第八节 曲线与方程
[
最新考纲]
[考情分析]
[核心素养] 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
主要考查轨迹方程的求法，多在解答题中考查.
1.数学建模
2.数学运算
‖知识梳理‖
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：
(1)1这个方程的解．
(2)2曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条3方程的曲线．
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点
设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即
为方程组?
????F 1（x ，y ）＝0，
F 2（x ，y ）＝0的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( ) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× 二、走进教材
2．(选修2－1P 37A 2改编)已知M (－1，0)，N (1，0)，|PM |－|PN |＝2，则动点P 的轨迹是( )
A ．双曲线
B ．双曲线左支
C ．一条射线
D ．双曲线右支
答案：C
3．(选修2－1P 37A 1改编)已知A (－2，0)，B (1，0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则点P 的轨迹方程是________．
答案：(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0) 三、易错自纠
4．已知M (－2，0)，N (2，0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为( )
A ．x 2＋y 2＝2
B ．x 2＋y 2＝4
C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)
D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)
解析：选D MN 的中点为原点O ，易知|OP |＝1
2|MN |＝2，∴P 的轨迹是以原点O 为圆心，
2为半径的圆，除去与x 轴的两个交点，即P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)，故选D ．
5．设定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9
a (a >0)，则点P 的轨
迹是________．
解析：∵a ＋9
a
≥2
a ·9
a
＝6(a >0)，当且仅当a ＝3时，取等号， ∴当a ＝3时，a ＋9
a ＝6，此时|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，
P 点的轨迹为线段F 1F 2；
当a ≠3，a >0时，|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|， 由椭圆定义知P 点的轨迹为椭圆． 答案：椭圆或线段F 1F 2
考点 直接法求轨迹方程
|题组突破|
1．已知点F (0，1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →
，则动点P 的轨迹C 的方程为( )
A ．x 2＝4y
B ．y 2＝3x
C ．x 2＝2y
D ．y 2＝4x
解析：选A 设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． ∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，
∴(0，y ＋1)·(－x ，2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .
2．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－1
3
，则动点P 的轨迹方程为____________．
解析：因为点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称， 所以点B 的坐标为(1，－1)．
设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－1
3，
化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．
故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)． 答案：x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)
3．已知△ABC 的顶点B (0，0)，C (5，0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为____________．
解析：设A (x ，y )，由题意可知，D ????
x 2，y 2. ∵|CD |＝3，∴????x 2－52
＋????y
22
＝9， 即(x －10)2＋y 2＝36， 由于A ，B ，C 三点不共线， ∴点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，
∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)． 答案：(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) ?名师点津
利用直接法求轨迹方程的方法及注意点
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简．
(2)运用直接法应注意的问题
①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．
②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．
考点一 定义法求轨迹方程——变式探究
【例1】 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．求曲线C 的方程．
[解] 由已知得，圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.
设动圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R . 因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，
所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4>|MN |＝2.
由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 2
3
＝1(x ≠－2)．
|变式探究|
1．将本例的条件“动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切”改为“动圆P 与圆M 、圆N 都外切”，则圆心P 的轨迹方程为________．
解析：由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2
＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R ，因为圆P 与圆M ，N 都外切，所以|PM |－|PN |＝(R ＋r 1)－(R ＋r 2)＝r 1－r 2＝－2，即|PN |－|PM |＝2，又|MN |＝2，所以点P 的轨迹方程为y ＝0(x <－2)．
答案：y ＝0(x <－2)
2．把本例中圆M 的方程换为(x ＋3)2＋y 2＝1，圆N 的方程换为(x －3)2＋y 2＝1，则圆心P 的轨迹方程为________．
解析：由已知条件可知圆M 和N 外离，所以|PM |＝1＋R ，|PN |＝R －1，故|PM |－|PN |＝(1＋R )－(R －1)＝2<|MN |＝6，由双曲线的定义知点P 的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 2－
y 28
＝1(x >1)．
答案：x 2－
y 2
8
＝1(x >1)
3．在本例中，若动圆P 过圆N 的圆心，并且与直线x ＝－1相切，则圆心P 的轨迹方程为________．
解析：由于点P 到定点N (1，0)和定直线x ＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以N (1，0)为焦点，以x 轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y 2＝4x .
答案：y 2＝4x ?名师点津
定义法求曲线方程的两种策略
(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．
(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解．
考点二 相关点（代入）法求轨迹方程
【例2】 (2019届安阳调研)如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2，1 ＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为椭圆 C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程． [解] 设点M 的坐标为(x ，y )，由椭圆C 2：x 29＋y 2 ＝1， 知A 1(－3，0)，A 2(3，0)， 设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由两曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 则直线AA 1的方程为y ＝y 0 x 0＋3(x ＋3)， ① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0 x 0－3(x －3)． ② 由①②相乘得 y 2＝ －y 20 x 2 0－9 (x 2－9)． ③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上， 故 y 2 0＝1－x 209 .④ 将④代入③得x 29 －y 2 ＝1(x <－3，y <0)． 因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2 ＝1(x <－3，y <0)． ?名师点津 代入法求轨迹方程的4步骤 考点 轨迹方程的创新应用问题 【例】 如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．椭圆 D ．双曲线的一支 [解析] 母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB 与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，如图所示，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆，故选C ． [答案] C ?名师点津 轨迹方程求法常与立体几何、正、余弦定理、新定义问题等交汇考查，求解时注意轨迹问题的完备性、纯粹性． |跟踪训练| 若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x 2＋y 2＝9 C ．x 225＋y 2 9 ＝1 D ．x 2＝16y 解析：选B ∵M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8， ∴M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为x2 16－y2 9 ＝1. A项，直线x＋y＝5过点(5，0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意； B项，x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意； C项，x2 25＋y2 9 ＝1的右顶点为(5，0)，故椭圆x2 25 ＋y2 9 ＝1与M的轨迹有交点，满足题意； D项，把x2＝16y代入x2 16－y2 9 ＝1，可得y－y2 9 ＝1， 即y2－9y＋9＝0，Δ＝92－4×9＝45>0，故x2＝16y与M的轨迹有交点，满足题意．
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