”课作业
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1.
A. C. 、选择题
函数y =T^的定义域是(
)
lg x {x |0 v x v 2} {x |0 v x < 2}
B . D.
{x |0 v x v 1 或 1 v x v 2} {x |0 v x v 1 或 1 v x < 2} 2 — x >0
解析： 要使函数有意义只需要 x > 0
lg x ^0
解得 0v x v 1 或 1v x <2,
???定义域为{x |0 v x v 1 或 1v x <2}. 答案： D
2.设 a = lg e , b = (lg e) 2, c = lg e ,则( A. a >b >c
C. c >a >b
B
.
D. ) a > c > b c > b > a
1
解析： ■/ 0 v lg e v 1 ,? lg e >^lg e > (lg e)
??? a > c > b.
答案： B
3.若函数y = f (x )是函数y = a x ( a > 0,且a * 1)的反函数，其图象经过点 (士，a )，则 f (x )=()
A. log 2x 1
C. log 歹
D.
1 1
解析： 由题意 f (x ) = log a
x , ? a = log a a ^
2'
1
? f (x ) = log 尹 答案： C
4.已知0v log a 2v log b 2，贝U a 、b 的关系是 A. 0v a v b v 1 C. b >a > 1
( B . D. )
0v b v a v 1 a > b > 1
1 1
解析：由已知得，0<亍< 硏？ log 2a >log 2b > o.
? a > b > 1. 答案： D
2 一 x
5.函数y = log 2 的图象(
)
2 + x A.关于原点对称 C.关于y 轴对称
B .关于直线y =— x 对称
D.关于直线y = x 对称
解析： T f (x ) = log
2— x
2
2 + x ，
2 — x
—log 2
2 + x ?- f ( — x ) = log 2 2 2 — x J 2 + x
? f ( — x ) =— f (x ) , ? f (x )是奇函数.故选 答案： A
A.
log 2X , x > 0,
6. (2020 ?天津卷)设函数f (x ) = 1 log 2 — x , x v 0,
若 f (a ) > f ( — a )，则实 数a 的取值范围是( ) A. ( — 1,0) U (0,1) C. ( — 1,0) U (1 ,+s ) 解析： 若a >0，则由f (a ) >f (— a )得 B . (—s, — 1) U (1 ,+s) D. ( —s, — 1) U (0,1) 1
log 2a > log ，=—log 2a ，即 log 2a >0, ? a > 1. 1 若 a v 0,则由 f (a ) > f ( — a )得 log 2( — a ) > log 2( — a ), 即一log 2( — a ) > log 2( — a ), --log 2( — a ) v 0,.. 0 v — a v 1，即一1 v a v 0. 综上可知，—1 v a v 0或a > 1. 答案： C 二、填空题
则g g 1
解析： 1
1
g 2 = ln
2 v 0, 1 1
1 1
? g g 2 =g l n 2
=eln 2= 2.
e x , x < 0,
7
.设 g(x) = ln x , x >0,
答案：1
&函数y = log 3(x 2 — 2x )的单调减区间是 ______________ .
2
解析： 令 u =x — 2x ，则 y = log 3U .
T y = log 3U 是增函数，u = x 2— 2x > 0的减区间是(一
s, 0),
2
??? y = log 3(x — 2x )的减区间是(一s, 0).
答案： (—s, 0) 3 x <0
9.已知函数f (x )=
，则使函数f (x )的图象位于直线 y = 1上方的x
log 2X x > 0
解析： 当 x <0 时，由 3x +1
> 1,得 x + 1>0，即 x >— 1. 的取值范围是 __________ . 当 x >0 时，由 log 2x > 1,得 x > 2. ? x 的取值范围是{x | — 1 v x <0或x >2}. 答案： {x | — 1 v x <0 或 x > 2} 三、解答题 10.已知 f (x ) = log a ( a x — 1)( a >0,且 a * 1). (1) 求f (x )的定义域； (2) 讨论函数f (x )的单调性. x
x
解析： (1)由 a — 1 >0,得 a > 1.当 a > 1 时，x >0； 当 0v
a v 1 时，x v 0.
???当a > 1时，f (x )的定义域为(0,+s )； 当0v a v 1时，f (x )的定义域为(一s, 0).
(2)当 a > 1 时，设 0v x 1 v X 2,贝U 1 v ax 1< ax 2, 故 0 v ax 1 — 1 v ax 2 — 1,
? log a ( ax 1 — 1) v log a ( ax 2— 1),
? ?? f(X 1) v f (X 2),
故当a > 1时，f (x )在(0,+^)上是增函数.
类似地，当0v a v 1时，f (x )在(—a, 0)上为增函数.
11. 已知f (x ) = log a x (a > 0且1),如果对于任意的 x €
试求a 的取值范围? 解析：
■/ f (x ) = log a x , 则yT f (x )|的图象如右图.
1
由图示，要使x € 3, 2时恒有|f (x )| w 1,
1
a
3w 1， — 1
即 log a a —
1 w log a §w log a a ,
—1
1 亦当a > 1时，得a w 3W a ,即a >3；
3
— 1
1 当 0v a v 1 时，得 a —
1 >3》a ,得 0v a w-.
3
3 1
综上所述，a 的取值范围是 0, 3 U [3 ,+a ).
12. 已知函数 f (x ) = log 4(ax 2+ 2x + 3). (1) 若f (1) = 1,求f (x )的单调区间；
(2) 是否存在实数a ,使f (x )的最小值为0?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理 由.
解析：(1) ??? f(1) = 1,
?- log 4( a + 5) = 1，因此 a + 5 = 4, a =— 1, 这时 f (x ) = log 4( — x + 2x + 3).
由— x + 2x + 3 > 0 得一1 v x v 3，函数定义域为(一1,3). 令 g (x ) =— x + 2x + 3.
则g (x )在(—a, 1)上递增，在(1 ,+a )上递减， 又y = log 4x 在(0，+a )上递增，
所以f (x )的单调递增区间是(一1,1)，递减区间是(1,3).
(2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，贝U h (x ) = ax 2 + 2x + 3应有最小值1,因此应
a > 0,
1
有12a — 4
解得a =;.
--------- =1 2 4a '，
1
故存在实数a = §使f (x )的最小值等于0.
1
, 2都有|f (x )| wi 成立,
J L ?-1 *
° TF 1
2 3
即—1 w log