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数学分析中的级数展开在数学分析中，级数展开是一种重要的数学工具，用于将一个函数表示为无穷级数的形式。
级数展开在数学和物理学中有广泛的应用，可以帮助我们理解函数的性质和行为。
本文将介绍级数展开的基本概念、常见的级数展开方法以及一些实际应用。
一、级数展开的基本概念级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，即将函数表示为一系列项的和。
通常情况下，我们希望将一个函数展开成幂级数的形式，即形如∑an(x-a)n的级数。
其中，an是系数，x是变量，a是展开点。
二、常见的级数展开方法1. 泰勒级数展开泰勒级数展开是最常见的级数展开方法之一。
它将一个函数在某个展开点附近展开成幂级数的形式。
泰勒级数展开的公式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)2/2! + f'''(a)(x-a)3/3! + ...2. 麦克劳林级数展开麦克劳林级数展开是泰勒级数展开的一种特殊情况，展开点为0。
麦克劳林级数展开的公式为：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x2/2! + f'''(0)x3/3! + ...3. 幂级数展开幂级数展开是将一个函数展开成幂级数的形式，不限于泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
幂级数展开的公式为：f(x) = ∑an(x-a)n三、级数展开的实际应用级数展开在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 函数逼近级数展开可以将一个复杂的函数逼近为一个简单的级数，从而方便计算和分析。
例如，利用泰勒级数展开可以将一个非线性函数逼近为一个多项式函数，从而简化计算。
2. 解析几何级数展开在解析几何中有重要的应用。
例如，利用幂级数展开可以将一个复杂的曲线或曲面表示为一系列简单的项的和，从而方便研究其性质和行为。
3. 物理学级数展开在物理学中有广泛的应用。
常用收敛级数
下面是一些常用的收敛级数（convergent series）的示例：
1.几何级数（Geometric series）：格式：a + ar + ar^2 + ar^3 + ...
收敛条件：当|r| < 1时，级数收敛。
示例：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 是一个收敛的几何级数，其和为2。
2.调和级数（Harmonic series）：格式：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
收敛条件：该级数发散，不收敛。
3.自然对数级数（Natural logarithm series）：格式：1 + 1/2 + 1/3
+ 1/4 + ... 收敛条件：该级数发散，不收敛。
4.幂级数（Power series）：格式：a + bx + cx^2 + dx^3 + ... 收
敛条件：收敛范围依赖于幂级数的具体形式和系数。
5.三角函数级数（Trigonometric series）：格式：a0 + a1cos(x) +
b1sin(x) + a2cos(2x) + b2sin(2x) + ... 收敛条件：收敛范围依赖于三角函数级数的具体形式和系数。
这只是一些常见的收敛级数的示例，还有其他许多不同形式和类型的级数，每个级数都有自己特定的收敛条件和求和方法。
级数的收敛性是数学分析中的一个重要概念，对于理解数学和应用领域中的计算和估计都具有重要意义。
级数收敛的概念级数是无穷多个数相加得到的一种数列。
级数收敛的概念是指当无穷个数相加后，得到一个有限的结果。
在数学中，级数是一个重要的概念，应用广泛，特别是在数学分析、实分析、微积分和数论等领域。
我们知道，数列是有限或无限个数按照一定规律排列的序列。
如果数列中的项随着项数的增加而趋近于某个常数或无穷大，那么我们说这个数列是收敛的。
类似地，级数也可以是收敛的或发散的。
一个级数的部分和是指级数中有限个项相加得到的结果。
令Sn表示级数的第n 个部分和，如果这个数列{Sn}收敛，那么我们称这个级数是收敛的，反之称为发散的。
现在我们来具体讨论级数收敛的一些概念和性质。
1. 数列极限：级数中的每一项都可以看作数列中的一个项，因此级数的收敛与数列的极限是密切相关的。
如果数列的极限存在，那么级数也有可能收敛。
2. 部分和：级数的部分和是前n项之和，用Sn表示。
如果部分和Sn存在有限极限，即lim(n→∞)Sn = S，那么我们称级数的和为S，级数是收敛的。
其中，S称为级数的和或总和，也记作S = ∑(从n=1到∞)an。
3. Cauchy收敛准则：一个级数收敛的充分必要条件是它满足Cauchy准则。
一个序列{Un}是Cauchy序列，当且仅当对于任意的ε> 0，存在正整数N，使得当n > m > N时，有Un - Um < ε。
当级数的部分和序列满足这个准则时，我们才能说这个级数是收敛的。
4. 绝对收敛：如果一个级数的每一项的绝对值之和收敛，那么我们称这个级数是绝对收敛的。
5. 条件收敛：一个级数收敛，但是其每一项的绝对值之和发散，那么我们称这个级数是条件收敛的。
6. 收敛级数的性质：如果一个级数收敛，那么它的部分和序列是有界的。
此外，如果级数收敛，那么它的所有子序列也收敛，并且它们的极限都相同。
7. 终极法则：如果一个级数的每一项的绝对值不超过另一个级数的相应项的绝对值，那么如果后者绝对收敛，那么前者也绝对收敛；如果后者发散，那么前者也发散。
级数的重要结论级数是数学中重要的概念之一，它在数学分析、概率论、统计学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍级数的重要结论，包括级数的收敛性、级数和的性质、级数的运算等内容。
一、级数的收敛性级数的收敛性是指级数的部分和是否趋于一个有限的极限。
对于级数∑an来说，如果存在一个实数L，使得对任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，有|Sn-L|<ε，其中Sn表示前n项的部分和，则称级数收敛于L，记作∑an=L。
1. 收敛级数的性质：如果级数∑an收敛，则它的任意子级数也收敛，并且收敛于相同的极限。
2. 收敛级数的必要条件：如果级数∑an收敛，则必有lim(n→∞)an=0。
3. 收敛级数的比较判别法：设∑an和∑bn是两个级数，如果存在正整数N，使得当n>N时，有|an|≤|bn|，则有以下结论：a) 如果∑bn收敛，则∑an也收敛；b) 如果∑an发散，则∑bn也发散。
二、级数和的性质级数和是指级数的所有项相加得到的结果。
对于级数∑an来说，级数和可以是有限的也可以是无限的。
1. 级数和存在的条件：如果级数∑an收敛，则级数和存在。
2. 级数和的唯一性：如果级数∑an收敛，则级数和是唯一的。
3. 改变级数前有限项不改变级数和：如果级数∑an收敛，则级数∑bn也收敛，并且它们的级数和相同，其中bn=an（n>N）。
三、级数的运算级数的运算包括级数的加法、减法、乘法和除法。
1. 级数的加法：如果级数∑an和∑bn都收敛，则它们的和级数∑(an+bn)也收敛，并且有以下结论：a) (∑an+∑bn)=∑(an+bn)b) (∑an+∑bn)的级数和等于∑an的级数和加上∑bn的级数和。
2. 级数的减法：如果级数∑an和∑bn都收敛，则它们的差级数∑(an-bn)也收敛，并且有以下结论：a) (∑an-∑bn)=∑(an-bn)b) (∑an-∑bn)的级数和等于∑an的级数和减去∑bn的级数和。
级数发散和收敛的定义
级数是指将一列数按照特定顺序相加得到的数列。
对于级数的收敛和发散有以下定义：
1. 收敛：如果级数的部分和数列有一个有限的极限，即存在一个实数L，使得当级数的项数趋近无穷大时，部分和趋近于L，则称该级数为收敛的。
数学上可以表示为：级数的部分和数列{Sn}存在有限极限L，即lim(n→∞)Sn=L。
2. 发散：如果级数的部分和数列不存在有限的极限，即当级数的项数趋近无穷大时，部分和趋向于无穷大或无穷小，则称该级数为发散的。
需要注意的是，对于发散的级数，有时也可以给出其无穷大或无穷小的性质，比如无穷大级数可以是正无穷大或负无穷大级数；而无穷小级数可以是正无穷小或负无穷小级数。
级数和函数级数和函数是数学中的两个重要概念，二者的关系十分密切。
在这篇文章中，我将分步骤阐述级数和函数的含义，以及它们之间的联系。
一、级数级数是数学中的一种数列求和形式。
它由一系列实数或复数按照一定的规律相加组成。
形式化地，级数可以表示成以下形式：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n+...$$其中 $a_n$ 是第 $n$ 个数。
当级数的和存在时，称其为可和级数；否则称其为发散级数。
二、函数函数是数学中最基本的概念之一。
它是一种将输入值映射为输出值的映射关系。
形式化地，函数可以表示成以下形式：$$f:X\rightarrow Y$$其中 $X$ 表示输入值的集合，$Y$ 表示输出值的集合。
函数$f$ 将 $X$ 中的每个元素映射到唯一的一个 $Y$ 中元素，我们通常用 $y=f(x)$ 表示 $x$ 在 $f$ 中的映射。
其中，$x$ 称为自变量，$y$ 称为因变量。
三、级数和函数的关系在某些情况下，级数和函数之间会建立起映射关系。
具体地说，当一个级数的部分和数列 $\{S_n\}$ 收敛于一个实数 $S$ 时，我们可以定义其和函数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，其中 $x$ 是定义域中的变量。
这里需要特别注意的是，和函数在定义时必须指定其定义域，否则该函数可能不存在。
显然，和函数的值取决于级数 $a_n$ 是否收敛，以及收敛的值是多少。
例如，当级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ 收敛时，我们可以定义 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$，其中 $x$ 属于定义域。
这里的定义域可以是任意区间，但不能包含 $0$，因为级数在 $x=0$ 处发散。
需要指出的是，并不是所有的级数都可以建立起对应的函数关系。
例如，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n$ 的部分和数列$\{S_n\}$ 不收敛，所以我们不能定义其和函数。
级数和的定义级数是数学中重要的概念，它描述了无限个数的和。
在实际问题中，级数经常用于物理、工程、经济等领域的建模和计算。
本文将介绍级数和的定义以及与之相关的概念和定理。
首先，我们来定义级数。
级数是由无穷个数的和所组成的表达式，通常表示为∑(n=1 to ∞) a_n ，其中a_n是数列的第n个元素。
例如，∑(n=1 to ∞) 1/n 就是一个级数，每一项都是数列1/1, 1/2, 1/3, ...中的元素。
接下来，我们将介绍级数和的计算方法。
对于某个级数∑(n=1 to ∞) a_n，存在以下三种情况：1. 收敛：如果级数的和存在有限的极限L，则称该级数收敛，记为∑(n=1 to ∞) a_n = L。
