动量和能量的综合应用 动量与能量综合应用问题常见的有以下三种模型：
一、滑块—木板模型
1．把滑块、木板看作一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒．
2．由于摩擦生热，把机械能转化为内能，系统机械能不守恒．应由能量守恒求解问题．
3．注意：滑块不滑离木板时最后二者有共同速度．
例1 如图所示，在光滑的水平面上有一质量为M 的长木板，以速度v 0向右做匀速直线运动，将质量为m 的小铁块轻轻放在木板上的A 点，这时小铁块相对地面速度为零，小铁块相对木板向左滑动．由于小铁块和木板间有摩擦，最后它们之间相对静止，已知它们之间的动摩擦因数为μ，问：
(1)小铁块跟木板相对静止时，它们的共同速度多大？
(2)它们相对静止时，小铁块与A 点距离多远？
(3)在全过程中有多少机械能转化为内能？
解析 (1)木板与小铁块组成的系统动量守恒．以v 0的方向为正方向，由动量守恒定律得，
M v 0＝(M ＋m )v ′，则v ′＝M v 0M ＋m
. (2)由功能关系得，摩擦力在相对位移上所做的功等于系统动能的减少量，μmgx 相＝12M v 20－12
(M ＋m )v ′2. 解得x 相＝M v 20
2μg (M ＋m )
(3)由能量守恒定律可得，Q ＝12M v 20－12(M ＋m )v ′2＝Mm v 202(M ＋m )
答案 (1)M v 0M ＋m (2)M v 202μg (M ＋m ) (3)Mm v 202(M ＋m )
例2 如图所示，光滑水平桌面上有长L ＝2 m 的挡板C ，质量m C ＝5 kg ，在其正中央并排放着两个小滑块A 和B ，m A ＝1 kg ，m B ＝3 kg ，开始时三个物体都静止．在A 、B 间放有少量塑胶炸药，爆炸后A 以6 m/s 的速度水平向左运动，A 、B 中任意一块与挡板C 碰撞后，都粘在一起，不计摩擦和碰撞时间，求：(1)当两滑块A 、B 都与挡板C 碰撞后，C 的速度是多大；
(2)A 、C 碰撞过程中损失的机械能．
解析 (1)A 、B 、C 系统动量守恒，有0＝(m A ＋m B ＋m C )v C ，解得v C ＝0.
(2)炸药爆炸时A 、B 系统动量守恒，有m A v A ＝m B v B 解得：v B ＝2 m/s
A 、C 碰撞前后系统动量守恒，有m A v A ＝(m A ＋m C )v 解得v ＝1 m/s
A 、C 碰撞过程中损失的机械能ΔE ＝12m A v 2A －12
(m A ＋m C )v 2＝15 J.答案 (1)0 (2)15 J 二、子弹打木块模型
1．子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，则系统动量守恒．
2．在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化．
3．若子弹不穿出木块，二者最后有共同速度，机械能损失最多．
例3如图所示，在水平地面上放置一质量为M的木块，一质量为m的子弹以水平速度v射入木块(未穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为μ，求：
(1)子弹射入后，木块在地面上前进的距离；
(2)射入的过程中，系统损失的机械能．
解析子弹未射出碰撞后子弹与木块的速度相同，而系统损失的机械能为初、末状态系统的动能之差．
(1)设子弹射入木块时，二者的共同速度为v′，取子弹的初速度方向为正方向，则有：m v＝(M＋m)v′，①
二者一起沿地面滑动，前进的距离为x，由动能定理得：－μ(M＋m)gx＝0－1
2(M＋m)v′
2，②
由①②两式解得：x＝m2v2
2(M＋m)2μg
(2)过程中损失的机械能ΔE＝1
2m v
2－12(M＋m)v′2，③解得：ΔE＝
Mm v2
2(M＋m)
.(1)
m2v2
2(M＋m)2μg
(2)
Mm v2
2(M＋m)
三、弹簧类模型
1．对于弹簧类问题，在作用过程中，系统合外力为零，满足动量守恒．
2．整个过程涉及到弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题．3．注意：弹簧压缩最短时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大．
例4两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s 的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图所示．B与C碰撞后二者会粘在一起运动．则在以后的运动中：
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？
(2)系统中弹性势能的最大值是多少？
解析(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大．由A、B、C三者组成的系统动量守恒，
(m A＋m B)v＝(m A＋m B＋m C)·v ABC，解得v ABC＝(2＋2)×6
2＋2＋4
m/s＝3 m/s.
