高中数学概念汇总
一．集合的概念：
1.集合的表示法：（1）列举法：如 {1,2,3,4,5}; (2)描述法：如{x|x ≤2};
2.集合间的关系：
（1）子集：A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记为A ?B;任何一个集合是它本身的子集，空集是任何一个集合的子集。
（2）真子集 ：如果A 是B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 的真子集，记为B A ≠
?。空集是任何一个非空集合的真子集。
（3）两个集合相等：对于两个集合A 与B,如果A ?B,同时A B ?，那么就说这两个集合相等，记作A=B. 3.集合的运算：
（1）交集：=B A {x|,A x ∈且B x ∈}； （2）并集：B A ={x|A x ∈或B x ∈}；
（3）补集：若全集为U,则集合A 的补集为A C U ={x|U x ∈但A x ?}。
5.集合中元素的三大属性;
(1)元素的确定性；（2）元素的无序性；（3）元素的互异性。
对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足元素的互异性。 6.常用数集的记号:自然数集N;整数集Z;有理数集Q;实数集R;复数集C.空集φ。
二．命题
1.四种命题形式：
如果一命题条件为A ，结论为B,那么该命题的原命题形式是：若A 成立，则B 成立（即A ?B);
它的逆命题形式是：若B 成立，则A 成立（即B ?A);
它的否命题形式是：若A 不成立，则B 不成立（即B A ?）； 它的逆否命题形式是：若B 不成立，则A 不成立（即A B ?）。
等价命题：若甲，乙两命题满足：甲?乙，乙?甲，则称甲乙两命题是等价命题， 记为甲?乙；
原命题与逆否命题是等价命题；逆命题与否命题是等价命题。 2.充分条件与必要条件：
设条件A 和结论B,如果A B ?,那么A 是B 的充分条件，或说B 是A 的必要条件；如果A B ?，那么A 是B 的必要条件，或说B 是A 的充分条件；如果B A ?，那么A 是B 的充分必要条
件，简称充要条件。
设A={a|a 具有性质α}，B={b|b 具有性质β}，则B A ?与αβ?等价。
如果两个命题互为逆否命题，那么它们具有相同的真假值。如果两个命题为互逆命题或者是互否命题，那么它们的真假没有必然联系。
三．不等式
1.实数比较大小的基本方法：
即等价关系：0;0;0<-?<=-?=>-?>b a b a b a b a b a b a
2.掌握不等式的8个基本性质
（1）若a>b,b>c,那么a>c; (2)若a>b,那么a+c>b+c; (3)若a>b.c>0.那么ac>bc;若a>b,c<0,那么ac
；若0>a>b,那么011< a ；（7）若a>b>0,c>d>0,那么ac>bd; (8)若a>b>0,那么n n b a >，且n n b a >（n +∈N ,n>1) 3.含有绝对值不等式的性质 b a b a b a -≥±≥+ 4.基本不等式： （1）当a>0,b>0时， ab b a ≥+2 ，当且仅当a=b 时等号成立； （2）因为a+b≥ab 2,所以，若积ab 为定值，则a+b 有最小值ab 2； （3）因为2)2( b a ab +≤，所以，若和a+b 为定值，则ab 有最大值2 )2 (b a + （4）当a>0,b>0时，有b a a b b a b a 112 2222+≥≥+≥+（两个正数的平方平均数、算术 平均数、几何平均数、调和平均数之间的大小关系）。 5.解不等式 （1）一元一次不等式：如果a>0,那么ax>b 的解为a b x > ；如果a<0,那么ax>b 的解为a b x < ；如果a=0,b≥0时，不等式无解；b<0时，不等式的解为R. （2）一元二次不等式： 任何一个一元二次不等式都可以化为)0(,02>>++a c bx ax 或)0(,02 ><++a c bx ax 可 利用二次函数图像求解，其解的情况如下： (3)含有绝对值的不等式 当a> 0时，有 2 2x a x a a x a 22x a x a x a >?>?>或x a <- (4)形如 0>++d cx b ax （或<0)的分式不等式与一元二次不等式（ax+b)（cx+d)>0同解；形如 0<++d cx b ax 的分式不等式与一元二次不等式(ax+b)(cx+d)<0同解。 解分式不等式一般不能去分母。 四．函数 1.函数的定义域：当函数是以解析式形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变 量的取值集合。当函数是以实际问题的形式给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要考虑实际意义。 2.函数值域的主要求法： （1）利用函数的单调性； （2）利用配方法； （3）利用函数的有界性； （4）利用判别 式法：形如h qx px c bx ax y ++++=22（a,p 至少有一个不为零）的函数，求其值域，可利用判别式 法； （5）利用换元法； （6）利用基本不等式； （7）几何法：利用数形结合的思想方法，通过函数的曲线图形间的关系，利用平面几何的知识求值域。 3.求函数解析式的四种常用方法： （1）拼凑法：由已知条件()[]()x F x g f =，可将F(x)改写成g(x)的表达式，然后用x 代替g(x),便可得到f(x)的表达式； （2）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数，二次函数）可用待定系数法； （3）换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意“新元”的取值范围。 （4）解方程组法：已知关于f(x)与 ) (1 x f 或f(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 4.函数的奇偶性： 对于函数定义域内的任意x ，恒有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),那么分别称f(x)是奇函数或偶函数。 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。 