中国人口增长预测模型的建立与分析
摘要
针对我国人口发展过程中出现的老龄化进程加快，出生人口性别比持续升高，乡村人口城镇化的新特点，我们基于LESLIE 矩阵，着重考虑城镇与乡村间的人口迁移及女性人口比例变化对我国人口增长的影响，经过两次改进建立了便于计算机求解的差分方程模型，对我国2005年以后45年的人口增长进行了预测。随后利用时间段参数设置法，对差分方程模型又进行了一次改进。然后运用等维灰色系统预测法对该差分方程模型的中短期预测进行了检验，同时根据2001年人口基本数据运用此模型对2001年～2005年进行了预测，并用实际数据对预测结果进行了检验。
我们将预测区间分为2006～2020年、2021～2035年、2036～2050年三个区间，以量化短期、中期与长期。通过调整模型中相关参数及输入条件，定量地分析了男女性别比例、老龄化和乡村人口城镇化对我国人口增长的影响。预测结果表明，从短期来看，我国的出生性别比变化不明显，将在短期内维持基本不变，老龄化进程在15年内在上升了8个百分点，人口扶养比持续升高，这将加重我国的人口压力，乡村人口城镇化水平进展缓慢；从中期来看，总人口性别比将保持在1与1.1之间，老龄化进程将呈线性增加趋势，乡村人口城镇化水平将持续发展；从长期来看，老龄化进程将在2035到2045年经历老龄人口高峰平台，老龄人口比重在0.3以上，育龄妇女人数持续下降，总人口数将在2023年达到峰值14.05亿。
关键词：LESLIE矩阵，人口预测，性别比例，城镇化，老龄化，灰色系统预测
一、问题的重述
人口问题是中国社会发展的重要问题，对中国人口的中长期预测有助于政府制定相应的政策保持中国的长治久安。
现需要解决的问题如下：
1.主要根据2001～2005年的人口统计数据，对中国人口增长的中短期和长期趋势作出预测，特别要关注老龄化，出生人口性别比及乡村人口城镇化等因素。
2.指出所建模型的优点和不足之处。
二、模型假设
1.在未来50年人口生存的社会环境相对稳定（即没有战争及毁灭性灾难）。
2.国际人口迁入与迁出量相等。
3.在本世纪中叶前，我国计划生育政策稳定。
4.题目所给抽样数据是随机的，真实地反映了整体实际情况。
三、符号说明
123
d t d t d t分别表示乡村、镇、市第t年i岁人口的死亡率；
(),(),()
i i i
123
(),(),()
x t x t x t分别表示乡村、镇、市第t年i岁的人口数；
i i i
123
b t b t b t分别表示乡村、镇、市第t年i岁的女性生育率；
(),(),()
i i i
123
k t k t k t分别表示乡村、镇、市第t年i岁人口的女性比；
(),(),()
i i i
123
c t c t c t分别表示乡村、镇、市第t年的婴儿死亡率；
(),(),()
123
f t f t f t分别表示乡村、镇、市第t年的出生人数；
(),(),()
123
h t h t h t分别表示乡村、镇、市第t年i岁女性的生育模式；
(),(),()
i i i
123
βββ分别表示乡村、镇、市第t年的总和生育率；
(),(),()
t t t
123
t t t
N N N分别表示乡村、镇、市第t年的总人数；
(),(),()
123
w t w t w t分别表示乡村、镇、市第t年i岁女性的总人数；
(),(),()
i i i
123
(),(),()
w d t w d t w d t分别表示乡村、镇、市第t年i岁女性的死亡率；
i i i
123
m t m t m t分别表示乡村、镇、市第t年i岁男性的总人数；
(),(),()
i i i
123
m d t m d t m d t分别表示乡村、镇、市第t年i岁男性的死亡率；
(),(),()
i i i
r表示为迁移人口中女性所占比例；
123
z z z分别表示乡村、镇、市出生人口中女性所占的比例；
,,
四、问题的分析
人口发展过程的定量预测，需要预测出未来的人口发展趋势，包括人口总数、人口的性别、年龄和城乡构成，人口出生、死亡和自然增长率的变化以及在未来的人口构成中劳动力和抚养水平及老龄化水平等各项人口指数全部测算出来。人口增长的决定因素为出生率、死亡率和人口基数，但人口分布，人口素质，宏观政策和人口结构（如：年龄结构，性别比例等）等众多因素能够影响出生率与死亡率的波动，从而从根本上影响我国人口的增长。鉴于我国人口问题已有多方面的研究，我们针对近年来我国的人口发展出现的一些新特点，忽略国际人口流动，故可以认为我国人口为一个封闭的系统。对于封闭的系统来说，某时刻人口总量=人口基数+新生人口数—死亡人口数。为了提供更多关于市、镇、乡的人口增长分布趋势，我们对三者分别进行研究。但由于市、镇、
乡人口在我国城镇化进程中迁移流动量大，故必须把人口迁移考虑进去。在本论文中，我们希望对我国人口进行中短期及长期预测。现在给出三个区间，
(20062020)
年年、（2026年2035年）、（2036年
2050年）
分别表征从2005年算起的短期、中期与长期。建立LESLIE 矩阵差分方程模型，采用人口普查的相关数据、运用灰色系统预测方法对模型的合理性进行检验，从而可以预测我国人口发展的中短期和长期趋势。
五、 模型建立与求解
5.1 基于LESLIE 矩阵的模型的建立[1]
考虑到市，镇，乡村的人口性别比例，妇女生育率以及人口的死亡率都有所差别，我们分别建立市，镇，乡村的差分方程模型。市，镇，乡村合起来即可得到全国人口增长的差分方程模型。
（1）首先，在不考虑人口迁移的情况下（以人口的户籍变动为准），以乡村为例，建立人口增长模型。
记人口最大年龄为m 岁（由所给数据取m 为90）。1
()i x t 为乡村第t 年i 岁的人口数（用上标1表示乡村，上标2表示镇，上标3表示市），1()i d t 为乡村第t 年i 岁人口的死亡率，由人口死亡率数据为所占该类年龄段人口的千分比（?），我们可以得到乡村第t 年i 岁
人口的死亡率为：
11
111()(1)
()()
i i i
i
x t x t d t x t +-+=
×1000? 0,1,2,,1i m =- ；0,1,2t =
于是第(1)t +年(1)i +岁人口数为：
1111(1)(1())()i i i x t d t x t ++=- （1）
记1()i b t 为乡村第t 年i 岁女性生育率，该生育率表示所有i 岁女性平均生育婴儿数，生育率为该年龄妇女生育子女与该类年龄妇女的千分比，[12,i i ]为育龄区间（根据题目附录二数据取15到49岁为育龄区间），1()i k t 为乡村第t 年i 岁人口的女性比率，则乡村第t 年的出生人口数1()f t 为
2
1
1
1
11
()()()()i i i i i i f t b
t k t x t ==
∑ （2）
考虑到婴儿并不是全部都能活到t 年统计时刻（如2005年统计时刻为11月1日零时零分）其中有些婴儿由于疾病等原因死亡，能够活到t 年统计时刻的婴儿数是0()x t ，因此，10()()f t x t - 就是1t -年到t 年的婴儿死亡数[][]25459P -，记婴儿死亡率为1()c t ，
则： 1
1
01
()()
()()
f t x t c t f t -=
×1000?
