《数学文化与数学史》期终复习提纲
2009－2010学年第一学期
Lecture 0 为什么要开设数学史
1、谈谈你对数学史教育价值的认识。
随着新课程在全国的推进，数学史教育受到广大的中小学数学教师的重视。数学史是反映数学文化的历史，数学史教育体现数学的文化价值。当前正在我国推进的基础教育改革十分重视这一点，采取了一系列措施，加强数学史和数学文化的教育。
新课标要求培养学生正确的数学观和数学价值观，特别要了解数学文化价值。学生只有了解数学的价值，才能自觉学习数学。数学史能帮助学生了解数学的文化价值，这对学生今后的发展是终身受用的。那么从数学史的视角来看，数学史教育应该渗透哪些文化价值呢？中国科学院我国著名数学史专家李文林在作数学史与数学教育的录音谈话中说到：我们应从五个角度去挖掘数学史的文化价值，首先，数学为人类提供精密思维的模式；其次，数学是其他科学的工具和语言；其三，数学是推动生产发展、影响人类物质生活方式的杠杆；其四，数学是人类思想革命的有力武器；最后，数学是促进艺术发展的文化激素。另外他还谈到一个信息：重视数学史与数学文化在数学教学中的作用，实际上可以说是一种国际现象。若干年前，美国数学协会(MAA)下属的数学教育委员会曾发出题为《呼唤变革：关于数学教师的数学修养》的建议书，其中呼吁所有未来的中小学教师注意培养自身对各种文化在数学思想的成长与发展过程中所作的贡献有一定的鉴赏能力；对来自各种不同文化的个人在古代、近代和当代数学论题的发展上所作的贡献有所研究，并对中小学数学中主要概念的历史发展有所认识。
从以上材料我们可以看出，数学史教育中渗透文化价值成了数学史教育的一项重任，数学史与数学文化的结合应该是必要的，而且几乎是必然的。对于今后的中小学数学史教学，我们应该将数学文化尽可能地结合数学课程的内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用，同时也反映社会发展对数学发展的促进作用。使学生通过数学文化的学习，了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律；了解人类从数学的角度认识客观世界的过程；发展求知、求实、勇于探索的情感和态度；体会数学的系统性、严密性、应用的广泛性，了解数学真理的相对性；提高学习数学的兴趣。
Lecture 1 史前数学
2、求Fibonacci数列的通项。
Fibonacci数列是一组自然数序列{an}，其中a0=a1=1，当n>=2时，an=an-1+an-2。如：
1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
现在求数列的通项公式an。
解答：将数列写成矩阵乘积的形式：
令矩阵
求A的n次幂，方法是找到与A相似的对角阵D，则有, 得出
(1) 求A的特征值和特征向量
A的特征多项式
在R内的两个根为:
,
则A相似于对角阵，且
,
从而，
代入原式可得：
Lecture 2 古代数学（I ）：埃及
3、Rhind 纸草书问题79是一个等比数列求和问题，介绍其中蕴涵的等比数数列求和方法。
通过研究发现，这是一个等比数列7，2
7，3
7，4
7的求和问题，其中左边两栏就是72801?的具体算式。由此可知，古代埃及人已经总结出了等比数列
7 ，27，37，…，n 7，…
的前n 项和n S 的递推关系
()711?+=-n n S S
用这种方法同样可以导出一般等比数列前n 项和的递推公式：
11
2--+=++++=n n n qS a aq aq aq a S 注意到
n n n a S S -=-1，易得我们熟悉的公式
（1≠q ）
4、“埃及几何学中的珍宝”是什么？
正四棱台体积公式。
Lecture 3 古代数学（II ）：美索不达米亚
5、研究古巴比伦时期的泥版BM15285。设想你是一位祭司，你会提出什么数学问题？ 这些多边形（圆 曲四边形 菱形 正方形）的面积怎样计算
6、美国哥伦比亚大学收藏的Plimpton 322号巴比伦泥版的内容是什么？ 普林顿322实际上是一张表格，由4列15行六十进制数字组成 与勾股数有关
7、古代巴比伦人是如何求平方根近似值的？
Lecture 4 古代数学（III ）：中国
8、用出入相补原理证明勾股定理。
32212a a a a ??
=+
???第三个近似值为；
1,
a
设第一个近似值为121;301;2521;30??
+= ???
第三个近似值为；
1设第一个近似值为，21112a a a a ??
=+ ???
则第二个近似值为；
1211;3021??+= ???
则第二个近似值为；
121;251;24,51,1021;25??
+= ???
