题
51 Let point M move along the ellipse 18
92
2=+y x ,and
point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is .
(ellipse 椭圆；focus 焦点；coordinate 坐标)
（第十四届高二第二试第18题）
译文：点M
是椭圆18
92
2=+y x 上一点，点
F 是椭圆的右焦点，
点P （6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是 ，此时点M 的坐标是 .
解 在椭圆
18
92
2
=+y x 中，8,92
2
==b a ，则
1,12
==c c ，所以椭圆的右焦点F 的坐标
为（1，0），离心率31
==a c e ，右准线9:2==c a x l ，显然点
P （6，2）
在椭圆18
92
2=+y x 的外部.过点
P 、M 分别作PG ⊥l 于G ，MD ⊥l 于D ，
过点P 作PQ ⊥MD 于Q ，由椭圆的定义知，3|MF|-|MP|=|MD|-|MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3，当且仅当点P 位于线段MD 上，即点P 与Q 点重合时取等号.由点P 位于线段MD 上，MD ⊥l 及点P （6，2），知点M 的纵坐标为2，设M 的横坐标为0
x ，即M （0
x ，
2），则有18
4920
=+x ，解得22
30±=x ，因此3|MF|-|MP|的最大值是
3，此时点M 的坐标是（2
23
±，2）.
评析 若设点M 的坐标为(x,y)，则可将3|MF|-|MP|表示成x 、y 的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP|转化为||MD|-|MP|，就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程.
拓展 将此题引伸拓广，可得 定理 M 是椭圆
E ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 上的动点，F
是椭圆E 的一
个焦点，c 为椭圆E 的半焦距，P （m,n ）为定点.
1、
若点P 在椭圆E 内，则当F 是右焦点时，e
1|MF|+|MP|的最
小值是m c
a -2
；当
F 是左焦
点时，e
1
|MF|+|MP|的最小值是m c a +2.
2、 若点P 在椭圆E 外，则
F 是右焦点，且0≤m ≤c a 2，|n|≤b 时，e 1
|MF|-|MP|的最大值是
m c a -2. F 是右焦点，且m>c a 2，|n|≤b 时，|MP|-e 1
|MF|的最小值是c a m 2-.
F 是左焦点，且c a 2-≤m ≤0，|n|≤b 时，e 1
|MF|-|MP|的最大值是m c a +2. F 是左焦点，且m ≤c a 2-，|n|≤b 时，|MP|-e
1
|MF|的最小值是c a m 2--.
简证 1、如图1，作MN ⊥右准线l 于N ，PQ ⊥l 于Q ，由椭圆定义，|MN|=
e
1
|MF|. ∴e 1
|MF|+|MP|=|MN|+|MP|≥|PQ|=m c a -2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.如图2，同理可证e
1
|MF|+|MP||=|MN|+|MP|≥|PQ|=m c a +2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.
2、 如图
3，
e
1
|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m c
a -2
，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号. 如图4，|MP|-e
1
|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=c a m 2-，当且仅当P 位于直线MN 上，即点P 与Q
重合时取等号.
如
图
5
，
e
1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤
|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m c
a +2
，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号. m
图1
图2
图3
图4
|MP|-
e
1|MF|=|MP|-|MN|≥
如图6，
位于直线MN
题
对称的曲线
（ ）
A 、32
B 、34
C 、
4
5
D
5
4 解 设点点P 关于直线P ’（x,y ）,则
2
20
0x 00-x x 解①、②联立方程组得
0011
x y y x =+??
=-?③.∵P 点在双曲线k y x =-22上，∴k y x =-2020 ④.③代入④，得k x y =--+2
2)1()1( ⑤，此即对称曲线的方程，由x+2y=1，得x=1-2y`,代入⑤并整理，得01232
=-+-k y y .由题意，△=4-12（k-1）=0，解得k=
3
4
，故选B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与直线相切，故由△=0便可求得k 的值. 拓展 关于直线的对称，我们应熟知下面的
结论 1、点（x 0,y 0）关于x 轴的对称点是（x 0,-y 0）. 2、点（x 0,y 0）关于y 轴的对称点是（-x 0, y 0）. 3、点（x 0,y 0）关于y=x 的对称点是（y 0,x 0）. 4、点（x 0,y 0）关于y=-x 的对称点是（-y 0,-x 0）.
5、点（x 0,y 0）关于y=x+m 的对称点是（y 0-m,x 0+m ）.
6、点（x 0,y 0）关于y=-x+n 的对称点是（n-y 0,n-x 0）.
7、点（x 0,y 0）关于直线Ax+By+C=0的对称点是（x,y ），x,y 是方程组
????
?-=-=++?++?
)
()(022*******
0x x B y y A c y y B x x A 的解. 图6
根据以上结论，不难得到一曲线关于某直线对称的曲线的方程，比如曲线f(x,y)=0关于直线y=x+m 对称的曲线的方程是f(y-m,x+m)=0.
题53 21,F F 是双曲线332
2
=-y x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，则11F A F B +的最小值是____________.
（第四届高二第二试第15题）
解 双曲线332
2
=-y x ,即
13
22
=-y x
，如图，B A ,在
双曲线右支上，3221=-AF AF ,
3221=-BF BF ,故当22BF AF +取得最小值
时，11BF AF +也取最小值.设l 是双曲线对应于2F 的准
线
，
l BD l AC ⊥⊥,,垂足为D C ,，则由双曲线定义可知BD e BF AC e AF ==22,，而
MN BD AC 2=+，其中MN 是梯形ACDB 的中位线，当21F F AB ⊥时，MN 取最小值2
1
232=-
，这时，22BF AF +取得最小值3
22=
MN e ,从而11BF AF +取最小值33
14
3
234=
+
. 评析 解决此题的关键是灵活运用双曲线的第一、第二定义，发现22BF AF +，即)(BD AC e +，亦即MN e 2最小时，B F A F 11+也最小，并能知道21F F AB ⊥时MN 最小（这点请读者自己证明）.本题虽然也有其他解法，但都不如此法简单，双曲线定义及平几知识的运用在简化本题解题过程中起了决定性的作用.
