高二数学期中模拟卷1

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高二数学上学期期中模拟卷1

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 若k可以取任意实数，则方程x2+ky2=1所表示的曲线不可能是( )

A. 直线

B. 圆

C. 椭圆或双曲线

D. 抛物线

2. 已知双曲线C1:x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)的离心率为2，若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐

近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )

A. x2=8√3

3y B. x2=16√3

3

y C. x2=8y D. x2=16y

3. 抛物线x=1

m y2的准线与双曲线x2

12

?y2

4

=1的右准线重合，则m的值是( )

A. ?8

B. ?12

C. 4

D. 16

4. 若圆(x?3)2+(y+5)2=r2上有且仅有两个点到直线4x?3y?2=0的距离为1，则半径r的取值范围是( )

A. (4,6)

B. [4,6)

C. (4,6]

D. [4,6]

5. 设sin(π

4+θ)=1

3

，则sin2θ=( )

A. ?7

9B. ?1

9

C. 1

9

D. 7

9

6. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情

况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )

A. 7

B. 15

C. 25

D. 35

7. 直线x+y?1=0被圆x2+y2?2x?2y?6=0所截得的线段的中点坐标是( )

A. (1

2,1

2

) B. (0,0) C. (1

4

,3

4

) D. (3

4

,1

4

)

8. 在△ABC中，∠A=30°，AB=√3，BC=1，则△ABC的面积等于( )

A. √3

2B. √3

4

C. √3

2

或√3 D. √3

2

或√3

4

9. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )

A. 若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β

B. 若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n

C. 若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n

D. 若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β

10. 一个正方体的棱长为2，其顶点在同一个球面上，则此球的表面积为( )

A. 12π

B. 8π

C. 4π

D. 3√3π

11. 抛物线y2=?12x的准线与双曲线x2

9?y2

3

=1的两条渐近线所围成的三角形面积等于( )

A. 3√3

B. 2√3

C. 2

D. √3

12. 已知a>b>0，椭圆C1的方程为x2

a2+y2

b2

=1，双曲线C2的方程为x2

a2

?y2

b2

=1，C1与C2的离心率之积为√3

2

，

则C2的渐近线方程为( )

A. x±√2y=0

B. √2x±y=0

C. x±2y=0

D. 2x±y=0

二、填空题（共4小题；共20分）

13. 若 A (0,2,19

8)，B (1,?1,5

8)，C (?2,1,5

8) 是平面 α 内的三点，设平面 α 的法向量 a ?=(x,y,z )，则

x:y:z = ．

14. 已知点 A ，B ，C 的坐标分别为 (0,1,0)，(?1,0,?1)，(2,1,1)，点 P 的坐标是 (x,0,y )，若 PA ⊥ 平面 ABC ，则

点 P 的坐标是 ．

15. 设 O 为坐标原点，向量 OA ??????=(1,2,3)，OB ??????=(2,1,2)，OP

??????=(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，则当 QA ???????QB ?????? 取得最小值时，点 Q 的坐标为 ．

16. 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为 F 1、F 2，且它们在第一象限的交

点为 P ，△PF 1F 2 是以 PF 1 为底边的等腰三角形．若 ∣PF 1∣=10，双曲线的离心率的取值范围为 (1,2)．则该椭圆的离心率的取值范围是 ．

三、解答题（共6小题；共70分）

17. 如表是某位文科生连续 5 次月考的历史、政治的成绩，结果如下：

月份

9

101112

1

历史(x 分)7981838587政治(y 分)7779798283

参考公式：b ^=i ?x )(i ?y )n

i=1∑(x ?x )2

n =i i ?nx?y

n

i=1∑x 2?nx

2n a ^=y ?b ^x ，x ，y 表示样本均值． （1）求该生 5 次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；

（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量 x ，y 的线性回归方程．

18. 如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC =BC =EB =2DC =4，∠ACB =90°，P ，Q 分别为 AE ，AB 的中点．

