赫尔德不等式的推论变形与运用
200136 复旦大学附属中学黄立羽
【期刊名称】上海中学数学
【年(卷),期】2014(000)005
【总页数】2
一、引式：赫尔德不等式
设aij>0(1≤i≤j≤n,1≤j≤m)，若aj(1≤j≤m),且α1+α2+…+αm=1,则
显然，当这个不等式只有两项，即当时，当α1=α2时即为(Cauchy)不等式，从中可以看到Cauchy不等式是Holder不等式的特殊情况.
二、变形与运用
下面呈现一个基本的不等式：
这便是众所周知的柯西不等式的变形，证明过程如下：
由柯西不等式:当且仅当时等号成立，由此可以推出
这一命题成立后，不妨提出一个猜想：
定理
下面使用赫尔德不等式证明：
证法1：因为
则原式?
?
?
?
伯努利不等式 概念 伯努利不等式： 对任意整数0≥n ，和任意实数1->x ， 有nx x n +≥+1)1(成立； 如果0≥n 是偶数，则不等式对任意实数x 成立。 可以看到在1,0=n ，或0=x 时等号成立； 而对任意正整数2≥n 和任意实数0,1≠-≥x x ，有严格不等式：nx x n +>+1)1(。 伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。 伯努利不等式的一般式为： )1()1)(1()1(2121n n x x x x x x +++≤++++ ，当且仅当n=1时等号成立。 证明 设+∈≥≠->N n x x 2,0,1，则nx x n +≥+1)1(。 证 用数学归纳法证明。 当1=n 时，易知上述不等式成立， 设对1-n ，有：x n x n )1(1)1(1-+≥+-成立，则 []nx x nx nx x n x x n x x n x x x n n +≥-++=-++-+=+-+≥++=+-11)1()1(1) 1()1(1) 1()1()1(2 221 即+∈?N n ，1->x ，有nx x n +≥+1)1(。 推广 下面把伯努利不等式推广到实数幂形式： 若0≤r 或1≥r ，有rx x r +≥+1)1(； 若10≤≤r ，有rx x r +≤+1)1(。 证 通过微分进行证明。 如果1,0=r ，则结论是显然的。
如果1,0≠r ，作辅助函数)1()1()(rx x x f r +-+=，那么r x r x f r -+?=-1)1()('，则00)('=?=x x f ； 下面分情况讨论： 1. 10< 柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑ 基本不等式知识点归纳 1．基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2 b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1 +=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 专题：基本不等式 基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 三个不等式关系： （1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2 ，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系 【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 练习：1．若实数满足，且，则的最小值为 ． 2.若实数,x y 满足1 33(0)2xy x x +=<< ，则313 x y +-的最小值为 ． 3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b += ，则 2ac c c b ab +-+ 的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为 ． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 变式：1.若,a b R +∈,且满足22 a b a b +=+,则a b +的最大值为_________. 2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 3.设R y x ∈,，142 2 =++xy y x ，则y x +2的最大值为_________ 4.已知正数a ，b 满足 19 5a b +=，则ab 的最小值为 ,x y 0x y >>22log log 1x y +=22 x y x y +- 基本不等式ab b a 22 2≥+的变式及应用 不等式ab b a 222≥+是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种常见的变式及应用 1、十种变式 ①222b a ab +≤； ②2 )2(b a ab +≤； ③2 )2(222b a b a +≤+ ； ④)(222b a b a +≤+ ⑤若0>b ，则b a b a -≥22 ； ⑥ ,,+∈R b a 则b a b a +≥+411 ⑦若ab b a R b a 4 )11(,,2≥ +∈+ ⑧若 ≠ab ，则 2 2 2)11(2111b a b a +≥+ 上述不等式中等号成立的充要条件均为： b a = ⑨若R b a R n m ∈∈+ ,,,，则n m b a n b m a ++≥+2 22)(（当且仅当bm an =时 等号成立） ⑩)(3)(2222c b a c b a ++≤++（当且仅当c b a ==时等号成立） 2、应用 例1、若+∈R c b a ,,，且2=++c b a ，求证：4111<+++++c b a 证法一：由变式①得21 111++≤ +? a a 即12 1+≤+a a 同理：121+≤ +b b ，12 1+≤+c c 因此 12111+≤+++++a c b a 41212≤++++c b 由于三个不等式中的等号不能同时成立，故 4111<+++++c b a 评论：本解法应用“2 2 2b a ab +≤ ”观察其左右两端可以 发现，对于某一字母左边是一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幂与降幂功能，本解法应用的是升幂功能。 