于是第t 年的婴儿数 111
()(1())()x t c t f t =- （3） 由（1）、（2）、（3）式可得在(1)t +年的一岁人口数：
2
1
1
1
11111
(1)(1())(1())(()()())i i i i i i x t c t d t b t k t x t =+=--∑ （4）
将1()i b t 分解为
111()()()i i b t t h t β= （5）
其中：1()i h t 是生育模式，用以调整育龄妇女在不同年龄时的生育率高低，且 ：
2
1
1
()1i i i i h t ==∑；
1
()t β是乡村妇女的总和生育率，
2
1
1
1()()i i
i i t b
t β==
∑。
记 11111
0()(1())(1())()()i i i b t c t d t h t k t *=-- 则由（4）、（5）式可得
2
111
111
(1)()()()i i i i i x t t b t x t β*=+=∑ (6)
于是我们可以得到乡村人口差分方程模型为：
21
111011
1111111
()(1()()(1)()()()(1)(1())()
i i i i i i i i x t c t f t x t t b t x t x t d t x t β*=+?=-??+=??
?+=-?∑ ()1,2,,1i m =-
将其表示为矩阵形式 ，记
()()
()()
()
()
()
1
2
*
*
1
11
11
11
1
21
10000100000()0100000
0010i i m m m
t b t t b t d t t d t d t β
β
-??
? ?- ?
?A =- ? ? ? ?-?
?
此处，1()A t 即为LESLIE 矩阵；
同时，记 ()()()()()11111
123()m X t x t x t x t x t = 则由上述方程得：
()()()1
1
11X
t X
t A t +=
运用同样方法可分别得出镇与城的人口差分方程模型为：
()()()222
1X t X t A t +=
()()()3
331X
t X t A t +=
其中()2X t ，()3X t ，()2A t ，()3A t 与()1
X t ，()1A t 的推导方法相同。
（2）由于市，镇，乡村之间并不是相互独立的，他们之间有着频繁的人口流动，在实际问题中不能被忽视，下面我们在考虑人口迁移的情况下对上述模型进行改进。 考虑到在实际发生的人口迁移中多数由于贫富差距引起[3]
，我们在对模型进行改进时仅考虑乡村、镇、市的人口净迁移人口量，可以看到镇、市人口净迁移量都为正。我们假设每年乡村到城镇的人口迁移数为上年人口总数的α倍，注意到一个地区人口数量与经济发达程度有很大联系[]
3，我们以市，镇总人口的比例来分配乡村到其人口迁移的
数量。由于我们以每年的各个年龄段为预测变量，必须考虑各个年龄段的迁移数量，为简化起见我们以2001至2005年各个年龄段五年人口数量之和占五年总人口数量的比例分配各个年龄段的迁移数量，并记i s 为i 年龄所占比例。
记 ()1N t ，()2N t ，()3N t 分别为乡村，镇，市在第t 年的总人口数，显然满足： ()()1
10
m
i
i N t x t ==
∑，()()2
20
m
i
i N t x t ==∑，()()3
30
m
i
i N t x t ==∑
由以上分析，第1t +年乡村1岁人口数量()111x t +为：
()2
1
11
1
1
1
1
0(1)()()()i i i i i x t t b t x t s N
t βα*
=+=-∑
(1)i +岁人口的数量()1
11i x t ++应为：
()()()()()1
1
1
1
111i i i i x t d t x t s N
t α++=-- ()1,2,3,,1i m =-
第(1)t +年镇的1岁人口数量()211x t +为：
()()()()2
1
2
2
2
221
1
32(1)()()()i i
i
i i N t x t t b t x t s N t N t N t βα*
=??+=+ ? ?+??
∑ (1)i +岁人口的数量()2
11i x t ++应为：
()()()()()()()()2
22
21
1
3211i i
i
i N t x
t d t x t s N t N t N t α+??+=-+ ? ?
+??
()1,2,3,,1i m =- 第(1)t +年市的1岁人口数量()311x t +应为： ()()()()2
13
33
3
31
1
32(1)()()()i i
i
i i N t x t t b t x t s N t N t N t βα*
=??+=+ ? ?+??∑
(1)i +岁的人口数量应为：
()()()()()()()()3
33
31
1
3211i i
i
i N t x
t d t x t s N t N t N t α+??+=-+ ? ?
+??
()1,2,3,,1i m =- 于是我们可以得到在考虑人口迁移的情况下市，镇，乡村的差分方程模型为：
()()()()()2
1
21
2
1
11012202
3303111111
0222221
10
3233331()(1())()()(1())()
()(1())()(1)()()()(1)()()()(1)()()()b b b i i i i i i i i i i i i i i i x t d t f t x t d t f t x t d t f t x t t b t x t s N t N t x t t b t x t s N t N t N t x t t b t x t βαβαβ*=*=*==-=-=-+=-??+=+ ? ?
+??
+=∑∑∑()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()31
03211111
22221
1323
3
331
132111111i i i i
i i i i i i i i
N t s N t N t N t x t d t x t s N t
N t x t d t x t s N t N t N t N t x t d t x t s N t N t N t αααα+++???
???????
???
????????+ ?? ?
+???
?+=--?????+=-+ ? ??+??????+=-+ ?? ?
+????