（1）证明：PQ∥平面ACD；

（2）求异面直线AB与DE所成角的余弦值；

（3）求平面ACD与平面ABE所成锐二面角的大小．

19. 已知曲线C：y=x2

2，D为直线y=?1

2

上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．

（1）证明：直线AB过定点；

（2）若以E(0,5

2

)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．

20. 已知点A(?√3,0)和B(√3,0)，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2，记点C的轨迹为W．

（1）求轨迹W的方程；

（2）设W与直线y=x?2交于两点D，E，求线段DE的长度．

21. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知2√2(sin2A?sin2C)=(a?b)sinB，△ABC的外接圆

半径为√2 .

（1）求角C；

（2）求△ABC的面积的最大值.

22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴

的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x?1)2+y2=4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1．已知DF1=5

2

．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求点E的坐标．

答案

第一部分 1. D 2. D 3. B 4. A 5. A

【解析】将 sin (π4

+θ)=13

展开可得 sinθ+cosθ=√2

3

，再平方即可求得 sin2θ=?7

9

．

6. B

【解析】青年职工、中年职工和老年职工三层比为 7:5:3，设样本容量为 n ，则由 n ×715

=7 可得 n =15．

7. A 【解析】设所截线段中点的坐标为 (x,?x +1)，此中点与圆心的连线垂直于直线 x +y ?1=0，所以 x

1?x =1，解得 x =1

2，故中点坐标为 (12.1

2)

8. D

【解析】由余弦定理的推论知 cosA =

AB 2+AC 2?BC 2

2AB?AC

，代入各数值整理，得 AC 2?3AC +2=0，

解得 AC =2 或 AC =1，

由三角形的面积公式得 S =12

AB ?AC ?sinA ， 从而得 S =√32 或 √3

4

． 9. C

10. A 11. A

12. A 【解析】依题意得 √a 2?b 2

a

×

√a 2+b 2

a

=

√3

2，解得 b a

=√2

．

第二部分 13. 2:3:(?4)

【解析】由题意知 AB ??????=(1,?3,?74),AC ??????=(?2,?1,?74

)，由 a ??AB ??????=0,a ??AC ??????=0，得 {x ?3y ?7

4z =0,

?2x ?y ?7

z =0,

化简得

{x =23y,

z =?43

y,

故 x:y:z =2

3y:y:(?4

3y)=2:3:(?4)．

14. (?1,0,2)

【解析】PA

??????=(?x,1,?y )，AB ??????=(?1,?1,?1)，AC ??????=(2,0,1)， 因为 PA ⊥ 平面 ABC ，所以 PA

??????⊥AB ??????，PA ??????⊥AC ??????， 即 PA

???????AB ??????=x +y ?1=0，PA ???????AC ??????=?2x ?y =0， 所以 x =?1，y =2，故 P 点的坐标是 (?1,0,2)．

15. (43,43,8

3

)

【解析】设 OQ

???????=tOP ??????=(t,t,2t )，则有 QA

??????=(1?t,2?t,3?2t ),QB

??????=(2?t,1?t,2?2t ),

从而

QA ???????QB

??????=2(1?t )(2?t )+(3?2t )(2?2t )

=6(t ?43)2?2

3

,

所以当 t =43

，即 Q 的坐标为 (43,43,8

3

) 时，QA

???????QB ?????? 最小． 16. (13,2

5

)

