人教版初中数学三角形易错题汇编附答案
一、选择题
1.如图,在□ABCD中,延长CD到E,使DE=CD,连接BE交AD于点F,交AC于点G.下列结论中:①DE=DF;②AG=GF;③AF=DF;④BG=GC;⑤BF=EF,其中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【解析】
【分析】
由AAS证明△ABF≌△DEF,得出对应边相等AF=DF,BF=EF,即可得出结论,对于①②④不一定正确.
【详解】
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,即AB∥CE,
∴∠ABF=∠E,
∵DE=CD,
∴AB=DE,
在△ABF和△DEF中,
∵
=
=
=
ABF E
AFB DFE AB DE
∠∠
?
?
∠∠
?
?
?
,
∴△ABF≌△DEF(AAS),
∴AF=DF,BF=EF;
可得③⑤正确,
故选:B.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解题的关键.
2.如图,OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,则∠OAC等于()
A .65°
B .95°
C .45°
D .85°
【答案】B
【解析】
【分析】 根据OA =OB ,OC =OD 证明△ODB ≌△OCA ,得到∠OAC=∠OBD ,再根据∠O =50°,∠D =35°即可得答案.
【详解】
解:OA =OB ,OC =OD ,
在△ODB 和△OCA 中,
OB OA BOD AOC OD OC =??∠=∠??=?
∴△ODB ≌△OCA (SAS ),
∠OAC=∠OBD=180°-50°-35°=95°,
故B 为答案.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
3.如图,ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ,AD BD ⊥,30ABD ∠=?,若
23AD =.则OC 的长为( )
A .3
B .3
C 21
D .6
【答案】C
【解析】
【分析】 先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =,再根据平行四边形的性质求得3OD =,然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得21OC OA ==
【详解】
解:∵AD BD ⊥
∴90ADB ∠=?
∵在Rt ABD △中,30ABD ∠=?,AD =
∴2AB AD ==
∴6BD ==
∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴132
OB OD BD ===,12OA OC AC ==
∴在Rt AOD △中,AD =3OD =
∴OA =
∴OC OA ==
故选:C
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点,熟练掌握相关知识点是解决问题的关键.
4.等腰三角形两边长分别是 5cm 和 11cm ,则这个三角形的周长为( )
A .16cm
B .21cm 或 27cm
C .21cm
D .27cm
【答案】D
【解析】
【分析】
分两种情况讨论:当5是腰时或当11是腰时,利用三角形的三边关系进行分析求解即可.
【详解】
解:当5是腰时,则5+5<11,不能组成三角形,应舍去;
当11是腰时,5+11>11,能组成三角形,则三角形的周长是5+11×2=27cm .
故选D .
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质, 三角形三边关系,掌握等腰三角形的性质, 三角形三边关系是解题的关键.
5.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )
A .2cm ,3cm ,5cm
B .7cm ,4cm ,2cm
C .3cm ,4cm ,8cm
D .3cm ,3cm ,4cm
【答案】D
【解析】
【详解】
A .因为2+3=5,所以不能构成三角形,故A 错误;
B .因为2+4<6,所以不能构成三角形,故B 错误;
C .因为3+4<8,所以不能构成三角形,故C 错误;
D .因为3+3>4,所以能构成三角形,故D 正确.
故选D .
6.如图,点O 是ABC ?的内心,M 、N 是AC 上的点,且CM CB =,AN AB =,若100ABC ∠=?,则MON ∠=( )
A .60?
B .70?
C .80?
D .100?
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意,连接OA ,OB ,OC ,进而求得BOC MOC ???,AOB AON ???,即∠CBO =∠CMO ,∠OBA =∠ONA ,根据三角形内角和定理即可得到∠MON 的度数.
【详解】
如图,连接OA ,OB ,OC ,
∵点O 是ABC ?的内心,
∴BCO MCO ∠=∠,
∵CM =CB ,OC =OC ,
∴()BOC MOC SAS ???,
∴CBO CMO ∠=∠,
同理可得:AOB AON ???,
∴ABO ANO ∠=∠,
∵100CBA CBO ABO ∠=∠+∠=?,
∴100CMO ANO ∠+∠=?,
∴180()80MON CMO ANO ∠=?-∠+∠=?,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的性质及判定,三角形的内角和定理及角度的转换,熟练掌握相关辅助线的画法及三角形全等的判定是解决本题的关键.