证法二：由变式④得)11(211+++≤+++b a b a 同理： )11(211++≤++c c ∴≤ ++++++1111c b a )4(2)2(2)2(2+++≤++++c b a c b a 512<= 故结论成立 评论：本解法应用“)(222b a b a +≤+” ，这个变式的功能是将“根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。 证法三：由变式⑩得 1(3)111(2+≤+++++a c b a 15)11=++++c b 故4111<+++++c b a 即得结论 数学史上的十个著名不等式 在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这 片天地装点得更加丰富多彩?下面择要介绍一些著名的不等式. 一、平均不等式(均值不等式) 当这：个实数非负时叫做这-?个非负数的几何平均数. 当这：个实数均为正数时， ? ? ?叫做这；个正数的调和平均数. 设'，—，???，‘■?为'?个正数时，对如下的平均不等式: =—二，当且仅 当八 —J 时等号成立. 平均不等式」；是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的 最大值和最小值即是其应用之一. 设是'?个正的变数，贝U (1)当积是定值时，和I 】1 ■有最小值，且 「是定值时，积有最大值，且 设"， -是」个实数， ■ 叫做这」个实数的算术平均数 . 两者都是当且仅当：个变数彼此相等时，即J时，才能取得最大值或最小值. a i + a2 > rr- 在」；中，当「时，分别有；’, —①=??? = a =—平均不等式」二经常用到的几个特例是（下面出现的-时等号成立； （口］ + 十 * ? * + + —卡.* * + 2 輕' （3）■■- ，当且仅当「卩?…"<■时等号 成立； ^ + -1 > 2 _ （4），当且仅当'「时等号成立. 二、柯西不等式（柯西一许瓦兹不等式或柯西一布尼雅可夫斯基不等 式） 对任意两组实数'，_，???，「；；，???，：：，有 （◎禹+码為+…￡ +昇+…*<）?（獰+衬+…+盯）其中等号当且仅当丑.鱼生 啓切%时成立. 柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的 ''都表示实数）是： 1磧席+…+盯=1贝*禹乜迟+-" + t3Al-1 (1) 伯努利不等式 数学中的伯努利不等式是说：对任意整数n≥0，和任意实数x≥-1，有 (1+x)^n≥1+nx 成立； 如果n≥0是偶数，则不等式对任意实数x成立。 可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数n≥2 和任意实数x≥-1，x≠0，有 严格不等式： (1+x)^n＞1+nx。 伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。 证明 设x＞-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx. 证明: 用数学归纳法: 当n=1,上个式子成立, 设对n-1,有: (1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立, 则 (1+x)^n =(1+x)^(n-1)(1+x) >=[1+(n-1)x](1+x) =1+(n-1)x+x+(n-1)x^2 >=1+nx 就是对一切的自然数,当 x>=-1,有 (1+x)^n>=1+nx 下面把伯努利不等式推广到实数幂形式： 若r ≤0或r ≥ 1，有(1+x)^r ≥ 1 + rx 若0 ≤ r ≤ 1，有(1+x)^r ≤ 1 + rx 这个不等式可以直接通过微分进行证明，方法如下： 如果r=0，1，则结论是显然的 如果r≠0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx), 那么 f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r, 则f'(x)=0 <==> x=0; 下面分情况讨论： 1. 0 < r < 1，则对于x > 0，f'(x) < 0；对于? 1 < x < 0，f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0处取最大值0，故得(1+x)^r ≤ 1+rx。 2. r < 0或r > 1，则对于x > 0，f'(x) > 0；对于? 1 < x < 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0处取最小值0，故得(1+x)^r ≥ 1+rx 证毕 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则 22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d a c b d ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 第9课时基本不等式及其变形 1.