第一讲集合与逻辑用语
第1节集合及其运算
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.
(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“?”表示).
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言符号语言
集合间的基本关系
相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A?B 真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元
素不是A中的元素
A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
集合的并集集合的交集集合的补集
符号表示A∪B A∩B
若全集为U，则集
合A的补集为?U A 图形表示
意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A} 并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.
交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.
补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A；
?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)；?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B).
★练习
1.已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则(?R A)∩B＝________.
2.(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B
中元素的个数为( ) A.5
B.4
C.3
D.2
3.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B 等于( ) A.(－1，3)
B.(－1，0)
C.(0，2)
D.(2，3)
4.(2015·浙江卷)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3}，Q ＝{x |2＜x ＜4}，则P ∩Q 等于( ) A.[3，4) B.(2，3]
C.(－1，2)
D.(－1，3]
一、选择题
1.(2015·安徽卷)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(?U B )等于( )
A.{1，2，5，6}
B.{1}
C.{2}
D.{1，2，3，4}
2. (2015·南昌监测)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( ) A.0
B.1
C.2
D.3
3.(2015·长春监测)已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝????
??
x ???x ＋1x －2≥0，则P ∩Q 等于( ) A.(－∞，2) B.(－∞，－1]C.[0，＋∞) D.(2，＋∞)
4.(2015·江西师大附中模拟)设集合A ＝{x |－1＜x ≤2，x ∈N }，集合B ＝{2，3}，则A ∪B 等于( ) A.{2}
B.{1，2，3}
C.{－1，0，1，2，3}
D.{0，1，2，3}
5.已知集合M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
6.(2014·宜春检测)设集合P ＝{x |x ＞1}，Q ＝{x |x 2－x ＞0}，则下列结论正确的是( ) A.P ?Q B.Q ?P C.P ＝Q
D.P ∪Q ＝R
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
1.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系. 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念
★练习
1.(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()
A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
2(2015·安徽卷)设p：x＜3，q：－1 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2015·浙江卷)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列命题： ①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分条件； ②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件； ③sin α＝sin β是α＝β的充要条件；④ab≠0是a≠0的充分不必要条件. 其中为真命题的是__________(填序号). 基础巩固题组 一、选择题 1.(2015·重庆卷)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的() A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是() A.若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 B.若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数 C.若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 D.若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数 3.设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题 4.“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数 是________. 5.“m <1 4”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件(填“充分不必要、必 要不充分、充要”). 6.函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________. 第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非” (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词. (2)命题p 且q 、p 或q 、綈p 的真假判断 2(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等． (2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等． 3．全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题． 4．命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p 或q 的否定为：非p 且非q ；p 且q 的否定为：非p 或非q . ★练习 1．(2015·湖北卷)命题“存在x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是( ) A ．任意x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．任意x ?(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．存在x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1D ．存在x ?(0，＋∞)，ln x ＝x －1 2..若命题“?x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________. 基础巩固题组 一、选择题 1.(2015·抚州二检)若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A.p 且q 是真命题 B.p 或q 是假命题 C.非p 是真命题 D.非q 是真命题 2．.命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是( ) A.对任意实数x ，都有x ＞1B.不存在实数x ，使x ≤1 C.对任意实数x ，都有x ≤1D.存在实数x ，使x ≤1 3．下列四个命题 p 1：存在x ∈(0，＋∞)，????12x ＜????13x ；p 2：存在x ∈(0,1)，； p 3：任意x ∈(0，＋∞)，????12x ＞；p 4：任意x ∈????0，13，??? ?1 2x ＜. 其中真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4 第二讲 函数概念与函数基本性质 第1节 函数及其表示 1．函数的基本概念(1)函数的定义 给定两个非空数集A 和B ，如果按照某个对应关系f ，对于集合A 中的任何一个数x ，在集合B 中都存在唯一的数f (x )与之对应，那么就把对应关系f 叫作定义在集合A 上的函数，记作f ：A →B 或y ＝f (x )，x ∈A ，此时x 叫作自变量，集合A 叫做函数的定义域，集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． (3)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法． (4)分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数． 分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 2.函数定义域的求法 类型 x 满足的条件 2n f （x ），n ∈N * f (x )≥0 1 f （x ） 与[f (x )]0 f (x )≠0 log a f (x ) f (x )＞0 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 ★练习 1.下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A.f (x )＝|x | B.f (x )＝x －|x |C.f (x )＝x ＋1 D.f (x )＝－x 2.(2015·重庆卷)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A.[－3，1] B.(－3，1) C.(－∞，－3]∪[1，＋∞) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞) 3.(2015·陕西卷)设f (x )＝???1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0， 则f (f (－2))等于( ) A.－1 B.14 C.12 D.32 基础巩固题组 一、选择题 1.下图中可作为函数y ＝f (x )的图象的是( ) 2.下列函数中，与函数y ＝13x 的定义域相同的函数为( ) A.y ＝1 sin x B.y ＝ln x x C.y ＝x e x D.y ＝sin x x 3.设函数f (x )＝???? ?x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f (f (3))等于( ) A.1 5 B.3 C.23 D.139 4..某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A.y ＝????x 10 B.y ＝?? ??x ＋310 C.y ＝???? x ＋410 D.y ＝?? ?? x ＋510 二、填空题 6.函数f (x )＝ x ＋1log 0.2（3－x ） 的定义域为________. 7.已知函数f (x )＝?????3－x 2，x ∈[－1，2]， x －3，x ∈（2，5]， 则方程f (x )＝1的解为________. 第2节 函数的单调性与最大(小)值 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A 当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说 函数f (x )在区间A 上是增加的 当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说 函数f (x )在区间A 上是减少的 续表 图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 1212①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0?f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2＜0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0?f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． (3)单调区间的定义:如果y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么称A 为单调区间． 2．函数的最值 前提 函数y ＝f (x )的定义域为D 条件 (1)对于任意x ∈D ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M (3)对于任意x ∈D ，都有f (x )≥M ； (4)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 ★练习 1.(2015·宜春调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) A.y ＝1 x －x B.y ＝x 2－x C.y ＝ln x －x D.y ＝e x －x 2.数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是______. 3f (x )＝ 2 x －1 ，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________. 基础巩固题组 一、选择题
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