5.3.1分式的加减法
----同分母的分式的加减法
课时安排说明：
本节内容一共安排了三课时。第一节课阐述同分母的分式加减法的运算法则及分母互为相反式的分式加减法运算。第二节课则阐述异分母分式的通分、加减法的运算法则及简单的应用，第三节课则提升到分母有公因式的分式加减法、分式与整式的加减运算、分式的求值及应用。这样安排，给学生一个简单到复杂的认识过程，有了第一节的铺垫，使学生对分式加减法的掌握并不觉得难，且本节对于第三章分式的学习有着至关重要的作用，是后面根据实际生活问题列出分式方程，并求出正确答案的基本功，教学时必须踏踏实实。
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在小学时已经学习过同分母分数的加减，异分母分数的加减运算法则，在初一学习了整式的加减，在上一章学习了因式分解，本章又学习了分式及其乘除，都为这一节课的学习做好了铺垫。由分数加减运算类比分式的加减是这节内容的要害。
二、教学任务分析
同分母分式的加减法是最简单的，也是学习异分母的分式加减的基础，所以作为起始节也是工具节内容，它就要求教学时务必使学生理解它并且能够灵活运用，对分母互为相反式的分式加减，能明白改变运算符号的实质。因此，本节课的教学目标定位为：
1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。
2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。
3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想。
三、教学过程设计
本节课设计了6个教学环节：情景引入——同分母加减——练习巩固——拓展提高——课堂小结——布置作业
第一环节 情景引入
活动内容 做一做：=+3231 =-7271 =+8381 =-12
5127 猜一猜
=+a a 21 =-x x 12 =+b b 2523 =-y
y 3437 活动目的：通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性。从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容。
活动的注意事项：通过人人都可以入手的做一做，让学生回答，可以使学生很快进入状态又不觉得困难。而后两个运算后要约分，学生极有可能报出没有约分的答案。因此，类比时注意引导学生，正确猜想，约分是分数的必要步骤哦，使法则的提出顺理成章，也为后面的学习做好铺垫。
运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为：a
c b a c a b ±=±
第二环节 同分母加减
活动内容
学习了同分母分式加减法的法则，是否会用还得先讲再练： 例1（1）ab
b a ab b a -++； （2）2x 42x x 2---； （3）n m n m 4n m n 2m ++-+-； （4）1
x 3x 1x 1x 1x 2x +-++--++. 活动目的：教学生如何运用法则进行运算，通过这4道例题，让学生学会加减法运算并注意运算时可能出现的问题。
活动的注意事项：在进行运算时若分子是多项式的，分子要先带括号，再去括号后合并
同类项；运算结果也类比分数加减法的结果，要化成最简形式，即约去分子与分母的所有公因式——化简。
第三环节 练习巩固
活动内容
练一练 (1)x m n x 1m -+-; (2) b a b ab 2b a a 2
2++++; (3) y
x 2y x 7y x 2y 2x -+---; 活动目的:通过3道题的演练巩固，让学生对同分母分式的加减法有更好的认识与掌握。 活动的注意事项：通过学生的解答情况，对法则做进一步的讲解，力图让学生理解并掌握同分母分式的加减法法则。
第四环节 拓展提高
活动内容
例2 计算
（1）x y y y x x -+-； （2）a
1a 211a a 2----. 练一练
（1）a 2b b b a 2a 2-+-； （2）x 11x 1x 2--+- （3）m n n 2n m n m n n 2m ---+-+ 活动目的：这是一组分母互为相反式的分式加减的题目，实则是简单的异分母分式的加减法，有了例题的讲解，又有练一练的巩固，应该能够掌握，第三小题有意增加难度，在于学生能力的提高。解答时只要将后一分母前的运算符号变为相反，即可按同分母分式的加减法法则进行运算。旨在初现异分母分式加减的运算，实则化成同分母的分式，这要求学生能够熟练掌握，。为下节课一般的异分母加减做好准备。
活动的注意事项：通过例题来理解分母互为相反式的分式加减运算，改变运算符号实质等同于乘以-1，也就是后面要讲的通分，学生刚接触肯定是略有难度，应精心讲解，耐心指导学生完成练一练。
第五环节 课堂小结
活动内容：
1、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。分母不变，把分子相加减。
2、学会用转化的思想将分母互为相反式的分式加减运算转化成同分母分式的加减法。
3、分子是多项式时，一定记得添括号后再进行加减运算。
4、类比方法很多时候是对的哦，学会用这种方法去分析和解决问题。
活动目的：结合本节课的学习，同学生一起总结主要内容喝关键点，从而使学生对所学内容能更好的理解并掌握，激发学生学好数学的积极性。
活动的注意事项：留有时间小结，同时学生自发老师补充，对3要特别提出，它对运算的正确性至关重要。
第六环节布置作业
P118-119 习题5.4 1，2，3，4
四、教学反思
1、不能脱离教材：教材为我们提供了最基本有效的教学素材，我们应该充分挖掘这些素材，把他们转化成本节课的实质内容，并能湿透教学目标，让学生通过对这些素材的把握，做到举一反三，灵活运用。
2、因势利导，由浅入深：鼓励学生通过与分数类比，抛出分式加减运算法则后，应该先讲用再让用，顺水推舟给出例2，演练结合，讲纠互补，注意对关键点的引导。
3、课后多虑：作为运算，那还是应该多练，扎实基本功，毕竟课堂时间有限。
第五章 分式与分式方程 3．分式的加减法（一） 第一环节 情景引入 活动内容 做一做：=+3231 =-7271 =+8381 =-12 5127 猜一猜 =+a a 21 =-x x 12 =+b b 2523 =-y y 3437 活动目的：通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性。从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容。 活动的注意事项：通过人人都可以入手的做一做，让学生回答，可以使学生很快进入状态又不觉得困难。而后两个运算后要约分，学生极有可能报出没有约分的答案。因此，类比时注意引导学生，正确猜想，约分是分数的必要步骤哦，使法则的提出顺理成章，也为后面的学习做好铺垫。 运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为： a c b a c a b ±=± 第二环节 同分母加减 活动内容 学习了同分母分式加减法的法则，是否会用还得先讲再练： 例1（1）ab b a ab b a -++； （2）2422---x x x ； （3）n m n m n m n m ++-+-42； （4）1 31112+-++--++x x x x x x .