5.函数的单调性：对于区间I 上的函数f(x),若任取I x x ∈21,，且21x x <，恒有 ()()21x f x f <，则称f(x)在区间I 上是增函数；恒有()()21x f x f >，则称f(x)在区间I 上是减函数，这个区间I 叫做f(x)的单调区间。 判断函数单调性的方法： （1）定义法：利用定义法的关键是对()()21x f x f -的整理，化简，变形和符号的判断，其中变形的策略有因式分解，配方法，分子（分母）有理化等。 （2）图像观察法； （3）利用已知函数的单调性； （4）利用复合函数单调性法则：（里外函数单调性一致增；里外函数单调性相反减） 6.函数的零点：对于函数y=f(x),我们把使f （x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。 （1）方程的根与函数零点的关系：方程f(x)=0有实数根，可得出y=f(x)的图像与x 轴有交点，进而得到：函数y=f(x)有零点。 （2）零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条不间断的曲线，且 f(a)f(b)<0,那么函数Y=f(x)在区间[a,b]上有零点，即存在()b a c ,∈，使得f(c)=0,这个c 也是方程f(x)=0的根。 7.一元二次函数： （1）一元二次函数的三种表示方法：①)0(2 ≠++=a c bx ax y ；②()m n x a y +-=2 ； ③()()21x x x x a y --=，其中a ≠0. 8。.幂函数：形如α x y =（αR ∈）的函数叫做幂函数。定义域因α而异，当α≠0,1时， 幂函数α x y =在区间[0,+∞)上的图像分三类（如图） 要作幂函数α x y =在α≠0,1时的图像，可分两步完成：首先根据α的大小，作出该函数在 区间[)+∞,0上的图像，然后根据该函数的奇偶性，补全函数在y 轴左側的图像。 9.反函数：（1）若函数y=f(x)()D x ∈的值域为A,则函数f(x)有反函数的充要条件是对应法则使集合D 与集合A 中的元素是一一对应的，其反函数记作()x f y 1 -=（A x ∈）； （2）求y=f(x)的反函数的步骤分三步：①由方程y=f(x)反解出x=g(y);②互换字母x,y 得y=g(x);③由原函数的值域A 确定g(x)的定义域，于是()()x g x f =-1 ()A x ∈即为所求函数； （3）Y=f(x)及其反函数()x f y 1 -=的图像关于直线y=x 对称； （4）关于互为反函数的两个函数间有如下的性质：①()[ ]()[]x x f f x f f == --11 ；②y=f(x) 与()x f y 1 -=的奇偶性，单调性相同； （5）在定义域上单调的函数一定有反函数，有反函数的函数不一定是单调函数。 10.指数函数及其性质： （1）形如：)1,0(≠>=a a a y x 的函数叫做指数函数； （2）图像： 1 1 O x o x (3)性质可由图直接得到； （4）指数的运算性质：①;βαβα+=a a a ②() αββ αa a =；③()ααα b a ab =. 11.对数函数及性质： （1）对数的概念 ()1,0≠>=a a N a b N b a log =? ，以10为底的对数叫常用对数，记为lgN;以e 为底的对数叫自然对数，记作lnN; （2）对数的性质：N M MN a a a log log log +=； N M N M a a a log log log -=； ()1,0,0,log log ≠>>=a a N M M n M a n a ；换底公式a N N b b a log log log = （a,b>0,a≠1,b≠1) (3)形如：x y a log =（a>0且a≠1)的函数叫做对数函数。x y a log =与x a y =是互为反函 数 (4)对数函数的图像和性质： x 性质可由图直接得到。 12.指数方程和对数方程： （1）某些指数方程的解法：①形如()()x g x f a a =的方程可利用指数性质，即同底的幂相等它们的指数相等，化成普通方程f(x)=g(x)来解；②形如()()x g x f b a =的方程可两边取对数， 化成()()x g x f b a log log =来解；③形如() 0=x a f 的方程，可利用换元法，设y=x a ,解方 程f(x)=0,求出y,即x a ，再进一步求解。 （2）某些对数方程的解法：①形如()b x f a =log 的方程，可利用对数定义，化成()x a x f =来解；②形如()()x g x f a a log log =的方程，可利用对数性质，即同底数的对数相等，则它们的真数也相等。化成f(x)=g(x)来解；其结果要检验，确保f(x)>0.且g(x)>0.③形如 ()b x f a =log 的方程可利用换元法，设y=x a log ,先解f(y)=0,再进一步求解；④对数式的 底数中含有未知数的方程，可根据具体情况，利用对数定义或换底公式等，把原方程化成简单的形式再求解。 五．三角比 1.弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，这种用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫弧度制。 （1）弧长L 和半径r,及圆心角α的关系是r l =α,一般规定，正角的弧度为正数，负角的弧度是负数，零角的弧度是零。 （2）弧度与角度不能混合书写。 （3）π23600=弧度，π=0180弧度， 18010 π=弧度≈0.01745弧度，1弧度=0 )180( π ≈57.300 ='01857。 （4）弧长公式与扇形面积公式：lr r S r l 2 1 21,2=?= ?=αα（其中α为弧度数）。 2.任意角：角的定义：一条射线绕着它的端点，由初始位置旋转到最终位置就形成了一个角。 角可分正角（逆时针旋转），负角（顺时针旋转）和零角（不旋转）。 3.与α终边相同的角的集合可表示为：{β|β=k ?3600+α,k Z ∈}或{β|β=2k π+α，Z k ∈}。 4.