第六章代数系统
1. 填空题：f是X上的n元运算的定义是（）。
2. 判断正误，并说明原因：自然数集合N上的减法运算“－”是个封闭的运算。
3. 判断正误，并说明原因：实数集合R上的除法运算“”是个封闭的运算。
4.填空题：代数系统的定义是：（）。
5. 填空题：*是X上的二元运算，*具有交换性，则它的运算表的特征是（）。
6.填空题：*是X上的二元运算，*具有幂等性，则它的运算表的特征是（）。
7. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元
8. 简答题：*是X上的二元运算，*具有零元，如何在它的运算表上判定哪个元素是零元
9. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何判定哪个元素是元素x的逆元
10 令N4={0,1,2,3}，N4上定义运算+4：
任何x,y∈N4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。例如2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)＝1
请列出
11. 判断正误，并说明原因：对于整集合I上的减法运算“－”来说， 0是幺元。
12. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的交运算的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。
13. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的并运算的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。
14. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的对称差运算的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（）。它们的逆元分别是（）。
15. 填空题：对于自然数集合N上的加法运算“＋”，13＝（）。
16. 填空题：你所知道的满足吸收律的运算有（）。
17. 填空题：你所知道的具有零元的运算有（），其零元是（）。
18. 设是X上的二元运算，如果有左幺元 e L∈X，也有右幺元 e R∈X，则 e L=
e R =e ，且幺元 e 是唯一的。
19. 设是X上的二元运算，如果有左零元θL∈X，也有右零元θR∈X，则θL=θR =θ,且零元θ是唯一的。
20. 设是X上有幺元e且可结合的二元运算，如果 x∈X，x的左、右逆元都存在，则x的左、右逆元必相等。且x的逆元是唯一的。
21. 设是X上且可结合的二元运算，如a∈X，且a-1∈X，则a是可消去的，即
任取x,y∈X，设有a x=a y 则x=y。
22. 对于实数集合R，给出运算如下：＋是加法、—是减法、是乘法、max 是两个数中取最大的、min是两个数中取最小的、|x-y|是x与y差的绝对值。判
N”。
＋－max min|x-y
|
可结合性
可交换性
存在幺元
存在零元
23. 设R是实数集合，在R上定义二元运算* 如下：任取x,y∈R，
x*y=xy －2x －2y ＋6
1．验证运算* 是否满足交换律和结合律。
2．求运算*是否有幺元和零元，如果有请求出幺元和零元。
3．对任何实数x ，是否有逆元如果有，求它的逆元，如果没有，说明原因。
24.设是X 上有幺元e 且可结合的二元运算，求证如果x ∈X ，都存在左逆元，则x 的左逆元也是它的右逆元。
25. .给定下面4个运算表如下所示。分别判断这些运算的性质，并用“Y ”表示“有”，用“N ”表示“无”填下面表。如果运算有幂等元、有幺元、有零元、
有可逆元素，要指出这些元素是什么。
交换性 幂等元
幂等性 有幺元
有零元 有可逆元素
a )
b )
c )
d )
26. 分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同构、自同构
27. 什么叫做同态核
a b c b c a b c b c a c a b
a ) a
b
c b c a b c b a c c c c
b )
a b c b c a b c a b c a b c
c )
a b c b c a b c b b c c c b
d )
28.请举同构的两个代数系统的例子，并说明它们同构的理由。
29. 给出集合A ＝{0,1,2,3}和A 上的二元运算“*”。集合B ＝{S,R,A,L}和B 上的二元运算“o ”。 它们的运算表如下面所示。验证
30令S={
31. 令A={0,1,2,3,4,…},B={1,2,4,8,16,…}，+表示加法，*表示乘法， 问
32 已知代数系统
0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1
2
3 0
2 2
3 0 1 3 3 0 1 2
*
S R A L
S S R A L R R A L S
A A L S R L L S R A
o
试证明它们同构。
33给定两个代数系统，
上的乘法运算；
34. 已知代数系统
35. 已知代数系统
36. 已知代数系统
37. 已知代数系统
38 已知代数系统
射, 请证明如果
∈X, 则
逆，即y -1∈Y 。 且如果y=f(x) ，则 y -1= (f(x))-1 =f(x -1
)。(x 映像的逆元=x 逆元的映像)
a b c
a b c
a b c b b c
c b c
1 2 3
1 2 3
1 2 1 1 2 2
1 2 3
*
39集合A上两个同余关系R、S, 证明R∩S也是同余关系.
40. 考察代数系统
a).
b).
c).
d).