活动目的：教学生如何运用法则进行运算，通过这4道例题，让学生学会加减法运算并注意运算时可能出现的问题。 活动的注意事项：在进行运算时若分子是多项式的，分子要先带括号，再去括号后合并同类项；运算结果也类比分数加减法的结果，要化成最简形式，即约去分子与分母的所有公因式——化简。 第三环节 练习巩固 活动内容 练一练 (1)x m n x m -+-1; (2) b a b ab b a a ++++222; (3) y x y x y x y x -+---2722; 活动目的:通过3道题的演练巩固，让学生对同分母分式的加减法有更好的认识与掌握。 活动的注意事项：通过学生的解答情况，对法则做进一步的讲解，力图让学生理解并掌握同分母分式的加减法法则。 第四环节 拓展提高 活动内容 例2 计算 （1）y x y y x x -+-； （2）a a a a ----12112. 练一练 （1）a b b b a a 222-+-； （2）x x x --+-1112 （3）m n n n m n m n n m ---+-+22 活动目的：这是一组分母互为相反式的分式加减的题目，实则是简单的异分母分式的加减法，有了例题的讲解，又有练一练的巩固，应该能够掌握，第三小题有
1 《同分母分数加减法》单元练习题 班级： 姓名： 一、填空题。 （1）一个最简分数的分子和分母只有公因数（ ）。 （2）12和20的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 （3）152和125 这两个分数分母的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 （4）2017比209 多（ ）个201 。 （5）在1.67、32 、1.66、58 中，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。 （6）15和25的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 二、判断题。 1、如果a 是b 的倍数，那么a 与b 的最大公因数是b 。 （ ） 2、118 1 中的1可以表示10个111 。 （ ） 3、a 和b 这两个数都是它们最大公因数的倍数。 （ ） 4、公因数只有1的两个数的最大公因数就是1。 （ ） 5、如果a=2×3×5，b=2×2×3，那么a 和b 的最大公因数是6，最小公倍数是60。 （ ） 三、选择题。 1、4是24和56的（ ） A 、因数 B 、公因数 C 、最大公因数 2、分子和分母相差1的分数一定是（ ）。 A 、真分数 B 、假分数 C 、最简分数 3、如果a 、b 、c 都是非0自然数，而且a 16.2.2 分式的加减 ——同分母分式加减 南阳中学李小玲 1、使学生理解和掌握同分母分式的加减法法则，并能熟练地进行同分母分式的加减运算. 2、渗透类比数学思想方法. 【教学重点】 重点：同分母分式的加减法法则和运算. 【教学难点】 难点：分式的分子或分母是多项式的分式加减时的变形和去括号法则正确应用. 【教学工具】 多媒体、课件、投影仪 一、同分母分式的加减法 1、回忆：同分母的分数的加减法 2、类似地，同分母的分式的加减法法则如下： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 式子表示：c b a c b c a ±=± 【教学说明】要注意分数线的括号作用：在处理符号变化问题时，需考虑分子或分母的整体性. 二、应用举例 【例1】计算：（1） b a b a 2532+＋b a b a 2532-－b a b a 252-； （2）y x y x 32--－x y x y 23--； （3）15322--a a a －115222-+-a a a －2 2122a a --. 分析：（1）按同分母分式的加减法直接进行计算；（2）由于2x －3y 与3y －2x 是互为相反数，故可用分式的符号变化法则将分母3y －2x 化为2x －3y ，转化为同分母分式的加减法；（3）分母情况与（2）类似. 解：（1）原式= b a b a b a b a 25)2()32()32(---++ =b a b a b a b a 2523232+--++=b a b a 2523+. （2）原式=y x y x 32--＋y x x y 32--=y x x y y x 32)()(--+- =y x x y y x 32--+-=0. （3）原式=15322--a a a －115222-+-a a a ＋1 2222--a a =1 )22()152()53(2222--++---a a a a a a =122)152532222--+-+--a a a a a a =1 3322--a a =3. 【教学说明】在做减法时，为了避免出错误，最好添上一个括号，去括号时注意变号. 【例2】计算：223y x y x -+＋222x y y x -+＋2 232y x y x --. 分析：分母中字母的排列顺序不同，首先统一字母的排列顺序，这样分母就相同了. 解：原式=223y x y x -+－222y x y x -+＋2 232y x y x -- =22)32()2()3(y x y x y x y x --++-+ = 223223y x y x y x y x --+--+=2222y x y x -- =))(()(2y x y x y x -+-=y x +2. 注意：运算结果应该是最简分式，必须约去分子、分母中的公因式. 第五章分式与分式方程 5.3、同分母分式的加减法 本节课的学习目标为： 1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。 2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。 