(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为v BC，则m B v＝(m B＋m C)v BC，
v BC＝2×6
2＋4
m/s＝2 m/s，设物块A、B、C速度相同时弹簧的弹性势能最大为E p，根据能量守恒E p＝
1
2(m B
＋m C)v2BC＋1
2m A v
2－12(m A＋m B＋m C)v2ABC＝12×(2＋4)×22 J＋12×2×62 J－12×(2＋2＋4)×32 J＝12 J.
答案(1)3 m/s(2)12 J
1．(滑块—木板模型)质量为M、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m 的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ，初始时小物块停在箱子正中间，如图5所示．现给
小物块一水平向右的初速度v ，小物块与箱壁碰撞N 次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持相对静止．设碰撞都是弹性的，则整个过程中，系统损失的动能为( )
A.12
m v 2 B.mM v 22(m ＋M ) C.12NμmgL D ．NμmgL
答案 BD 解析 根据动量守恒，小物块和箱子的共同速度v ′＝m v M ＋m
，损失的动能ΔE k ＝12m v 2－12(M ＋m )v ′2＝mM v 2
2(m ＋M )，所以B 正确．根据能量守恒，损失的动能等于因摩擦产生的热量，而计算热量的方法是摩擦力乘以相对位移，所以ΔE k ＝fNL ＝NμmgL ，所以D 正确．
2．(子弹打木块模型)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度v 水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射进一半厚度，如图所示，上述两种情况相比较( )
A ．子弹对滑块做功一样多
B ．子弹对滑块做的功不一样多
C ．系统产生的热量一样多
D ．系统产生的热量不一定多
答案 AC 解析 两次都没射出，则子弹与滑块最终达到共同速度，设为v 共，由动量守恒定律可得m v
＝(M ＋m )v 共，得v 共＝m M ＋m
v ；子弹对滑块所做的功等于滑块获得的动能，故选项A 正确；系统损失的机械能转化为热量，故选项C 正确．
3．(弹簧类模型)如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P 和Q 均可视为质点，质量均为m ，Q 与轻质弹簧相连并处于静止状态，P 以初速度v 向Q 运动并与弹簧发生作用．求整个过程中弹簧的最大弹性势
能．答案 14
m v 2解析 P 和Q 速度相等时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒得m v ＝2m v 共由能量守恒定律得12m v 2＝E pmax ＋12(2m )v 2共解得E pmax ＝14
m v 2 4．(动量和能量的综合应用)如图所示，质量为M 的小车静止在光滑水平轨道上，下面用长为L 的细线悬挂着质量为m 的沙箱，一颗质量为m 0的子弹以v 0的水平速度射入沙箱，并留在其中，在以后的运动过程中，求沙箱上升的最大高度．
答案 m 20M v 202(m 0＋m )2(m 0＋m ＋M )g
解析 子弹打入沙箱过程中动量守恒，以v 0的方向为正方向，由动量守恒定律得m 0v 0＝(m 0＋m )v 1 摆动过程中，子弹、沙箱、小车组成的系统水平方向动量守恒，机械能守恒．
沙箱到达最大高度时，系统有相同的速度，设为v 2，则有(m 0＋m )v 1＝(m 0＋m ＋M )v 2