在计算级数和时，我们通常使用部分和的概念。
级数的第n个部分和记为S_n，它表示级数前n 个数的和。
当n趋向于无穷大时，如果S_n趋向于一个有限的值L，则级数收敛，并且∑(n=1 to ∞) a_n = L。
2. 发散：如果级数的和不存在有限的极限，则称该级数发散。
这意味着无论我们取的n多大，级数的部分和都没有一个有限的极限值。
3. 不收敛也不发散：有些级数既不收敛也不发散。
这些级数没有定义一个有限的极限值，同时也没有无限地趋向于正无穷或负无穷。
这种情况下，级数的和是没有定义的。
在计算级数和时，有一些常用的方法和技巧，例如：1. 等比级数求和公式：对于等比数列 a, ar, ar^2, ar^3, ... ，如果0 < r < 1，则等比级数∑(n=0 to ∞) ar^n = a / (1 - r)。
例如，∑(n=0 to ∞) (1/2)^n = 1 / (1 - 1/2) = 2。
2. 绝对收敛与条件收敛：对于级数来说，我们可以讨论其所有项的绝对值之和，即∑(n=1 to ∞) |a_n|。
如果这个绝对值级数收敛，则称原级数绝对收敛。
如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称原级数条件收敛。
数学中的数列与级数在数学中，数列与级数是非常重要和常见的概念。
数列是一系列按照一定规律排列的数字的集合，而级数则是将一个数列中的所有项相加得到的结果。
本文将具体探讨数列和级数的定义、性质以及应用。
一、数列的定义与性质数列是按照一定规律排列的一组数字的集合。
一般来说，数列可以用公式表示，如an=a1+(n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差。
数列的性质包括有界性、单调性和有限项性质。
有界性指的是数列是否有上界或下界。
如果数列中的所有项都小于某个数M，则称该数列具有上界M；反之，如果数列中的所有项都大于某个数N，则称该数列具有下界N。
单调性指的是数列的项之间是否满足递增或递减的关系。
如果数列的每一项都大于前一项，则称该数列是递增数列；反之，如果数列的每一项都小于前一项，则称该数列是递减数列。
有限项性质指的是数列中项的个数是否有限。
如果数列只有有限个项，则称该数列是有限数列；反之，如果数列有无穷多项，则称该数列是无限数列。
二、数列的应用数列在数学中有着广泛的应用，尤其在各个分支领域中起着重要的作用。
1. 几何数列与等比数列几何数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项的比称为公比，通常用q表示。
几何数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。
几何数列的应用十分广泛，例如在复利、人口增长模型、物理中的等比数列等方面都有应用。
2. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前两项的和。
斐波那契数列以其特殊的规律性而闻名，常用于自然界现象的描述，如植物的生长、蜂巢的排列、兔子繁殖等。
3. 调和级数调和级数是将数列的所有项求倒数并相加得到的级数。
调和级数在数学分析中扮演重要的角色，例如在极限理论和级数收敛性的研究中都有应用。
三、级数的定义与性质级数是将数列中的所有项相加得到的结果。
对于一个数列{an}，级数用符号∑(n=1到∞)an表示。
级数的收敛-概述说明以及解释1.引言1.1 概述级数是数学中非常重要的概念之一。
它是无穷个数相加的结果。
对于一个给定的级数，我们关心的是它是否收敛，即是否存在一个有限的和。
若级数的和为有限值，则称其为收敛级数；若级数的和为无穷大或无穷小，则称其为发散级数。
级数的研究与应用广泛存在于数学的各个领域，如数学分析、物理学、工程学等。
在实际问题中，级数的收敛性质有助于我们对数值计算的理解和掌握。
同时，级数的收敛性也与解析函数、无穷级数、数列极限等数学概念存在密切的联系，因此具有很高的研究价值。
本文主要围绕级数的收敛展开讨论，旨在介绍级数的基本概念、性质以及判定方法。
首先，我们将介绍级数的定义和基本性质，包括级数的收敛和发散的判定条件以及级数的线性运算法则。
接着，我们将详细介绍常用的判定级数收敛的方法，如比较判别法、比值判别法和根值判别法等。
最后，我们将探讨级数在实际问题中的应用，例如级数的近似计算和级数在物理问题中的应用等。
通过本文的学习，读者将能够掌握级数收敛的基本概念和判定方法，进一步理解数学中的级数概念，并能够应用所学知识解决相关问题。
同时，我们也将思考级数收敛的一些深层次问题，并展望级数收敛领域的未来研究方向。
总之，级数的收敛是数学中的重要概念之一，具有广泛的应用价值和研究意义。
本文将以系统而全面的方式介绍级数的收敛性质和判定方法，希望能够为读者提供一定的参考和帮助。
1.2文章结构文章结构主要包括以下几个部分：1. 引子：对级数的收敛进行简要说明2. 正文：详细介绍级数的定义和基本性质、收敛级数的判定方法以及收敛级数的应用3. 结论：总结级数的收敛的重要性，对于级数收敛的思考，以及展望级数收敛的未来研究方向在正文部分中，我们将会详细讨论级数的定义和基本性质，包括级数的概念、无穷级数的收敛性和发散性判定等内容。
然后，我们会介绍收敛级数的判定方法，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法等。
数列与级数的收敛性与计算数列与级数是数学中重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨数列与级数的收敛性以及如何计算它们。
一、数列的收敛性数列是由一系列有序的数按照一定的规律排列而成的。
数列的收敛性是指数列是否有一个有限的极限值。
如果数列有一个有限的极限值，我们称其为收敛数列；如果数列没有有限的极限值，我们称其为发散数列。
那么，如何判断一个数列是否收敛呢？有几种常见的方法可以判断数列的收敛性。
1. 极限定义法：根据极限的定义，如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，数列的绝对值与极限值之差小于ε，那么这个数列就是收敛的。
举个例子，考虑数列an = 1/n。
我们要判断这个数列是否收敛。
根据极限定义，对于任意给定的正数ε，我们要找到一个正整数N，使得当n>N时，|an - 0| < ε。
显然，当n > 1/ε时，这个不等式成立。
所以，根据极限定义，这个数列收敛于0。
2. 递推关系法：对于一些特定的数列，我们可以通过递推关系来判断其收敛性。
递推关系是指数列中后一项与前一项之间的关系。
例如，斐波那契数列是一个经典的递推关系数列，其定义为：F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n > 1）。
通过观察可以发现，斐波那契数列是一个收敛数列。
3. 收敛准则法：数列的收敛性还可以通过一些特定的收敛准则来判断。
常见的收敛准则有单调有界准则、夹逼准则等。
单调有界准则是指如果数列是递增且有上界（或递减且有下界），那么这个数列就是收敛的。
夹逼准则是指如果数列an ≤ bn ≤ cn，且an和cn都收敛于同一个极限L，那么数列bn也收敛于L。
二、级数的收敛性级数是由数列的和构成的数列。
级数的收敛性是指级数的部分和是否有一个有限的极限值。
如果级数的部分和有一个有限的极限值，我们称其为收敛级数；如果级数的部分和没有有限的极限值，我们称其为发散级数。
与级数相关的重要结论一、级数的定义和性质级数是指由无穷多个数按照一定的规律相加而得到的数列。
级数的和可以是有限的，也可以是无限的。
在级数的研究中，有一些重要的结论需要我们了解。
二、调和级数的性质调和级数是指由倒数构成的级数，即1+1/2+1/3+1/4+...。
调和级数的和是无穷大的，也就是说它发散。
这个结论可以通过比较判别法证明。
当n趋向于无穷大时，分母趋近于无穷大，而分子始终是1，所以调和级数的和无限增加。
三、几何级数的性质几何级数是指由等比数列构成的级数，即a+ar+ar^2+ar^3+...。
其中，a是首项，r是公比。
几何级数的和可以通过公式S=a/(1-r)来计算。
当|r|小于1时，几何级数的和是有限的；当|r|大于等于1时，几何级数的和是无穷大的。
这个结论可以通过公比小于1时的求和公式推导得到。
四、收敛级数的性质收敛级数是指级数的和是有限的情况。
对于收敛级数，有以下几个重要的结论：1. 收敛级数的子级数也是收敛的。
如果一个级数收敛，那么它的任意一个子级数也收敛。
这个结论可以通过级数的收敛性质和柯西收敛准则来证明。
2. 收敛级数的和与项的排列顺序无关。
对于一个收敛级数，可以通过改变项的排列顺序得到一个新的级数，但它们的和是相等的。
这个结论可以通过级数的绝对收敛性和条件收敛性来证明。
3. 收敛级数的和与级数的分解顺序无关。
对于一个收敛级数，可以通过将其分解成多个部分进行求和，而不改变每个部分的次序，得到一个新的级数，但它们的和是相等的。
这个结论可以通过级数的柯西积分准则来证明。
五、绝对收敛级数的性质绝对收敛级数是指级数的绝对值构成的级数收敛的情况。
对于绝对收敛级数，有以下几个重要的结论：1. 绝对收敛级数的任意一项的绝对值都小于它的和。
对于一个绝对收敛级数，它的任意一项的绝对值都小于等于它的和。
这个结论可以通过级数的性质和绝对收敛级数的定义来证明。
2. 绝对收敛级数的任意一项可以通过求和公式来估计。
第六章 级数理论§1 数项级数I 基本概念一 数项级数及其敛散性定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式++++n u u u 21 （1）称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为∑∞=1n nu，其中n u 称为数项（1）的通项． 数项级数（1）的前n 项之和，记为∑==nk kn uS 1，称之为（1）的前n 项部分和，简称为部分和．定义2 若级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称级数（1）收敛，并称S 为（1）的和，记为∑∞==1n nuS ．若{}n S 是发散数列，则称级数（1）发散．二 收敛级数的基本性质1 收敛级数的柯西收敛准则级数（1）收敛的充要条件是：0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，+∈∀Z p ，有ε<++++++p n n n u u u 21．2 级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n na收敛，则0lim =∞→n n a ．3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性．4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数亦如此），即收敛级数满足结合律．5 若级数适当加括号后发散，则原级数发散．6 在级数中，若不改变级数中各项的位置，只把符号相同的项加括号组成一新级数，则两级数具有相同的敛散性．7 线性运算性质 若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv都收敛，d c ,是常数，则()∑∞=+1n n ndv cu收敛，且()∑∑∑∞=∞=∞=±=±111n n n n n n nv d u c dv cu．