重点：同分母的分式加减法； 难点：分式的分子是多项式时的分式的加减法。 第一环节 情景引入 活动内容 做一做： =+3231 =-7271 =+8381 =-12 5127 猜一猜 =+a a 21 =-x x 12 =+b b 2523 =-y y 3437 归纳运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为：a c b a c a b ±=± 活动目的：通过人人都可以入手的做一做，让学生回答，可以使学生很快进入状态又不觉得困难。而后两个运算后要约分，学生极有可能报出没有约分的答案。因此，类比时注意引导学生，正确猜想，约分是分数的必要步骤哦，使法则的提出顺理成章，也为后面的学习做好铺垫。 第二环节 同分母分式加减 1、预习自测（比一比，看谁做的快又准！） a a 52-= =-x b x b 3 a 21+= =+++b a b b a a =+a b a b 232 =+-+y x y y x x 2 2 2、探究一（先独立完成，再小组交流答案） （1）ab b a ab b a -++； （2）2422---x x x ； （3）n m n m n m n m ++++-522； （4） 1 31112+-++--++x x x x x x 活动目的:通过4道题的演练巩固，让学生对同分母分式的加减法有更好的认识与掌握。 注意事项：在进行运算时若分子是多项式的，分子要先带括号，再去括号后合并同类项；运算结果也类比分数加减法的结果，要化成最简形式，即约去分子与分母的公因式——化简。 3、探究二（分母互为相反数） （1） x y y y x x -+-； （2）x y y x y x y x 2722-+--- （3）a b b b a a 222-+-； （4）x x x --+-1112 活动目的：这是一组分母互为相反式的分式加减的题目，实则是简单的异分母分式的加减法，解答时只要将后一分母前的运算符号变为相反，即可按同分母分式的加减法法则进行运算。旨在初现异分母分式加减的运算，实则化成同分母的分式，这要求学生能够熟练掌握，。为下节课一般的异分母加减做好准备。 小结 1、同分母分式加减法法则：同分母分式相加，分母不变，把分子相加减； 2、学会用转化的思想将分母互为相反式的分式加减运算转化成同分母分式的加减法； 3、分子是多项式时，一定要记得添加括号后再进行加减运算。 第三环节 自我检测 （1）n m n m n n m ----9695 （2） y x y x y x y x +--+-2 （3）a a a a ----12112 （4）m n n n m n m n n m ---+-+22 第四环节 布置作业 （习题5.4） 同分母分数加减法练习 (一) 填空（19分） （1）7 2的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位。 （2）（ ）个81 是85，137里有（ ）个131，3个121 是（ ），化成最简分数为（ ） （3）116－11 3 表示6个（ ）减去3个（ ），差是（ ）个（ ） （4）76 的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位； 73的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位；76－73的差是（ ） （5）92+95表示（ ）个91加上（ ）个91，一共是（ ）个91， 也就是（ ） （6）某校女生人数占总人数的3 2 ，男生占总人数的（ ） （7）43加上（ ）个这样的分数单位是5，=-78723（ ）， 35—3 1 表示（ ）。 （8）1—149 中的1可以看成（ ）个（ ）。 （9）15 7 的分数单位是（ ），它有（ ）个这 样的分数单位；15 4 的分数单位是（ ），它有（ ） 个这样的分数单位；157和154一共是（ ）个151，157比 154 多（ ）个151 。 （10）减数是121，差是12 11 ，被减数是（ ）。 （11）在括号内填上不同的最简分数。 15（）＋15（）＋15（）＝1522 24（）＋24（）＋24（）＝2419 (二) 判断（４分） （1）a d c b a d a c a b 3++=++（a ≠0）............... ( ) （2）分数单位相同的分数可以直接相加、 减..................（ ） （3）0511522511522=+++....................... （ ） （4）(4) 8 133657=+................................（ ） (三) 直接写得数(11分) 201+207= =+187185 =+24 22 247 =- 9 2 5 =-303309 =-1631611 =+5152 =-7374 =+102105 =-15 2158 =+2117214 =-831 =+45234513 =-394 3917 =+18 1 185 =-125127 =-111111 =-3073017 =-107 109 =-1071 =-1542 =-658 (四) 解方程（12分） （1）174173=+x (2)13 7 132= +x (3)1715172175= ++x (4)75)7376(=-+x 1.4 分式的加、减法 1.4.1 同分母的分式加、减法 （第10课时） 教学目标 1类比同分母分数加减法的法则得出同分母分式加减法则。 2 会进行同分母分式加减法的运算。 重点、难点： 重 点：同分母分式加、减运算 难 点：同分母分式加减运算的结果的处理。 教学过程 一 创设情境，导入新课 做一做 大约公元250年前后，希腊数学家丢番图在研究一个数学问题时，解出了两个分数：161255、，欲知丢番图在研究什么问题，请你先计算：22 161255????+ ? ?????等于多少？ （学生独立完成，一个学生黑板上板演） 22 1612256144256144400165525252525+????