7.如图,在菱形ABCD 中,AB =10,两条对角线相交于点O ,若OB =6,则菱形面积是
A.60 B.48 C.24 D.96
【答案】D
【解析】
【分析】
由菱形的性质可得AC⊥BD,AO=CO,BO=DO=6,由勾股定理可求AO的长,即可求解.【详解】
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO=6,
∴AO=22100368
AB OB
-=-=,
∴AC=16,BD=12,
∴菱形面积=1216
2
?
=96,
故选:D.
【点睛】
本题考查了菱形的性质,勾股定理,掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键.8.如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标轴为()
4,1, 点D的坐标为()
0,1,则菱形ABCD的周长等于()
A5B.3C.45D.20
【答案】C
【解析】
【分析】
如下图,先求得点A的坐标,然后根据点A、D的坐标刻碟AD的长,进而得出菱形ABCD 的周长.
如下图,连接AC 、BD ,交于点E
∵四边形ABCD 是菱形,∴DB ⊥AC ,且DE=EB
又∵B ()4,1,D ()0,1
∴E(2,1)
∴A(2,0)
∴AD=()()2220015-+-=
∴菱形ABCD 的周长为:45
故选:C
【点睛】
本题在直角坐标系中考查菱形的性质,解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标,从而求得菱形周长.
9.如图,已知△ABC 是等腰直角三角形,∠A =90°,BD 是∠ABC 的平分线,DE ⊥BC 于E ,若BC =10cm ,则△DEC 的周长为( )
A .8cm
B .10cm
C .12cm
D .14cm
【答案】B
【解析】
【分析】 根据“AAS”证明 ΔABD ≌ΔEBD .得到AD =DE ,AB =BE ,根据等腰直角三角形的边的关系,求其周长.
【详解】
∵ BD 是∠ABC 的平分线,
∴ ∠ABD =∠EBD .
又∵ ∠A =∠DEB =90°,BD 是公共边,
∴△ABD≌△EBD (AAS),
∴AD=ED,AB=BE,
∴△DEC的周长是DE+EC+DC
=AD+DC+EC
=AC+EC=AB+EC
=BE+EC=BC
=10 cm.
故选B.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质,角平分线的定义,全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即全等三角形的对应边相等、对应角相等)是解题的关键.
10.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于1
2
AB的长
为半径作弧,两弧相交于M、N两点,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数是( )
A.20°B.30°C.45°D.60°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据内角和定理求得∠BAC=60°,由中垂线性质知DA=DB,即∠DAB=∠B=30°,从而得出答案.
【详解】
在△ABC中,∵∠B=30°,∠C=90°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°,
由作图可知MN为AB的中垂线,
∴DA=DB,
∴∠DAB=∠B=30°,
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°,
故选B.
【点睛】
本题主要考查作图-基本作图,熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键.
11.如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ,若AD =5cm ,CD =3cm ,则点D 到AB 的距离DE 是( )
A .5cm
B .4cm
C .3cm
D .2cm
【答案】C
【解析】 ∵点D 到AB 的距离是DE ,
∴DE ⊥AB ,
∵BD 平分∠ABC ,∠C =90°,
∴把Rt △BDC 沿BD 翻折后,点C 在线段AB 上的点E 处,
∴DE=CD ,
∵CD =3cm ,
∴DE=3cm.
故选:C.
12.如图,在ABC ?中,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交BC 于点E .ABC ?的周长为19,ACE ?的周长为13,则AB 的长为( )
A .3
B .6
C .12
D .16
【答案】B
【解析】
【分析】 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.
【详解】
∵AB 的垂直平分线交AB 于点D ,
∴AE=BE ,
∵△ACE 的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13,△ABC 的周长=AC+BC+AB=19,
∴AB=△ABC 的周长-△ACE 的周长=19-13=6,
故答案为:B .
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质:垂直平分线垂直且平分其所在线段;垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.
13.下列几组线段中,能组成直角三角形的是( )
A .2,3,4
B .3,4,6
C .5,12,13
D .2,5,5
【答案】C
【解析】
【分析】
要验证是否可以组成直角三角形,根据勾股定理的逆定理,只要验证三边的关系是否满足两边平方是否等于第三边的平方即可,分别验证四个选项即可得到答案.
【详解】
A .222234+≠,故不能组成直角三角形;
B. 222346+≠,故不能组成直角三角形;
C .22251213+=,故可以组成直角三角形;
D .222255+≠,故不能组成直角三角形;
故选C .
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理(如果三角形两边的平方等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形),掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.