三 正项级数收敛性判别法1 正项级数∑∞=1n nu收敛的充要条件是部分和数列{}n S 有界．2 比较判别法 设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv是两个正项级数，若存在正整数N ，当N n >时，都有n n v u ≤，则（1）若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu收敛； （2）若∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nv发散．3 比较原则的极限形式 设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv是两个正项级数，且l v u nnn =∞→lim，则（1）当+∞<<l 0时，∑∞=1n nu和∑∞=1n nv具有相同的敛散性； （2）当0=l 时，若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu收敛； （3）当+∞=l 时，若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu发散．4 设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 是两个正项级数，且0>∃N ，N n >∀，有nn n n b b a a 11++≤，则 （1）若∑∞=1n nb收敛，则∑∞=1n na收敛； （2）若∑∞=1n na发散，则∑∞=1n nb发散．5 比式判别法（达朗贝尔判别法） 设∑∞=1n nu是正项级数，若00>∃N 及常数0>q ，有（1）当0N n >时，11<≤+q a a n n ，则级数∑∞=1n n u 收敛； （2）当0N n >时，11≥+n n a a ，则∑∞=1n n u 发散． 6 比式判别法极限形式 设∑∞=1n nu为正项级数，且q u u nn n =+∞→1lim，则（1）当1<q 时，∑∞=1n nu收敛；（2）当1>q 若+∞=q 时，∑∞=1n nu发散；（3）当1=q 时失效．当比式极限不存在时，我们有 设∑∞=1n nu为正项级数．（1）若1lim 1<=+∞→q u u n n n ，则级数收敛；（2）若1lim1>=+∞→q u u nn n ，则级数发散．7 根式判别法（柯西判别法） 设∑∞=1n nu为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数l ，（1）若对一切0N n >，成立不等式1<≤l u n n ，则级数∑∞=1n nu收敛；（2）若对一切0N n >，成立不等式1≥nn u ，则级数∑∞=1n n u 发散．8 根式判别法极限形式 设∑∞=1n nu为正项级数，且l u n n n =∞→lim ，则（1）当1<l 时级数收敛； （2）当1>l 时级数发散． 9 柯西积分判别法设f 为[)∞+,1上非负递减函数，那么正项级数()∑∞=1n n f 与反常积分()⎰∞+1dx x f 同时收敛或同时发散．10 拉贝判别法 设∑∞=1n nu为正项级数，且存在某正整数0N 及常数r ，（1）若对一切0N n >，成立不等式111>≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+r u u n n n ，则级数∑∞=1n n u 收敛；（2）若对一切0N n >，成立不等式111≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+n n u u n ，则级数∑∞=1n n u 发散．注 拉贝判别法中（1）111>≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+r u u n n n 可转化为n ru u n n -≤+11，1>r 收敛；（2）r u u n n n ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11可转化为n ru u nn -≥+11，1≤r 发散． 11 拉贝判别法极限形式 若r u u n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→11lim ，则有 （1）当1>r 时，∑∞=1n nu收敛； （2）当1<r 时，∑∞=1n nu发散．四 一般项级数1 莱布尼兹判别法 若交错级数()∑∞=--111n n n u ，0>n u ，满足下列两个条件：（1）数列{}n u 单减； （2）0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n nu收敛．注 若交错级数()∑∞=--111n n n u 满足莱布尼兹判别法，则其余项()x R n 满足()1+≤n n u x R ．2 绝对收敛级数及其性质 定义 对于级数∑∞=1n nu，若∑∞=1n nu收敛，则称∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1n nu收敛，而∑∞=1n nu发散，则称∑∞=1n nu是条件收敛的． 显然，若∑∞=1n nu绝对收敛，则∑∞=1n nu一定收敛，反之不真．绝对收敛级数的性质： （1）重排性：若∑∞=1n nu绝对收敛，其和为S ，则任意重排后所得级数亦绝对收敛，且有相同的和数．此说明：绝对收敛级数满足交换律．对于条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于任何事先指定的数（Riemann ）． （2）级数的乘积 若∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，其和分别为A 和B ，则其乘积∑∞=1n n u ∑∞=⋅1n nv按任意方式排列所得的级数也绝对收敛，且其和为AB （柯西定理）．乘积的排列方式通常有两种：正方形和对角线法．3 一般级数收敛判别法一般级数除应用前面正项级数方法判定其绝对收敛以外，莱布尼兹判别法和下面的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法则是判定其可能条件收敛的主要方法．（1）狄利克雷判别法 若数列{}n a 单减收敛于零，∑∞=1n nb的部分和数列有界，则级数nn n ba ∑∞=1收敛．注 莱布尼兹判别法是狄利克雷判别法的特例，Abel 判别法亦可由狄利克雷判别法推证． （2）阿贝尔判别法：若数列{}n a 单调有界，∑∞=1n nb收敛，则级数nn n ba ∑∞=1收敛．五、常用于比较判别法的已知级数（1）几何级数∑∞=1n nq，1<q 收敛，1≥q 发散；（2）-p 级数∑∞=11n pn，1>p 时收敛，1≤p 发散； （3）()∑∞=2ln 1n pn n ，1>p 时收敛，1≤p 发散．II 例题选解一 级数敛散性判别例1 讨论下列级数的敛散性． （1）∑∞=+111n nx，0>x ；（2）∑∞=1sinn nx，R x ∈． 解（1）10<<x ，0→nx ，0111≠→+nx ，发散； 1=x 时，02111≠→+nx，发散； 1>x 时，nnx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛<+111，∑∞=11n n x 收敛，故∑∞=+111n n x收敛． （2）当0=x 时收敛，当0≠x 时，发散．例2 已知∑∞=12n na收敛．（1）判定()∑∞=+-1211n n n n a 的敛散性；（2）证明：∑∞=2ln n n nn a 收敛．（武汉大学）解（1）()222221112111n a n a n a n nn+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+⋅-，∑∞=12n n a 与∑∞=121n n 均收敛，从而原级数收敛（绝对收敛）．（2）仿（1），由五（3）知其收敛． 例3 判断下列级数的敛散性． （1）∑∞=+-1)]11ln(1[n n n ；（东北师大） （2）∑++++-)]!1!21!111([n e ；（东北师大） （3）∑∞=142sin3n n n ； （4）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1cos 1n pn π，（0>p ）（5）∑∞=1!n n n nn a （e a a ≠>,0）；（6）()∑∞=--+11312n n n ；（7）∑∞=->-+111)0()2(n nna a a ；（8）∑⎰∞=+14411n n dxx ；（9）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---21111n n n n ； （10）()()∑∞=+2ln ln 1n n n n n ； （11）∑∞=3ln n p n n（0>p ）；（12）()()∑∞=++11ln 11n pn n （0>p ）；（1=p 为大连理工）（13）()∑∞=+++1!2!!2!1n n n ； （14）()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+111ln n p n n （0>p ）； （15）()()∑∞=⋅-11!!2!!12n n n n ；（16）()∑∞=1ln ln 1n nn ；（17）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-2ln 1n nn n p （0>p ）； （18）()()()∑∞=+++12111n nnx x x x （0≥x ）； （19）()∑∞=+-⋅-+211ln 1n p n n n n （0>p ）；（20）()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛++-110310021n nnn n ；（21）()()∑∞=-+-211n n n n ； （22）∑∞=1cos n pn nx（π<<x 0）； （23） +---+--+-+2222222222； （24）()[]∑∞=-11n n n；（25）()()∑∞=2ln ln ln 1n qp n n n ；（大连理工1998） （26）∑∞=+-11n nn n；（中科院2002）（27）∑-nnnarctan )1(（北京大学1999）．解（1）由于)(1ln ln 1)1ln(1)]11ln(1[111∞→→++-=+-=+-=∑∑∑===n c n nn k n k k k S nk n k nk n ，其中c 为欧拉常数，所以级数收敛．（2）由于++++=++++-<)!2(1)!1(1)!1!21!111(e 0n n n ))3)(2)(1(1)2)(1(111(!1 +++++++++=n n n n n n n 22)!1(2))3)(2(1)2)(1(111(!1n n n n n n n n <+=++++++++< ， 由比较原则知其收敛．