41. 填空：是A上二元运算，代数
42. 填空：是A上二元运算，代数
43 列举出5个你所熟悉的是半群的例子。
44. 列举出5个你所熟悉的是独异点的例子。
45 列举出1个你所熟悉的是半群但不是独异点的例子。
46. 给定代数系统
a b=a+b+a·b
求证
47.
a) a∈A，有a a=a
b) a,b∈A， a b a=a
c) a,b,c∈A， a b c=a c
48. 设
a,b∈S，有 (a*b)2=a2*b2
49. 设
50. 设A是有理数集合，在笛卡尔积A×A上，定义二元运算△如下：
任取
求证
51..设
是
52.令I：是整数集合；N：自然数集合，R：实数集合。＋是加法运算，×是乘法运算。给定代数系统
数系统是群并说明理由。
53. X=R－{0,1}, X上定义六个函数，如下所示：x∈X,
f1(x)=x f2(x)=x-1 f3(x)=1-x
f4(x)=(1-x) -1 f5(x)=(x-1)x-1 f6(x)=x(x-1) -1
令F={f1,f2, f3, f4, f5, f6}，是F上的复合运算，试证明
54. 令R是实数，F={f| f(x)=ax+b，a,b,x∈R,a o }，是F上的函数左复合运算，试证明
55. 设
a) 证明, a,b,c∈A，若 a b=a c，则 b=c。
b) 证明
56. .设
57.填空：令
58. A是非空的有限集合，且|A|＝n 。令
F＝｛f| f是A A的双射函数｝
1．求 |F| 等于多少
2．令 * 是函数的左复合运算。问
59.设
60. 设
61. 判断下列各命题的真值，并说明理由。
1．
2．设f是群
62. 设
63. 设
a x=
b 。
64.
65.
66. 填空：
67. 什么叫做群的阶
68. 什么叫做群中运算的阶
69 指出整数集合加法群
70.
I)(即k是n的整数倍)
71. 证明群中的元素与其逆元具有相同的阶。
72.设
73. 设
对x∈G, f(x)=a x a-1求证 f是G到G的自同构。
74. 设
f(x)=a-1*x*a
试证明f是从G到G的自同构.
75. 设
任取
求证
76. 设
任取
已知
f(
求证f是
77. 令G＝{2m3n|m,n∈Q,Q是有理数}，“?”是G中乘法运算。
1．证明
2．给定映射f:G G，f定义为f:2m3n2m，证明f是G到G的同态映射；并求出f的同态核。
78. 给出两个群
79. 判断下面命题的真值。并简单说明原因。
1．R 为实数集合，×为乘法运算，则
2．设
。
3．设
80.
(a b)(a b)=(a a)(b b) ( 即(a b)2=a 2b 2
)
81.令G={km|k ∈Z}，m 是某个确定的自然数，Z 是整数集合，＋是加法运算。 证明
82. 设I 是整数集合，在I 上定义二元运算如下： 对于任何a,b ∈I a b=a ＋b － 2 求证
83. 已知
对于任何x,y ∈G ，x y=x*a -1*y (其中a -1
是a 对于*运算的逆元) 求证
p 1 p 2 p 3
p 4
p 1
p 1 p 2
p 3 p 4
p 2 p 2 p 1 p 4 p 3 p 3 p 3 p 4 p 1 p 2 p 4 p 4 p 3 p 2 p 1
q 1 q 2 q 3 q 4
q 1 q 3 q 4 q 1 q 2 q 2 q 4 q 3 q 2 q 1
q 3 q 1 q 2 q 3 q 4 q 4 q 2 q 1 q 4 q 3
o
84. 令G 是所有非0实数构成的集合，在G 上定义二元运算如下： 任何a,b ∈G, a b
2
ab
。求证
85. 设I 是整数集合，在I 上定义二元运算*如下： 对于任何a,b ∈I a b=a ＋b －4 求证
86 设
87. 证明任何阶数为1,2,3,4的群都是交换群，并举一个6阶群，它不是交换群。
88. 给定集合Ｇ＝{x|x 是有理数且x ≠－1}，在Ｇ上定义二元运算*如下： 对任何a ，b ∈Ｇ，a*b=a + b + ab 。 求证<Ｇ，*>是交换群。
89. 设
b 3
=(a b) 3
, a 4
b 4
=(a b) 4
, a5b 5=(a b) 5
,证明
90. 什么叫做循环群什么叫做循环群的生成元什么叫做循环群的循环周期
91.证明循环群都是交换群。
92.给定群
93. 给定群
94.填空：设
95. 令I是整数集合，在I上定义二元运算如下：对于I中任何a元素，
a b=a＋b－2
求证
96. 设I是整数集合，在I上定义二元运算如下：
对于任何a,b∈I a b=a－1＋b
求证
97. 设G={1,2,3,4,5,6}, ×7是7为模的乘法运算，即
x,y G，x×7y=(xy)(mod 7)，例如4×75＝20(mod 7)=6
98. 循环群的任何子群都是循环群。
99. 填空题：设
100 判断题下面命题的真值：循环群的生成元也是其任何子群的生成元。
101. 什么叫做子群
102 名词解释：平凡子群与真子群
103.设
104.填空：设
aH=( )
则称aH为a确定的H在G中的左(右)陪集。
105设 H3={0,2,4}，是以6为模的加法运算。验证
106.设N6={0,1,2,3,4,5}，＋6是N6上以6为模的加法运算。即
任何x,y N6，x＋6 y=(x+y)(mod 6)，例如4＋6 5＝9(mod 6)=3
1．画出< N6,＋6>的运算表。
2．< N6,＋6>是否为群为什么
3．如果是群，它有几个子群分别列出子群的运算表。
107. 设
求证，
108.设
H＝{x| x∈G, 且
求证
109. 设
A={x| x∈G, x H x-1=H}
求证
110 p是个质数, 证明p m阶群中必包含着一个p阶子群.