()1,2,3,,1i m =- （3）从理论上，男女出生比例应该为1：1，但是根据题目附录二材料，我国男女出生比例的实际情况是有差异的，生男孩比例普遍比生女孩高。我们应该对每一个孕龄妇女所生子女的性别加以区分，而不能笼统地概括为1：1，这样可以更加精确地得到每个年龄男女比例的预测值。同时，由于城镇化进程中，乡村人口的迁移带来了城镇人口男女比例的变化。在这个过程中，我们也应该着重对性别因素进行考虑。以下，是对前面模型的修正，以期使模型对性别比例变化产生足够的灵敏度。
出生人口中女性所占比例，对人口的增长起着至关重要的作用[6]，有必要对其数量进行单独预测。为此，我们在（2）模型的基础上分别设乡村第t 年i 龄女性人口数量为()1i w t ，男性人口数量为()1i m t ，镇第t 年i 龄女性人口数量为()2
i w t ，男性人口数量为
()2
i m t ，市第t 年i 龄女性人口数量为()3i w t ，男性人口数量为()
3
i m t ，在迁移人口数量中
女性所占比例为r 。
根据所给乡村，镇，市男女出生比例数据，进行数据的预处理，得到乡村，镇，市出生人口中女性所占比例，记为123,,z z z 。
那么乡村，镇，市女性第t 年0岁人口数量为：
1111
0()(1())()w t z c t f t =-
2
2
2
2
0()(1())()w t z c t f t =- 3
3
3
3
0()(1())()w t z c t f t =-
相应的男性第t 年0岁人口数量为：
()11
1
1
0()1(1())()m t z
c t f t =-- ()2
2
2
2
0()1(1())()m t z
c t f t =--
()3
3
3
3
0()1(1())()
m t z
c
t f t =--
第1t +年1到m 龄女性以及男性人口的预测只须分别用()k i w d t ，()k i m d t 替代（2）模型中的()k i d t (1,2,3)k =，并在迁入或迁出的人数前分别乘以迁移率r 或1r -，以乡村女性第1t +年1i +龄人口数预测为例，有：
()()()()()1111
111i i i i w t wd t x t rs N t α++=--
其他预测以此类推。 5.2模型的分析与求解 5.2.1模型参数的设定
我们根据所建立模型，需要以下几个输入量：
总和生育率()k
t β，婴儿死亡率()k c t ，生育模型()k i h t ，每年乡村到城镇的人口迁移数为上年人口总数的α倍数，乡村到城镇的人口迁移中女性所占比例r ，各年龄人口的死亡率，出生人口中女性所占比例()k z t ，总人口数()k N t ；
根据《中国统计年鉴2006》[4]
，我们得到1987年到2005年中每年的总人口数。可以作为模型预测的初值。
在题目附录二中，给出了市、镇、乡男女出生比例。通过对其时间序列分析，得出在很短时间内，()k z t 都稳定到某一值：
本论文只关注从2005起，未来45年我国人口的发展趋势。由于社会环境稳定，可以简单地认为未来45年中，各年龄人口的死亡率保持一定。
国家政策可以影响[5]乡村到城镇的人口迁移中女性所占比例r 及迁移总量的倍率α。在以下求解中，我们可以分析不同r β、值下人口增长曲线的变化。
同时，国家计划生育政策也将影响总和生育率()k
t β，从题目附录一中可知，为了保持社会经济的稳定发展，应该把总和生育率控制在1.8左右。由于乡村与城镇总和生育率的不同,
根据《2006中国卫生统计年鉴》上1991年至2004年婴儿死亡率()k c t 的变化[7]
，即《中国儿童发展纲要》（2001━2010年）提出的每10年降低20个百分点[8]
。经过数据处理，得出,2050年婴儿死亡率
。
我们首先对模型（3）运用Matlab编程对其参数进行分析，由上所定参数，并且r 取0.5。此时仅有α未知，为分析其对总人口数变化规律的影响，分别令其取0.01,0.001,0.0001。以2005年数据为预测起始数据得到图1：
图1 未来45年总人口预测
从图中可以看出α对总人口数的影响很小，在前期1到15年几乎没有影响。那么可以认为0.01
α=。
对于r，在α确定的情况下分别令其取0.2，0.5，0.8得到图2：
图2 未来45年总人口预测
从图中可以看出r对人口高峰的到来时间有一定影响，但是影响不够显著。所以可以简化认为0.5
r=。
以上述给定参数，对我国总人口数从2005年预测到2050年的变化图3（其中，）：
图3 未来45年总人口预测
从预测数据可以得出总人口在2023年达到峰值14.045亿。
市，镇，乡村以及总人口的男女比例从2005年到2050年的变化图4：
图4市，镇，乡村以及总人口的男女比例
从图中可以看出总人口，市，镇男女比例一直保持在1附近，只有乡村男女比例在2035年后呈指数形增长，但在2050年仍小于1.8。
总人口的抚养比从2005年到2050年的变化图5：
图5 总人口的抚养比
从图中可以看出2005至2010总人口的抚养比一直减小，2010年达最小值：0.38.2010年以后抚养比一直增加，2043年左右达最大值：0.64。
人口城镇化比例从2005到2050年的变化图如6：
图6 人口城镇化比例
总人口考虑60岁以上人口的老龄化进程从2005年到2050如图7：
图7 60岁以上人口的老龄化
从图中可以看出我国在2035年到2045年形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口比重在0.3以上。
总人口中育龄妇女人数从2005年到2050年变化如图8：
图8 总人口中育龄妇女人数
从图中可以看出，在2010年后育龄妇女人数一直下降，2045年降到2.4亿以下。
5.3对差分方程的修正
影响人口增长因素很多，如农村人口向城镇的迁移、婴儿死亡率、总和生育率等。在对长时间的预测中，我们只能假定一些因素是不变的。但是，我们应该清楚地看到，随着时间的推移、大环境的变化必然带来因素的改变。为了解决这个问题，我们需要不断地对模型中一些参数进行修正。在这里，我们采用时间段参数设置法[9]，将时间区间设置等间距的15年。在区间内，我们认为参数是不变的。在一个区间数据预测完成后，我们在上一区间预测数据的基础上修正因素，进行下一区间预测，以达到最大限度补充信息量，保证预测效果的显著。
下面仅在2020年及2035年修正婴儿死亡率，得到以下预测见表1（人口单位/10亿）
从表中可以看出，参数设置法对人口增长产生了一定影响。如果把各个影响人口增长的因素加到对分段参数设置法修正中，会得到更普配实际的预测。但由于本论文成文仓促，本修正方法没有做完，是此篇论文的一个不足之处。
六、模型的比较与检验
为了对差分方程模型进行检验与比较，我们将模型的时间节点朝前移五年，用2001年数据为输入数据，得出2002年到2005年的预测数据，经过同实际统计数据的对比，我们可以看到差分方程模型的优点与不足。
另外，对模型进行检验，我们可以比照《国家人口发展战略研究报告》(2007)的相关数据指标。但是为了更加独立地校验模型，我们另建立了灰色预测模型，以期看到差分方程模型与灰色预测结果的匹配程度。
6.1 以普查统计数据检验差分方程模型
带入2001年数据，由差分方程模型（3）得出预测结果见表2。
预测上与实际情况符合得很好。
6.2灰色预测模型的建立与求解 6.2.1灰色数列预测原理
灰色数列预测最大的特点是单数据序列的预测。在形式上，只运用预测对象自身的时间序列，而与预测对象相关联的其他因素没有参与运算和建模，灰色系统理论把影响客观系统的诸多因素及它们之间的关系定为灰色量。对这样的灰色量进行预测，就可从自身的时间序列中寻找有用信息，发现内在规律，建立模型进行预测。 6.2.2建立(1,1)GM 模型
(1)数据的检验与处理
对于给定的原始时间1996～2005年数据列：
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
((1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10))x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
(122389,123626,124761,125786,126743,1276278459227,129988,130756=数列的级比
()
(0)
(0)
(1)()2,3,,()
0.99000.99090.99190.99240.99310.99360.99400.9941,0.9941x
k k k n x
k λ-=
== （，，，，，，，）
如果所有的级比()k λ都落在可容覆盖22
11,n n X e e -++??