（3）24342sin 3→⎪⎭⎫⎝⎛nnn ⇒ 收敛； （4）21021~cos 12≤<⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-p n n ppππ发散，21>p 收敛；（5）()()e a n n a n n a n n a nnn n n →⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⋅++⋅++1!1!111e a <<⇒0收敛，e a >发散； （6）()131312<→-+n n n⇒收敛；或()()∑∑∑∞=-∞=∞=--+=-+111113131232n nn n n n n n ，收敛；或()1131312--≤-+n nn ，收敛；（此乃正项级数）（7）220222121211)ln 2()(lim )21()(lim )21()2(lim a x a a n a a n a a x x x nnn nnn =-=-=-+-+→-∞→-∞→⇒收敛； 注：利用xa 的Maclaurin 展开式估计分子的阶．（8）204421110nxdx dx x a n n n =≤+=<⎰⎰⇒ 收敛；（9）()nn n nn n n n n n -=--=---111111=n n -231⇒收敛； 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n o n n n n n n 11111111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=23231111n o n n n⇒⎪⎭⎫⎝⎛+=---=2323111111n o n n n n a n （∞→n ）∑∞=⇒1n n a 收敛； （10）()()()()n en n n n nn n nnnnnln ln 1ln 11ln ln ln ln +⋅=+=+， 而()01ln ln →+⋅nn n ，从而上式极限为零，⇒收敛；（11）当10≤<p 时，nn n p 1ln ≥（3>n ）⇒发散； 当1>p 时，()()21211ln 1ln --+⋅=p p p n nn n n ，当n 充分大时， ()1ln 21<-p n n ⇒ ()2111ln -+≤p p n n n ⇒收敛． 或当1>p 时，0ln 1ln 1ln 121<-=⋅-⋅='⎪⎭⎫⎝⎛+-p p p p p x x p x xpx x x x x （3>x ），即单减．由柯西积分判别法知原级数收敛．（12）()()()p n n n u 1ln 11++=单减，故可用柯西积分判别法，令()()()1ln 11++=x x x f p，1≥x ，易知当1=p 时，()⎰∞+1dx x f 发散，10<<p 时亦发散，而1>p 时收敛．（13）()()()2121!2!!2!!2!1+≤⋅≤+++n n n n n n （3≥n ）⇒收敛； （14）由泰勒公式（皮亚诺余项形式）得：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+p p n p n p n n o n n n 221121111ln ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅--=p p p nn o n n 2211211，当1>p 绝对收敛，121≤<p 条件收敛，210≤<p 发散．注 能否利用()()p n p n n n 1~11ln -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⇒()∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+111ln n p n n 收敛？（此法仅用于正项级数）． （15）()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋅++=⋅-+⋅++=+1112211122121!!2!!1211!!22!!121n n n n n n nn n n n n a a n n()⎪⎭⎫⎝⎛+++-=+++-=11123112112312n o n n n 由拉贝判别法知其收敛．（16）+∞→n ln ，则当n 较大时，2ln e n >，()()2ln 2ln 11ln 1n en n n =<⇒收敛； （17）根式判别法失效．先估计它的阶，⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n p n n n e n n p u ln 1ln ln 1，n npn n p ln ~ln 1ln -⎪⎭⎫ ⎝⎛-（∞→n ）， 从而可以估计pn n u -~，于是可讨论n pp n u n nu =的极限，为此()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→∞→n n p n n p n n p n u n n npn n p n ln 1ln ln lim ln 1ln lim ln lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-∞→n n p n p n n n 1ln 1ln 1ln 11lim 1 ()[]x px x px xx ln ln 1ln 1lim 0-+=→ ()0ln 1ln ln lim 220=++-=→x px x x x x p x 故1lim =∞→n pn u n ，p n n u -~，所以当1>p 时收敛，当1≤p 时发散．（18）当0=x 时级数显然收敛；当10<<x 时，nn x u <，故收敛；当1=x 时，nn u ⎪⎭⎫⎝⎛=21，收敛；当1>x 时，()()()112111111--<+<+++=n n n n n x x x x x x u ，收敛． （19）()()())(12121~1112∞→⋅=++=-+n n nn n n n p p p p p ， )(2~12~121ln 11ln ∞→-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-n n n n n n ， 所以，211121~p p n na +-⋅-)(∞→n ，由此易得：0>p 时收敛，0≤p 时发散．注 等价无穷小替换法仅适用于同号级数．（20）()132103100210310021<→++=⎪⎭⎫⎝⎛++-n n n n n nn，绝对收敛． （21）()()()()()111111111-+--=----=-+-=n n n n n n u nnnnn n ， ()()()0121112112221<---=---⋅='⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x x x xx x （1>x ） 由莱布尼兹判别法，()∑∞=--211n nn n 收敛，而∑∞=-111n n 发散，故原级数发散．（22）当0≤p ，发散，1>p ，绝对收敛，当10≤<p 时，由狄利克雷判别法知其收敛．事实上，212sin 21sin cos 3cos 2cos cos -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++++x xn nx x x x ，()π,0∈x ，有界． （23）法一：212sin24sin24cos22πππ====a ，322sin 24cos 1222ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=a ，4332sin 22cos 224cos 122222πππ=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=a ，……12sin2+=n n a π，……于是原级数可表为∑∞=+=⎪⎭⎫⎝⎛++++21322sin 22sin 2sin 2sin 2n n n ππππ ，收敛．法二：记21=A ，222+=A ，2223++=A ，……则2→n A ，于是121222lim 222lim 222lim lim22111<=-+-=-+-=-+-=→→--∞→+∞→x x x x A A a a x x n n n nn n ，收敛．（24）将级数中相邻且符号相同的项合并为一项，得一新级数()()∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++++-12221111111n nn n n 注意到通项中共有12+n 项，其中前n 项之和和后1+n 项之和分别夹在11+n 与n1之间， n n n n n n n n n n n n n 11111122222=<-+++<-+<+= ()nn n n n n n n n n n n n n 11211211122222=++<++++<+<+=+ 因此()n n n n n 211111112222<-+++++<+ 由此得其单减，从而为收敛级数，而原级数的部分和总是夹在新级数某相邻的二部分和之间，所以原级数也收敛．（25）当1=p 时，则当1>q 时收敛，1≤q 时发散，此时级数的敛散性等同于无穷积分()⎰∞+2ln ln ln qx x x dx的敛散性．由无穷积分立得()⎰∞+2ln ln ln q x x x dx ()⎰+∞→=A q A x x x dx2ln ln ln lim ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞+>-=+∞==-+∞→+∞→1,1,ln ln 11lim 1,ln ln ln lim 212q q x q q x A qAA A 收敛， 当1<p 时发散，1>p 时收敛，事实上，当1<p 时，()()()()n n n n n n n n n q pqp ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln ln 11>⋅=-（n 充分大） 当1>p 时，()()()()()()()2121211ln 1ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln 1+--+<⋅=p q p p q p n n n n n n n n n ． （26）由 及∑-1n发散知级数发散．（27）由于{}n arctan 单调有界，∑-nn)1(收敛，由阿贝尔判别法知其收敛．思考题1 判别下列级数的敛散性： （1）∑∞=+--++122)11(1n n n n n n ；（复旦大学1997） （2）∑∞=123ln n n n ；（复旦大学1998） （3）∑∞=122sinn nn π；（复旦大学1999）（4）∑∞=-122sin)53(n n n n π；（复旦大学1999）（5）)0()1()2ln(1>++∑∞=a n a n n n；武汉理工大学2004） （6）∑∞=-1)1sin 1(n n n α．（南京理工2004） 提示：（1）分子有理化，发散； （2）收敛；（3）仿上例（3），收敛；（4）当n 为偶数时，通项为0，去掉这些为0的项以后所得级数为交错级数，收敛，从而原级数收敛（考察它们部分和数列之间的关系）．（5）由级数收敛的必要条件知当1≤a 时发散；当1>a 由比式判别法知其收敛； （6）利用x sin 的Taylor 公式讨论． 例4 讨论级数∑∞=11n p n 的敛散性．分析：1=p ，柯西准则，发散；1>p ，柯西积分判别法，收敛； 1<p ，比较判别法，发散．