第四个近似值为。
9、介绍西汉时期的“日高公式”。杨辉是如何推导这个公式的？
杨辉“勾中容横、股中容直原理”
10、试述刘徽和祖暅的球体积工作。
11、在直角三角形中，勾、股、弦分别为a 、b 、c ，已知勾弦差（c -a ）和股弦差（c -b ），
试用中国古代的方法来证明下面一组公式：
()()()b c b c a c a -+--=2，
()()()a c b c a c b -+--=
2，
()()()()b c a c b c a c c -+-+--=2
2
1
)()2121
ad H a s s ad H a s s --=?=+
-?=+表高两表间距
日高表高影长之差
Lecture 5 古希腊数学
12、求第n 个k 边形数。
13、描述希皮亚斯（Hippias, 公元前5世纪）的割圆曲线，并用利用它来三等分角。
ABCD 为一正方形，是以A 为圆心的四分之一圆弧。假设半径绕A 点从AB 位置
匀速转动到AD 位置，而在相同时间内直线 BC 从BC 位置匀速平移到 AD 位置（端点B 始终沿BA 运动）。则平动直线与转动半径的交点轨迹就是割圆曲线。其性质是： =
∠∠EAD BAD ::
FH AB :＝。
F'
C
B'
F
B''
L
N
a+b-c
a+b-c
c-a
c-b
c-a
III II I
()()()
2
2I II III a b c c a c b +=?+-=--[][])4()2(2
1
)3()2()32()1(1---=---++-+-+k n k n k n k k k
设θ=∠FAD ，ρ=AF ，a AB =，则割圆曲线的极坐标方程为：
θπθρsin 2a =
有了割圆曲线，就可以轻而易举地三等分任意角了。如图所示，?要三等分EAD ∠，只需取
FH 的三等分点F '，过F '作B "C "平行于AD ，交割圆曲线于L ，连接AL ，交
于N ，
易证
1:3:::='==∠∠H F FH LM FH NAD EAD 。
因此AN 三等分EAD ∠。
14、用欧几里得的方法证明勾股定理。
15、用欧几里得的方法证明命题：“素数无限多”。 假设素数个数有限，则必有一个最大的 设最大的素数是P 令n=2*3*5*7*……*P+1 即把所有的素数相乘并加上1
22 ABF ADC
CF ABF AL ADC CF AL CK BL CF CK AE
?????
=???=???=?
?
=??+=正方形矩形正方形矩形 正方形矩形正方形正方形正方形A
B
C
D
E
F
G
H
K
L
显然n>P
若因为P 是最大素数，所以n 是合数 则n 能被2，3，……，P 中至少一个素数整除 但用这些数去除n ，都有余数1，即都不能整除 这就有两种可能 (1),n 是素数
(2),n 是合数，但他只能被大于P 的素数整除 这两种情况都和P 是最大素数矛盾。 所以假设错误
所以素数是无限
16、如图所示，ADBC 是球O 被纸面所截得的大圆，AB 和CD 是其相互垂直的两条直径。
XVWY 是球O 的外切圆柱（以AB 为轴）的相应截面。阿基米德通过力学方法发现：球O
的体积等于直径为CD 且垂直于纸面的大圆为底、以B 为顶点的圆锥BCD 的体积的4倍。试介绍阿基米德的方法。
A
B
C
D O
X
Y
V W
Lecture 6 中世纪数学
17、叙述中国剩余定理。
18、阿拉伯数学家阿尔·卡克希（Al-Karkhi, 953-1029）是如何推导自然数三次幂和公式的？
19、阿拉伯数学家阿布·韦发（Abu ’l-Wefa, 940-998）是如何推导和角正弦公式的？
()i i
i
m m M
k mod 1≡()1
,=j
i
m m n j i ≤<≤1n
m m m M 21=()
i i m r x m od ≡()
1,2,,i n =()M r m M
k x n
i i i
i
mod 1
∑=≡i
k ()
1,2,,i n =
N
()()
()()()222
2222
2
2
::::::::2
43
AH AT AC AT AC AC AT AC AP MT AT PT MT RT PT
AH AT AT AH AO AH ==?==+=+?=+??=?+??=?+?==柱截面锥截面球截面柱截面锥截面球截面圆柱球圆锥球圆锥外切圆柱
n
n -1
112
2
n n -1
()2
3333
11231
2n n n ??+++
+=+????
20、斐波纳契《计算之书》中有如下问题：“棋盘（64格）上的数列满足：任意一项等于它前面所有各项和的两倍。已知首项为1，求棋盘上数列各项之和。”试用今天的方法求解。 21、在约瑟夫问题中，若设排成一圈的人数为n ，并且从1号开始按顺时针方向点数，每点到2，第2号被扔进大海。记最后剩下的一个人位于第)(n J 号。试给出)(n J 与n 的一般关系式，并计算)100(J 和)500(J 。（12分）
Lecture 7 文艺复兴时期的欧洲数学
21、列出Durer 幻方的性质。 中的幻方有以下性质：
+
（1）每行、每列和每条对角线上的数字之和为34； （2）关于两对角线交点对称的任意两数的和为17； （3）每一象限（I 、II 、III 、IV ）的数字之和为34；
（4）I 、III 象限的上行数字之和相等，且等于II 、IV 象限的下行数字之和；I 、III 象限下行数字
之和相等，且等于II 、IV 象限的上行数字之和。
（5）I 、III 象限的右列数字之和相等，且等于II 、IV 象限的左列数字之和；I 、III 象限左列数字之和相等，且等于II 、IV 象限的右列数字之和。
（6）第一行和第四行的平方和相等，第二行和第三行的平方和相等。 （7）第一列和第四列的平方和相等，第二列和第三列的平方和相等。 （8）两条对角线上的数字和等于不在对角线上的数字和。 （9）两条对角线上的数字平方和等于不在对角线上的数字平方和。 （10）两条对角线上的数字立方和等于不在对角线上的数字立方和。 22、给出三次方程x 3 + px = q 的求根公式。
23、利用16世纪法国数学家韦达（F. Viète , 1540-1603）的方法推导平面三角中的和差化积公式βαsin sin ±和βαcos cos ±。
3 x px q
x +=?=
F
E B K
I
J
A
H
M
O D
G
U
P
C
N L R
S
T
α
β[]1
sin cos sin()sin()2
αβαβαβ=
++-[]1
cos sin sin()sin()2
αβαβαβ=
+--[])cos()cos(2
1
sin sin βαβαβα+--=
[]
)cos()cos(2
1
cos cos βαβαβα++-=