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概率论练习题2
5 小题，每小题 3 分，共15 分）
1、设,,
A B C是三个随机事件，则以下命题中正确的是（）.
(A) ()\\
A B B A B
=；(B) (\)
A B B A
=；
(C) ()\(\)
A B C A B C
=；(D) \(\)(\)
A B C A B C
=.
2、下列各函数中是随机变量分布函数的为（）。
(A)∞
<
<
-∞
+
=x
x
x
F,
1
1
)
(
2
(B)
??
?
?
?
≥
+
<
=0
1
)
(x
x
x
x
x
F
(C) ∞
<
<
-∞
=-x
e
x
F x,
)
((D) ∞
<
<
∞
-
+
=x
arctgx
x
F,
2
1
4
3
)
(
π
3、设随机变量X的概率密度为)
(x
X
?，Y=12X，则Y的分布密度为（）。
(A)?
?
?
?
?-
2
1
2
1y
X
?；(B)?
?
?
?
?-
-
2
1
1
y
X
?；(C)?
?
?
?
?-
-
2
1y
X
?；(D)()y
X
2
1
2-
?.
4、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为
3
4
，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（）。
(A) 3
4
3
）
（(B)
4
1
4
3
2?
）
（(C)
4
3
4
1
2?
）
（(D)2
2
44
1
C）
（
5、设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为
01
0.30.7
X
P
01
0.30.7
Y
P
则有( )。
(A)()0;
P X Y
==(B)()0.5;
P X Y
==
(C) ()0.58;
P X Y
==(D) () 1.
P X Y
==
二、填空题（本大题共8 小题，每小题 3 分，共24 分）
1、设,,
A B C是满足
11
()()(),()()0,(),
48
P A P B P C P AB P BC P AC
======则得分
得分
,,A B C 至少发生一个的概率=________________。
2、袋中装有8个黑球，12个白球，它们除了颜色不同外，其他方面没有区别. 现将球随机地一个一个摸出来，则第10次摸出黑球的概率为_____________。
3、若随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程210X X ξ++=有实根的概率为_____ ________。
4、设随机变量X
的概率密度函数为2
(2)2
(),x x e
x ?--
=
-∞<<∞，则
2()E X =__________________。
5、某机器生产的螺栓长度（cm ）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，则从中抽取一螺栓为不合格品的概率为_______________________。(已知φ(2)=0.9772)
6、设~[0,1]X U ，则X Y e =的密度函数为_______________________________。
7、设二维随机变量,X Y （）
只能取（-1，0），（0，0）和（0，1）三对数，且取这些数的概率分别是12，13和1
6。则()P X Y <=_______________________。
8、设随机变量,X Y 相互独立，其中X 在[2,4]-上服从均匀分布，Y 服从参数为1
3的指数分布，则()D X Y -=________________________________________。
三、解答题（本大题共 6 小题，共 61 分）
1、设顾客排队等待服务的时间X （以分钟计）服从5
1=λ的指数分布。某顾客
等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y 的概率分布和)1(≥Y P 。（10分）
2、5家商店联营，它们每周售出的某种农产品的数量（以kg计）分别为X1，X2，X3，X4，X5，已知X1～N（200，225），X2～N（240，240），X3～N（180，225），X4～N（260，265），X5～N（320，270），X1，X2，X3，X4，X5相互独立。（1）求5家商店每周的总销售量的均值和方差；(5分)
（2）设商店每周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少公斤该产品？(已知(2.33)0.99
Φ=)(5分)
3、在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求:
（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；(5分)
（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。(5分)
4、设随机变量X 的密度函数为
()??
?<<+=其它0
1
02x bx ax x p ， 并且已知()2
1
=X E ，试求方差()X D 。(10分)
5、设X 与Y 的联合概率密度函数为
(2)e ,0,0,
(,)0,
x y A x y f x y -+?>>=??其它.
求：(1)常数A ；（2分） (2)分布函数(,)F x y ；（3分） (3){}P X Y <；（5分） (4)判断X 与Y 是否独立.（5分）
6、某公寓有400户住户，一户住户拥有汽车辆数X 的分布律为
试用中心极限定理近似计算，至少要设多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为95.0？（设：()95.0645.1=Φ，其中()x Φ是()1,0N 的分布函数）(6分)
概率论练习题2参考答案
一、选择题
1、A ；
2、B ；
3、A ；
4、C ；
5、 C ； 二、填空题
1、5
8； 2、0.4； 3、4/5； 4、5； 5、0.0456；
6、1
,1()0,Y y e
y f y ?≤≤?=???其它
； 7、23； 8、12.