例5 证明 （1）若级数∑∞=12n n a 收敛，则∑∞=1n nna 收敛；（淮北煤师院2004） （2）若0lim ≠=a na n n ，则∑∞=1n na发散，而∑∞=12n na收敛；（南开大学2001）（3）若∑∞=1n n a 是收敛的正项级数，则当21>p 时，级数∑∞=1n p n na 收敛（中科院2002）．分析：（1）⎪⎭⎫⎝⎛+≤22121n a n a n n ；（2）01≠→=a na na n n ，∑∞=1n n a 发散，而∑∞=12n na 收敛； （3）同（1）．或：由Cauchy 不等式211221111⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk p nk k nk pk k a k a ； 知其部分和有界，从而收敛．例6（兰州大学2000）设0>n u 是单调递减数列，试证明：（1）若0lim ≠=∞→c u n n ，则∑∞=+-11)1(n nn u u 收敛； （2）若0lim =∞→n n u ，则∑∞=+-11)1(n nn u u 发散． 证（1）由单调有界定理知0>≥c u n ，再由极限的柯西收敛准则知：0,0>∃>∀N ε，当+∈∀>Z p N n ,，有εc u u p n n <-+，又n u 单调递减，所以，当+∈∀>Z p N n ,时，有ε<-≤-++-+-+-+++++np n n p n p n n n n n u u u u u u uu u )1()1()1(1121 ， 由级数的柯西收敛准则知其收敛．（2）由于1)1()1()1(1121-=-≥-++-+-+++-+++++pn n p n p n n p n p n n n n n u u u u u u u u u u u ， 令∞→p 得上式右端的极限为∞+，由柯西准则知∑∞=+-11)1(n nn u u 发散．例7（华东师大1997）设级数∑∞=1n nn a收敛．试就∑n a 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明：级数n n an n+∑∞=1也收敛．证 当∑na为正项级数时，1lim=+∞→nn a n a n n n ，由比较判别法知n n an n+∑∞=1收敛．当∑∞=1n n n a 为一般项级数时，nn a n n a n n n n 1111+=+∑∑∞=∞=，由阿贝尔判别法知它是收敛的．思考题2（华东师大1998）已知∑∞=1n n a 为发散的一般项级数，试证明∑∞=+1)11(n n n a 也是发散级数．提示：用反证法．假设∑∞=+1)11(n n n a 收敛，则∑∑∞=∞=++=11)1)(11(n n n n n nn a a ，由阿贝尔判别法知∑∞=1n na收敛，矛盾．例8（北京工业大学2000）设和正项数列{}n a 单调减少，且级数n n na ∑∞=-1)1(发散．令nn a a a u ++⋅+=11111121 ，.,2,1 =n 试问级数∑∞=1n nu是否收敛，并说明理由．证 级数∑∞=1n nu收敛．这是因为：由级数n n na ∑∞=-1)1(发散和正项数列{}n a 单调减少知0lim >=∞→a a n n ，且由单调有界定理知a a n ≥，于是nn n n aa a a a u )11()1(111111121+=+≤++⋅+=， 由比较原则知∑∞=1n nu收敛．例9（北方交通大学1999）已知.,2,1,,01 =≤>+n a a a n n n 讨论级数++++na a a a a a 21211111 的敛散性．解 由单调性假设知存在极限0lim ≥=∞→a a n n ，则a a a a n n n =∞→ 21lim ，由柯西根式判别法知，当1>a 时收敛，当1<a 时发散，当1=a 时，例10（中国矿大北研部）设0>n a ，n n a a a S +++= 21，级数∞=∑∞=1n na．试证：（1）∑∞=1n nnS a 发散；（武汉大学） （2）∑∞=12n nnS a 收敛．（东北师大） 证 （1）0>n a ，↑n S ，于是pn n p n pn n k kpn n k k k S S S a S a ++++=++=-=≥∑∑111． 而∞=∑∞=1n n a ，故+∞=++∞→p n p S lim ，从而当p 充分大时，21<+pn n S S ， 211≥∑++=pn n k kk S a ．由柯西收敛准则知其发散．（2）11211211122121111a S S S S a S S a a S a n nk k k n k k k k nk kk ≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+≤∑∑∑=-=-=，部分和有界，故收敛．例11（华中科技大学） 若0lim 1=+∞→n n a ，()0lim 21=+++∞→n n n a a ，…，()0lim 21=++++++∞→p n n n n a a a ，…，试问∑∞=1n n a 是否一定收敛？为什么？解 不一定．如级数∑∞=11n n ，有 )(01121110∞→→+<++++++<n n p p n n n ；但∑∞=11n n 发散． 例12（上海交大） 若 1lim 1sin 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∞→n nn n a n ，则级数∑∞=1n n a 是否收敛？试证之． 解 由于11sin2→-nn n na （∞→n ），而()432sin 21sin2110-⋅--≤=<--nnnnn nn （n 充分大），由比较判别法知∑∞=-11sin2n nn n收敛，再由比较判别法知∑∞=1n na收敛．例13 设0>n a 且单减，试证∑∞=1n na与∑∞=122n nn a 同时敛散．证 因为对正项级数任意加括号不改变敛散性，因此由∑∞=1n na()()() ++++++++++=1587654321a a a a a a a a a∑∞==++++≤02232221222232n n n a a a a a和∑∞=1n na()()() ++++++++++=169854321a a a a a a a a∑∞=+=+++++≥02116842122121842n nn a a a a a a a知两级数具有相同的敛散性．例14 若正项级数∑∞=1n na收敛，且n n nb a n a e a e++=（ ,2,1=n ）．证明（1）∑∞=1n nb收敛；（华东师大）（2）∑∞=1n n na b 收敛．（北京理工大学2003） 证 解出n b 得：()0ln lim >-=∞→n a n n a eb n，而∑∞=1n n a 收敛，故当n 充分大时，nnn a b b <，从而（2）收敛立得（1）收敛．由收敛的必要条件得)(0∞→→n a n ．又因为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=-n n n n n a a a a a a e n!3!21ln ln 32()n n n a o a a =++ 32!3121~， 即 0lim=∞→nn n a b ，由级数∑∞=1n n a 收敛得∑∞=1n n n a b收敛． 例15 研究级数∑∞=121n nx 的敛散性，这里n x 是方程x x tan =的正根，并且按递增的顺序编号．解 解方程得：()⎪⎭⎫⎝⎛+-+∈ππππn n x n 2,12，()22111-<n x n ，1>n ，收敛． 例16 设11=u ，22=u ，21--+=n n n u u u （3≥n ）．问∑∞=-11n nu收敛吗？解 由于03323233211211111<-=-=-=-+--+-+++n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u （3>n ）； 所以 321111≤=+--+n n nn u u u u （由n u 的前若干项预测）；由比式判别法知其收敛．例17 设0>n a ，证明级数 ()()()∑∞=+++121111n n na a a a 收敛． 解 由于()()()()()()()()n n n a a a a a a a a a a a a a S +++++++++++++=<111111111021321321211()()()()()()()++++++++-=+++++=321321212121111111111a a a a a a a a a a a a ()()()()()()n n a a a a a a a ++++++++-=1111111121321()()()1111121<+++-=n na a a a即部分和有界，所以收敛．例18（上海师大）证明：级数： +⎪⎭⎫⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4131211713121151211311是收敛的．解 这是交错级数，且()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=n n n n n n a n 12111212121211121 111121112112111221121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n a n n n n n n ， ()()0ln 1211211121→++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=n n n c n n n a ε ． 由莱布尼兹判别法知∑∞=1n na收敛．例19（合肥工大2001）已知正项级数∑na 和∑nb 都发散，问下列级数收敛性如何？（1）∑),min(nnb a ； （2）∑),max(nnb a ．解（1）可能收敛，也可能发散，例如，取1-==n b a nn，则∑),mi n(nn b a 发散；若取n na )1(1-+=，1)1(1+-+=n n b ，则0),min(≡n n b a ，∑),min(nn b a 收敛．（2）一定发散，这是因为n n n a b a ≥),max (． 思考题3（复旦大学1997）证明：如果任意项级数∑nu和∑nv都收敛，且成立.1,≥≤≤n v w u n n n则∑nw收敛．提示：利用柯西收敛准则．思考题4（上海交大2004）设.,2,1,1,11212 +==⎰+-n dx x x n x n nn n 证明∑∞=--11)1(n nn x 收敛．提示：12212111-+=<<+=n n n x n x n x ，应用Leibniz 判别法即可．例20（华东师大2000）设∑∞=1n na收敛，0lim =∞→n n na ．证明：∑∑∞=∞=+=-111)(n n n n na a an ．证 记级数∑∞=--11)(n n na an 的前n 项和为n S ，则12113221)()(2)(++-+++=-++-+-=n n n n n na a a a a a n a a a a S ，而0])1(1[lim lim 11=+⋅+=+∞→+∞→n n n n a n n nna ，所以 ∑∑∞=∞=+=-111)(n n n n na a an ．思考题5（合肥工大2000）设数列{}n a 单调，且级数∑∞=1n na收敛于A ．证明：级数∑∞=+-11)(n n na an 收敛，并求其和．思考题6（北京工业大学2001）设数列{}n na 收敛，00=a ，级数∑∞=--11)(n n na an 收敛，证明：级数∑∞=1n na收敛．