+=+=== ? ????? 由于16=24，原来丢番图在研究把24写成两个数的平方和的形式即：2224x y =+，他求得了一组解：16512 5x y ?=????=?? 还有没有其他的解呢？如果同学们感兴趣，可以在课后探索。下面我们来看看： 2561442561444001625252525 ++===用到了什么法则？ 同分母分数相加的法则：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减 同分母的分式相加减的法则和同分母分数相加减的法则一样。这节课我们来学习-----同分母的分式加、减法 二 合作交流，探究新知 1 同分母分式加减法的法则： 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。 2 法则的应用 例1 计算：233x xy x y x y +++ 解：2233333()3x xy x xy x x y x x y x y x y x y +++===++++ 强调：把分子相加后，如果能分解因式要分解因式，与分母约分。 例2 计算：22 222222x y x xy y x xy y --+-+ 解：() 22222222222()()222x y x y x y x y x y x xy y x xy y x xy y x y x y -+-+-===-+-+-+-- 例3 计算：f f g g -+ 解：(00f f f f g g g g -+-+===） 从上式可以看出：f f g g -与 是一对互为相反数，所以：f f g g -=-，又f f g g -=-， 所以：f f f g g g -==--。 例4 计算：ac bc a b b a +-- 解：()()ac bc ac bc ac bc ac bc c a b c a b b a a b a b a b a b a b a b --+=+=-===--------- 强调：把表面上看不是同分母的分式相加减，转化为同分母的分式相加减。 三 课堂练习，巩固提高 P 24练习 1,2题 补充：1 请你阅读下面计算过程，再回答所提出的问题。 人教版同分母分数加减法教案 【教学内容】 人教版小学数学五年级下册第五单元第一课时《同分母分数加、减法》，教材P104—106。 【教学目标】 1.理解分数加减法的意义和算理，掌握同分母分数加减法的计算方法，并能正确计算。 2.通过探究同分母分数加减法的算理和计算方法，让学生体验数形结合的数学思想方法，培养学生观察能力和概括能力。 3.培养学生探究意识，养成规范书写、认真计算的好习惯。 【教学重点】 掌握同分母分数加减法的计算方法，并能正确计算。 【教学难点】 理解同分母分数加减法的算理。 【学具准备】 每组学生一张圆形纸，一张长方形纸，直尺，彩笔。 同分母分数加减法教学过程 一、谈话引入——从“3/8”到“同分母分数加、减法” 1.师：你对3/8有哪些了解? 学生可能从分数的意义、分数单位、真分数、分数与小数的关系等方面来回答。 2.师：看到这些同分母的分数你还想了解什么? 学生汇报之后引出课题(板书课题《同分母分数加、减法》)。 【设计意图：在学生提出想了解同分母分数加减法之后引入课题，既尊重学生的主题地位，也能激起学生主动探究问题的愿望。】 二、合作探究——同分母分数加法的意义、算理、计算方法 1.开放问题中感受分数加法的意义 (1)根据1/8和3/8这两个分数列加、减法算式 1/8+3/83/8-1/8 (2)根据加法算式提出数学问题 【设计意图：让学生根据算式提出数学问题，在开放性的题目中感受分数加法的意义。】 2.自主探究同分母分数加法的算理 在独立思考1/8+3/8的计算结果和验证方法后，以小组合作的形式探究算理。 【设计意图：学生通过折一折、画一画或其他方法来验证计算结果。在探究中经历学习数学的过程，理解算理;在合作交流中体会数 形结合的数学思想方法。体现了学生学习的自主性和开放性。】 3.感知并总结同分母分数加法的计算方法 (1)让学生汇报1/8+3/8是怎样计算的，初步感知同分母分数加 法的计算方法。教师在此过程中规范书写。 (2)习题巩固，进一步感知同分母分数加法的计算方法 层次一(计算结果是真分数)2/7+3/7=2/9+4/9= 层次二(计算结果是假分数)5/12+7/12=3/5+4/5= (3)总结同分母分数加法的计算方法 同分母分数加减法 一、填空（30分） 1、把一个蛋糕平均分成8份，每份是它的（ ）分之一，写成分数是（ ）分母是（ ），分子是（ ）。 2、把一个圆平均分成4份，每份是它的（ ），3份是它的（ ）。 3、7 1读作（ ），九分之五写作（ ）。 4、98是（ ）个9 1；54里有4个（ ）；1里面有（ ）个71。 5、4个71加上2个71，得（ ）个7 1，也就是（ ）。 7个91减去3个91，得（ ）个9 1，也就是（ ）。 6、7 3是表示把1个（ ）平均分成（ ）份，取其中的（ ）份。 7、3()31()10()10-=-= 32()()55() +== 8、5 ()()1()812= == 32()55-= 9、() 17888 +<中的括号里最大能填( )， 58()999 <-中的括号里最大能填( )。 10、把41、51、43和55四个数中最大的是（ ），最小的是（ ）。 二、判断题（5分） 1、把一块饼分成3块，小明吃了一块，小亮说：“小明吃了这块饼的3 1”。（ ） 2、因为9<10，所以91<10 1。（ ） 3、把一张长方形纸对折、对折、再对折，就把这张纸平均分成了6份。（ ） 4、3个3 1可以看成1，4个四分之一也可以看成1，5个五分之一还是可以看成1。（ ） 三、选择题（5分） 1、 ）部分是这个长方形的6 4。 A 、阴影 B 、空白 C 、阴影和空白 2、下列图形（ ）能表示出分数4 3。 A B C 3、6个91是96，再添上（ ）个9 1就是1。 