任意角的三角比： 定义：设α是一个任意角，其终边上任意一点P 的坐标是（x,y),它与原点的距离是r(r>0),如图 那么x y r x r y === αααtan ,cos ,sin y r x r y x === αααcsc ,sec ,cot 注：三角比的值与p 的位置无关。 5.三角比在各象限内的符号，如图： Y y y ＋ ＋ － ＋ － ＋ － O － x －o ＋ x ＋ o － x Sinα与cscα cosα与secα tanα与cotα 6.同角比间的关系： （1）倒数关系 sinα?cscα=1, cosα?secα=1, tanα?cotα=1. (2) 商数关系 α α ααααsin cos cot ,cos sin tan == 。 （3）平方关系 αααααα2 22222csc cot 1,sec tan 1,1cos sin =+=+=+。 以上关系可用下图表示： Sinα cosα tanα 1 cotα Secα cscα 7.诱导公式： 诱导公式可用十个字表示为：奇变偶不变，符号看象限。具体有以下公式： 公式一：sin(α+k ?2π）=sinα, cos(α+k ?2π）=cosα, tan(α+k ?2π）=tanα. 公式二：sin(π+α）=-sinα, cos(π+α）=-cosα. Tan(π+α）=tanα. 公式三：sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα. 公式四：sin(π-α）=sinα, cos(π-α）=-cosα, tan(π-α）=-tanα. 公式五：ααπ ααπ sin )2cos(,cos )2sin( =-=- 公式六：ααπ ααπsin )2 cos(,cos )2sin( -=+=+。 8.两角和与差的三角比： Sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ, cos(α±β)=cosαcosβ sinαsinβ, β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ±. 9.倍角公式： sin2α=2sinαcosα. Cos2α=αα22sin cos -=αα22sin 211cos 2-=- α α α2 tan 1tan 22tan -= . 10.半角公式：2cos 12 sin αα -± =， cos 2 cos 12α α+±=, α α ααααα sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 tan -=+=+-± =. 11.积化和差公式： [])sin()sin(21 cos sin βαβαβα-++= ?，[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=?， [])cos()cos(2 1 cos cos βαβαβα-++= ?，[])cos()cos(2 1 sin sin βαβαβα--+- =?。 12.和差化积公式： 2 cos 2 sin 2sin sin ? θ? θ?θ-+=+， 2sin 2 cos 2sin sin ? θ? θ?θ-+=-， 2 cos 2 cos 2cos cos ? θ? θ?θ-+=+， 2 sin 2 sin 2cos cos ? θ? θ?θ-+-=-。 13.三角形的面积公式： ()c b a r R abc B ac A bc C ab S ABC ++=====?2 1 4sin 21sin 21sin 21，（R 为外接圆半径，r 为内切圆半径）。 14.正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）。 15.余弦定理：A bc c b a cos 22 2 2 -+=或bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac a c b cos 22 2 2 -+=或ac b a c B 2cos 2 22-+= C ab b a c cos 22 2 2 -+=或ab c b a C 2cos 2 22-+=。 六．三角函数 2.函数y=Asin(?ω+x )(0,0>>A ω)型的图像与性质： （1）A 称为振幅，它决定着函数的最值；ω称为角频率，它决定着函数的周期，即ω π 2= T ， 周期T 的倒数f= T 1又称为频率；ω ? -称为相位移，它决定函数y=Asin x ω的图像向左还是向右平移 ω ? 个单位。 （2）由函数y=sinx 的图像变换到y=Asin(?ω+x )(A>0,0>ω)的图像的步骤： y=sin(x+?) ωω>1 缩短 0<ω<1 伸长 横坐标为 原来的ω 1 倍 3. 反三角函数： （2）反三角函数的恒等式： Sin(arcsinx)=x, arcsin(-x)=-arcsinx, cos(arccosx)=x, arccos(-x)=π-arccosx.成立的条 件是x ]1,1[-∈.tan(arctanx)=x, arctan(-x)=-arctanx,成立的条件是x R ∈. 4.最简三角方程： （1）sinx=a,当|a|>1时，解集为φ；当|a|≤1时，解集为{x|x=Z k a k k ∈-+,arcsin )1(π}; (2)cosx=a,当|a|>1时，解集为φ；当|a|≤1时，解集为{x|x=Z k a k ∈±,arccos 2π}; (3)tanx=a 的解集为{x|x=Z k a k ∈+,arctan π}. 七．数列与数学归纳法： 1.等差数列： （1）定义：d a a n n =--1（d 为常数）; (2)通项公式：d n a a n )1(1-+=；（3）前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （4）性质：当m+n=p+q 时，q p m n a a a a +=+；n n n n n S S S S S 232,,--也成等差数列； （5）等差中项：a,A.b 成等差数列，则2A=a+b; （6）常用公式的变形：m n a a d m n --=；d m n a a m n )(-+=。 2.