思考题7（安徽大学2003）若级数∑∞=1n na满足：（1）0lim =∞→n n a ；（2）∑∞=-+1212)(n n n a a收敛，证明：∑∞=1n na收敛．思考题8（华东师大2003）若级数∑∞=1n na满足：（1）0lim =∞→n n a ；（2）∑∞=--1212)(n n n a a收敛，证明：∑∞=1n na收敛．例21（吉林大学）证明级数+-++-++-+611119141715121311发散到正无穷．证 记.,2,1,141241341 =---+-=n n n n a n 则nnna n 1)331(3142-=->， 而∑n1发散到正无穷，所以，+∞=∞→n n S 3lim ．又因为n n n S S S 31323>>++，故+∞=∞→n n S lim ． 注（1）若要证明级数发散，则只需证明+∞=∞→n n S 3lim 即可．（2）在证明{}n S 收敛或发散时，有时通过求其子列的敛散性而使问题变得简单． 思考题9（武汉大学1999）级数+--+++-+-n n 21)12(1514131211222 是否收敛？为什么？提示：考察n S 2．例22 证明：级数∑∞=1n na收敛的充分必要条件是：对于任意的正整数序列{}k p 和正整数数任意子序列{}k n ，都有.0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a证 必要性．设级数∑∞=1n na收敛，则由柯西收敛准则得：,0,0>∃>∀N ε当N n >时，+∈∀Z p ，都有ε<++++++p n n n a a a 21，从而当N k >时，N n k >，于是对于任意的正整数序列{}k p ，有ε<++++++k k k k p n n n a a a 11，即 .0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a充分性．反证法．若∑∞=1n na发散，则+∈∃>∃>∀>∃Z p N n N ,,0,00ε，使得021ε≥++++++p n n n a a a ，特别地，分别取,,1,1111+∈∃>∃=Z p n N 使得 0211111ε≥++++++p n n n a a a ，{}+∈∃>∃>Z p N n n N 22212,,,2m ax ，使得 0212222ε≥++++++p n n n a a a ，如此下去，得一正整数子序列{}k n 和正整数序列{}k p ，恒有011ε≥++++++k k k k p n n n a a a ，这与已知条件矛盾．二 绝对收敛与条件收敛例23 判别下列级数是条件收敛，还是绝对收敛： （1）()∑∞=+--1111n n p n n（南京师大2002，1=p 为武汉大学1995）；（2）∑∞=-1sin)1(n nnx（内蒙古大学）； （3）)0()23()1(12>-+-∑∞=x n n n xn（复旦大学1997）． 解（1）当0≤p 时，n u 不趋于0，发散； 当1>p 时，原级数绝对收敛；当10≤<p 时，()∑∞=--1111n p n n 收敛，nn 11单调有界，由阿贝尔判别发知其收敛，但 ()1111→--+-p np n n n（∞→n ）；故原级数条件收敛．（2）当0=x 时绝对收敛，当0≠x 时，不妨设0>x ，则0>∃N ，当N n >时，有20π<<x ，且nxsin关于n 单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛． 又因为)(1sin)1(∞→→-n nx n xn ，而∑∞=1n n x发散，故原级数条件收敛． （3）当0>x 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+x n n )23(12单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛．又因为 222423n n n n <-+<，所以xx n x x nn n n 2221)23()1(41≤-+-<， 从而，当21>x 时，绝对收敛，当21≤x 时，条件收敛．思考题10（武汉大学2005）判别级数∑∞=2sin ln ln ln n n n n是否绝对收敛或条件收敛．思考题11（南京大学2001）设1,0,1,111≥>>++=+n x k x x k x nnn ． （1）证明：级数∑∞=+-01)(n n n x x绝对收敛；（2）求级数∑∞=+-11)(n n n x x之和．提示：例24（北京大学1999,中国矿大1999，安徽大学2000，2001）设()x f 在0=x 的某邻域内有二阶连续导数，且()0lim 0=→x x f x ．证明：级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛．证 由()0lim 0=→xx f x 得()00=f ，()00='f ，()x f 在0=x 某邻域内的二阶泰勒展式为 ()()()()()22212100x x f x x f x f f x f θθ''=''+'+=，10<<θ由()x f ''连续知，0>∃M ，有()M x f ≤''，从而有2121nM n f ⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ 故∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛． 思考题12 证明： （1）（华南理工大学2005）设)(x f 是偶函数，在0=x 的某个领域中有连续的二阶导数，.2)0(,1)0(=''=f f 则级数∑∞=-1)1)1((n n f 绝对收敛．（2）（浙江大学2004）设函数)(x f 在区间)1,1(-内具有直到三阶的连续导数，且0)0(=f ，.0)(lim 0='→x x f x 则∑∞=2)1(n n nf 绝对收敛． 例25 设0>n a （ ,2,1=n ）单调，且级数∑∞=11n n a 收敛，讨论级数()∑∞=++-111n nna a n 是条件收敛还是绝对收敛．解 由于0>n a 且单调，故01→na ↑⇒n a()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++<++++⋅-=<+++⋅-++,2112121,22211221122212n n n n nn n n a a n n a a a n a na n a a a n 由已知条件，∑∞=12n na收敛，故原级数绝对收敛．例26 （哈尔滨工大2000）证明：若级数∑∞=1n nb收敛，且级数()∑∞=--11n n na a绝对收敛，则级数∑∞=1n nn ba 收敛．证 设n n b b b S +++= 21，则1--=n n n S S b ，于是由∑∞=1n nb收敛知：0>∃M ，M S n ≤， ,2,1=n ．由()∑∞=--11n n n a a 收敛知：0>∀ε，01>∃N ，1,N m n >∀，有ε<-++-+--+-111m m n n n n a a a a a a ，又{}n S 收敛，对上述0>ε，02>∃N ，2N n >∀，2N m >，有ε<-m n S S ，取{}1,ma x21+=N N N ，于是，当N m n >,时， m m n n n n b a b a b a +++++ 11()()()1111-++--++-+-=m m m n n n n n n S S a S S a S S a[]()11121--+++-+-+-++-+-≤n m n n m m m n n n n S S a a a M a a a a a a M εM 3<．由柯西收敛准则知级数∑∞=1n nn ba 收敛．另证∑∞=1n nb收敛⇒0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，+∈∀Z p ，有ε<∑++=pn n k kb1．记∑++==in n k ki bS 1，p i ,,2,1 =，则ε<i S ，p i ,,2,1 =．由()∑∞=--11n n na a绝对收敛得其部分和有界，即0>∃M ，有M a aS mn n nm ≤-='∑=-11， ,2,1=m ．由阿贝尔定理得p n p p n p n p n n n n pn n k kk a S a a S a a S a a S ba ++-+-++++++=+-++-+-≤∑113222111p n p a S M ++≤ε又M a a a a a a a p n p n p n +<-++-+=-+++01010 ，从而()012a M ba pn n k kk +≤∑++=ε．由柯西收敛准则知其收敛．例27（华东师大2001）证明：若级数∑∞=1n na绝对收敛，则级数∑∞=+++121)(n n na a a a也绝对收敛．证 记n n a a S ++= 1，则由∑∞=1n na绝对收敛知∑∞=1n na收敛，所以{}n S 有界，即0>∃M ，有.,2,1, =≤n M S n 于是有n n n a M a a a a ≤+++)(21 ，由∑∞=1n na绝对收敛知级数∑∞=+++121)(n n na a a a也绝对收敛．思考题14（华中科技2004）设)(),1(,010∞→→≥==∑=n b x n ax x n nk kn ，求级数∑-+)(1n n nx x a之和．提示：1--=n n n x x a ．例28 证明：若对任意收敛于0的数列{}n x ，级数∑∞=1n n nx a都收敛，则级数∑∞=1n n a 绝对收敛．分析 问题等价于：若级数∑na发散，则至少存在一个收敛于0的数列{}n x ，使得级数∑nnxa 发散，于是问题转化为：从∑+∞=na出发，构造出满足条件的数列{}n x ．联想例10中（1）的结论立明．证 假设∑∞=1n n a 发散，记其前n 项和为n S ，则+∞=∞→n n S lim ．取210=ε，0>∀N ，N n >∃，由+∞=∞→n n S lim 得 210lim <=∞→mn m S S ，从而当m 充分大（n m >）时，有21<m n S S ，于是0221121ε=>-≥+++++=++m n m m m n n n n S S S S a S a S a ， 由柯西收敛准则知级数 ∑∞=1n n n S a 发散，取1,1≥=n S x nn ，则0lim =∞→n n x ，且∑∞=1n n n x a 发散，这与题目的条件矛盾，故命题成立．思考题15（中国人民大学2000）若正项级数∑∞=1n na发散，则存在收敛于0的正数序列{}n b ，使得级数∑∞=1n nn ba 发散．例29 研究级数∑∞=1sin n n n的收敛性．记其前n 项和为n S ，将其分成两项 -++=n n n S S S ，其中-+nnS S ,分别表示前n 项和中所有正项之和与负项之和．证明：极限-+∞→nnn S S lim 存在，并求其值．证 由Dirichlet 判别法知其收敛．又因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=≥111212cos 21121sin sin n n n n n nn n n n ， 右端第一个级数发散，第二个级数收敛（利用Dirichlet 判别法），从而∑∞=1sin n n n非绝对收敛． 