12(m 0＋m )v 21＝12
(m 0＋m ＋M )v 22＋(m 0＋m )gh 联立以上各式可得沙箱上升的最大高度h ＝m 20M v 20
2(m 0＋m )2(m 0＋m ＋M )g
. 1．如图1所示，质量为M 的盒子放在光滑的水平面上，盒子内表面不光滑，盒内放有一块质量为m 的物体，某时刻给物体一个水平向右的初速度v 0，那么在物体与盒子前后壁多次往复碰撞后( )
A ．两者的速度均为零
B ．两者的速度总不会相等
C ．盒子的最终速度为m v 0M ，方向水平向右
D ．盒子的最终速度为m v 0M ＋m
，方向水平向右答案 D 2．如图所示，物体A 静止在光滑的水平面上，A 的左边固定有轻质弹簧，与A 质量相同的物体B 以速度v 向A 运动并与弹簧发生碰撞，A 、B 始终沿同一直线运动，则A 、B 组成的系统动能损失最大的时刻是( )
A ．A 开始运动时
B ．A 的速度等于v 时
C ．B 的速度等于零时
D ．A 和B 的速度相等时 答案 D 解析 对A 、B 组成的系统由于水平面光滑，所以动量守恒．而对A 、B 、弹簧组成的系统机械能守恒，即A 、B 动能与弹簧弹性势能之和为定值．当A 、B 速度相等时，可类似于A 、B 的完全非弹性碰撞，A 、B 总动能损失最多．弹簧形变量最大，弹性势能最大．
3．质量为m 1、m 2的滑块分别以速度v 1和v 2沿斜面匀速下滑，斜面足够长，如图所示，已知v 2>v 1，有一轻弹簧固定在m 2上，则弹簧被压缩至最短时m 1的速度多大？
答案 m 1v 1＋m 2v 2m 1＋m 2
解析 两滑块匀速下滑所受外力为零，相互作用时合外力仍为零，动量守恒．当弹簧被压缩时，m 1加速，m 2减速，当压缩至最短时，m 1、m 2
速度相等．设两滑块速度相等时为v ，则有m 1v 1＋m 2v 2＝(m 1＋m 2)v
解得弹簧被压缩至最短时的速度v ＝m 1v 1＋m 2v 2m 1＋m 2
. 4．如图所示，A 、B 两个木块用轻弹簧相连接，它们静止在光滑水平面上，A 和B 的质量分别是99m 和100m ，一颗质量为m 的子弹以速度v 0水平射入木块A 内没有穿出，则在以后的过程中弹簧弹性势能的最大值为( )
A.m v 20400
B.m v 20200
C.99m v 20200
D.199m v 20400
答案 A 解析 子弹射入木块A 的过程中，动量守恒，有m v 0＝100m v 1，子弹、A 、B 三者速度相等时，
弹簧的弹性势能最大，100m v 1＝200m v 2，弹性势能的最大值E p ＝12×100m v 21－12×200m v 22＝m v 20400
. 5．如图所示，带有半径为R 的14
光滑圆弧的小车其质量为M ，置于光滑水平面上，一质量为m 的小球从圆弧的最顶端由静止释放，则小球离开小车时，小球和小车的速度分别为多少？
答案 2MgR M ＋m ，方向水平向左 2m 2gR M (M ＋m )
，方向水平向右 解析 小球和小车组成的系统虽然总动量不守恒，但在水平方向动量守恒，且全过程满足机械能守恒，设小球和小车分离时，小球的速度为v 1，方向水平向左，小车的速度为v 2，方向水平向右．则：m v 1－
M v 2＝0mgR ＝12m v 21＋12
M v 22 解得v 1＝ 2MgR M ＋m ，方向水平向左，v 2＝ 2m 2gR M (M ＋m )
，方向水平向右． 6．如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小
滑块A 和B 分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点．现将A 无初速度释