111.证明25阶群必含有5阶子群。
112. p是个素数，
113
114. 设
115
R= {
116设
任意a,b∈G, aRb存在h∈H, k∈K 使得b=h*a*k
证明R是G上等价关系.
117. 设
aRb 当且仅当 a-1*b∈H, a,b∈G
1．求证R是G上等价关系.
2．e是G中幺元,由e确定的相对R的等价类[e]，求证[e]=H。
118. 设f和g都是群
C={x| x∈G1且f(x)=g(x)}
119. 设f是从群
120. .G是个6阶群，证明G中一定有且只有一个3阶子群。
121 设
122已知
123 设
124. 设
125. 填空：设
126. 填空：设f是从群
则f((x1-1 x2) -1) =( )。
127. 设f是从群
128. 填空：代数系统
129. 填空：代数系统
130. 填空：代数系统
131 填空：代数系统
132 填空：代数系统
133 填空：代数系统
134.令N是自然数集合，I是整数集合，R是实数集合，+和·分别是加法和乘法,
135. 判断
136. 试证
定义为：对任何a,b∈I,
a b=a+b-1 a b=a+b-ab
137. .设
a).对于任何a∈A, 都有a+a=θ,其中θ是+的幺元.
b).
138. 下面的说法是否正确说明理由
.设
1.答案：( f：X n Y )。
2.答案：错误。举反例：1－2＝-1，-1不是自然数。所以不封闭。
3.答案：错误。0不能做除数。例如10没有定义，所以“”不是R上的运算。
4.答案：代数系统定义：X是非空集合，X上有m个运算f1, f2, f3,…, f m, 则称
5.答案：（它的运算表是个与主对角线为对称的表）
6.答案：（运算表的主对角线上各个元素均与表头元素对应相同）
7.答案：
从运算表找左幺元e L： e L所在行的各元素均与上表头元素相同。
从运算表找右幺元e R： e R所在列的各元素均与左表头元素相同。
e L= e R=e e是幺元。
8.答案：
从运算表找左零元θL：θL所在行的各元素均与左表头元素相同。
从运算表找右零元θR：θR所在列的各元素均与上表头元素相同。
θL＝θR =θ. θ是零元。
9.答案：
从运算表找x的左逆元 x L-1：在x列向下找到e后，再向左到左表头元素即是x L-1。
从运算表找x的右逆元 x R-1：在x行向右找到e后，再向上到上表头元素即
是x R -1
。
10.答案：
由运算表看出：此运算满足交换性。有幺元0，没有零元，0的逆元是0，1的逆元是3，2的逆元是2，3的逆元是1。
11.答案：错误。尽管 x －0＝x ,这说明0是右幺元。但它不是左幺元，如0－x ＝-x x 。
12.答案：运算的幺元是（E ）。零元是（）。有逆元的元素是（E ），它们的逆元分别是（ E ）。
13.答案：运算的幺元是（ ）。零元是（E ）。有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（ ）。
14.答案：运算的幺元是（ ）。零元是（无）。有逆元的元素是（所有元素X P(E)），它们的逆元分别是（X 自身 ）。
15.答案：13
＝（ 3 ） 16.答案：（ 合取与析取 或者 集合的交与并 ）
17.答案：（乘法×，零元是0；合取，零元是F ；析取，零元是T ； 集合的交，零元是；并，零元是全集E 。）（写出一个运算即可）
18.答案：证明：因为 e L 是左幺元，又e R ∈X ，所以 e L e R =e R 因为e R 是右幺元，又 e L ∈X ，所以 e L e R = e L
于是 e L = e R =e 。
下面证明幺元的唯一性。假设有两个幺元e 1、e 2， 因为e 1是幺元，又e 2∈X ，所以 e 1e 2=e 2 因为e 2是幺元，又 e 1∈X ，所以 e 1e 2= e 1 则 e 1= e 2 =e 。所以幺元是唯一的。