三、解答题
1、解 2105
1]1[1)10(1)10(-?-=--=<-=≥e e
X P X P ………………4分
5,4,3,2,1,0,)1()()(5225=-==∴---k e e C k Y P k k k …………………8分
5167.0)1(1)1(52≈--=≥-e Y P 。（写出表达式即可给满分）……………10分
2、 解 （1）令∑==5
1
i i X Y 为总销售量。已知E X 1=200，E X 2=240，E X 3=180，E X 4=260，E X 5=320，D (X 1)=225，D (X 2)=240，D (X 3)=225，D (X 4)=265，D (X 5)=270，利用数学期望的可加性有
∑===
5
1
1200)
()(i i X
E Y E ………………2分
利用独立随机变量和的方差的可加性有
∑===
5
1
1225)
()(i i X
D Y D ……………………5分
（2）设商店仓库储存a 公斤该产品，使得
P {Y ≤ a}>0.99 ……………………6分
由相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，并注意到（1），得
Y ～ N （1200，1225）…………………7分
99.035
1200
}{>??
?
??-Φ=≤a a Y P 查标准正态分布表知
55
.128133.2351200
>>-a a ……………………9分 ∴ a 至少取1282.…………………… 10分
3、解 令=B “被检验者患有肝癌”，=A “用该检验法诊断被检验者患有肝癌”那么，0004.0)(,10.0)|(,95.0)|(===B P B A P B A P ………………1分
（1）)|()()|()()(B A P B P B A P B P A P +=…………………………2分
10034.01.09996.095.00004.0=?+?=………………5分
（2）)
|()()|()()
|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=……………………6分
0038.01
.09996.095.00004.095
.00004.0=?+??=
……………………10分
4、解 由
()1=?+∞
∞
-dx x p 及()()2
1
=
=
?+∞
∞
-dx x xp X E ，得 ()()
3
211
2
b
a dx bx ax dx x p +=
+==
??+∞
∞
-，…………………2分 ()()
43211
2b
a dx bx ax x dx x xp +=+==??+∞∞-．…………………4分
由此得线性方程组 ?????=+=+2
1431
32b a b
a ．…………………5分
解此线性方程组，得6,6-==b a ．…………………6分 所以，()()()10
3
516416661
2
2
2
2
=?-?=-==??+∞∞
-dx x x x dx x p x X
E ， ………8分
所以，()()()()
20
1
211032
2
2=??? ??-=-=X E X
E X D ．…………………10分 5、解 (1) 由(2)0
1d (,)d d e d x y x f x y y x A y +∞
+∞
+∞
+∞
-+-∞
-∞
==??
??
20
e d e d 2
x y A A
x y +∞
+∞--==
?
?． 得2A =． …………………………………………………………………………2分
(2) (,)d (,)d x
y F x y x f x y y -∞
-∞
=??
2002e d e d ,0,0,
0,x y
x y x y x y --?>>?=???
??其它.
2(1e )(1e ),0,0,
0,x y x y --?-->>=??
其它.………………………………5分
图1 图2
(3)如图1所示，{(,)|0}G x y x y =<<，故
{}{}(,)(,)d d G
P X Y P X Y G f x y x y <=∈=??
220
230
d 2
e e
d 2
e (1e )d 2e
d 2
e d 211.33
y
x y
y y y
y y x y
y y
+∞+∞
----+∞
+∞
--==-=-=-
=????? ……………………10分
(4) X 与Y 的边沿密度分别为
(2)02,0,0
()()0,00,0x y x X e
dy x e x f x f x y dy x x +∞
-+-+∞
-∞
??>>?===??
≤??≤???， (2)202,02,0
()()0,0
0,
0x y y Y e
dx y e y f y f x y dx y y +∞
-+-+∞
-∞
??>>?===??
≤??≤???
， 显然, (,)()()X Y f x y f x f y =成立,故X 与Y 独立. ……………………15分
6、解 设需要的车位数为n ，i X 表示第i 个住户拥有的汽车数(需要的车位数)(i =1，2，…，400），则随机变量40021,...,,X X X 独立同分布，而且
()2.13.026.011.00=?+?+?=i X E ，……1分 ()8.13.026.011.002222=?+?+?=i X E ，……2分 于是有
()()
()()36.02.18.122
2=-=-=i i i X E X E X D ．…… 3分
由独立同分布的中心极限定理，400
1
=∑i i X 近似地服从(400 1.2,4000.36)N ??，
即400
1
=∑i i X 近似地服从(480,144)N . 由题意，得
4001()i i P X n F n =??
≤= ???
∑()
4800.9512n -=Φ≥………………………5分
因此得
645.112
480
≥-n ，所以有 74.49912645.1480=?+≥n ．
因此至少需要500个车位，才能满足题设要求. ………………………6分