为l，A点到杆的距离为h，绳能承受的最大 T，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断， 张力为 d 求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳子 之间无摩擦） 例4、在某铅垂面上有一光滑的直角三角形细管轨道，光滑小球从顶点A沿斜边轨道自静止出发自由滑到端点C所需时间恰好等于小球从A由静止出发自由地经B滑到C所需时间，如图所示．设AB为铅直轨道，转弯处速度大小不变，转弯时间忽略不计，在此直角三角形范围内可构建一系列如图中虚线所示的光滑轨道，每一轨道由若干铅直和水平的部分连接而成，各转弯处性质都和B点相同，各轨道均从A点出发到C点终止，且不越出△ABC的边界．试求小球在各条轨道中，从静止出发自由地由A到C所需时间的上限与下限之比值．
高中物理竞赛辅导运动学 §2.1质点运动学的差不多概念 2．1．1、参照物和参照系 要准确确定质点的位置及其变化，必须事先选取另一个假定不动的物体作参照，那个被选的物体叫做参照物。为了定量地描述物体的运动需要在参照物上建立坐标，构成坐标 系。 通常选用直角坐标系O –xyz ，有时也采纳极坐标系。平面直角坐标系一样有三种，一种是两轴沿水平竖直方向，另 一是两轴沿平行与垂直斜面方向，第三是两轴沿曲线的切线和法线方向〔我们常把这种坐标称为自然坐标〕。 2．1．2、位矢 位移和路程 在直角坐标系中，质点的位置可用三个坐标x ，y ，z 表示，当质点运动时，它的坐标是时刻的函数 x=X 〔t 〕 y=Y 〔t 〕 z=Z 〔t 〕 这确实是质点的运动方程。 质点的位置也可用从坐标原点O 指向质点P 〔x 、y 、z 〕的有向线段r 来表示。如图2-1-1所示, 也是描述质点在空间中位置的物理量。的长度为质点到原点之间的距离，的方向由余弦αcos 、βcos 、γcos 决定,它们之间满足 1cos cos cos 222=++γβα 当质点运动时,其位矢的大小和方向也随时刻而变,可表示为r =r (t)。在直角坐标系中,设分不为、、沿方向x 、y 、z 和单位矢量，那么r 可表示为 t z t y t x t )()()()(++= 位矢与坐标原点的选择有关。 研究质点的运动，不仅要明白它的位置，还必须明白它 的位置的变化情形，假如质点从空间一点),,(1111z y x P 运动到另一点),,(2222z y x P ，相应的位矢由r 1 变到r 2，其改 变量为? z z y y x x r r )()()(12121212-+-+-=-=? 称为质点的位移，如图2-1-2所示，位移是矢量，它是 从初始位置指向终止位置的一个有向线段。它描写在一定时刻内质点位置变动的大小和方向。它与坐标原点的选择无关。 2．1．3、速度 平均速度 质点在一段时刻内通过的位移和所用的时刻之比叫做这段时刻内的平均速度 ) 2z y 图2-1-1
第五讲：运动的基本概念、运动的合成与分解 5、如图所示，有一河面宽L=1km ，河水由北向南流动，流速v=2m/s ，一人相对于河水以u=1m/s 的速率将船从西岸划向东岸。 （1）若船头与正北方向成α=30°角，船到达对岸要用多少时间？到达对岸时，船在下游何处？ （2）若要使船到达对岸的时间最短，船头应与岸成多大的角度？最短时间等于多少？到达对岸时，船在下游何处？ （3）若要使船相对于岸划行的路程最短，船头应与岸成多大的角度？到达对岸时，船在下游何处？要用多少时间？ （1）船头与正北方向成15°角，船到对岸花多少时间？何处？ （2 已知水流速度 V ＝2m/s ，船在静水中的速度是 V`＝S ＝1千米＝1000米 （1）当船头与正北方向成15°角时，把静水中的航速V`正交分解在平行河岸与垂直河岸方向， 垂直河岸方向的速度分量是 V`1＝V`*sin15°＝1.5*sin15°＝1.5*根号[(1－cos30°) / 2 ]＝0.388m/s 平行河岸方向的速度分量是 V`2＝V`*cos15°＝1.5*cos15°＝1.5*根号[(1＋cos30°) / 2 ]＝1.45m/s 船过河所用时间是 t1＝S / V`1＝1000 / 0.388＝2575.8秒＝42.93分钟 在沿河岸方向的总速度是 V 岸＝V －V`2＝2－1.45＝0.55 m/s 在这段时间内，船向下游运动距离是L1＝V 岸* t1＝0.55*2575.8＝1416.7米＝1.42千米 即船到达对岸的位置是在出发点的下游1.42千米远的对岸处。 （2）要求时间最短，船头的指向必须与河对岸垂直，即船头与河岸应90度。 最短时间是 t 短＝S / V`＝1000 / 1.5＝666.67秒＝11.11分钟 在这段时间内，船向下游运动的距离是 L ＝V* t 短＝2*666.67＝1333.33米＝1.33千米 即船到达对岸的位置是在出发点的下游1.33千米远的对岸处。 北 东