熟悉基本不等式的变形;并会用基本不等式及其变形来解题. 2了解基本不等式的推广,并会应用. 上一课时我们共同学习了基本不等式的基本概念以及利用基本不等式求最值,并了解了一正二定三相等四最值这些过程.基本不等式是一种重要的数学工具,是集合、函数、不等式、三角函数、数列等知识的综合交汇点,地位重要,这一讲我们将共同探究基本不等式及其变形的应用. 问题1:常见的基本不等式的变形 (1)x+≥2(x>0),x+≤-2(x<0); (2)+≥2(a,b同号),+≤-2(a,b异号); (3)a+b≥2,()2ab; (4)ab≤,()2≤,当且仅当a=b时取等号. 问题2:基本不等式的推广 已知a,b是正数,则有 (调和平均数)≤(几何平均数)≤(算术平均数)≤(平方平均数),当且仅当a=b时取等号. 问题3:基本不等式的推广的推导 ∵a,b是正数,∴≤=, 而≤,又a2+b2≥2ab, ∴2(a2+b2)≥(a+b)2,∴≤. 故≤≤≤. 问题4:若a,b,c∈R+,则≥,当且仅当a=b=c时等号成立,则关于n个正数a1,a2,a3,…,a n的基本不等式为:≥,当且仅当a1=a2=a3=…=a n时等号成立,其中叫作这n个数的,叫作这n个数的. 1.四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列,则(). A.> B.< C.= D.≤ 2.已知a>1,b>1,且lg a+lg b=6,则lg a·lg b的最大值为(). A.6 B.9 C.12 D.18 3.已知a,b为正实数,如果ab=36,那么a+b的最小值为;如果a+b=18,那么ab的最大值为. 4.已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca. 利用基本不等式判断不等关系 若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是(写出所有正确命题的编号). ①ab≤1;②+≤;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤+≥2. 基本不等式在证明题中的应用 已知a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c. 赫尔德不等式 目录 编辑本段 在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f ||p和||g||q表示（可能无穷的）表达式：以及如果p = ∞，那么||f ||∞表示|f |的本性上确界，||g||∞也类似。在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞，则得出∞。 编辑本段 证明 如果||f ||p = 0，那么fμ-几乎处处为零，且乘积fgμ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q = 0也是这样。因此，我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。 如果||f||p = ∞或||g||q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。 如果p= ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q= ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p, q∈ (1,∞)。 分别用f和g除||f ||p||g||q，我们可以假设： 我们现在使用杨氏不等式： 对于所有非负的a和b，当且仅当a = b时等式成立。因此： 两边积分，得： 这便证明了赫尔德不等式。 在p∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f |p = |g|q。更一般地，如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β> 0（即α= ||g||q 且β = ||f ||p），使得： μ-几乎处处 (*) ||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。||g||q = 的情况对应于(*)中的α = 0。 基本不等式知识点归纳 1基本不等式.ab空 2 (1) 基本不等式成立的条件： a . 0,b .0. (2) 等号成立的条件：当且仅当a =b时取等号. ［探究］1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当a = b时，乞_卫_ ab取等号，即a = b= 皂卫hJ ab. 2 2 ②仅当a二b时，-—丄」ab取等号，即 -—=.-；：ab = a =b. 2 2 2?几个重要的不等式 2 2 b a a b 丄2ab(a,b R); 2(ab 0). a b 2 2 a + b 2 a +b 2 a +b ab 臥)(a,b R);( ) (a,b R) 2 2 2 3?算术平均数与几何平均数 设a 0,b 0,则a,b的算术平均数为』~卫，几何平均数为,ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术 2 平均数不小于它的几何平均数. 4?利用基本不等式求最值问题 已知x 0, y - 0,则 (1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x y有最小值是2「p.(简记：积定和最小). 2 (2) 如果和x y是定值p,,那么当且仅当x = y时，xy有最大值是—.