由于)(sin 2122)(1∞→-∞→-=--+=∑=-+-+-n k k S S S S S S n k n n n n n n，所以，1)1(lim lim lim -=-=-+=-∞→---+∞→-+∞→n n n n n n n n nn n S S S S S S S S ． 注 此例给出了条件收敛与绝对收敛的一个本质区别，且这个结论对一切条件收敛级数都成立．三 构造级数例30 试构造一级数∑∞=1n na，使它满足：（1）∑∞=1n n a 收敛； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≠n o a n1． 解 ∑∞=121n n ，∑∞=11n n 满足（2），将两者结合起来，构造级数如下：+++++=∑∞=22221514131211n n a 即当n 是整数平方时，n a n 1=，否则21n a n =，显然⎪⎭⎫⎝⎛≠n o a n 1，同时+∞<≤+≤=∑∑∑∑=≤==nk n k nk nk k n k kk a S 12212112112故此级数收敛．例31 举出一个发散的交错级数，使其通项趋于零． 分析 交错级数+-++-+--n n a a a a a a 2124321 （0>n a ）部分和为∑∑==--=n k k nk k n a aS 121122，可见只要构造一个级数∑∞=1n n a ，使得0→n a ，同时使∑∞=-112k k a和∑∞=12k ka一个收敛，另一个发散即可．为此可构造级数如下：() +--+-+-+-nn 21121514131211222． 例32（南开大学1999）已知级数∑∞=1n na收敛，问级数∑∞=12n na和∑∞=13n na是否必收敛？说明理由．解 未必收敛．如级数∑∞=-1)1(n nn收敛，但∑∞=12n na发散．令+---+--+-=∑∞=33333331331331331312212212111n n a+----+项k k k k k k k k k k k11113则级数∑∞=1n na收敛，但∑∞=13n na发散，因为它的部分和子列+∞→----+++=3312111211kk S k n ．四 级数与极限问题例33 设正项级数∑∞=1n na收敛，试证：0lim1=∑=∞→nkank kn ．证 记∑∞==1n naS ，∑==nk kn aS 1，则S S n →（∞→n ），且∑∑-==-=111n k k n nk kS nS ka，从而0lim lim1211=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-∞→∞=∞→∑S S n S S S S nkan n x k kn ． 例34（西安电子科技大学2003，东北师大）设021>≥≥ a a ，且级数∑∞=1n na发散，则1lim1231242=++++++-∞→n nn a a a a a a ．解 由于1123112311231242=++++++≤++++++---n n n n a a a a a a a a a a a a ；1211121121121123123124211--+-+-++->++--=++++≥++++++n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a ；（1）而 n n a a a a a a 2421231+++≥+++- ，由此及∑∞=1n na发散可得)(2)(21223211231∞→∞→=++++≥+++-n S a a a a a a a n n n ， 从而（1）式右端的极限为1，由两边夹定理知结论成立．例35（煤师院2004）设级数∑∞=1n na收敛，0>n a ，且n a 单减．试证0lim =∞→n n na ．分析：0lim =∞→n n na ⇔0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，有ε<n na ．证 由∑∞=1n na收敛知，0>∀ε，0>∃N ，N m n >>∀，有ε<++++<+++n m m m a a a a 3210 由n a 单减知，当m n 2>时，m n n-<2，于是有()()ε22222211<⋅+++≤-<⋅=++-n m m n n n a a a a m n na na ．故0lim =∞→n n na ．例36（北师大）证明：极限 )]ln(ln ln 1[lim 2n kk nk n -∑=∞→存在有限． 证 令xx x f ln 1)(=，则f 在),2[+∞上非负单减，所以 ∑⎰⎰=+<<=-nk n nk k dx x f dx x f n 2122ln 1)()()2ln(ln )ln(ln ， 从而得0)2ln(ln )ln(ln ln 12>->-∑=n kk nk ，即数列有下界．又 0)1ln()1(1)1ln()1(1)()1ln()1(1111=++-++<-++=-⎰⎰+++n n n n n n dx n n n n dx x f n n a a ，即数列单减，从而极限存在且有限．例37 试证：若正项级数∑∞=1n na收敛，且数列{}1+-n n a a 单减，则.)11(lim 1+∞=-+∞→nn n a a。
级数和的定义级数是数学中一个重要的概念，它表示无穷多个数的和。
级数的和通常使用求和符号∑来表示，该符号由德国数学家Gauss于18世纪首次引入。
级数和的定义涉及到两个关键方面：级数序列和部分和。
1. 级数序列：级数是由一个序列组成的，该序列中的每个元素被称为级数的项。
级数序列一般用{an}来表示，其中an表示序列的第n个项。
以级数序列{an}为例，其前几项的表示形式为：a1，a2，a3，…，an，…2. 部分和：级数的部分和是指从级数的第一项开始，逐项累加至第n项的和。
用Sn表示级数的第n个部分和，即Sn=a1+a2+...+an。
根据上述两个概念，可以给出级数和的定义。
设{an}是一个级数序列，其级数的和定义为部分和序列{Sn}的极限值，即当n趋向于无穷大时的极限值。
若该极限值存在，则称级数收敛，否则称级数发散。
级数的和记作∑an。
级数和的存在性和收敛性与级数序列{an}的性质密切相关。
根据级数的性质，可以推导出一些判定级数收敛性的定理，例如：1. 比较判别法：若存在一个已知的收敛级数∑bn和一个正数M，使得对于所有n，有|an| ≤ M|bn|，则级数∑an也收敛。
2. 比值判别法：若存在一个正数M，使得当n足够大时，有|an+1/an| ≤ M，则级数∑an收敛。
3. 正项级数判别法：若级数的所有项都是非负数，并且部分和序列{Sn}有一个有界的上界，则级数收敛。
这些定理为判定级数的收敛性提供了有力的工具。
通过应用这些定理，可以求解一些特殊形式的级数，并找到它们的和。
总结起来，级数和的定义是基于级数序列和部分和的概念的。
级数序列是由无穷多个项组成的序列，而级数的部分和是指级数的前n项的累加和。
级数的和定义为部分和序列的极限值。
级数的收敛性与级数序列的性质密切相关，可以应用一些定理进行判定。
级数的和的求解在数学中有着重要的应用，例如在数学分析、概率统计等领域中都会涉及到级数和的计算。
无穷级数中的几何级数无穷级数中，几何级数又称为等比级数。
几何级数（即等比级数）的和为：当︱q︱<1时a+aq+aq^2+……+aq^n+……=a/(1-q)当︱q︱≥1时a+aq+aq^2+……+aq^n+……=+∞几何级数的敛散性当〡q〡<1时，级数收敛；当〡q〡≥1时级数发散。
调和级数和几何级数的收敛证明先看调和级数：证明如下:由于ln(1+1/n)<1/n（n=1,2,3,…）于是调和级数的前n项部分和满足Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞根据比较审敛法：小的发散,大的肯定发散.所以Sn的极限不存在,调和级数发散.置于几何级数看图片吧,太难输了.p级数形如(p为实数)的级数称为p级数。
当p=1时，得到著名的调和级数：。
当p=2时，值收敛于。
p级数是重要的正项级数，它能用来判断其它正项级数敛散性。
p级数的敛散性如下：当时，p级数收敛；当时，p级数发散。
交错p级数形如（p>0）的级数称为交错p级数。
交错p级数是重要的交错级数。
交错p级数的敛散性如下：当时，交错p级数绝对收敛；0<时，交错p级数条件收敛。
p<=0时，交错p级数发散例如，交错调和级数条件收敛，其和为。
整数函数与级数分析一、整数函数的定义与性质整数函数是定义在整数集上的特殊函数，它们在数论和组合数学中具有重要的应用。
下面介绍几个常见的整数函数及其性质。
1. 自然数函数：自然数函数（或称恒等函数），记作f(x)=x，其定义域和值域都是自然数集。
自然数函数是一个线性函数，满足f(x+y)=f(x)+f(y)和f(x*y)=f(x)*f(y)。
2. 常值函数：常值函数是一个在整数集上取常数值的函数。
例如，f(x)=0是一个常值函数，对任意的整数x，f(x)都等于0。
3. 奇偶函数：奇函数和偶函数是两种特殊的整数函数。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
例如，f(x)=x^3是一个奇函数，f(x)=x^2是一个偶函数。
4. 莫比乌斯函数：莫比乌斯函数μ(n)是一个重要的整数函数，它在数论中具有重要的应用。
它的定义如下：当n=1时，μ(n)=1；当n为素数的幂时，μ(n)=0；当n可分解为素数的乘积时，μ(n)=(-1)^k，其中k是n的素数因子个数。
莫比乌斯函数具有一些重要的性质，如积性函数性质和莫比乌斯反演公式。
二、级数的定义与性质级数是数列的和的概念的推广，它在数学分析中占有重要地位。
下面介绍几个与级数相关的重要概念和性质。
1. 数列：数列是按一定规律排列的一系列数的集合。
常见的数列有等差数列、等比数列等。
数列可以用函数表示，如数列{an}可以表示为f(n)=an，其中n为整数。
2. 部分和与无穷级数：对于数列{an}，它的部分和序列{Sn}定义为Sn=a1+a2+...+an。
若部分和序列{Sn}收敛于一个有限值S，则称∑an为收敛级数，此时S称为级数的和，记作∑an=S。
若部分和序列{Sn}的极限不存在，或者为无穷大，称级数∑an为发散级数。
3. 收敛级数的性质：收敛级数具有一些重要的性质，如线性性、倒序性、比较判别法和比值判别法等。
这些性质对于研究级数的收敛性和计算级数的和起到了重要的作用。
级数在数学中，一个有穷或无穷的序列u 0,u 1,u 2, …的元素的形式和S 称为级数。
序列u 0,u 1,u 2, …中的项称作级数的通项。
级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数。
如果级数的通项是常量，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。
常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。
有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。
如果序列是无穷序列，其和则称为无穷级数，有时也简称为级数。
无穷级数有发散和收敛的区别，称为无穷级数的敛散性。
判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。
无穷级数在收敛时才会有一个和；发散的无穷级数在一般意义上没有和，但可以用一些别的方式来定义。
无穷级数的研究更多的需要数学分析的方法来解决。