19.答案：证明：因为 θL 是左零元，又θR ∈X ，所以 θL θR =θR 因为θR 是右零元，又 θL ∈X ，所以 θL θR = θL
于是 θL = θR =θ。
下面证明零元的唯一性。假设有两个零元θ1、θ2， 因为θ1是零元，又θ2∈X ，所以 θ1θ2=θ2 因为θ2是零元，又 θ1∈X ，所以 θ1θ2=θ1 则 θ1= θ2 =θ。所以零元是唯一的。
20.答案：证明：设x L -1、 x R -1分别是x 的左、右逆元，于是有 x L -1x = x x R
-1
=e
x R -1 =e x R -1 =( x L -1x) x R -1 = x L -1(x x R -1)= x L -1e= x L -1 假设x 有两个逆元 x 1、x 2， 所以 x 1x= e = x x 2 x 2= e x 2 =( x 1x) x 2= x 1( x x 2)= x 1 e = x 1 所以x 的逆元是唯一的。
21.答案：证明 .如a ∈X,且a -1
∈X ，任取x,y ∈X ，设有a x=a y 则 a -1(a x)= a -1(a y) (a -1a)x= (a -1a)y 所以 e x=e y x=y ∴ a 相对是可消去的。
＋ － max min |x-y
0 1 2 3
0 0 1 2 3 1 1 2 3 0
2 2
3 0 1 3 3 0 1 2
+
|
可结合性Y N Y Y Y N
可交换性Y N Y Y Y Y
存在幺元Y N Y N N N
存在零元N N Y N N N
23.答案：证明：
1. (1)验证*可交换：任取x,y R，
x*y=xy-2x-2y+6＝yx-2y-2x+6=y*x
(2) 验证*可结合：任取x,y,z R，
(x*y)*z=(xy-2x-2y+6)z-2(xy-2x-2y+6)-2z+6＝xyz-2xz-2yz+6z-2xy+4x+4y-12-2z+6
= xyz-2xz-2yz+4z-2xy+4x+4y-6= xyz-2xz-2yz-2xy+4x+4y+4z -6
x*(y*z)=x(yz-2y-2z+6)-2x-2(yz-2y-2z+6)+6＝xyz-2xy-2xz+6x-2x-2yz+4y+4z-12+6
=xyz-2xy-2xz+4x-2yz+4y+4z-6=xyz-2xy-2xz-2yz +4x+4y+4z-6
可见 (x*y)*z= x*(y*z)。
2. (1) 设幺元为e，则对任何x R，有
e*x=ex-2e-2x+6=x，于是e(x-2)=3x-6=3(x-2) 所以e=3
3*x=3x－2×3－2x＋6＝x 由于*可交换x*e＝x，所以3是幺元。
(2) 设零元为θ，则对任何x R，有
θ*x=θx-2θ-2x+6=θ，于是θ(x-3)=2x-6=2(x-3) 所以θ=2 。
2*x=2x－2×2－2x+6=2 由于*可交换x*2＝2，所以2是零元。
3．任取x R， x 2 (因为零元不可逆)，设x的逆元为x-1，于是有
x*x-1=x x-1-2x-2x-1+6=3，(x-2) x-1=2x-3，于是x-1＝(2x-3)/(x-2)
由于*可交换x* x-1＝3，所以x (x2)的逆元是(2x-3)/(x-2)。
24.答案：证明：任取a∈X，b∈X，b a=e, 即b是a的左逆元。c∈X,
c b=e, 即c是b的左逆元。于是有
a b=e(a b)=(c b)(a b)=c(
b a)b=
c e b=c b=e 所以b也是a的右逆元。
交换性幂等元幂等
性
有幺元有零元有可逆元素
a
)
Y a N a N a-1=a , b-1=c
b
)
Y a,c N a c a-1=a , b-1=b
c
)
N a,b,c Y N, N, N d
)
Y a,b N a N a-1=a
答案：设
f(x1x2)=f(x1)f(x2) --------此式叫同态(同构)关系式
则称 f是从
Y。
如果f是满射的，称此同态f是满同态映射。