拓展 将本题中的双曲线一般化，便得
定理 1F 、2F 是双曲线122
22=-b y a x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，
则B F A F 11+的最小值是a
b a 2
24+.
仿照本题的解法易证该定理（证明留给读者）. 用此定理可知本题中的最小值为33
14
3
12342
=
?+
?. 题54 方程
()()|3|222
2+-=-+-y x y x 表示的曲线是 ( )
A 、直线
B 、椭圆
C 、双曲线
D 、抛物线
（第十二届高二培训题第23题） 解法1 由
()()|3|222
2+-=-+-y x y x 的两边平方并整理得
012102=-+-y x xy .令v u y v u x -=+=,，则
()()()()012102=--++--+v u v u v u v u ，整理得91812288222-=---+-v v u u ，
即()()932222
2
-=+--v u ，故已知方程表示双曲线，选C.
解法2 已知方程就是
()()2
|
3|2222
2+-?
=-+-y x y x ，由双曲线的第二定义，可知动点
P ()y x ,到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离比为2，因为12>，所以选C. 评析 根据选择支，可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方程或直线方程.显然，平方可去掉根号与绝对值符号，但却出现了乘积项xy .如何消去乘积项便成了问题的关键.解法1表明对称换元是消去乘积项的有效方法.
解法2从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离之比为2的动点()y x ,的轨迹，根据双曲线定义选C.显示了发现与联想在解题中的作用.
拓展 将此题一般化，我们有下面的
定理 若()()||2
2C By Ax b y a x ++=-+-（b a C B A 、、、、为常数，且B A 、不全为零），
则
（1）当102
2
<+
（2）当122>+B A 时，方程表示()b a ,为一个焦点，直线0=++C By Ax 为相应准线的双曲线. （3）当12
2
=+B A 且0=++c Bb Aa 时，方程表示过点()b a ,且与直线0=++C By Ax 垂直的直
线.
（4）当12
2
=+B A 且0≠++c Bb Aa 时，方程表示()b a ,为焦点，直线0=++C By Ax 为准线的
抛物线.
读者可仿照解法2，运用二次曲线的第二定义自己证明该定理.
题 55 已知1≥x ，则动点A ??
?
??-+
x x x x 1,1与点B （1，0）的距离的最小值是_________. （第七届高二第一试第23题）
解法1 由已知得2
2
2
2
111101AB x x x x x x ???????
?=+-+--=+- ? ? ????????
???
214x x ????++-?? ???????
2
12x x ?
?=+-
???2
111723222x x x x ???
???+-=+-- ? ??????
???将此式看作以x x 1+为自变量的二
次函数，11
1,22x x x x x
≥∴+
≥=,这表明该二次函数的定义域是[)+∞,2. 该函数在[)2,+∞上是增函
数，∴当21=+x x 时，1,1272122min 2
2min =∴=-??? ?
?
-=AB AB .
解法 2 令2
4
,
tan π
θπ
θ<
≤=x ，则112
tan 2csc 22tan sin 2x x θθθθ
+
=+==≥ 112,x x x ??
≥?+≥ ?
??
112tan 2cot 2.tan tan 2x x θθθθ--=-==-
AB ∴=
==
∴当
12csc =θ，即4
π
θ=
时，12741182
min
=-??
?
??-=AB .
解法 3 设11x t t
y t t ?
=+????=-
?? （t 1≥）,两式平方并相减，得
),0,2(422≥≥=-y x y x 即动点A 的轨迹是双曲线422=-y x 的右半
支在x 轴
上方的部分（含点（2，0）），由图知|AB|min =1.
评析 所求距离|AB|显然是x 的函数，然而它是一个复杂的分式函数与无理函数的复合函数，在定义域
[)+∞,1上的最小值并不好求，解法1根据|AB|≥0，通过平方，先求2min ||AB ，再求|AB|min =
2min ||AB ，并
将x
x 1
+
看作一个整体，将原问题化为求二次函数在[)+∞,2上的最值问题；解法2通过三角换元，把求|AB|min 的问题转化为求关于θ2csc 的二次函数在[)+∞,2的最小值问题，整体思想、转化思想使得问题化繁为简，化生为熟；解法3则求出点A 的轨迹，从图形上直观地看出答案，简捷得让人拍案叫绝，这应当归功于数形结合思想的确当运用.许多最值问题，一旦转化为图形，往往答案就在眼前.
题56 抛物线2
x y =上到直线02=++y x 的距离最小的点的坐标是________．
（第九届高二培训题第27题）
解法1 设抛物线2x y =上的点的坐标是(
)2
,x
x ，则它到直线02=++y x
的距离是
27
1()24x d ++=
=
12x =-时d 最小，此时14y =.故所求点的坐标是()
11,24-. 解法2 如图，将直线02=++y x 平移至与抛物线2
x y =相切，则此时的切点即为所求点.设切线方
程为k x y +-=，代入2x y =，得02
=-+k x x .由o =?，即041=+k ，得14k =-.解2
14
y x y x ?=?
?=--??得