= ?
??
内，则数列(0)x 可以作为
模型(1,1)GM 和进行数据灰色预测。
经过计算，(0.8338, 1.1994)X =，所以()k λ全部落入X 中。数列(0)x 可以作为模型(1,1)GM 和进行数据灰色预测。 (2)确定数据序列
对(0)x 做AGO 生成，有(1)x =AGO (0)
x ，其中∑==
k
i i x
k x 1
)
0()
1()
()( ),,2,1(n k =，
则 ))(,),3(),2(),1(()1()1()1()1()1(n x x x x x =
))()1(,),2()1(),1(()
0()
1()
0()
1()
1(n x
n x
x
x
x
+-+=
=(122389,246015,370776,496562,623305,750932,87938，
1008612,1138600,1269356
)
求均值数列
()
()()()()()15.05.0111-?+?=k
x k x k z
()n k ,,3,2 =
＝(184202，308395.5，433669，559933.5，687118.5，815158.5，943998.5，
1073606，1203978
)
于是建立()1,1GM 模型，
灰微分方程为[10]：
()()()()b k z a k x =?+10 ()n k ,,3,2 =
相应的白化微分方程为：
()
()
()11()
,dx
t a x
t b dt
+?= ()1
记 ()T b a u ,=，()()()()()()()
T
n x x x Y 0001,,3,2 =，11
1
(2)1(3)
1()
1z z B z n ??-??-?
?=????-??
， 则由最小二乘法，求使得
11T
J u Y B u Y B u ∧∧∧
??????=-- ? ? ???????
达到最小值的()11,T
T T u a b B B B Y ∧
∧∧-??
== ???
。
于是求解方程得
()
()()
()a b e a b x k
x
ak +
??? ?
?-=+-1101 ()1,2,1-=n k
-0.0069 122680
a b ==
由上可以得到白化方程的时间相应式
()
()()()10
0.006911 1791200017790000ak k
b b x k x e
e a a
∧-??+=-+=- ??? 而且 ()()()
()()
()k x k x k x 11011∧∧∧-+=+
得还原方程：(0)
^70.0069(1) 1.240210k x t e +=? ()1,2,1-=n k
(3)对灰色预测模型的改进
一般情况下，(1,1)GM )模型通过对数据序列长度的不同取舍，
得到不同的预测结果，
而组成一个预测区间，可供决策选用。但是未来时刻越远，(1,1)
GM模型预测的灰区间越大。可见预测精度的提高在于不断补充新的信息，使灰度逐步白化。所以，用(1,1)
GM
模型预测时不是建立一个模型一直预测下去，而只用已知数列建立的(1,1)
GM模型预测的第一个预测值，补充在已知数列之后，同时为不增加数据序列的长度（维度），去掉其第一个已知数据，保持数据序列的等长度，再建立(1,1)
GM模型，预测下一个值。将预测值再补充到数据序列之后，再去掉该数据序列的第一个数据。这样新陈代谢，逐个预测，依次递补，直到完成预测目的或达到一定的精度要求为止。这种预测方法称“等维灰数递补动态预测”[11]法，即新陈代谢的灰色预测方法。它可以达到两个目的：①及时补充和利用新的信息，提高了灰色区间的白化度。当然随着递补次数的增加，灰度也在增加，信息量减少，因此也不应是无止境的。②每预测一步灰参数做一次修正，模型得到改进。这样灰参数不断修正，模型逐步改进，因而预测值都产生在动态之中。但是，需要注意的是，每次进行新陈代谢后，都需要对模型进行必要的检验，以保证建模的可行性。
6.3灰色预测的检验
6.3.1灰色预测数列长度的选择
在应用“等维灰数递补动态预测”方法，我们知道选择不同的数列长度（维度）对预测模型的影响较大。我们在《中国统计年鉴——2006》中查询到1978年至2005年我国人口数及构成[4]，运用matlab软件编写了“等维灰数递补动态预测”程序（程序代码见附录二）对未来45年的总人口预测。在对总人口数量的预测中，我们采用了三种数列长度。图形表示如图9，（具体数据见附录一）。
图9 不同维度的灰色预测
运用维度为十的“等维灰数递补动态预测”方法对未来十五年的总人口预测，得到预测结果如下表3：
表3
年份2006 2007 2008 2009 2010
人口数（十亿） 1.3153 1.3231 1.3309 1.3388 1.3467年份2011 2012 2013 2014 2015
人口数（十亿） 1.3547 1.3627 1.3708 1.3789 1.387年份2016 2017 2018 2019 2020
人口数（十亿） 1.3952 1.4035 1.4118 1.4201 1.4285
从上图及具体的预测数据中，我们看到，在未来15年内数据预测与《国家人口发展战略研究报告》（见题目附录二）的吻合较好。说明等维灰色预测在本论文的人口预测中，比较适合短期预测。
6.3.2 灰色预测与差分方程模型结果的比较
我们用灰色预测数据与前面建立的差分方程模型得出的数据进行比较。走势图如图10。
图10 灰色预测结果与差分模型结果比较
从上图中，我们看到人口差分模型结论在短期内是比较合理的。
维度为十的灰色预测结果与差分模型结果的比较如表4（人数单位为十亿）：
七、模型的评价与改进
本论文通过对差分方程模型的三次改进，着重考虑城镇与乡村间的人口迁移及女性人口比例变化对我国人口增长的影响，并在中长期预测中参考了时间段参数设置法，为减小长期预测的误差带来了一种新的方法。所以本模型较多地从我国实际情况出发，深刻地描述了人口在新时期的发展特点，能较好地反映我国的实际情况。通过以上对模型的比较与检验可以看出，模型在中短期预测中有较高的准确率。在参数设置中，对某些参数进行了灵敏度分析，得出了对人口增长的不同影响程度。
但是我们在整个建模过程中没有考虑到文化背景和人口素质的差异会对人口增长以及人口的迁移产生影响，如在乡村由于重男轻女、多子多福等落后思想的存在会导致人口性别比的失调和人口增长快等。没有考虑到可能会由于欧洲等国家老龄化现象普遍，我国生产力水平提高致使劳动力富余而大量向国外输出劳动力而引起的人口增长变化等因素，所以预测结果精度还有待进一步提高。对于这些不足，我们可以采用设置参数来反映这些因素的作用来加以改进。
参考文献：
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[11]王海应张昌维，利用灰色理论预测油田开发指标，《新疆石油学院学报》，第16卷第3期：27～28页，2004。
附录
total=[34743.9554 21468.0445 74544.0000];
load dmat M;load bmat b;z=[1.8,2.1,2.5];r=0.4;s=[0.47 0.45 0.45];yer=[10.1,17.3,24.5];%婴儿死亡率yer=[10.1,17.3,24.5];
bili=[0.010519802
……
0.001443894
];
x1=zeros(3,45,90);women=zeros(3,45,91);men=zeros(3,45,91);%j=1;k=3;
for j=1:45
q=sum(total)/100;
for k=3:-1:1
if j==1
for i=1:90
if k==3
women(k,j,i+1)=(M(i,k+3*(k-1)+2)/100)*total(k)*(1-(M(i,k+3*(k-1)+3)/1000))-r*q*bili(i);
men(k,j,i+1)=(M(i,k+3*(k-1))/100)*total(k)*(1-(M(i,k+3*(k-1)+1)/1000))-(1-r)*q*bili(i);%q*f1*bili(1); elseif k==1
women(k,j,i+1)=(M(i,k+3*(k-1)+2)/100)*total(k)*(1-(M(i,k+3*(k-1)+3)/1000))+r*(total(1)/(total(1)+total( 2)))*q*bili(i);%q*f1*bili(1);
men(k,j,i+1)=(M(i,k+3*(k-1))/100)*total(k)*(1-(M(i,k+3*(k-1)+1)/1000))+(1-r)*(total(1)/(total(1)+total(2 )))*q*bili(i);%q*f1*bili(1)
else
women(k,j,i+1)=(M(i,k+3*(k-1)+2)/100)*total(k)*(1-(M(i,k+3*(k-1)+3)/1000))+r*(total(2)/(total(1)+total( 2)))*q*bili(i);%q*f1*bili(1);
men(k,j,i+1)=(M(i,k+3*(k-1))/100)*total(k)*(1-(M(i,k+3*(k-1)+1)/1000))+(1-r)*(total(2)/(total(1)+total(2 )))*q*bili(i);