等比数列： （1）定义： q a a n n =+1 （q 为常数）； （2）通项公式：11-=n n q a a ， 变形：m n m n q a a -=； （3）前n 项和公式：?????≠--==) 1(,1)1() 1(,11q q q a q na S n n ； （4）性质：当m+n=p+q 时，q p m n a a a a ?=?；n n n n n S S S S S 232,,--也成等比数列； （5）等比中项：a,G,b 成等比数列，则ab G ab G ±==,2 ； （6）前n 项和n S 与通项n a 的关系：??? ≥-==-)2() 1(,11n S S n S a n n n 3.数列的极限与运算： （1）三个基本极限：)1|(|0lim ,01 lim ,lim <===∞ →∞→∞ →q q n C C n n n n ； （2）无穷等比数列各项和的公式：1||0,1lim 1 <<-= =∞ →q q a S S n n ； （3）极限的四则运算：)(lim lim lim n n n n n n n b a b a ±=±∞→∞→∞→；(,lim lim lim n n n n n n n b a b a ∞ →∞ →∞→=分母不为零）， n n n n n n n b a b a ∞ →∞ →∞ →?=?lim lim )(lim 以上运算仅在有限项的运算中可用。 八．平面向量： 1.向量及有关概念： （1) 向量：既有大小又有方向的量； （2) ； （3) 单位向量：模为1的向量叫单位向量，对任意向量，与它同方向的单位向量叫做向量的单位向量，记为0a ，a 0= ； （4) 零向量：模为零的向量叫做零向量，记作，的方向不定，注意与0的区别； （5) 相等向量：模相等且方向相同的两个向量是相等向量；负向量：模相等但方向相反的两个向量互为负向量；平行向量：两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行，这与几何中两条直线平行是有区别的。 （6) 平面向量分解定理：平面上任意一个向量可以表示为同一平面上两个不平行的向量 21,e e 的线性组合，而21e e βα+=，βαβα,,,R ∈叫做线性组合的系数， 2.向量的坐标运算： （1）设),(),(221,1y x b y x a ==，则),(2121y y x x b a ±±=±，),(11y x a λλλ=， （2）设),(),,(2211y x B y x A ，则),(1212y y x x --= ()()2 12212y y x x -+-= ； （3）定比分点公式：PP PP y x P y x P λ=1222111),,(),,(（λ为实数，且1-≠λ）， P(x,y),则有λ λλλ++=++= 1,12 121y y y x x x 。 （4 ）向量的数量积：2121y y x x +==?θ （5）向量002121=+?=??⊥y y x x b a b a ；向量1221//y x y x b a b a =?=?λ。 （6 ）向量的夹角公式：22 2 221 21 2121cos y x y x y y x x +++= = θ；θ为锐角的充要条件是 0>?且与不共线。θ为钝角的充要条件是,,0 3.向量加，减法的几何意义： +或 b a + a b b a - 4.数量积的运算律： （1）交换律：?=?；（2）分配律：() ?+?=?+；（3）对 ()()() R λλλλ?=?=?∈,。 5.常用公式：（1）22 22)(b b a a b a +?+=+；（2）2 2))((b a b a b a -=-+； （3）c a c b b a c b a c b a 222)(2 2 2 2 +?+?+++=++；（4）2 =。 （5）ABC ?中重心为G,则=++；D 为AB 边中点，则)(2 1 += ； （6）当A ,P ,B 三点共线，O 不在这条直线上时有：,21oB oA OP λλ+=其中121=+λλ。 九．矩阵与行列式： 1.单位矩阵：形如：???? ??1001； 2.方程组???=+=+f ey dx c by ax 的系数矩阵为???? ??e d b a ，增广矩阵为??? ? ? ?f e d c b a 。 3行列式： 12212 2 11b a b a b a b a -=， 3122311232131323213 3 3 2221 11c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++= =111111C c B b A a ++，其中() ,133221 11c b c b A +-=()3 32 2 2111c a c a B +-= () 3 32 23 111b a b a C +-= 4.二元线性方程组?? ?=+=+2 221 11c y b x a c y b x a 的系数行列式为D= 2 211b a b a ,2 2 11b c b c D x = 2 2 11c a c a D y = .(1)当D ≠0时，方程组有唯一解：D D y D D x y x == ,；（2）当D=0,但y x D D ,中至少有一个不为零时，方程组无解；（3）当0===y x D D D 时，方程组与无穷多解。 十．直线方程： 1.倾斜角和斜率： （1）倾斜角：设直线l 向上的方向与x 轴正方向所夹的最小正角为直线的倾斜角α。 （2）当直线l 与x 轴平行或重合时，规定0=α；0≤α<π； （3）斜率：若2 π α≠ ，tanα=k,称为直线l 的斜率；当2 π α= 时，直线l 的斜率不存在； 直线l 经过两点),(),,(222111y x P y x P ，（21x x ≠）则1 21 2x x y y k --= ；当直线l 的方向向量 ),,(v u d =则)0(,≠=u u v k ； （4）倾斜角与斜率的关系为：k=tanα,(παπ α<≤≠ 0,2 ); （5）??? ? ??? <+ =)0(,arctan (,arctan ,2k k k k ππα 2.直线的方程： （1）直线的方向向量和法向量：与直线l 平行的非零向量称为直线l 的方向向量，记为，与直线l 垂直的非零向量称为直线l 的法向量，记为n ，同一直线的方向向量d 与法向量n 有 0,=?