目录一
高考数学集合
?集合的概念、数集
?点集之非等价变形
?不等式点集、集合运算
?不等式数集、子集公式
高考数学函数的概念性问题
?自然定义域、抽象定义域
?实际定义域、区间求值域
?分式值域
?换元求值域1
?换元求值域2
?几何法求值域、均值不等式1
?均值不等式2、联立方程组求解析式
高考数学函数图像
?奇偶性
?对称性、周期性
?等式恒成立之一
?等式恒成立之定值、定点
?单调性、凹凸性
?重要的函数图像
?函数图像的变形
?指对数底数与图像的关系
?指对数函数比较大小、分段函数
?图像应用之等式和零点
?图像应用之不等式、最值
目录
高考数学集合部分 (2)
高考数学函数部分 (6)
目录二
解析几何部分……………………………………………………………
直线和圆专题………………………………………………………
问题一：斜率范围和倾斜角范围的关系………………………
问题二：截距式直线方程………………………………………
问题三：对称点问题……………………………………………
问题四：线性规划问题…………………………………………
问题五：切线问题………………………………………………
问题六：直线和圆相交………………………………………
问题七：相离的问题…………………………………………
圆锥曲线专题………………………………………………………
双动点（直线与曲线相交两点型）…………………………
单动点问题……………………………………………………
补充：双曲线问题……………………………………………
补充：切线手法问题…………………………………………
立体几何部分…………………………………………………………
立体几何中的角度问题（理科）……………………………
目录三
一、平面几何选讲……………………………………………………………
二、极坐标与参数方程………………………………………………………
三、不等式选讲…………………………………………………………………
附：高中平面几何常见公式及结论……………………………………………
高考数学集合部分
1.集合元素的性质：
①确定性
②无序性
③互异性
问题（1）集合元素的互异性
例题1：已知A=｛a+2，(a+1)2，a2+3a+3｝，若，求实数a的值。
解：当a+2=1时，a=-1
当(a+1)2=1时，a=-2或0
当a2+3a+3=1时，a=-2或-1
检验互异性，只有a=0时满足互异性，所以a=0。
2.集合的表示方法
①列举法
②描述法：点集、数集合
问题（2）数集之定义域和值域
例题2：｛x l y=x2｝｛y l y=x2｝，
定义域，值域和图像集合
问题（3）数集之剩余类数集
例题3：A=｛x l ，k｝，B=｛x l ，k｝，判断A，B集合的关系。
方法一：
A集合可以看作一个角度集合，表示如下左图所示8条终边（与90o间隔45o取一条）。
B集合也可以看作一个角度集合，表示如下右图所示4条终边（与45o间隔90o取一条）。
所以显然。
方法二：
将A、B集合条件部分通分变形，，，
已知k为整数，显然k+2依然为整数，而2k+1为奇数，。
例题4：A=｛x l ，m｝，B=｛x l ，n｝，C=｛x l ，p｝，判断A、B、C之间的关系。
解题思路：通分得A：，B：，C：，由剩余类可得B=C。注意除6余1，一定除3余1，所
以。
问题（4）点集之非等价变形（去分母变形和平方变形）
例题5：全集U=｛(x,y) l ｝，M=｛(x,y) l ｝，N=｛(x,y) l ｝，求。
解题思路：注意去分母的非等价变形！
答案（2，3）
例题6：集合M=｛(x,y) l ｝，N=｛(x,y) l y=x+a｝，若，求a的取值范围。
解题思路：注意平方的非等价变形！
由于M集合中y等于算术方根，所以y≥0，，得到M集合表示上半
园，而N集合直线斜率一定，由题意可得，M和N有交点，作图易知。
问题（5）点集之不等式点集
【2012北京市朝阳区一模理】
8.已知点集A=｛(x,y) l x2+y2-4x-8y+16≤0｝，B=｛(x,y) l y≥l x-m l+4，m是常数｝，点集A所表示的平面区域与点集B所表示的平面区域的辩解的交点为M、N，若点D(m,4)在点集A所表示的平面区域内（不再边界上），则△DMN的面积的最大值是（）
A.1
B.2
C.
D.4
答案：B
3.集合的运算
问题（6）集合“交”“并”“补”运算和逻辑关联词“且”“或”“非”的联系应用。
例题1：已知全集U=｛1，2，3，4，5，6，7｝，，，，求
A，B。
解题思路：此类型一直运算结果求集合元素，方法是使用文恩图！
由题意可知：3，5，6只能放在阴影中，所以A={1,3,5,6},B={1,2,4}。
例题2：如图，I表示全集，则阴影部分表示的集合是( )
A. B.
C. D.
答案：A、C，注意“交”“并”“补”和逻辑关联词“且”“或”“非”的对应！
例题3：设U为全集，S1，S2，S3是U的三个非空子集，且，则下列关系式正确的是（）A. B.