14.如图为一个66?的网格,在ABC ?,A B C '''?和A B C ''''''?中,直角三角形有( )个
A .0
B .1
C .2
D .3
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题中的网格,先运用勾股定理计算出各个三角形的边长,再根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形即可.
【详解】
设网格的小正方形的边长是1,
由勾股定理(两直角边的平方等于斜边的平方)可知,
ABC ?的三边分别是:AB=10,AC=5 ,BC=5;
由于()()()222
5510+=, 根据勾股定理的逆定理得:ABC ?是直角三角形; '''A B C ?的三边分别是:''A B =10, ''B C =5 ,''AC =13; 由于()()()22
210513+?, 根据勾股定理的逆定理得:'''A B C ?不是直角三角形;
A B C ''''''?的三边分别是:A B ''''=18,B C ''''=8 ,A C ''''=26;
由于()()()222
18826+=, 根据勾股定理的逆定理得:A B C ''''''?是直角三角形;
因此有两个直角等三角形;
故选C .
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理,能灵活运用所学知识是解题的关键.
15.如图,AD ∥BC ,∠C =30°, ∠ADB:∠BDC= 1:2,则∠DBC 的度数是( )
A .30°
B .36°
C .45°
D .50°
【答案】D
【解析】
【分析】 直接利用平行线的性质得出∠ADC=150°,∠ADB=∠DBC,进而得出∠ADB 的度数,即可得出答案.
【详解】
∵AD ∥BC,∠C=30°
∴∠ADC=150°,∠ADB=∠DBC
∵∠ADB:∠DBC=1:2
∴∠ADB=
13
×150°=50°,故选D. 【点睛】
熟练掌握平行线的性质是本题解题的关键.
16.如图,经过直线AB外一点C作这条直线的垂线,作法如下:(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁.
(2)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和E.
(3)分别以点D和点E为圆心,大于1
2
DE的长为半径作弧,两弧相交于点F.
(4)作直线CF.
则直线CF就是所求作的垂线.根据以上尺规作图过程,若将这些点作为三角形的顶点,其中不一定
...是等腰三角形的为()
A.△CDF B.△CDK C.△CDE D.△DEF
【答案】A
【解析】
【分析】
根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可.
【详解】
由作图过程可得:CD=CD,DF=EF,CD=CK
所以,是等腰三角形的有△CDK,△CDE,△DEF;△CDF不一定是等腰三角形.
故选:A
【点睛】
考核知识点:等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键.
17.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为
(3,3),点C的坐标为(1
2
,0),点P为斜边OB上的一个动点,则PA+PC的最小值为( )
A 13
B
31
C
3+19
D.7
【答案】B
【解析】
如图,作点A关于OB的对称点点D,连接CD交OB于点P,此时PA+PC最小,作DN⊥x 轴交于点N,
∵B(3,3),∴OA=3,AB=3,∴OB=23,∴∠BOA=30°,
∵在Rt△AMO中,∠MOA=30°,AO=3,∴AM=1.5,∠OAM=60°,∴∠ADN=30°,
∵在Rt△AND中,∠ADN=30°,AD=2AM=3,∴AN=1.5,DN=3
3
2
,
∴CN=3-1
2
-1.5=1,
∴CD2=CN2+DN2=12+(3
3
2
)2=
31
4
,∴CD=
31
.
故选B.
点睛:本题关键在于先借助轴对称的性质确定出P点的位置,然后结合特殊角30°以及勾股定理计算.
18.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍,那么斜边长扩大到原来的()
A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍
【答案】B
【解析】
设原直角三角形的三边长分别是,且,则扩大后的三角形的斜边长为
,即斜边长扩大到原来的2倍,故
选B.
19.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为( )
A.30°B.45°C.36°D.72°
【答案】A
【解析】
∵AB=AC,BD=BC=AD,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD,
又∵∠BDC=∠A+∠ABD,
∴∠BDC=∠C=∠ABC=2∠A,
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴∠A+2∠A+2∠A=180°,即5∠A=180°,
∴∠A=36°.
故选A.
20.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上,BD=3,DC=1,点P是AB上的动点,则PC+PD的最小值为()
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】B
【解析】
试题解析:过点C作CO⊥AB于O,延长CO到C′,使OC′=OC,连接DC′,交AB于P,连接CP.
此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小.∵DC=1,BC=4,∴BD=3,连接BC′,由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°,∴∠CBC′=90°,∴BC′⊥BC,∠BCC′=∠BC′C=45°,∴BC=BC′=4,根据勾股定理可得DC22
'
+22
BC BD
+.故选B.
34