end
x1(k,j,i)=women(k,j,i+1)+men(k,j,i+1);
end
else
for i=1:90
if k==3
women(k,j,i+1)=(1-M(i,3+k+3*(k-1))/1000)*women(k,j-1,i)-r*q*bili(i);
men(k,j,i+1)=(1-M(i,1+k+3*(k-1))/1000)*men(k,j-1,i)-(1-r)*q*bili(i);
elseif k==1
women(k,j,i+1)=(1-M(i,3+k+3*(k-1))/1000)*women(k,j-1,i)+(total(1)/(total(1)+total(2)))*r*q*bili(i);
men(k,j,i+1)=(1-M(i,1+k+3*(k-1))/1000)*men(k,j-1,i)+(total(1)/(total(1)+total(2)))*(1-r)*q*bili(i); else
women(k,j,i+1)=(1-M(i,3+k+3*(k-1))/1000)*women(k,j-1,i)+(total(2)/(total(1)+total(2)))*r*q*bili(i);
men(k,j,i+1)=(1-M(i,1+k+3*(k-1))/1000)*men(k,j-1,i)+(total(2)/(total(1)+total(2)))*(1-r)*q*bili(i); end
x1(k,j,i)=women(k,j,i+1)+men(k,j,i+1);
end
end
hi=b(:,k)/sum(b(:,k));
f=0;
for i=1:35
f=f+(1-yer(k)/1000)*z(k)*hi(i)*women(k,j,i+15);%(women(k,j,i+15)/(men(k,j,i+15)+women(k,j,i+15)))*x 1(k,j,i+14);
end
women(k,j,1)=s(k)*f;
men(k,j,1)=(1-s(k))*f;
total(k)=sum(x1(k,j,:))+f;
end
j
total
sum(total)
end
题目：人口增长模型的确定 摘要 人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。 关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测
一、问题重述 1.1 问题背景 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 1.2 问题提出 我们需要解决以下问题： 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 首先，我们运用Matlab 软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。 17801800182018401860188019001920194019601980 050 100 150 200 250
图1 1790到1980年的美国人口数据图 从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型。因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。 三、问题假设 为简化问题，我们做出如下假设： （1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响； （2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况； （3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动； （4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信； （5）假设人口净增长率为常数。 四、变量说明 在此，对本文所使用的符号进行定义。 表2 变量说明 符号符号说明 N(0)起始年人口容纳量 N(t)t年后人口容纳量 t年份 r增长率 五、模型建立 5.1 问题一：马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型 设：t表示年份（起始年份t=0），r表示人口增长率，N(t)表示t年后的人口数量。 当考察一个国家或一个很大地区的人口时，N(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将N(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为N(0)，人口增长率为r，r是单位时间内N(t)的增量与N(t)的比例系数。根据r是常数的基本假设，于是N(t)满足如下的微分方程： dN(t)/dt=r*N(t) (5-1) 由这个线性常系数微分方程容易解出: N(t)=N(0)e rt(5-2) 表明人口将按指数规律无限增长(r>0)。将以t年为单位，上式表明，人口以e r为公
摘要 以2010年11月1日零时为标准时点，中国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共13.397亿。13亿是一个忧虑的数字。13亿人要吃饭、要穿衣、要上学、要就业、要住房……，消费的需求乘以13亿，就是一个庞大的数目，而我国的耕地、水资源、森林以及矿产资源本来就稀缺，再除以13亿，就少得可怜。平均每人耕地面积只有1.4亩，水资源只相当于世界人均水平的1/4…….、 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。当前中国的人口存在着最为明显的三大特点：（1）人口基数大，人口数量的控制难度仍很大。（2）人口整体素质不高，特别是县域及以下农村人口素质普遍偏低。（3）人口结构不合理，城乡差别、地区差别和人口素质差别很大。 人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。 我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表： 有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。 长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。 我国人口问题已积重难返，对我国人口进行准确的预测是制定合理的社会经济发展规划
关于计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究 【摘要】 本文着重于讨论两个问题：1、从目前中国人口现状出发，对于中国未来人口数量进行预测。2、针对深圳市讨论单独二胎政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 对于问题1从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了Logistic、灰色 预测、等方法进行建模预测。 首先，本文建立了Logistic阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合，对2014至2040年的人口 数目进行了预测， 得出在2040年时，中国人口有14.32亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后，为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响，本文 建立了GM(1,1) 灰色预测模型，对2014至2040年的人口数目进行了预测，同时还用2002 至2013年的人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测，得出2040年时，中国人口有14.22亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 对于问题2针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99,我们就 此认定其为线性相关并给出线性方程。同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab 拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。并做出了拟合函数 X(t+1)= 17255.&041 977 - 1 653 1.2 对于新政策的实施，我们做出了两个假设。在假设只有出生率改变的情况， 人口呈现一次函数线性增加。并拟合出一次函数Y =17965.0 e0.0327356 t-17372.5 ；在假设人口增长率增长20%时，做出了预测如果单独二胎政策实施，到2021 年, 深圳市常住人口数将会到达1137.98千万人。 关键词：GM(1,1)灰色模型Logistic阻滞增长模型线性拟合非线性拟 合 【目录】 一、问题重述 ------------------------------------------------------------- （4） 二、符号定义与说明-------------------------------------------------------- （4） 三、模型假设 ------------------------------------------------------------- （4） 四、问题分析及模型建立及求解 A、问题一:1、问题背景 -------------------------- --------------------- （5）