(简记：和定积最大). ［探究］2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 1 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解?例如，y=x 在x_2时的最小值，利用单调 x 5 性，易知X = 2时丫皿山二. 2 ［自测?牛刀小试］ 1.已知m?0, n ? 0,且mn =81，则m ? n的最小值为() A. 18 B. 36 C. 81 D . 243 解析：选 A 因为n>0, n>0,所以m+ n>2 mn= 2 81 = 18. 应用基本不等式的八种变形技巧 基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种： 技巧一 加上一个数或减去一个数使和或积为定值 函数f (x )＝4 x －3 ＋x (x <3)的最大值是( ) A ．－4 B ．1 C ．5 D ．－1 【解析】 因为x <3，所以3－x >0，所以f (x )＝－??? ?4 3－x ＋（3－x ）＋3≤－ 2 43－x ·（3－x ）＋3＝－1.当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时等号成立，所以f (x )的最大值是－1. 【答案】 D 技巧二 平方后再使用基本不等式 一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值． 若x >0，y >0，且 2x 2＋ y 2 3 ＝8，求x 6＋2y 2的最大值． [思路点拨] 由于已知条件式中有关x ，y 的式子均为平方式，而所求式中x 是一次的，且根号下y 是二次的，因此考虑平方后求其最值． 【解】 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2????1＋y 2 3≤3·? ?? ??2x 2＋1＋y 2 322＝3×????922.当且仅当 2x 2＝1＋ y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立．故x 6＋2y 2的最大值为9 2 3. 技巧三 展开后求最值 对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值． 已知a >0，b >0且a ＋b ＝2，求????1a ＋1????1b ＋1的最小值． [思路点拨] 由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值． 【解】 由题得????1a ＋1????1b ＋1＝1ab ＋1a ＋1b ＋1＝1ab ＋a ＋b ab ＋1＝3 ab ＋1， 因为a >0，b >0，a ＋b ＝2，所以2≥2ab ，所以ab ≤1，所以1 ab ≥1.所以????1a ＋1????1＋1b ≥4(当 赫尔德不等式 在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f ||p和||g||q表示（可能无穷的）表达式：以及如果p = ∞，那么||f ||∞表示|f |的本性上确界，||g||∞也类似。在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞，则得出∞。 证明 赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。 如果||f ||p = 0，那么fμ-几乎处处为零，且乘积fgμ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q = 0也是这样。因此，我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。 如果||f||p = ∞或||g||q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。 如果p= ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q= ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p, q∈ (1,∞)。 分别用f和g除||f ||p||g||q，我们可以假设： 我们现在使用杨氏不等式： 对于所有非负的a和b，当且仅当a = b时等式成立。因此： 两边积分，得： 这便证明了赫尔德不等式。 在p∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f |p = |g|q。更一般地，如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β> 0（即α= ||g||q 且β = ||f ||p），使得： μ-几乎处处 (*) ||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。||g||q = 的情况对应于(*)中的α = 0。 