精心整理 电磁学 静电学 1、 静电场的性质 静电场是一个保守场，也是一个有源场。 F dl o ?=?高斯定理 静电力环路积分等于零i q E ds E ?= ∑?? E ∑过程x E =2、 （1,空解:(1)在空腔中任选一点p , p E 可以看成两个均匀带电球体产生的电场强度之差, 即()121 2 333p o o o E r r r r E E E ρ ρ ρ = - = - 令12a o o = 这个与p 在空腔中位置无关,所以空腔中心处23o o E a E ρ =
(2)求空腔中心处的电势 电势也满足叠加原理 p U 可以看成两个均匀带电球体产生电势之差 即()()()22222 2212123303666o o o o U R a R R R a E E E ρ ρ ρ??= -- -= --? ? 假设上面球面上,有两个无限小面原i j s s ,计算i s ,受到除了i s 上电荷之处,球 面上其它电荷对i s 的静电力,这个静电力包含了j s 上电荷对i s 上电荷的作用力. 同样j s 受到除了i s 上电荷以外, 这个力同样包含了i s 对j s 的作用力. 如果把这里的i j s s ,i j s s 之间的相互作用力相抵消。 出于这个想法，现在把上半球面分成无限小的面元，把每个面元上所受的静电力（除 去各自小面元）相加，其和就是下半球面上的电荷对上半球面上电荷的作用力。 求法2 2 222 2=f 224o o o R Q F R R E E R σππππ??=?== ??? 再观察下,静电力?o f = 例:()R R R +≤ : 2o E E σ σ = 表面 而且可以推广到一般的面电荷()σ 在此面上电场强度()121 2 E E E = +表面 例:一个半径为R,带电量为Q 的均匀带电球面,求上下两半球之间的静电力? 解:原则上,这个作用力是上半球面上的电荷受到来自下半球面的电荷产生的电场强 度的空间分布,对上半球面上各电荷作用力之和,由于下半球面上电荷所产生的电场强度分布,所以这样计较有困难. 例:求半径为R,带电量为Q 的均匀带电球面,外侧的静电场能量密度. 解:静电场(真空)能量密度21 2 o E E ω=
高中物理竞赛辅导讲义 第4篇 动量 【知识梳理】 一、动量p （1）定义：物体的质量m 与速度v 的乘积叫做物体的动量。即p =mv 。 （2）意义：描述物体的运动状态。 （3）性质：①矢量性：方向与速度方向相同。遵守平行四边形定则。 ②瞬时性：是状态量，与时刻相对应。 ③相对性：中学以地面为参考系。 （4）单位：kg ·m/s 。（导出单位） 二、冲量 （1）定义：力和力的作用时间的乘积叫冲量。即I =Ft 。 （2）意义：力对时间的积累效果。 （3）性质：①矢量性：方向与力的方向相同。遵守平行四边形定则。 ②时间性：是过程量，与一段“时间”相对应。 ③绝对性：与参考系无关。 （4）单位：Ns 。（导出单位） 三、动量定理 （1）内容：物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化。Ft =Δp 。 （2）推导：F ma =，21v v at -= （3）注意：①Ft 是合外力的冲量或总冲量。 ②等式两边都是矢量，等式反映“冲量和动量变化大小相等，方向相同”。 ③适用于低速运动的宏观物体与高速运动的微观粒子。 （4）用动量表示牛顿第二定律：物体动量的变化率等于它受到的合外力。p F t ?= ?。 四、动量守恒定律 1．内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变。这就是动量守恒定律。 2．推导：用动量定理和牛顿第三定律推导 1111v m v m t F -'=?；2222v m v m t F -'='?；F F -='；22112211v m v m v m v m +='+'。 3．理解： （1）守恒条件：系统不受外力或所受外力的合力为零。要区分内力和外力。 （2）守恒含义：任一时刻系统总动量相同，不只是初末状态相同。 （3）系统性：指系统的总动量守恒，不是系统内每个物体的动量守恒。每个物体的动量可以发生很大的变化。 （4）相对性：各物体的动量，都是同一惯性参考系（一般以地面为参考系）。