无穷级数一般写作a 1+a 2+a 3+⋯= a n 或者 a n ∞n =1，级数收敛时，其和通常被表示为 a n ∞n =1无穷级数的定义设(u n )是一个无穷序列：u 1,u 2, …,u n ,…，其前n 项的和称为 u n 的部分和:S n =u 1+u 2+ …+u n(u n )部分和依次构成另一个无穷序列：S 1,S 2, …,S n ,…这两个序列合称为一个级数，记作 u n 或者 u n ∞n =1，其中符号为求和号。
无穷级数的敛散性对于级数 u n ∞n =1，如果当n 趋于正无穷大时，s n 趋向一个有限的极限：S =lim x→∞S n ，那么这个无穷级数就叫做是收敛的，S 叫做级数 u n ∞n =1的和。
如果极限不存在，这个无穷级数就是发散的。
收敛的无穷级数存在唯一的一个和S 。
这时可以定义级数 u n 的余项和：R n =S-S n 。
收敛级数的性质若一个无穷级数 u n : u 1+u 2+ …+u n + …收敛，其和为S ，则如果每一项乘以一个常数a ，得到的级数 au n : au 1+au 2+ …+au n + …也收敛，且和等于aS 。
收敛的无穷级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：u n =s ∞n =1和 v n =t ∞n =1则 (u n ±v n )=s ±t ∞n =1.级数前面加上有限项或减去有限项不影响其敛散性，如：S=u 1+u 2+ …+u n + …和S=u 12+u 15+ u 16+ u 17+…+u n + …这两个级数的敛散性是一样的。
当n 趋向无限大时，任何一个收敛级数的通项都趋于0：lim n→∞u n =0在一个完备空间中，也可以运用柯西收敛的准则来判断级数是否收敛：一个无穷级数 u n +∞n =1收敛的充要条件是，对任意ε>0 ，总存在N 0>0，使得任意的n>m>N 0，有S n −S m = u k nk =m +1=|u m +1+u m +2+⋯+u n |<ε无穷级数的研究历史将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。
他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。
他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开，还用幂级数计算π 的值。
他的学生继承和发展了他关于级数的工作。
17世纪，詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数，并发表了若干函数的麦克劳林展开式。
1715年，布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。
18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。
对审敛法的研究14世纪时，马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。
他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。
然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。
他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数1+αβ1∙γx +α(α+1)β(β+1)1∙2∙γ(γ+1)x 2+⋯ 的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。
柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。
欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。
柯西更研究了复函数的幂级数展开。
1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数1+m 1x +m (m −1)2!x 2+⋯ 的论文中更正了柯西的若干个结论，并给出了二项式级数的严格的求和方法，指出了连续性在收敛问题中的重要性。
柯西提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。
同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe ）的对数判别法，德·摩根的对数判别法（被 DuBois-Reymond 和普林斯海姆证明对某些函数失效） ，以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。
对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始，之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。
普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。
对一致连续性的研究1821年，柯西首先开始对一致连续性的研究，但其中有不少错误和局限。
这些错误最早被阿贝尔指出，但首先得出正确结论的是西德尔（en:Philipp Ludwig von Seidel ）和斯托克斯。
1853年，柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究，并得到了与斯托克斯一样的结论。
然而，一致连续性的重要性在很长一段时间里没有受到重视。
类别几何级数几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：11+12+14+18+116+⋯= 12n ∞n =0一般来说，几何级数 z n ∞n =0收敛当且仅当 |z | < 1。
调和级数主条目：调和级数调和级数是指通项为1n 的级数： 11+12+13+14+15+⋯= 1n ∞n =1 它是发散的。
p-级数p-级数是指通项为1n p 的级数：U p =1n p∞n =1 对于实数值的p ，当p > 1 时收敛，当p ≤ 1 时发散。
这可以由积分比较审敛法得出。
函数ζ:p ↦U p 是黎曼ζ函数在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼ζ函数有著名的黎曼猜想。
裂项级数(b n −b n +1)∞n =1收敛当且仅当数列b n收敛到某个极限L，并且这时级数的和是b1− L。
泰勒级数主条目：泰勒级数泰勒级数是关于一个光滑函数f 在一点a附近取值的级数。
泰勒函数由函数在点a的各阶导数值构成，具体形式为：f n(x) n!(x−a)n∞n=0这是一个幂级数。
如果它在a附近收敛，那么就称函数f在点a上是解析的。
交错级数具有以下形式的级数(−1)n a n∞n=0其中所有的 a n非负，被称作交错级数。
交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。
幂级数形同a n(x−x0)n的函数项无穷级数称为x-x0的幂级数。
它的收敛与否和系数a n有关。
傅里叶级数主条目：傅里叶级数任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅里叶级数。
傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。
傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
例如，周期为2 π的周期函数f(x)可以表示为：f x=a02+(a n cos nx+b n sin nx),n=1,2,3,…∞n=1其中，a n=1πf x cos nxπ−πdx，b n=1πf x sin nxπ−πdx，a0=1πf xπ−πdx常数项无穷级数（数项级数）正项级数若通项为实数的无穷级数每一项u n都大于等于零，则称u n是一正项级数。
如果无穷级数u n是正项级数，则部分和S n是一个单调递增数列。
由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。
因此，要么部分和数列S n有界，这时u n收敛，S=lim x→∞S n，要么部分和数列趋于正无穷，这时级数发散。
比较判别法设u n和v n是正项级数。
如果存在正实数M，使得从若干项开始，u n≤Mv n（也就是说u n=Ο∞(v n)），则当v n收敛时，可推出u n也收敛;当u n发散时，可推出v n也发散。
如果lim n→∞u nv n=0，则当v n收敛时，可推出u n也收敛;当u n发散时，可推出v n也发散。
如果lim n→∞u nv n=1，则v n和u n同时收敛或发散。
比如，我们已知级数：1n2收敛，则级数：sin nn2也收敛，因为对任意的n ，sin n≤1。
比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。
一般来说，我们可以选择比较简单的级数：U p=1n p作为“标准级数”，依此判断其他函数的敛散性。
需要知道的是当p≤1时，U p发散，当p>1时，U p收敛。
达朗贝尔判别法主条目：达朗贝尔审敛法|达朗贝尔判别法|达朗贝尔审敛法在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得：设u n是通项大于零的正项级数。
并且lim n→∞u n+1u n=p，则当p<1 时，级数u n收敛。
当p>1 时，级数u n发散。
当p=1 时，级数u n可能收敛也可能发散。
这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。
柯西收敛准则主条目：根值审敛法设u n是正项级数。
并且lim n→∞u nn=p，则当p<1 时，级数u n收敛。
当p >1 时，级数 u n 发散。
当p =1 时，级数 u n 可能收敛也可能发散。
这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。
交错级数主条目：交错级数具有以下形式的级数 (−1)n a n ∞n =1,其中所有的 a n 非负，被称作交错级数。
莱布尼茨判别法主条目：莱布尼茨审敛法|莱布尼茨判别法|莱布尼茨审敛法在上述的级数 (−1)n a n ∞n =1中，如果当 n 趋于无穷时, 数列 a n 的极限存在且等于 0，并且每个 a n 小于 a n-1 (即, 数列 a n 是单调递减的)，那么级数收敛。
任意项级数对于通项为任意实数的无穷级数 u n ，将级数 |u n | 称为它的绝对值级数。
可以证明，如果 |u n |收敛，那么 u n 也收敛，这时称 u n 绝对收敛。
如果 u n 收敛，但是 |u n | 发散，则称 u n 条件收敛。
比如说，级数sin n n 2 绝对收敛，因为前面已经证明 sin nn 2收敛。
而级数 (−1)n n 是条件收敛的。
它自身收敛到 ln 12 ，但是它的绝对值级数 1n是发散的。
黎曼级数定理说明，如果一个无穷级数 u n 条件收敛，那么对于任意的实数 x ，存在一个正整数到正整数的双射σ ，使得级数 u ς(n ) 收敛到 x 。
对于正负无穷大，上述双射也存在。