基本不等式a 2 b 2 2ab 的变式及应用 不等式a 2 b 2 2ab 是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它 各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种 常见的变式及应用 1十种变式 2、应用 由于三个不等式中的等号不能同时成立，故 ■ a 1 .b 1 . c 1 4 a 2 b 2 评论：本解法应用“ ab ”观察其左右两端可以发现，对于某一字母左边是 2 一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幕与降幕功能，本解法应用的是升幕功 ①ab a 2 b 2 _ a b 2 ② ab ( )； 2 a b 、2 2 a b 2 ③（ ） ; 2 2 ⑤若b 0， 2 则a 2a b ; b 1 ⑦若a,b R ,( 1)2 4 a b ab 上述不等式中 等号成立的允要条件均为 ⑥a,b R ,则 1 1 4 a b a b ⑧若ab 0 ,则 1 2 a 1 b 2 a b b 2 (a b) (当且仅当an m n ⑩(a b c)2 3(a 2 b 2 c 2 （当且仅当a b c 时等号成立） 例 1、若 a,b,c R c 2，求证：.a 1 . b 1 c 1 4 证法一：由变式①得 即..a 1 HI 二 理 同b- 2 V C- 2 a- 2 4 C- 2 b- 2 2 ④ a b . 2(a 2 b 2) a 2 ⑨若 m, n R ,a,b R ，则 bm 时等号成立） 1 匕 止 因 证法二：由变式④得a 1 b 1 2(a 1 b 1) 同理：..c 1 1 . 2(c_1一1) .a 1 .b 1 、c 1 1 2(a b 2) . 2(c 2) .. 2(a b c 4) .12 5 故结论成立 评论：本解法应用“ a b J2(a2b2) ”这个变式的功能是将“根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。 证法三：由变式⑩得 ( a 1 . b 1 、c 1)23(a 1 b 1 c 1) 15 故.a 1 .. b 1 ... c 1 4 即得结论 评论：由基本不等式a b 2ab易产生2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca，两边 同时加上a2 b2 c2即得3(a2 b2 c2) (a b c)2，于是便有了变式⑩，本变式的功能可以将平方进行“分拆”与“合并”。本解法是将平方进行分拆，即由整体平方转化为个 整平方，从而有效的去掉了根号。 例2、设a,b,c R ，求证: a b .b . c Ja Vb Jc a 证明：由变式⑤得〒 v'b 2 . a , b，b =2勺b J c，厂2\i c Q a c a 三式相加即得：— Vb b c c a a、b 、、c 评论: 本解法来至于“若b a 2 0，则 b 2a b”这个变式将基本不等式转化成更为 灵活的形式，当分式的分子与分母出现平方与一次的关系时，立即可以使用，方便快捷。 2 2 例3、实数a,b满足(a 4) (b 3) 2，求a b的最大值与最小值 基本不等式知识点总结 向量不等式: 【注意】：ab 同向或有0 〔a b| |a| |b| > \\i\ ibii 〔a b ； ab 反向或有 0 \a b\ \a\ \b\> \\a\ \b\\ \a b\; lb 不共线 \\a\ \b\\ \a b\ \a\ \^\.(这些和实数集中类似) 代数不等式： a,b 同号或有 0 \a b\ \a\ \b\> |\a\ \b\ \a b\ ； a,b 异号或有 0 \a b\ \a\ \b\> |\a\ \b\ \a b\. 绝对值不等式： 同a 2 a^ w |aj |a 2| |a 3| 双向不等式：|a | b l w |a b w |a | |b (左边当ab w 0(> 0)时取得等号，右边当ab > 0(w 0)时取得等号.) 放缩不等式: ① a b 0, 1111 2 n n 1 n b 函数 f (x) ax 一(a 、b x 【说 明】: b 0,m 糖水的浓度问题） 【拓展】: 0, m 0, n 0,则 ② a,b,c b a d c ana b n b n 1 2Un ,n ⑤ In x w 1 x (x 0), e x > x 1 (x R). 1 y \ / （一 2 肩 \a H /I ■ 2 码 a ,n 1 , 0）图象及性质 ⑴函数f (x) ax a、b 0图象如图: ⑵函数f (x) ax - a. b 0性质: x ①值域: ,2 ,ab] [2.ab,)； ②单调递增区间：（:]，[ ,[ ）;单调递减区间：（0,,0). 重要不等式 基本不等式知识点总结 1、和积不等式：a,b a2b2> 2ab (当且仅当a b时取到“ ”）. 【变形】：①ab w『2&宀a2b2 2 （当a = b时，（芋） 2 , 2 a b 、ab) 2 【注意】: Jab w -------- (a,b R ) , ab w ( 2 a b 2 2) (a,b R) 2、均值不等式： 两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系, 即“平方平均*.若x 0,则x 》算术平均》几何平均》调和平均" 1 2（当且仅当x1时取 “=”； 0,则x 当且仅当x1时取“=”0,则 若ab o,则a 2 （当且仅当a -2 （当且仅当a b时取“=” b时取 “二”） b -2 （当且仅当a b时取“=” a 贝努利不等式在高考中的应用 贝努利不等式：对任意正整数n≥0，和任意实数x≥-1，有 成立； 如果n≥0且为偶数，则不等式对任意实数x 成立。可以看到在n = 0,1，或x= 0时等号成立，而对任意正整数n≥2 和任意实数x ≥-1且x ≠0，有 严格不等式： ＞1+nx 下面把伯努利不等式推广到实数幂形式： 若m ≤0或m ≥ 1，有m x )1(+≥ 1 + mx ；若0 ≤ m ≤ 1，有m x )1(+≤ 1 + mx 证明方法如下： 如果m=0，1，则结论是显然的 如果m ≠0，1，作辅助函数m x x f )1()(+=-)1(mx + , 那么m x m x f m -+=-1')1()(, 则0)('=x f ? x=0; 下面分情况讨论： 1. 0 < m< 1，则对于x > 0，)('x f < 0；对于 ? 