⊥； （2）方程的几种形式： ①点方向式方程：),(),,(00y x P v u =， v y y u x x 0 0-=-，特殊情况：当u=0，v≠0时，方程为：0x x =；当u≠0,v=0时，方程为：0y y =；),(u v -= ②点法向式方程：),(),,(00y x P b a n =，0)()(00=-+-y y b x x a ，特殊情况：当a=0,b≠0时，方程为：0y y =；当a≠0,b=0时，方程为：0x x =；),(a b d -= ③点斜式方程：)(00x x k y y -=-，k 不存在时，方程为：0x x =；)1,(),,1(-==k k ； ④一般式方程：)0(,02 2≠+=++B A C By Ax ，方向向量),(A B d -=或（B,-A ），法向 量),(B A n =或（-A,-B);斜率k=B A -,纵截距为B C -。 （3）两条直线的位置关系： 若直线0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l （其中2211,,,B A B A 不全为零）， ①02 2 11≠= B A B A D 21,l l 相交（有一个公共点）；②2 2 112 2 11,C A C A D B C B C D y x --= --= ， 当D=0,且y x D D ,不全为零时，21//l l （没有公共点）；③当0===y x D D D 时，21,l l 重合，（有无穷多个公共点）。 ④2121//k k l l =?（或两条直线的斜率都不存在）；当21k k =且两条直线不重合时 21//l l ?； ⑤,12121-=?⊥k k l l 或21,k k 中必有一个为零，一个不存在；0212121=+?⊥B B A A l l 。 （4）两条直线的夹角：设1l 的方向向量为),(111A B d -=，2l 的方向向量为),(222A B d -=， 两条相交直线的夹角为θ，平面上两条直线相交时形成两组对顶角，我们规定两条相交直线所成的锐角或直角是两条直线的夹角，所以θ]2 , 0[π ∈。 2 2 2221212 121cos B A B A B B A A +++= = θ或,1tan 2 11 2k k k k +-= θ（其中 0,1212121≠+-≠B B A A k k ）。 （5）点到直线的距离公式：直线),(,0:00y x P C By Ax l =++点P 到直线l 的距离为 2 2 00B A C By Ax d +++= 。 （6）两条平行直线之间的距离公式：2 2 21B A C C d +-= 。 （7）点与直线的位置关系：设直线Ax+By+C=0,点P(00,y x ),则2 2 00B A C By Ax +++= δ，那么 在直线同側的所有点，δ的符号是相同的，在直线异側的所有的点，δ的符号是相反的。 （8）点关于直线的对称问题：点),(00y x P 关于直线y=kx+b 的对称点),(' n m P 满足 ??? ??? ? =++-+?-=--02210000b n y m x k k x m y n 十一．圆： 1.圆的标准方程是()(),2 2 2 r b y a x =-+-其中r>0,圆心坐标为（a,b),半径为r.当圆心在原 点时，标准方程为：2 22r y x =+； 2.圆的一般方程：02 2=++++F Ey Dx y x ，其中0422>-+F E D ，圆心坐标为 )2,2(E D -- ，半径为F E D r 42 122-+=；当0422=-+F E D 时，方程表示一个点其坐标为)2 ,2(E D -- ；当0422<-+F E D 时，方程所对应的曲线不存在。 3.二元二次方程02 2=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，仅当A=C≠0,B=0,且 0422>-+F E D 时才表示圆。 4.圆心的三个重要的几何性质为：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在某一条弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 5.直线与圆的位置关系： 直线方程 直线与圆的三种位置关系：联立? ?? 曲线方程 得到一元二次方程从而有?? ? ????000 6.圆与圆的位置关系可分为五种：外离、外切、相交、内切、内含。 两圆外离时，没有公共点，有四条公切线；两圆外切时，有唯一公共点，有三条公切线；两圆相交时，有两个公共点，有两条公切线；两圆内切时，有唯一公共点，有一条公切线；两圆内含时，没有公共点，没有公切线。 7.判断两圆的位置关系：①把圆的方程转化为标准方程，求出圆心21,O O 和半径21,r r ；②求出两圆圆心距21O O d =；③判断：根据d 与21,r r 的和、差的大小作出判断如下：当 ?+>=2121r r o o d 外离；?+=21r r d 外切；?+<<-2121r r d r r 相交；?-=21r r d 内切；?-<≤210r r d 内含。 8.以点()()2211,,,y x B y x A 为直径的两个端点的圆的方程是： 0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ； 9.过圆2 22r y x =+上一点()00,y x M 的切线方程是：200r y y x x =+； 10.过圆()(),2 2 2 r b y a x =-+-上一点()00,y x M 的切线的方程是： 200))(())((r b y b y a x a x =--+-- 十二．椭圆 1.椭圆的定义：平面内到两个定点21,F F 的距离之和等于定长2a(2a>|21F F |)的动点的轨迹叫椭圆。即：a MF MF 221=+。若2a=21F F ,则其轨迹为线段21F F ；若2a<21F F ,则其轨迹不存在。 2.椭圆的标准方程，图像和性质如下表： 3.焦点三角形：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形，设焦点三角形21F PF 中， θ=∠21PF F ，则2 tan 221θ b S PF F =?。 十三．双曲线 1.