高二数学(理)第二学期期终
考试
模拟试卷(二)
考试范围：必修5、选修21-、22-、23-、44-． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）．
1．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z ?=，则
z
z
= ▲ ．
2．“0x >”是“0>”成立的 ▲ 条件．
（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出一种）．
3．已知双曲线2
2
13
y x -=，那么它的焦点到渐近线的距离为 ▲ ． 4．以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，有下列命题：
①极坐标为3)4
π的点P 所对应的复数是33i -+；
②cos 1ρθ=与曲线22
x y y +=无公共点；
③圆2sin ρθ=的圆心到直线2cos sin 10ρθρθ-+= ④(0)π
θρ=
>与曲线2cos sin x y θ
θ=??=?（θ为参数）相交于点P ,则点P 的直角坐标是
2
.
其中真命题的序号是 ▲ ．
5．在ABC ?内，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，若a =
2b =，sin cos B B +=，
则角A 的大小为 ▲ ．
6．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1235a a a =，78910a a a =，则456a a a = ▲ ．
7．设P 为曲线2
:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线的倾斜角取值范围是
[0,]4
π
，则点P 纵坐标．．．的取值范围为 ▲ ．
8．设离散型随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4．()(1,2,3,4)P k ak b k ξ==+=，又ξ的数学期望3E ξ=，则a b += ▲ ．
9．某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，则每位同学共有 ▲ 种不同选修方案． 10．在210(1)(1)x x x ++-的展开式中，含3
x 项的系数是 ▲ ．
11．下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆
数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则123,,x x x 的大小关系为 ▲ ．（按由小到大的顺序排列）．
12．已知1a ，2a ，… ，n a ；1b ，2b ，… ，n b （n 是正整数），令112n L b b b =+++，
22L b =
3n b b +++，… ，n n L b =．某人用下图分析得到恒等式：
11221122n n a b a b a b a L c L +++=+
33k k n n c L c L c L ++
++
+，则k c = ▲ （2k n ≤≤）
．
13．函数()(02)f x x π=
≤≤的值域是 ▲ ．
14．如图，已知圆22
4(2)9x y -+=是椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>
的内接ABC ?的内切
圆，其中A 为椭圆C 的左顶点，且椭圆C 的离心率为4
，则此椭圆的标准方程为
▲ ．
二、解答题（本大题共算步骤）．
15．(本小题满分14分)在ABC ?中，cos cos AC B
AB C
= (Ⅰ)证明：B C =；
(Ⅱ)若1cos 3A =-，求sin(4)3
B π
+的值．
16．(本小题满分14分)如图，四棱锥S
ABCD -中，底面AD =2DC SD ==，点M 是侧棱SC 的中点． (Ⅰ)求异面直线BM 与CD 所成角的大小； (Ⅱ)求二面角S AM B --的余弦值．
17．(本小题满分14分)已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和
为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令*
2
1()1
n n b n N a =∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
16分) 袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1
7
，．．
摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，
直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.
(Ⅰ)求袋中所有的白球的个数；(Ⅱ)求随机变量ξ的概率分布； (Ⅲ)求甲取到白球的概率.
19．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,1)A -关于原点O 对称，P
是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于1
3
-． (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线3x =交与点,M N ，问：是否存在点P 使得PAB ?与
PMN ?的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
20．(本小题满分16分)已知函数()f x =()ln ,g x a x a R =∈．
(Ⅰ)若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交，且在交点处有共同的切线，求a (Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，当()h x 存在最小值时，求其最小值()a ?的解析式； (Ⅲ)对(Ⅱ)中的()a ?和任意的0,0a b >>，证明：
()()2(
)()22a b a b ab
a b
????''++''≤≤+．
高二数学(理)第二学期期终考试
模拟试卷(二)参考答案
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）．
1． i ± 8．
1
10 2． 充分不必要 9．
75
3．． 85- 4． ①② 11． 132x x x <<
5．
6
π
12． 1k k a a --
6． ． 11
[,]22
-
7． 9[2,]4 14．
2
2116x y +=
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
15．解
16．解(Ⅰ) 060ABM ∠=
(Ⅱ)
(0,1,1),M A ，得AM
的中点11(
,)222
G ， 又231
(
,)22
GB =
-，(0,1,1)MS =-，(,1)AM =， 故0GB AM ?=，0MS AM ?=即GB AM ⊥，MS AM ⊥. 因此,GB MS 等于二面角S AM B --的平面角
.
cos ,GB MS GB MS GB MS
?=
=
-
所以二面角S AM B --的余弦值为-
17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有
11
27
21026a d a d +=??
+=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)
3n+
22
?=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =
21
1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=
111(-)4n n+1
?， 所以n T =
111111(1-+++-)4223n n+1?-=11(1-)=4n+1?n
4(n+1)
，
即数列{}n b 的前n 项和n T =
n
4(n+1)
。
18．解：(I)设袋中原有n 个白球,由题意知227
(1)
1(1)2767762
n n n C n n C --===
?? 可得3n =或2n =-(舍去)即袋中原有3个白球.
(II)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5
3(1);7P ξ== ()4322;767P ξ?===? 4326
(3);
76535
P ξ??===??
43233(4);765435P ξ???==
=??? 432131
(5);
7654335
P ξ????===???? 所以ξ的分布列为:
(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件A ,则
()()()22()13535
P A P P P ξξξ==+=+==
19．解：（I ）解：因为点B 与A (1,1)-关于原点O 对称，所以点B 得坐标为(1,1)-.
设点P 的坐标为(,)x y ，由题意得
111
113
y y x x -+=-+- 化简得 2234(1)x y x +=≠±。故动点P 的轨迹方程为2234(1)x y x +=≠±
（II ）解法一：设点P 的坐标为00(,)x y ，点M ，N 得坐标分别为(3,)M y ,(3,)N y .
则直线AP 的方程为0011(1)1y y x x --=
++，直线BP 的方程为001
1(1)
1
y y x x ++=-- 令3x =得000431
M y x y x +-=+，00023
1
N y x y x -+=-.
于是PMN 得面积2000020||(3)1
||(3)2|1|
PMN M N x y x S y y x x +-=--=-
又直线AB 的方程为0x y +=，||AB =P 到直线AB 的距离d =.
于是PAB 的面积001
||||2
PAB S AB d x y ==+
当PAB PMN
S S =时，得2
0000020||(3)|||1|
x y
x x y x +-+=-
又00||0x y +≠，所以20(3)x -=20|1|x -，解得05
|3
x =。
因为220034x y +=，所以0y =
故存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为5(,3.
解法二：若存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等，设点P 的坐标为00(,)x y
则
11
||||sin ||||sin 22
PA PB APB PM PN MPN ∠=∠. 因为sin sin APB MPN
∠=∠,所以||||
||||PA PN PM PB =所以00
0|1||3||3||x x x x +-=-- 即 2200(3)|1|x x -=-，解得0x 53=，因为220034x y +=，所以0y =
故存在点P S 使得PAB 与PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为5(,3.
20．解：