1 < x < 0，)('x f > 0。因此)(x f 在x = 0 处取最大值0，故得 ≤ 1 + mx 。 2. m < 0或m > 1，则对于x > 0，)('x f > 0；对于 ? 1 < x < 0，)('x f < 0。因此)(x f 在x = 0处取最小值0，故得m x )1(+≥ 1 + mx 《标准》所指的贝努利不等式是： (x>-1，n 为正整数)． ① 注不等式①中的条件“n 为正整数”可推广为“n 为大于l 的实数”， 推论1设n ∈N+，，n>l ，t>0，则有 ≥1+n(t 一1)， ②当且仅当t=l 时，②取等号． ②的证明可由恒等式[] 1)2(.....32)1(14322-+-++-=-+----n t n t t t t n nt t n n n n ③ 直接推出． 易见，当且仅当t=1时，②取等号，因此当且仅当x=0时，①取等号． 在①中令x+l=t ，则①可变为②或③,因此不等式①与②是等价的．因此不等式①与②都可以称为贝努利不等式． 推论2设λ,a >0，n ∈N+，n>1，则n n n n a n a λλ)1(1--≥-, ④当且仅当λ=a 时，④取等号． 证明由②得，?? ? ???-+≥=)1( 1)(λλλ λa n a a n n n n n n n a n λλ)1(1--=- 例题精讲 1.（2007，湖北理5）已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则 （ C ） A ．0 B ．1 C ． D ． 解答：由于) 1(1)1(1) 1(.....)1()1()1(11 32x x x x x x m m +-+-= +++++++++- 所以[ ]1 3 2) 1(....)1()1()1(1)1(1-+++++++++=+-m m x x x x x x 令1x n =，m 分别取p 和q ，则原式化为 2 1 21 11111111111 lim lim 11111111111p p q q n n n n n n n n n n n n --∞∞ ?? ????? ?? ?++ ++++?? ? ? ?+- ?????? ????? ? ? =????????? ?+-++++++?? ? ? ? ?? ?????????? ? →→ n x )1(+ nx x n +≥+1)1( m x )1(+111 lim 111p q n n n ∞ ? ?+- ?? ?=? ?+- ???→p q 11 p q --nx x n +≥+1)1( n t 解一元一次不等式——不等式的变形（一） 一、教学目标：使学生通过自主探究，理解和掌握不等式的基本性质1、2、3，并会用不等式基本性质 将不等式变形 二、重点：运用不等式基本性质对不等式进行变形。 难点：不等式基本性质的应用。 三、预习内容：课本第58~60页，以及目标手册第62~64页的“当堂课内练习”。完成下列填空： 1、 不等式性质1：如果a ＞b ，那么____________,____________。即不等式的两边都加上（或减去）_________或__________，不等号的方向______。 2、 完成课本第59页的“试一试”，并填空： 不等式性质2：如果a ＞b ，并且c>0，那么ac____bc. 即：不等式两边都乘以（或除以）同一个_______，不等号方向______。 不等式性质3：如果a ＞b ，并且c<0，那么ac____bc. 即：不等式两边都乘以（或除以）同一个_______，不等号方向_______。 3、 解不等式的过程，就是将不等式变形成__________或_______的形式.并与解方程相比较： 4、 仿照课本第59页例1，第60页例2，完成第60页练习。 5、 完成目标手册第64页的“当堂课内练习”。 四、尝试练习一： 1、 方程2x=8的解有___个，不等式2x<8的解有___个. 2、 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，试用“＞”、“=”、“＜”填空。 （1） 3a____3b , 3b___3c. （2） a+b____a+c , a-b____c-b. a-b____a-c. （3） b a _____b c 3、 当a>0,b_____0时, ab>0 ; 当a<0 ,b___0时,ab<0 。 4、 在数-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4中选出适合下列不等式的数填空： （1）-5 （1） 设B A ,为n 阶正定矩阵，则成立()0tr AB >。 证明 因为B A ,为n 阶正定矩阵，所以存在可逆矩阵T 使得，A TT '=， 1()AB T T BT T -'=，显然T BT '是n 阶正定矩阵，它的特征值全为正的， 由矩阵的特征值和迹在相似变换下保持不变，于是 1()(())()tr AB tr T T BT T tr T BT -''==。 （2） 设B A ,为n 阶半正定矩阵，则成立()0tr AB ≥。 证明 对任意0ε>，有,I A I B εε++为n 阶正定矩阵， (()())0tr I A I B εε++> 令0ε+→，由连续性,可知, ()0tr AB ≥。 定理 (Cauchy-Schwarz 不等式) 设g f ,在],[b a 上可积，则有21 221 2))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f b a b a b a ???≤。 证明 证法一 对区间],[b a 的任意分割?：b x x x x a n n =<<<<=-110 ， 任取 ],[1i i i x x -∈ξ，，n i ,,2,1 =，记1--=?i i i x x x ，i n i x ?=?