双曲线的定义：平面内到两个定点21,F F 的距离之差的绝对值等于定长2a(2a<|21F F |)的动点M 的轨迹叫做双曲线。即：a MF MF 2||||||21=-。当2a=21F F 时，其轨迹为分别以 21,F F 为端点不包括线段21F F 的两条射线，若2a>|21F F |时，其轨迹不存在。还要注意定义 中“绝对值”的条件不能少，因为仅满足a MF MF 2||||21=-的轨迹只是双曲线的一支。 )0(2222≠=-λλy a x b ，根据其他条件确定λ的值。 十四．抛物线 1.抛物线的定义：平面内到一个定点的距离与一条定直线的距离相等的动点的轨迹叫做抛物线，该定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。 3.直线与圆锥曲线的三种位置关系：联立直线与曲线得到一元二次方程从而有时，相交；0=?时相切；0 4.弦长公式：||1 1||1||212 212 y y k x x k AB -+ =-+=。 十五．参数方程和极坐标方程 函数 1、 函数的概念 定义：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f ，使得A 中任一元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数。记作：x→y=f(x),x ∈A.集合A 叫做函数的定义域，记为D,集合{y ∣y=f(x),x ∈A}叫做值域，记为C 。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x ∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 两个函数相同只需两个要素：定义域和对应法则。 已学函数的定义域和值域 一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 二次函数 c bx ax x f ++=2 )() 0(≠a :定义域R ，值域：当 2、 函数图象 定义：对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x 视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y 视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x 取何值，都同时确定了一个点，由于x 的取值范围是无穷大，同样y 也有无穷个，表示的点也就有无穷个。这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。 常数函数f(x)=1 一次函数f(x)=-3x+1 二次函数f(x)=2x 2+3x+1 反比例函数f(x)=1/x 3、定义域的求法 已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况： 分式中的分母不为零； 偶次根式下的数或式大于等于零； 实际问题中的函数，其定义域由自变量的实际意义确定； 定义域一般用集合或区间表示。 4、值域的求法 ①观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 ②反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。 ③配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x 2+x+2)的值域。 练习：求函数y=2x －5＋√15－4x 的值域. ④判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 ⑤图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例4求函数y=∣x+1∣+√(x-2) 2的值域。 ⑥换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例5求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。 ⑦不等式法 例6求函数y=(2x-1)/(x+1) (1≤x ≤2) 的值域。 5、复合函数 设y=f(u ），u=g(x ），当x 在u=g(x ）的定义域Dg 中变化时，u=g(x ）的值在y=f(u ）的定义域D f 内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量（即函数）。 6、函数的表示方法：列表法，解析法，图像法 7、分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 分段函数经常使用图像法 8、函数解析式的求法 ①代入法 例1已知f(x)=x 2-1,求f(x+x 2) ②待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。 例2已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x+3，求f(x) ③换元法 ④特殊值法 例4已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12 ()()(++=-+成立，且0)1(=f 。 (1)求 )0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。 ⑤方程组法 1、求下列函数的定义域： 2、求下列函数的值域 3 函数? ?? ??>+-≤<+≤+=1,51 0,30 ,32x x x x x x y 的最大值是 。 4已知：x x x f 2)1(2 += +，求)(x f 。 6已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ． 第一章 集合与函数概念 1.1集合 1.1.1 集合的含义及其表示 教学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法； （2）初步了解“属于”关系的意义； （3）初步了解有限集、无限集、空集的意义； 教学重点：集合的含义与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。 