实验目的 [1] 学习由实际问题去建立数学模型的全过程； [2] 训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题； [3] 应用matlab 软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计matlab 程序来求解 其中的数学模型； [4] 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力； 通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。 应用实验（或综合实验） 一、实验内容 从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如表综2.1所示： 表综2.1 用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。 二、问题分析 1：Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r 。记时刻t 的人口为x (t ），（即x (t ）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x 0，于是得到如下微分方程： ?????==0 )0(d d x x rx t x 2：阻滞增长模型（或Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人 口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x 的减函数，如设r(x)=r(1-x/x m )，其中r 为固有增长率(x 很小时)，x m 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程： ?? ???=-=0)0()1(d d x x x x rx t x m
数学建模l o g i s t i c人口 增长模型 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测的效果好并结合中国实情分析原因。 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再 增长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为 )1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?? ? ??=-=0 )0()1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较')
软件学院 人口增长模型数学建模报告 专业：软件工程 班级：卓越131班 学号：201370044120 学生姓名：郭俊成 指导教师：于志云 2015 年11 月12 日 题目：计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究
摘要 本论文针对2007年国家人口发展战略研究课题组发布的《国家人口发展战略研究报告》中关于“计划生育实施以来，全国少生了4亿多人，使世界60亿人口日推迟4年”的论述做了研究。论文根据计划生育实施之前1949-1980年的人口普查数据，使用最小二乘法拟合并建立灰色预测模型，利用数学软件，预测出了如果未实行计划生育现今中国人口的数量，从而对研究报告中“少生4亿”的结论产生质疑。 同时，本论文针对2006年全国老龄工作委员会发布的《中国人口老龄化发展趋势预测研究报告》中关于“2051年，中国老年人口规模将达到峰值4.37亿，老龄化水平基本稳定在31%左右”的论述做了研究，根据近几年的人口老龄化程度、老龄人口比重、老龄人口数量、死亡率的变化等诸多因素，建立阻滞增长模型(Logistic模型)，预测40年到70年的老龄人口数量和老龄化率，验证了报告中的关于老龄人口数目持续增加、数目庞大、老龄化严重的预测。 论文基于近期的计划生育调整、“单独二孩”政策的逐步实施、城镇化所导致的人口迁移等现象，结合江苏省的实际情况，利用差分方程模型、LESLIE矩阵，分析新政策对江苏人口数量的影响。论文从出生率着手，重点研究了新政策对江苏省14岁以下儿童、60岁以上老人的影响，分析了儿童和老人数量的变化对人口结构、教育改革、养老的直接影响作用。 关键字 单独二孩、人口老龄化、Logistic 模型、差分方程模型、LESLIE模型 一、问题描述
中国人口增长预测模型的建立与分析 摘要 针对我国人口发展过程中出现的老龄化进程加快，出生人口性别比持续升高，乡村人口城镇化的新特点，我们基于LESLIE 矩阵，着重考虑城镇与乡村间的人口迁移及女性人口比例变化对我国人口增长的影响，经过两次改进建立了便于计算机求解的差分方程模型，对我国2005年以后45年的人口增长进行了预测。随后利用时间段参数设置法，对差分方程模型又进行了一次改进。然后运用等维灰色系统预测法对该差分方程模型的中短期预测进行了检验，同时根据2001年人口基本数据运用此模型对2001年～2005年进行了预测，并用实际数据对预测结果进行了检验。 我们将预测区间分为2006～2020年、2021～2035年、2036～2050年三个区间，以量化短期、中期与长期。通过调整模型中相关参数及输入条件，定量地分析了男女性别比例、老龄化和乡村人口城镇化对我国人口增长的影响。预测结果表明，从短期来看，我国的出生性别比变化不明显，将在短期内维持基本不变，老龄化进程在15年内在上升了8个百分点，人口扶养比持续升高，这将加重我国的人口压力，乡村人口城镇化水平进展缓慢；从中期来看，总人口性别比将保持在1与1.1之间，老龄化进程将呈线性增加趋势，乡村人口城镇化水平将持续发展；从长期来看，老龄化进程将在2035到2045年经历老龄人口高峰平台，老龄人口比重在0.3以上，育龄妇女人数持续下降，总人口数将在2023年达到峰值14.05亿。 关键词：LESLIE矩阵，人口预测，性别比例，城镇化，老龄化，灰色系统预测
一、问题的重述 人口问题是中国社会发展的重要问题，对中国人口的中长期预测有助于政府制定相应的政策保持中国的长治久安。 现需要解决的问题如下： 1.主要根据2001～2005年的人口统计数据，对中国人口增长的中短期和长期趋势作出预测，特别要关注老龄化，出生人口性别比及乡村人口城镇化等因素。 2.指出所建模型的优点和不足之处。 二、模型假设 1.在未来50年人口生存的社会环境相对稳定（即没有战争及毁灭性灾难）。 2.国际人口迁入与迁出量相等。 3.在本世纪中叶前，我国计划生育政策稳定。 4.题目所给抽样数据是随机的，真实地反映了整体实际情况。 三、符号说明 123 d t d t d t分别表示乡村、镇、市第t年i岁人口的死亡率； (),(),() i i i 123 (),(),() x t x t x t分别表示乡村、镇、市第t年i岁的人口数； i i i 123 b t b t b t分别表示乡村、镇、市第t年i岁的女性生育率； (),(),() i i i 123 k t k t k t分别表示乡村、镇、市第t年i岁人口的女性比； (),(),() i i i 123 c t c t c t分别表示乡村、镇、市第t年的婴儿死亡率； (),(),() 123 f t f t f t分别表示乡村、镇、市第t年的出生人数； (),(),() 123 h t h t h t分别表示乡村、镇、市第t年i岁女性的生育模式； (),(),() i i i 123 βββ分别表示乡村、镇、市第t年的总和生育率； (),(),() t t t 123 t t t N N N分别表示乡村、镇、市第t年的总人数； (),(),() 123 w t w t w t分别表示乡村、镇、市第t年i岁女性的总人数； (),(),() i i i 123 (),(),() wd t wd t wd t分别表示乡村、镇、市第t年i岁女性的死亡率； i i i 123 m t m t m t分别表示乡村、镇、市第t年i岁男性的总人数； (),(),() i i i 123 md t md t md t分别表示乡村、镇、市第t年i岁男性的死亡率； (),(),() i i i r表示为迁移人口中女性所占比例； 123 z z z分别表示乡村、镇、市出生人口中女性所占的比例； ,, 四、问题的分析 人口发展过程的定量预测，需要预测出未来的人口发展趋势，包括人口总数、人口的性别、年龄和城乡构成，人口出生、死亡和自然增长率的变化以及在未来的人口构成中劳动力和抚养水平及老龄化水平等各项人口指数全部测算出来。人口增长的决定因素为出生率、死亡率和人口基数，但人口分布，人口素质，宏观政策和人口结构（如：年龄结构，性别比例等）等众多因素能够影响出生率与死亡率的波动，从而从根本上影响我国人口的增长。鉴于我国人口问题已有多方面的研究，我们针对近年来我国的人口发展出现的一些新特点，忽略国际人口流动，故可以认为我国人口为一个封闭的系统。对于封闭的系统来说，某时刻人口总量=人口基数+新生人口数—死亡人口数。为了提供更多关于市、镇、乡的人口增长分布趋势，我们对三者分别进行研
Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测 表1 各年份全国总人口数（单位：千万） 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： )0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当 m x x =时人口不再增长，即增 长率 )(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为
)1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?? ???=-=0 )0() 1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较')
数学建模论文 论文题目：中国人口的预测模型 学院：理学院 专业：数学与应用数学 姓名：陈保锋 学号：200812010117 2010 年5月9日
目录 一摘要 (3) 二问题的提出 (3) 三问题分析 (3) 四模型假设 (4) 五符号说明 (4) 六模型建立 (5) 模型一 (5) 模型建立 (5) 模型求解 (5) 模型二 (7) 模型建立 (7) 模型求解 (8) 七模型检验 (9) 九参考文献 (10) 【1】赵静但琦数学建模与数学实验（第3版）高等教育出版社 2008.1 (10) 【3】张德丰数值分析与应用国防工业出版社 2007.1 (11) 【5】马正飞数学计算方法与软件的工程应用化学工业出版社 2002.12 (11)
一摘要 日益增长的人口数量导致了资源短缺，环境恶化。通过对1978年到2008年的全国人口数量的统计数据，建立两个数学模型：指数模型，阻滞模型。模型通过假设条件，根据假设建立合理的模型，以及MATLAB对数据的处理，并且运用数据拟合求模型的解r，最后通过求的的r预测中国未来十年内的人口变化规律，从而可以合理的有计划的利用资源，使环境和资源实现可持续发展。 关键词：人口模型中国人口数量 二问题的提出 人口问题是当今世界的三大问题之一，人口的剧烈增长导致资源日益短缺，环境日益恶化，认识和了解人口数量的变化规律，做出较准确的估测，从而有效地控制人口增长以及合理有效地开发能源和环境保护，通过1978年到2008年的人口数据变化的规律，对2010年到2020年全国人口数量做出合理的预测。 三问题分析 通过对数据的观察，运用MATLAB的画图功能，可以看出随着时间增长，人口数量也在急剧增长，而且图像与指数模型吻合，所以不妨假设人口模型符合指数模型，建立第一个数学模型。但是通过对指数模型和实际数据的比对，发现指数模型在1978年到2003年间与实际
数学建模论文 题目：人口增长模型的确定专业、姓名： 专业、姓名： 专业、姓名：
人口增长模型 摘要 随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。问题给出了1790—1980年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数的变化。预测美国未来的人口。对于问题我们选择建立Logistic模型(模型2)现实中，影响人口的因素很多，人口也不能无限的增长下去，Logistic 模型引进常数N 表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式，从实际效果来看，这个公式较好的符合实际情况的发展，随着时间的递增，人口不是无限增长的，而是趋近于一个数，这个即为最大承受数。我们还同时对数据作了深入的探讨，作数据分析预测，通过观测比较选择一个比较好的拟合模型（模型3）进行预测。预测接下来的每隔十年五次人口数量，分别为251.4949， 273.5988 ， 293.4904 ， 310.9222 325.8466。关键词：人口预测Logistic模型指数模型
一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 年份1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 人口(?106) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 年份1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 人口(?106) 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。 二、问题分析 人口预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源外，还与医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关…….可以采取几套不同的假设，做出不同的预测方案，进行比较。 人口预测可按预测期长短分为短期预测 (5年以下)、中期预测(5～20年)和长期预测(20～50年)。在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际，现实意义较大。 三、问题假设 1.在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害、突发事故 或战争等而受到大的影响； 2.假设美国人口的增长遵循马尔萨斯人口指数增长的规则 3.假设人口增长不受环境最大承受量的限制 四、变量说明
数学建模 ———关于人口增长的模型
摘要：本文讨论了人口的增长问题，并预测出了2010、2020年的美国人口。首 先，我们给出了两种预测方法：第一，在假定人口增长率不变的情况下，建立指数增长模型；第二，假定人口增长率呈线性下降的情况下，建立阻滞增长模型。对两种模型的求解，我们引入了微分方程。其次，为了选择一种较好的预测方法，我们分别对两种模型进行了检验和讨论。先列图表对预测值与真实值进行比较，然后定性的对模型进行讨论，最后一个阶段选择绝对误差、均方差和相关系数对两个模型的优劣进行定量的评价，选出最好的预测方法。 一、 问题的提出： 人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出较为准确的预报，是有效控制人口增长前提，现根据下表给出的近两百 模型一（指数增长模型） 1、模型的提出背景：我们对所给的数据进行了认真仔细的分析之后，对其进行处理：将年份进行编号（i X ），人口数量计为（i Y ），以i X 为横坐标，以i Y 为纵坐标，建立直角坐标系。然后将表格中所给的数据绘在直角坐标系中附表A ，我们发现这些点大体呈指数增长趋势固提出此模型。 附图A
2、基本假设：人口的增长率是常数 增长率——单位时间内人口增长率与当时人口之比。 故假设等价于：单位时间人口增长量与当时人口成正比。 设人口增长率为常数r 。时刻t 的人口为X(t),并设X(t)可微，X(0)=X O 由假设，对任意△t>0 ，有 )() ()(t rx t t x t t x =?-?+ 即：单位时间人口增长量=r ×当时人口数 当△t 趋向于0时，上式两边取极限，即： o t →?lim )() ()(t rx t t x t t x =?-?+ 引入微分方程： )1( )0()(0 ??? ??==x x t rx dt dx 3、模型求解： 从（1）得 rdt x dx = 两边求不定积分： c rt x +=ln ∵t=0时0x x =，∴C x =0 ln rt e x rt x x 00ln ln ln =+= ∴rt e x t x 0 )(= (2) 当r>0时.表明人口按指数变化规律增长. 备注； r 的确定方法： 要用（4.2）式来预测人口,必须对其中的参数r 进行估计: 十年的增长率307.0ln 9.33 .5==r ,359.1307.0=e ,则(2)式现为: t t x )359.1(9.3)(?= 4、结论：由上函数可预测得:2010的人口为x(22):
l e s l i e人口增长模型 模型 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