≤≤1max )(λ； 由于成立 |)()(|1 i i i n i x g f ?∑=ξξ 2 12 1 2 1 2 1 )|)(|()| )(|( i i n i i i n i x g x f ??≤∑∑==ξξ， 在上式中，令0)(→?λ取极限，则得到 21 221 2))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f b a b a b a ???≤ ； 证法二 考虑二次函数 dx x g x f b a 2)]()([)(λλ?+=? 0)()()(2)(222≥++=???dx x g dx x g x f dx x f b a b a b a λλ，),(+∞-∞∈?λ； 如果0)(2 >?dx x g b a ，在上式中取dx x g dx x g x f b a b a ? ?- =)()()(2 λ， 得到 0))()(()(1 )(222≥- ?? ? dx x g x f dx x g dx x f b a b a b a ， 专题函数常见题型归纳 三个不等式关系： （1）a ，b ∈R ，a 2 ＋b 2 ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ， a 2＋ b 2 2 ≤( a ＋b 2 )2 ，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2 ＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab (或ab ≤( a ＋b 2 )2 )，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系 【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且 7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b + =，解得1 log 2 a b =或 log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b = ，即2a b =．211 1111 a a b a +=-++-- 13≥=． 练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为 ． 解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么==（x －y ）+≥2=4，当且仅当（x －y ）=，即x=+1，y=－1时等号成立，故的最小值为4． 2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足 1 33(0)2 xy x x +=<<，则313x y + -的最小值为 ． 3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则 目录Ch1. 伯努利不等式 Ch2. 均值不等式 Ch3. 幂均不等式 Ch4. 柯西不等式 Ch5. 切比雪夫不等式 Ch6. 排序不等式 Ch7. 琴生不等式 Ch8. 波波维奇亚不等式 Ch9. 加权不等式 Ch10. 赫尔德不等式 Ch11. 闵可夫斯基不等式 Ch12. 牛顿不等式 Ch13. 麦克劳林不等式 Ch14. 定义多项式 Ch15. 舒尔不等式 Ch16. 定义序列 Ch17. 缪尔海德不等式 Ch18. 卡拉玛塔不等式 Ch19. 单调函数不等式 Ch20. 3个对称变量pqr法 Ch21. 3个对称变量uvw法 Ch22. ABC法 Ch23. SOS法 Ch24. SMV法 Ch25. 拉格朗日乘数法 Ch26. 三角不等式 Ch27. 习题与习题解析 1.1若实数i x （i 12n ,,...,=）各项符号相同，且i x 1>-，则： 12n 12n 1x 1x 1x 1x x x ()()...()...+++≥++ ++ 1() 1()当12n x x x x ...====时，1()式变为：n 1x 1nx ()+≥+ 2() Ch2. 均值不等式 2.1若12n a a a ,,...,为正实数，记： ⑴ n Q =，为平方平均数，简称平方均值； ⑵ 12n n a a a A n ...++ += ，为算术平均数，简称算术均值； ⑶ n G =，为几何平均数，简称几何均值； ⑷ n 12n n H 111a a a ...= +++，为调和平均数，简称调和均值. 则：n n n n Q A G H ≥≥≥ 3() iff 12n a a a ...===时，等号成立. （注：iff if and only if =当且仅当.） 3()Ch3.幂均不等式 3.1设12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，实数r 0≠，则记： 1 r r r r 12n r a a a M a n ...()??+++= ??? 4() 4()式的r M a ()称为幂平均函数. 3.2若12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，且实数r 0≠，则： r s M a M a ()()≤ 5() 当r s ≤时，5()式对任何r 都成立，即r M a ()关于r 是单调递增函数. 5()3.3设12n m m m m (,,...,)=为非负实数序列，且12n m m m 1...+++=，若12n a a a a (,,...,)=为 正实数序列，且实数r 0≠，则：柯西不等式各种形式的证明及其应用演示版.doc
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