A 、2 B 、3 C 、5 4、在31、51和9 1中最小的数是（ ） A 、31 B 、51 C 、91 5、8本同样的练习本共厚1㎝，3本这样的练习本共厚（ ）㎝。 A 、83 B 、31 C 、8 1 四、在下面的○中填上“>”、“<”、“=”。（12分） 53○43 98○9 5 103○101 63○64 31○32 1○51 73○53 22○33 107○109 54○84 21○31 154○15 5 五、计算（12分） 21＋21= 31＋31= 54－51= 1－53= 7 3＋71= 98－95= 91＋95= 83＋85= 1－41= 81＋84= 1－103= 1－5 4= 六、列式计算（12分） 1、51比53少多少？ 2、 1减去10 3的差是多少？ 3、74和7 3的和是多少？ 4、 5个91加上4个91和是多少？ 七、应用题（24分） 分式的加减法 教学目标 （一）教学知识点 1．同分母的分式的加减法的运算法则及其应用． 2．简单的异分母的分式相加减的运算． （二）能力训练要求 1．经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感． 2．会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的思考及其语言表达能力． （三）情感与价值观要求 1．从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识． 2．结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气． 教学重点 1．同分母的分式加减法． 2．简单的异分母的分式加减法． 教学难点 当分式的分子是多项式时的分式的减法． 教学方法 启发与探究相结合 教具准备 投影片四张： 第一张：提出问题，（记作§3．3．1 A）; 第二张：想一想，做一做，（记作§3．3．1 B）； 第三张：想一想，（记作§3．3．1 C）; 第四张：议一议，（记作§3．3．1 D）; 第五张：例1，记作（§3．3．1 E）； 第六张：补充练习，（记作§3．3．1 F）． 教学过程 Ⅰ．创设现实情境，提出问题 ［师］上一节我们学习了分式的乘除法运算法则，学会了分式乘除法的运算，这节课我们先来看下面的问题：（出示投影片 §3．3．1 A ） （1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（v 1+v 32）h ． （2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为v 23h ．但要求出小丽走哪条路花费的时间少．就需要比较（v 1+v 32）与v 23的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者减去较小者，便可求出． ［生］如果要比较（v 1+v 32）与v 23的大小，就比较难了，因为它们的分母中都含有字母． ［生］比较两个数的大小，我们可以用作差法．例如有两个数a ,b ． 如果a －b ＞0，则a ＞b ; 如果a －b =0,则a =b ； 同分母分式的加减法 一、教学目标 知识目标 1.了解同分母分式的加减法法则。 2.熟练地进行同分母分式的加减运算 能力目标 1.进一步运用类比数学思想学习同分分式的加减法。 2.熟练地进行同分母分式的加减运算， 情感目标 鼓励类比、启发思考。 二、重点难点和关键 重点 熟练运用同分母分式的加减法法则进行计算。 难点 运算中对“把分子相加减”的处理。 关键 对“同分母分式的加减法法则”的理解。 三、教学方法和辅助手段 教学方法 自学、讨论、讲讲练练 辅助手段 投影幻灯演示 四、教学过程 复习提问 1．计算：5 152231321++）；（）（ 2.同分母分数的加减法法则是什么？ （板书：同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减。） 新课讲解 1.同分母的分式加减法法则（在上面的板书中改“数”为“式”即可。） 式子表示：c b a c b c a ±=± 2.例题分析 例1 计算：2222223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+ 分析：此题是将同分母（x 2-y 2）的分式相加减，只要分母（x 2-y 2）不变，把分子(x+3y)、(x+2y)、(2x-3y)相加减即可。初学时应将分子看成整体来处理。 解：2 222223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+ y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x +=-+-=--=--+--+=--++-+= 2))(()(2223223)32()2()3(222 222 注意： 1.分数线有括号作用，分子相加减时，要加括号。 2.计算结果必须是最简分式或整式。 例2 计算：m n m n m n m n n m ---+-+22 提问：这是同分母吗？如何把它化为同分母？ 解：m n m n m n m n n m ---+-+22=m n m m n n m n n m m n m m n n m n n m -----+=----+-+222)(2 1222)2(=--=---+=---+=m n m n m n m n n m m n m n n m 提问：可以化为（m-n ）吗？（解题时要注意符号） 练习：P 小结 1. 同分母的分式加减法法则。 2.“把分子相加减”是指分子的整体。 3.有些题的表面不是同分母，但稍加变形即可。如：例2、练习中第3题第2小题。 作业 P 五、板书设计 六、教学后记 课题 同分母分式的加减法 【学习目标】 1．了解掌握同分母分式的加减法则． 2．会用同分母分式的加减法则进行同分母分式的加减运算． 