C. D.
答案：C。不在，且，且，所以为空集。
问题（7）一直不等式数集关系求字母取值范围（两个问题：等号取舍和空集讨论）
例题1：已知A=｛x l x＜-1或x＞2｝，b=｛x l a＜x＜a+1｝，若，求a的取值范围。
求范围注意等号是否可取！
答案：
例题2：已知A=｛x l k+1≤x≤2k｝，B=｛x l 1≤x≤3｝，（1）若，求k的取值范围，（2）若，
求k的取值范围。
解题思路：要求讨论A集合是否为空！
分类如下：（空集情况），解不等式得k≤。
问题（8）子集公式（集合元素有n个，则子集有2n）
（2012西城期末文）有限集合P种元素的个数记作card(P)。已知card(M)=10，，，，且card(A)=2，card(B)=3。若集合X满足，且，，则集合X的个数是（）
解题思路：采用间接构成法，减去和B，由于重复减一次的，所以，
答案：210-28-27+25
高考数学函数部分
1. 函数的概念 1) 定义域
问题（1）定义域之自然定义域（求满足解析式有意义的x 的取值范围） 求定义域（1）
y=
解： 1-x
＞0 x ＜1 x ＜1
0＜x-1≤1
问题（2）抽象函数的定义域（把握口诀：a 括号当中地位相同；b 定义域指x 取值范围） 例题1：已知y=f(x)定义域为[1,2]，求y=f(2x )的定义域。
思路：符合函数定义域问题 口诀：（1）括号里面地位相同 （2）定义域指 x 取值范围 解题思路：1
例题2：已知 y=f(x)的定义域为[0,2]，求y=f(x2)的定义域。 解题思路：
问题（3）实际定义域
例题3：长为L 的铁丝，做成下部矩形，上部半圆的框架，设底边为2x ，面积为y ，求函数解析式并求定义域。并求最值。 解题思路：y=2x ·
（0＜x ＜
）
对称轴：x=，求最值。
2) 值域
问题（4）求值域之说法（使用不等式的变形推导y 的范围） 例题1：y=
解：由
所以值域。
问题（5）求值域之分式1:1。（没有人为定义域区间值域为，有人为定义域区间需分离常数）
例题：求的值域。
解题思路：，为反比例函数的平移，可以作图。
问题（6）求值域之分式2:1形式（裂项，凑定值，使用均值不等式，验证等号成立）
例题1：求的值域。
解题思路：
方法一：转化为均值不等式
裂项：
凑定值：
方法二：“换元法”，令t=x-1。
变形：如果没有等限定条件
解题思路：判别法
(x-1)y=x2xy-y= x2x2-xy+y=0
=y2-4y≥0
例题2：，求函数的值域。
解题思路：
y
例题3：(2010山东）若对任意恒成立，求a的取值范围。解题思路：max
问题（7）求值域之换元思想
例题1：（2010北京）已知f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx，求函数值域。
解题思路：换元转化二次函数
f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx
=3cos2x-4cosx-1
=3(cosx)2，x R
因为cosx[-1,1]
所以，当cosx=-1时f(x)取最大值6；当cosx=时，f(x)取最小值。
例题2：（06全国）△ABC，求角A为何值时，cosA+2cos取最大值？
解题思路：cosA+2cos=cosA+2cos=cosA+2sin=1-2sin2A+2sin
令t=sin，可求t，再求A。
例题3：（09全国I）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值？
解：y=tan2xtan3x==
令t=tan2x，则
所以
其中
所以y≤-8，y max=-8。
问题（8）求值域之根号换元型（根号多项式如果为1次幂和次幂则可以换元为二次函数，当然此类型如果没有把握也可求导）
例题：求的值域。
解题思路：
方法一：换元化初等函数
令，则y=1-t2+t(t≥0)
方法二：求导
，单调性先增后减
问题（9）求值域之根号无法换元型（根号多项式为1次幂和1次幂形式，采用三角换元或者柯西不等式或者求导）
例题1：（2010北京文），求函数的最大值？
解题思路：
方法一：令t=sin，
所以
所以
方法二：由柯西不等式(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)
所以=4
所以
问题（10）求值域之几何意义法（距离几何意义和斜率几何意义）
例题1：（2012年海淀二模理13）某同学为研究函数。
解答：
表(x,1)到(0,0)和(1,0)距离和最小值，利用对称可得当x=时最小，答案值域为
练习1：
练习2：；
问题（11）均值不等式之已知和求倒数和问题（将和乘在倒数和上，使用均值不等式）
例题1：已知x+y=1，x,y+，求的最小值。
解：，所以最小值为4 。
例题2：（07山东）函数的图像恒过定点A，若A在直线mx+ny+1=0上，又mn＞0，求的最小值。
例题3：（2010宣武一模）若A，B，C为△ABC的三个内角，则的最小值为。
解：因为A+B+C=，所以令A=x，B+C=y
所以
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（五） 一．选择题（共25小题） 1．（2021?全国模拟）已知抛物线22y px =上三点(2,2)A ，B ，C ，直线AB ，AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为( ) A ．210x y ++= B ．3640x y ++= C ．2630x y ++= D ．320x y ++= 2．（2021?全国模拟）已知5a <且55a ae e =，4b <且44b be e =，3c <且33c ce e =，则( ) A ．c b a << B ．b c a << C ．a c b << D ．a b c << 3．（2020秋?静安区期末）在平面直角坐标系xOy 中，α、β是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点)O 于A 、B 两点．若A 、B 两点的纵坐标分别为正数a 、b ，且cos()0αβ-，则a b +的最大值为( ) A ．1 B C ．2 D ．不存在 4．（2020秋?杨浦区校级期末）已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆22143 x y +=上，设它的三条边AB 、BC 、 AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为 1 、2 、 3 ，且 1 、 2 、 3 均不为0．O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为1．则 1 2 3 1 1 1 (+ += ) A ．4 3 - B ．3- C ．1813- D ．32 - 5．（2020秋?大兴区期末）已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，若*n N ?