教学过程： 一、问题引入： 我家有爸爸、妈妈和我； 我来自燕山中学； 省溧中高一（1）班； 我国的直辖市。 分析、归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义。 二、建构数学： 1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B …… 集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a 、b 、c 、p 、q …… 指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。 （1）我国的直辖市； （2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数 （4）young 中的字母； （5）大于100的数； （6）小于0的正数。 2．关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。 3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ?A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写） 4．有限集、无限集和空集的概念： 5．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数 =Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应 的=R 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 高中数学 必修1知识点 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????????=∈∈???=??=?=???????????=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ?????????????????????? ??????????????????????=??????? 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. 1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学过程: 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2 （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（? 也可表示为 ）两种。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32 A. 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集A 记作 a ?A （或a A ） 注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 2、“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。 4 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 请回答：已知a+b+c=m ，A={x|ax 2+bx+c=m}，判断1与A 的关系。 1.1.2 集合间的基本关系 教学目标：1.理解子集、真子集概念； 2.会判断和证明两个集合包含关系； 3 . 理解 ”、“?”的含义； 4.会判断简单集合的相等关系； 5.渗透问题相对的观点。 教学重点：子集的概念、真子集的概念 教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程： 观察下面几组集合，集合A 与集合B 具有什么关系？ (1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形}，B={四边形}. (4) A=?，B={0}. ∈?∈ 高中数学概念课教学 摘要培养创新精神和实践能力是目前我国教育改革，实施素质教育的重要任务之一，它要求我们在日常教学中持之以恒地认真钻研教材，合理创设问题情景，加强思维训练，并积极探索规律，改进教学方法，优化教学过程。笔者在高中数学概念教学中，发现教师若能充分重视数学概念的教学，在概念教学中恰当的把握好传授知识与增长能力的关系，充分尊重学生在学习过程中的主体体验、主动积极的思维和情感活动，才能循序渐进地引导学生在体验中感悟、在体验中创造、在体验中提高数学素养，帮助学生认识、理解、体验和掌握数学概念，促使其能运用数学概念灵活处理相关的数学问题。发展学生学会学习、学会思考、学会提问和开拓创新的能力。 关键词数学概念认识掌握拓展应用 数学是自然的，数学是清楚的。任何数学概念都有它产生的背景，考察它的来龙去脉，我们能够发现它是合情合理的。而要让学生理解概念，首先要了解它产生的背景，通过大量实例分析分析概念的本质属性，让学生概括概念，完善概念，进一步巩固和应用概念。才能是学生初步掌握概念。因此，概念教学的环节应包括概念的引入——概念的形成——概括概念——明确概念——应用概念—— 形成认知。传统的教法教师经常包办到家，口若悬河，常使学生感到枯燥无味，对数学课提不起兴趣，致使不少学生概念模糊，从而影响对数学内容的后续学习。数学概念是学习数学知识的基础，是 培养数学能力的前提。如何搞好数学概念课的教学呢? 一、让学生在亲自感知、体验教学中认识概念 学习一个新概念，首先应让学生明确学习它的意义，作用。因此，教师应设置合理的教学情景，使学生体会学习新概念的必要性。概念的引入，通常有两类：一类是从数学概念体系的发展过程引入，一类是从解决实际问题出发的引入。我们着重谈一下从实际问题引入，通过创设实验活动，培养学生动手操作能力，让他们在亲自体验实践中形成数学概念。