【学习重点】 会用同分母分式加减法法则进行计算． 【学习难点】 熟练利用同分母分式加减法法则和分式的约分进行计算． 行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么． 行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点． 情景导入 生成问题 旧知回顾： 1．同分母分数加减法法则是什么？ 答：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减． 2．计算：(1)23－13＝13； (2)－14－34＝－1； (3)15＋25＋35＝65； (4)43－23－13＝13 ． 自学互研 生成能力 知识模块一 同分母分式加减法法则 【自主探究】 阅读教材P 117内容，回答下列问题： 同分母分式加减法法则是什么？用式子表示． 答：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减.b a ±c a ＝b ±c a . 范例1：计算m －2n mn ＋n －m mn 的结果是( B ) A .1n B ．－1m C ．n D ．1 仿例1：(济南中考)化简m 2m －3－9m －3 的结果是( A ) A ．m ＋3 B ．m －3 C .m －3m ＋3 D .m ＋3m －3 方法指导：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后结果要化为最简分式或整式． 学习笔记：“分子相加减”指将各个分式的“分子的整体”相加减，即当分子是多项式时，应先用括号括起 来，尤其是分子相减时，应减去分子整体，因此括号不能漏． 当分母互为相反数时，可通过改变分子或分子本身的符号，使之成为同分母分式． 行为提示：在群学后期教师可有意安排每组的展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．有展示、有补充、有质疑、有评价穿插其中． 学习笔记： 检测可当堂完成． 仿例2：(义乌中考)化简x 2x －1＋11－x 的结果是( A ) A ．x ＋1 B .1x ＋1 C ．x －1 D .x x －1 解：x 2x －1＋11－x ＝x 2x －1－1x －1＝（x ＋1）（x －1）x －1 ＝x ＋1. 仿例3：计算：(1)a ＋2a ＋1－a －1a ＋1＋a －2a ＋1；(2)x 2＋4x －2＋4x 2－x . 解：(1)原式＝a ＋2－a ＋1＋a －2a ＋1＝a ＋1a ＋1 ＝1； (2)原式＝x 2＋4x －2－4x x －2＝x 2＋4－4x x －2＝（x －2）2 x －2 ＝x －2. 归纳：分式的分母互为相反数时，可以把其中一个分母放到带有负号的括号内，把分母化为完全相同，再根据同分母分式相加减的法则进行运算.知识模块二 同分母分式相加减的应用 范例2：先化简， 再求值：????a 2a －2－1a －2÷a 2－2a ＋1a －2 ，其中a ＝3. 解：原式＝a 2－1a －2·a －2a 2－2a ＋1 ＝（a ＋1）（a －1）a －2.a －2（a －1）2 ＝a ＋1a －1 . 当a ＝3时，原式＝3＋13－1 ＝2. 仿例1：(襄阳中考)先化简，再求值：? ????5x ＋3y x 2－y 2＋2x y 2－x 2÷1x 2y －xy 2 ，其中x ＝3＋2，y ＝3－ 2. 解：原式＝5x ＋3y －2x （x ＋y ）（x －y ） ·xy(x －y) ＝3（x ＋y ）（x ＋y ）（x －y ） ·xy(x －y) ＝3xy. 当x ＝3＋2，y ＝3－2时，原式＝3. 仿例2：计算：2x 2 （x －y ）2＋x 2－4xy （y －x ）2－x 2－2y 2x 2－2xy ＋y 2 . 解：原式＝2x 2 （x －y ）2＋x 2－4xy （x －y ）2－x 2－2y 2（x －y ）2 青岛版小学数学三年级上册《同分母分数的加减》教学设计【教学内容】 《义务教育课程标准实验教科书·数学》（青岛版）六年制三年级上册第六单元P78—P79信息窗2例题及相应的“自主练习”。 【教材简析】 本节教学内容是在学生初步认识了分数的基础上进行编排的，信息窗呈现的是一个成人身体各部分占身长的比例图，引发学生提出问题，进而学习同分母分数的加减法，让学生通过自主探索算法，理解其中的算理，进一步加深对分数含义的理解。 【教学目标】 1．能让学生借助具体情境理解分数加减法的意义，会计算简单的同分母分数加、减法。 2．让学生在探索简单的同分母分数加、减法的活动中，理解算理，培养学生的观察能力、操作能力和表达交流的能力。 3．让学生体会分数加减法在日常生活中的应用，感受数学与生活的联系，进一步产生对数学的亲切感，激发学生学习数学的兴趣。【教学重难点】 同分母分数加减法算理的理解。 【教学过程】 一、创设情境，呈现信息，提出问题。 1．呈现信息 课件出示成人人体图。 谈话：同学们，看屏幕，这幅图熟悉吗？ 谈话：这是成人的身体图，看到这幅图，想到了哪个分数？ 学生可能说：或者。 老师顺势追问：你是怎么想到的？ 学生回答。在大屏幕上显示这两个分数。 2．提出问题 谈话：根据这两条信息，你能提出一个数学问题吗？ 学生可能提出： （1）躯干和下肢共占身长的几分之几？ （2）下肢比躯干长身长的几分之几？ 谈话：同学们继续看，现在你又想到哪个分数？根据这些 信息，又能提出怎样的数学问题呢？ 学生可能提出： （1）上身和下身共占身长的几分之几？ （2）下身比上身长身长的几分之几？ 教师根据学生的回答，随机板书本节课要解决的问题。 【设计意图】同分母分数加减法安排在分数的认识之后，所以，本节课开始，出示情境，让学生从情境图联想到分数，并追问你是怎样想到的，目的是强化分数的理解。同时，注重了引导学生联系实际提出问题，重视培养学生梳理信息，提出问题的能力，同时也训练了学生语言表达的能力。 