【解析】设椭圆的半长轴长，半焦距分别为 a 1、c ，双曲线的半实轴长，半焦距分别为 a 2、c ，∣PF 1∣=m ，∣PF 2∣=n ，则

{m +n =2a 1,m ?n =2a 2,m =10,n =2c,

解得

{a 1=5+c,a 2=5?c,

由题意，得

1<

c

5?c

<2, 解得

52

. 双曲线的离心率为

c 5+c =c +5?5c +5=1?5c +5

. 由 5

2

103

，即得

13

. 第三部分

17. （1） 根据题意，计算 x =15×(79+81+83+85+87)=83，y =1

5×(77+79+79+82+83)=80，

所以政治成绩的方差为 s y 2

=1

5×[(77?80)2+(79?80)2+(79?80)2+(82?80)2+(83?80)2]=4.8． （2） 计算 ∑(x i ?x )(y i ?y )5i=1=30，∑(x i ?x )25i=1=40， 所以回归系数为 b ^=i ?x )(i ?y )n

i=1∑(x ?x )2n =30

40

=0.75， a ^=y ?b

^x =80?0.75×83=17.75， 故所求的线性回归方程为 y ^=0.75x +17.75． 18. （1） 因为 P ，Q 分别是 AE ，AB 的中点， 所以 PQ ∥BE ，

又因为 DC ∥BE ，所以 PQ ∥DC ， 又 PQ ?平面ACD ，DC ?平面ACD ， 所以 PQ ∥平面ACD ．

（2） 因为 DC ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，

以点 C 为坐标原点，分别以 CD

??????，CA ??????，CB ?????? 的方向为 x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．

则得 C (0,0,0)，A (0,4,0)，B (0,0,4)，D (2,0,0)，E (4,0,4)， 所以 AB ??????=(0,?4,4)，DE ??????=(2,0,4)， 所以

cos?AB

??????,DE ???????=AB ???????DE ??????∣∣AB ??????∣∣∣∣DE ??????∣∣=0×2+(?4)×0+4×4√02

+

(?4)2

+42

?√22

+02

+42

=

√10

5

,

所以异面直线 AB 与 DE 所成角的余弦值为

√10

5

； （3） 由（2）可知 AB ??????=(0,?4,4)，AE ??????=(4,?4,4)，该平面 ABE 的法向量为 n ??=(x,y,z )，则 {

n ???AB

??????=0,n ???AE ??????=0,

{?4y +4z =0,4x ?4y +4z =0, 所以令 y =1，n ??=(0,1,1)， 由已知可得平面 ACD 的一个法向量为 CB

??????=(0,0,4)， 所以 cos?n ??,CB ???????=n ???CB ??????∣∣n ??∣∣∣

∣CB ??????∣

∣=√22

， 所以平面 ACD 与平面 ABE 所成锐二面角的大小为 45°．

19. （1） 设 D (t,?1

2

)，A (x 1,y 1)，则 x 12=2y 1．

由于 y?=x ，所以切线 DA 的斜率为 x 1，故 y 1+

12

x 1?t

=x 1．

整理得 2tx 1?2y 1+1=0．

设 B (x 2,y 2)，同理可得 2tx 2?2y 2+1=0． 故直线 AB 的方程为 2tx ?2y +1=0． 所以直线 AB 过定点 (0,1

2)．

（2） 由（1）得直线 AB 的方程为 y =tx +1

2．

由 {y =tx +1

2,y =

x 2

2

可得 x 2?2tx ?1=0． 于是 x 1+x 2=2t ，y 1+y 2=t (x 1+x 2)+1=2t 2+1． 设 M 为线段 AB 的中点，则 M (t,t 2+1

2

)．

由于 EM

???????⊥AB ??????，而 EM ???????=(t,t 2?2)，AB ?????? 与向量 (1,t ) 平行， 所以 t +(t 2?2)t =0，解得 t =0 或 t =±1．

当 t =0 时，∣∣EM ???????∣∣=2，所求圆的方程为 x 2+(y ?52

)2

=4；

当 t =±1 时，∣∣EM ???????∣∣=√2，所求圆的方程为 x 2

+(y ?52)2=2．

20. （1） 设 C (x,y )，则 ∣∣CA ∣?∣CB ∣∣=2，

所以点 C 的轨迹 W 为双曲线 x 2

a 2?y 2

b 2=1(a >0,b >0)， 且 2a =2，2

c =∣AB ∣=2√3， 则 a =1，b 2=c 2?a 2=2， 所以轨迹 W 的方程为 x 2?