∈，24n n a S λ+恒成立，则实数 λ的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．（2020秋?大兴区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为 直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则椭圆C 的离心率为 ( ) A B C ． 23 D 7．（2020秋?大通县期末）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(3,2)-，M 在抛物线C 上，若点(2,4)N ，则||||MF MN +的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．（2020秋?大通县期末）已知点A ，B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右顶点，1F ，2F 是双曲线 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 高考数学压轴选择题 _________班______号姓名_________________ 一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、（2007广东8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若 对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b = D ．()[()]****a b b a b b = 2、（2008广东8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ） A ． 1142+a b B ．2133+a b C ．11 24 +a b D ．1 233 + a b 3、（2009广东8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（ ） A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面 B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面 C ．在0t 时刻，两车的位置相同 D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面 4、（2010广东8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 （ ） A ．1205秒 B ．1200秒 C ．1195秒 D ．1190秒 5、（2011广东） 8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( ) A. T,V B.T,V C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭 高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围. 题型突破练——压轴题专练 压轴题专练(一) 建议用时：40分钟 1．[2015·山西质监]已知椭圆E 的两焦点分别为(－1,0)，(1,0)， 且经过点? ?? ???1，22. (1)求椭圆E 的方程； (2)过P (－2,0)的直线l 交E 于A ，B 两点，且PB →＝3PA →，设A ，B 两点关于x 轴的对称点分别是C ，D ，求四边形ACDB 的外接圆的方程． 解 (1)由题意知c ＝1,2a －2 2 ＝ 22 ＋? ?? ?? ?222 ，∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝1，椭圆E 的方程为x 2 2 ＋y 2＝1. (2)设l ：x ＝my －2，代入椭圆方程得(m 2＋2)y 2－4my ＋2＝0， 由Δ＝8m 2－16＞0得m 2＞2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋2，①y 1y 2＝2 m 2＋2.② 由PB →＝3PA →，得y 2＝3y 1.③ 由①②③解得m 2＝4，符合m 2＞2. 不妨取m ＝2，则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－2x －2 3 ，则 所求圆的圆心为? ?? ?? －13，0.又B (0,1)， ∴圆的半径r ＝10 3 . ∴圆的方程为? ????x ＋132＋y 2 ＝109. 2．已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在[0,1]上单调递减且满足 f (0)＝1，f (1)＝0. (1)求实数a 的取值范围； (2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在[0,1]上的最大值和最小值． 解 (1)由f (0)＝1，f (1)＝0得c ＝1，a ＋b ＝－1， 则f (x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ， f ′(x )＝[ax 2＋(a －1)x －a ]e x . 依题意知，对任意的x ∈[0,1]，有f ′(x )≤0. 当a ＞0时，因为二次函数y ＝ax 2＋(a －1)x －a 的图象开口向上，而f ′(0)＝－a ＜0，所以f ′(1)＝(a －1)e ≤0，即0＜a ≤1；当a ＝0时，对任意的x ∈[0,1]，f ′(x )＝－x e x ≤0，符合条件；当a ＜0时，f ′(0)＝－a ＞0，不符合条件． 故实数a 的取值范围是[0,1]． (2)因为g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ，g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x ， ①当a ＝0时，g ′(x )＝e x ＞0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e. ②当a ＝1时，对任意的x ∈[0,1]有g ′(x )＝－2x e x ≤0，g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2，在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编(五)(原卷版)
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