二、列出算式，理解意义 同分母分式的加减法教案 学习目标： 1、类比同分母分数加减法的法则得出同分母分式加减法的法则。 2、分进行同分母分式加减法运算。 过程与方法：由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，会进行同分母分式加减法的运算。加强学生的直觉思维，培养学生的观察能力。 重点：同分母分式加减运算。 难点：掌握同分母分式加减运算的法则。 教学过程： 一、 类比、探究： 1、想一想：?4741=+ 这是小学数学的同分母分数相加，那么你能说说同分母分数相加的加法法则吗？（同分母分数相加，分母不变，分子相加。） 2、猜一猜：?21=+a a 【同分母的分数加减法的法则】 同分母的分数相加减，分母不变,分子相加减。 【同分母的分式加减法的法则】 同分母的分式相加减，分母不变,分子相加减。 3、做一做：尝试完成下面的题目： 1 112+--++x x x x 二、例题讲解 例1：计算 22222285335ab b a ab b a ab b a +---+ （把分子看作一个整体，先用括号括起来！） 解：原式＝2 222)8()53()35(ab b a b a b a +---+ ＝222285335ab b a b a b a --+-+ ＝22ab b a ＝b a （此处注意：结果要化为最简分式！） 针对练习：做一做 尝试完成下列各题： 242)1(2---x x x 131112)2(+-++--++x x x x x x 随堂练习：自我发展的平台 计算：x b x b -3)1( a b a b a a ---)2( 仔细观察第(2)题中的分母a-b 与b-a 是互为相反数的关系！ 例2：计算：x y y y x x -+-22 解：原式＝+-y x x 2)(2y x y --＝y x y y x x ---22＝y x y x --22 ＝y x y x y x y x +=--+))(( 三、课堂作业P30 A 组第1题 《同分母分数加、减法》教学设计 一、教学内容： 人教版五年级数学下册《同分母分数加、减法》及相应的练习。 二、教学目标： 1.让学生通过探讨发现同分母分数加减法的计算法则，并能运用法则正确进行计算。 2.通过小组合作学习，运用知识的迁移，理解分数加减法的算理和计算法则。 3.体验生活中的数学乐趣，培养学生的推理、归纳能力和合作学习能力。 三、教学重点： 理解分数加、减法的意义，正确计算比较简单的同分母分数加法、减法。 四、教学难点： 理解同分母分数加、减法的算理和计算方法。 五、教具准备： 课件学具8等分的圆纸片 教学过程： 一、复习导入 谈话：同学们，我们以前已经学习过同分母分数的加、减法，今天这节课我们继续研究这个知识，我们先复习一下： （1）什么叫分数？ 把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或者几份的数，叫做分数。 （2）什么叫分数单位？ 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，叫做分数单位。 2..完成下列填空。 ( 1）78; 的分数单位是（ 18 ）。 ( 2）56 里面有（5）个 16 。 ( 3）37 里面有3个 ( 17 )。 ( 4）3个 15 的和是（ 35 ）。 小结：一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一，分子是几，就有几个这样的分数单位。 二、教学实施 （一）情景创设。 1、出示《儿童节的由来》 同学们，再过几天就是“六一”儿童节了，老师让同学们看看《儿童节的由来》。“六一”儿童节要到了，你们高兴吗？我们今天的儿童真幸福；说到儿 . 2、出示例1 提问：观察了画面，你都知道了哪些数学信息？ （把一张大饼平均分成8块 ，妈妈吃了 18 张饼，爸爸吃了 38 张饼。） （二）、探究新知。 分式的加减（基础） 【学习目标】 1．能利用分式的基本性质通分． 2．会进行同分母分式的加减法． 3．会进行异分母分式的加减法． 【要点梳理】 要点一、同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： a b a b c c c ±±=. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 要点二、分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母. （2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母. （3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言. 要点三、异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±=. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 要点四、分式的混合运算 与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握.. （2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的. （3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度. 教学过程： 预设问题： 1、怎样进行同分母分式加减法？ 2、运算时应该注意什么？ 3、 当分式的分母是互为相反数时，符号转变的处理方法是什么？ （一）创设情境，导入新课。 类比、猜想，填空 =+7471___ =-107103_____ =+a b a 221______ =-m x m x 5352_________ 前两个是同分母分数加减法，计算时分母________，分子__________ 后两个是同分母分式加减法，计算时分母________，分子__________。 （二）自探、合探 1、归纳总结 同分母分式加减法法则：同分母分式相加减时，分母_______，分子_________， 即=±c b c a ________________ 2、看教材15页例1，同分母分式相加减时应该注意什么？ 3、小组合作，在研究例1中的第二道题时你遇到了什么困难，你是如何解决的，你有什 么感悟？ 例： =-+-a b b b a a 22=---b a b b a a 22=--b a b a 22=--+b a b a b a ))((b a + 注意：分式运算结果要化简为最简分式。 思考b a -与a b -有什么关系？第一步和第二步发生了怎样的变化？ （三）学生展示与评价 计算： 1、 b a b a 33+ 2、 n m n n m m ---22 3、 1 111++++-a c a b 4、 x y y y x x -+-2 2 5、 4133n n - 6、 2422x x x --- （四）教师点拨、精讲。 总结 1、同分母分式加减法法则：同分母分式相加减时，分母_______，分子_________， 即=±c b c a c b a ± 2、如果分母不同，可以依据分时基本性质及符号法则进行简单变形，转化成同分母分式加减法再计算。 3、理解b a -与a b -的关系，明确n b a 2)(-=n a b 2)(-，12)(+-n b a =-12)(+-n a b （五）作业设计 教材16页练习 （六）课堂检测： 1、填空： （1）=++x x x 321 （2）=-x y x y 51454 （3）a b b b a a -+-= 2、计算： （1） x y x x y x +-- （2）ab a a b a 37231++- 同分母分数加减法练习题 1．讨论： 妈妈买来一个西瓜，平均切成了8 块，你和爸爸、妈妈准备如何来分享？ 你能从中找到那些分数？你能提出那些数学问题？提出来让大家解答好吗？2连线 1 9 + 4 9 2 4 5 1 1 5 + 1 4 7 + 6 3 7 1 7 1 8 7 8 + 9 2 11 4 5 211 + 11 5 9 3．判断下面各题的对错，找出错误原因，并改过来． （1）4 3 7 +7 = 7 14 （2）6 - 5 7 - 3 7 7 7 =5 5 7 - 3 7 - 2 7 =5 3 7 - 1 =5 7 4.计算： 7 15 - 2 15 7 12 - 1 12 1 - 9 16 9 11 - 7 11 3 8 + 3 8 1 6 + 1 6 3 14 3 + 14 3 4 + 3 4 观察第二行，你发现了什么？ 若两个相同的分数相减结果又如何？ 5．口答： （1）一根铁丝长 7 10 米，比另一根铁丝长 3 10 米，了；另一根铁丝长多少米？ （2）3 天修一条路，第一天修了全长的 1 12 ，第二天修了全长的 5 12 ，第三天修了全 长的几分之几？ 精品 异分母分数加减法练习题 1．看图填空。 + = + （）（）（）（）+ = + = （） 2．填空 （1）异分母分数相加减，先（），然后按照（）法则进行计算． （2）分数的分母不同，就是（）不相同，不能直接相加减，要先（），化成（） 分数再加减． （3）分数加减法的验算方法与整数加减法的验算方法（）． （4） 3．列式计算． 2 7（1） 4 5 与 的和是多少？ 精品 5（2） 11减去 4 13的差是多少？ 4．判断，下面的计算对吗？把不对的改正过来。 （1）1 3 + 1 2 2 = 5 （2） 8 15 - 1 3 3 = 15 5．先计算，再小组说说你的发现。 1 2 1 + 3 17 58 111 11 72 615 = + 5= 8+ = 7 39 1 + 4= 11 28 11 23 1 2 11 1 6 15 = 3= 8 – 5 1 1 1 72 –= 7 9 （a 和b 是0 除外的自然数，并且 a 和b 是互质数) 1 a + 1b+a b = ab 1 a - 1b-a b = ab 精品 《同分母分式的加减法》教学设计 教学目标：根据数学课程标准及教材内容，制定本课程教学目标如下：1.能说出同分母分式的加减法法则，及字母表达式。 2.会根据同分母分式的加减法法则，熟练地进行同分母分式的加减法。 3.通过同分母分式的加减法与同分母分数的加减法的比较，培养学生观察，灵活多变的解 题能力。 教学重点：同分母分式的加减法。 教学难点：正确熟练地进行同分母分式的加减法的运算。 教学方法：根据数学课程标准及本课的特点和学生思维特点，教学中将采用引导—发现—讨论—练习 的教学方法。 学习方法：学生在观察，思考，讨论的基础上，通过练习的学习过程中自主参与知识的发生，发展及形成，从而掌握知识。 教学工具：电脑多媒体，投影仪。 教学过程： 引入新课：（约3分钟） 1.某文具店数学练习本每本c 元，已知小明买练习本用了a 元，小刚买练习本用了b 元，则小明买 了 本，小刚买了 本，他们俩人共买了 本，小明比小刚多买 本练习本。（a>b ） 引导出 c b c a + c b c a -（板书）并观察这两个式子引导出课题——同分母分式 的加减法。那么它怎么计算呢？看下面两个小题： 8381+ 154157- 计算这两个小题，并说出计算依据。然后仿照此方法计算 c b c a + c b c a -。 新课讲解 思考：你能否将同分母分式的加减法的法则概括出来呢？ 学生：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。（约1分钟） 1.说一说：（口答）（约4分钟） （1）m m 155- （2）a a a 5123-+ （3）m m 3437- （4）y x a y x a ---同分母分式的加减 教学设计
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