y 22=1．

（2） 由 {x 2?y 2

2=1,

y =x ?2 得 x 2+4x ?6=0． 因为 Δ>0，

所以直线与双曲线有两个交点， 设 D (x 1,y 1)，E (x 2,y 2)，

则 x 1=?2+√10，x 2=?2?√10，y 1=?4+√10，y 2=?4?√10， 故 ∣DE ∣=√(x 1?x 2)2+(y 1?y 2)2=4√5．

21. （1） 因为 2√2(sin 2A ?sin 2C )=(a ?b )sinB ，且外接圆半径为 √2 ，所以 a =2√2sinA ，b =2√2sinB ，c =2√2sinC .代入上式消去 sinA ，sinB 和 sinC ，得 a 2?c 2=(a ?b )b ，即 a 2+b 2?c 2=ab . 由余弦定理，得 cosC =

a 2+

b 2?

c 2

2ab

=12

.

因为 0

（2） △ABC 的面积为 S =1

2absinC =2√3sinAsinB .因为 C =60°， 所以 A +B =120°，B =120°?A ，所以 S

=2√3sinAsin (120°?A )=2√3sinA (√3

2cosA +1

2sinA)=3sinAcosA +√3sin 2A =32sin2A +√3?1?cos2A 2=3

2sin2A ?

√32cos2A +√32=√3sin (2A ?π6)+√3

2

.

因此，当 2A ?π

6=π2，

即 A =π

3 时，S 取到最大值

3√3

2

. 22. （1） 设椭圆 C 的焦距为 2c ．

因为 F 1(?1,0)，F 2(1,0)，所以 F 1F 2=2，c =1． 又因为 DF 1=5

2

，AF 2⊥x 轴，

所以 DF 2=√DF 12?F 1F 22

=√(52)2

?22=3

2，

因此 2a =DF 1+DF 2=4，从而 a =2．由 b 2=a 2?c 2，得 b 2=3． 因此，椭圆 C 的标准方程为 x 24

+

y 23

=1．

（2） 解法一： 由（1）知，椭圆 C ：x 2

4+

y 23=1，a =2，

因为 AF 2⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为 1．

将 x =1 代入圆 F 2 的方程 (x ?1)2+y 2=16，解得 y =±4． 因为点 A 在 x 轴上方，所以 A (1,4)．

又 F 1(?1,0)，所以直线 AF 1：y =2x +2．

由 {y =2x +2,(x ?1)2+y 2=16 得 5x 2+6x ?11=0，解得 x =1 或 x =?115． 将 x =?11

5 代入 y =2x +2，得 y =?12

5，因此 B (?115

,?12

5)．

又 F 2(1,0)，所以直线 BF 2：y =3

4(x ?1)．

由 {y =3

4(x ?1),x 24+y 23=1 得 7x 2?6x ?13=0，解得 x =?1 或 x =137

．

又因为 E 是线段 BF 2 与椭圆的交点，所以 x =?1． 将 x =?1 代入 y =3

4(x ?1)，得 y =?3

2 .因此 E (?1,?3

2) . 解法二：

由（1）知，椭圆 C ：x 2

4+y 23

=1．

如图，连接 EF 1．

因为 BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以 EF 1=EB ，从而 ∠BF 1E =∠B ． 因为 F 2A =F 2B ，所以 ∠A =∠B ，所以 ∠A =∠BF 1E ，从而 EF 1∥F 2A ． 因为 AF 2⊥x 轴，所以 EF 1⊥x 轴．

因为 F 1(?1,0)，由 {x =?1,x 24

+y 23=1 得 y =±3

2．

又因为 E 是线段 BF 2 与椭圆的交点，所以 y =?3

2．

)．因此E(?1,?3

2