人口增长预测模型 摘要 本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。 模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为亿、亿、亿。 模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应 Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。 首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到亿人，在2020年达到亿人，在2023年达到峰值亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。 其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达亿人，比重达%；65岁以上老年人口达亿人，比重达%；人口抚养呈现增加的趋势。 再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。 最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。 关键词 Logistic人口模型 Leslie人口模型人口增长预测 MATLAB软件
关键字：人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口 一题目： 请在人口增长的简单模型的基础上。 " （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型； " （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证； " （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测； " （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。 二摘要： 本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。首先假设人口增长符合Logistic模型，即引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设，。用参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。画出N=N(t)的图像，作为人口增长模型的一种近似。 做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，作出相轨迹的运动图。当初始人口<时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口的预测值，也称谓平衡点。 用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，这意味着是稳定的平衡点。按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。 三问题的提出 1． Malthus模型 英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。设t时刻人口为N（t），因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。Malthus的假设是：在人口的自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口总数成正比。根据这个假设有： , (1.1) 这是一个最简单的可分离变量方程，用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为：
中国人口增长预测与控制 摘要 近年来，中国人口最突出的特点是：老龄化加速、出生人口性别比持续增高和乡村人口城镇化。针对这些特点，建立各个影响因素的数学模型，最后建立中国人口的增长模型。 对于问题一，首先将人口增长的预测问题转化为对出生率、死亡率和城镇乡转移率的预测。通过原题附录3数据的分析研究，发现影响人口增长的主要因素可以归结为出生率、死亡率和城镇乡转移率，并依此建立了不同参数随时间变化的递推数学模型，讨论了各个参数对人口增长的影响。其次，分别拟合死亡率和生育率、城镇乡转移率对年龄的分布。建立了差分数学模型，将死亡率、生育率与城镇乡转移率的预测归结到总和死亡率、总和生育率与城镇乡总和转移率的预测，由于概率分布是相对稳定的，模型参数整体健壮。对中短期的预测而言，总和死亡率、生育率和转移率的变化是近似线性的；对长期的预测，采用SI和SIS模型来描述其非线性变化，其模型的控制参数变化体现了国家人口政策的控制力度，结果表明模型具有长期可控性。 对于问题二，采用所建模型对0—90岁人口做出中短期和长期预测。2006-2030年总人口逐年增加，2006年为13.062亿，2007年为13.109亿，2008年为13.158亿，2010年为13.3亿，2023年达到高峰期13.829亿，以后开始下降趋于平缓，到2030年为13.805；乡城转移率逐年增加，短期线性变化，2006年为0.454，2007年为0.471，2008年为0.490，2010年为0.526，长期由非线性模型描述，到2030年，城乡比例为0.901；整体老龄化程度增大，2006年为0.129，2007年为0.134，2008年为0.139，2010年为0.150，到2030年为0.325，在农村老龄化尤其严重，可以确定为地区间的迁移。同时在做长期预测时，不同的国家策略导致不同的人口状况(见图[26-30])，得到的结论可以作为国家制定人口方针的建议。 对于问题三，指出模型的优缺点。通过求解经典的Logistic模型和Leslie模型，并将所得结果与本文模型结果比较，发现本文模型具有易操作性、可控性、健壮性等优点；主要缺点是在短期预测时准确度稍差。 关键词：人口控制差分模型预测拟和Leslie模型Logistic方程 一、问题重述 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007 年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口
实验报告 课程名称：数学建模 课题名称：求解常微分方程与人口模型 专业：信息与计算科学 姓名：胡家炜 班级： 123132 完成日期： 2016 年 6 月 10 日
一．求解微分方程的通解 (1). dsolve('2*x^2*y*Dy=y^2+1','x') ans = (exp(C3 - 1/x) - 1)^(1/2) -(exp(C3 - 1/x) - 1)^(1/2) i -i (2). dsolve('Dy=(y+x)/(y-x)','x') ans = x + 2^(1/2)*(x^2 + C12)^(1/2) x - 2^(1/2)*(x^2 + C12)^(1/2) (3). dsolve('Dy=cos(y/x)+y/x','x') ans = (pi*x)/2-x*log(-(exp(C25 + log(x)) - i) /(exp(C25 + log(x))*i - 1))*i (4). dsolve('(x*cos(y)+sin(2*y))*Dy=1','x') ans = -asin(x/2 + lambertw(0, -(C30*exp(- x/2 - 1))/2) + 1) (5). dsolve('D2y+3*Dy-y=exp(x)*cos(2*x)','x') ans = C32*exp(x*(13^(1/2)/2 - 3/2)) + C33*exp(-x*(13^(1/2)/2 + 3/2)) + (13^(1/2)*exp(x*(13^(1/2)/2-3/2))*exp((5*x)/2(13^(1/2)*x)/2)* (2*sin(2*x) - cos(2*x)*(13^(1/2)/2 - 5/2)))/(13*((13^(1/2)/2 - 5/2)^2 +4))-(13^(1/2)*exp(x*(13^(1/2)/2+3/2))*exp((5*x)/2 +(13^(1/2)*x)/2)*(2*sin(2*x)+cos(2*x)*(13^(1/2)/2+5/2))) /(13*((13^(1/2)/2 + 5/2)^2 + 4)) （6）dsolve('D2y+4*y=x+1+sin(x)','x') ans = cos(2*x)*(cos(2*x)/4 - sin(2*x)/8 + sin(3*x)/12 - sin(x)/4 + (x*cos(2*x))/4 - 1/4) + sin(2*x)*(cos(2*x)/8 - cos(3*x)/12 + sin(2*x)/4 + cos(x)/4 + (x*sin(2*x))/4 + 1/8) + C35*cos(2*x) + C36*sin(2*x)