放，A 与B 碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动．已知圆弧轨道光滑，
半径R ＝0.2 m ；A 和B 的质量相等；A 和B 整体与桌面之间的动摩擦因数μ＝0.2.取重力加速度g ＝10 m/s 2.求：(1)碰撞前瞬间A 的速率v (2)碰撞后瞬间A 和B 整体的速率v ′(3)A 和B 整体在桌面上滑动的距离l . 答案 (1)2 m /s (2)1 m/s (3)0.25 m 解析 设滑块的质量为m
(1)根据机械能守恒定律mgR ＝12
m v 2得碰撞前瞬间A 的速率v ＝2gR ＝2 m/s (2)根据动量守恒定律m v ＝2m v ′得碰撞后瞬间A 和B 整体的速率v ′＝12
v ＝1 m/s (3)根据动能定理12(2m )v ′2＝μ(2m )gl 得A 和B 整体沿水平桌面滑动的距离l ＝v ′22μg
＝0.25 m 7．如图所示，光滑水平面上有A 、B 两小车，质量分别为m A ＝20 kg ，m B ＝25 kg.A 车以初速度v 0＝3 m/s 向右运动，B 车静止，且B 车右端放着物块C ，C 的质量为m C ＝15 kg.A 、B 相撞且在极短时间内连接在一起，不再分开．已知C 与B 上表面间动摩擦因数为μ＝0.2，
B 车足够长，求
C 沿B 上表面滑行的长度．
答案 13 m 解析 A 、B 相撞：m A v 0＝(m A ＋m B )v 1，解得v 1＝43
m/s.由于在极短时间内摩擦力对C 的冲量可以忽略，故A 、B 刚连接为一体时，C 的速度为零．此后，C 沿B 上表面滑行，直至相对于B 静止为止．这一过程中，系统动量守恒，系统的动能损失等于滑动摩擦力与C 在B 上的滑行距离之积；
(m A ＋m B )v 1＝(m A ＋m B ＋m C ) v 12(m A ＋m B )v 21－12(m A ＋m B ＋m C )v 2＝μm C gL 解得L ＝13
m. 8．两质量分别为M 1和M 2的劈A 和B ，高度相同，放在光滑水平面上，A 和B 的倾斜面都是光滑曲面，曲面下端与水平面相切，如图8所示，一质量为m 的物块位于劈A 的倾斜面上，距水平面的高度为h ，物块从静止滑下，然后又滑上劈B ，求物块在B 上能够达到的最大高度．
答案 M 1M 2(M 1＋m )(M 2＋m )
h 解析 设物块到达劈A 的底端时，物块和A 的速度大小分别为v 和v 1，由机械能守恒定律和动量守恒定律得mgh ＝12m v 2＋12
M 1v 21 M 1v 1＝m v 设物块在劈B 上达到的最大高度为h ′，此时物块和B 的共同速度大小为v 2，由机械能守恒定律和动量守
恒定律得mgh ′＋12(M 2＋m )v 22＝12m v 2 m v ＝(M 2＋m )v 2 解得h ′＝M 1M 2(M 1＋m )(M 2＋m )
h 9．在如图所示的光滑水平面上，小明站在静止的小车上用力向右推静止的木箱，木箱离开手以5 m/s 的速度向右匀速运动，运动一段时间后与竖直墙壁发生弹性碰撞，反弹回来后被小明接住．已知木箱的质量为30 kg ，人与车的质量为50 kg ，求：
(1)推出木箱后小明和小车一起运动的速度大小；
(2)小明接住木箱后三者一起运动，在接木箱过程中系统损失的能量．答案 (1)3.75 m/s (2)37.5 J 解析 (1)在推木箱的过程，由动量守恒定律可得：M v 1＝m v 2代入数据可得：v 1＝3 m/s
小明在接木箱的过程，由动量守恒定律可得：M v 1＋m v 2＝(M ＋m )v 3代入数据可得：v 3＝3.75 m/s
(2)故损失的能量：ΔE ＝12M v 21＋12m v 22－12
(M ＋m )v 23代入数据可得：ΔE ＝37.5 J.