如在椭圆概念教学中，可要求学生事先准备两个小图钉和一条长度为定长细线，将细线两端分别固定在图板上不同两点a 和b ，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动所得图形。提问思考讨论：(1)椭圆上的点有何特征？(2)当细线长等于两定点之间距离时，其轨迹是什么？(3)当细线长小于两定点之间距离时，其轨迹是什么？(4)请同学总结，完善椭圆定义。这样的设计，不是教师机械的讲解、学生被动的接受的过程，而是学生通过数学实验，在不断思考和探索中得到新发现，获得新知识，从而体验数学概念的发生、形成和发展的过程，，一方面有利于增强学生上数学课兴趣，感受过程给他们带来的快乐，另一方面有利于学生充分了解概念由来，方便记忆。 二、寻找新旧概念之间联系，形成系统化，进一步掌握概念 数学中有许多概念都有着密切的联系，如平面角与空间角、映射与函数、平行线段与平行向量、等差数列与等比数列等等，在教学中应善于寻找、分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。 数学定义 一.集合与函数 1. 的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特和殊情况，不要忘记了借助数轴文氏图进行求解. 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：. 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值, 作差, 判正负)和导数法 11. 求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求 参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值? 16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。 17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形? 二.不等式 18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”. 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”. 22. 在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示. 23. 两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b 三.数列 高中数学概念公式大全 一、 三角函数 1、以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则 sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 22=+αα， αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如： =-)23sin(απαcos -，)215(απ -ctg =αtg ， =-)3(απtg αtg -。 4、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是 B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频率是π ω 2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线 )(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都 是该图象的对称中心。 5、三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是?????? +-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是?? ???? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22， )(Z k ∈，tgx y =的递增区间是?? ? ? ?+ - 22 πππ πk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)cos(βαβαβαsin sin cos cos μ = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?±μ1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 212tg tg -。 8、三倍角公式是：sin3α=αα3 sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43 - 9、半角公式是：sin 2α=2cos 1α-± cos 2α=2 cos 1α +± tg 2α=α αcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +。 新课标下如何进行高中数学概念教学 发表时间：2011-01-26T17:01:56.810Z 来源：《少年智力开发报》2010年第9期供稿作者：杨昆 [导读] 如何在这一要求下进行数学概念教学？我认为抓好概念教学是提高数学教学质量的最关键的一环。 贵州省平塘民族中学杨昆 教师应该准确地提示概念的内涵与外延，使学生深刻理解概念，并在解决各类问题时灵活应用数学概念是新课标下数学概念的教学要求。因此正确理解数学概念，是掌握数学基础知识的前提。如何在这一要求下进行数学概念教学？我认为抓好概念教学是提高数学教学质量的最关键的一环。下面我从引入概念、解析概念、巩固概念三个方面谈谈对概念教学。 一、引入概念 概念教学中要引导学生经历从具体的实例抽象出数学概念的过程．因此引入数学概念就要以具体的典型材料和实例为基础，揭示概念形成的实际背景，要创设好的问题情境，帮助学生完成由材料感知到理性认识的过渡，并引导学生把背景材料与原有认知结构建立实质性联系．下面介绍几种引入数学概念的方法： 1.从实际生活中，引入新概念。 新课标强调“数学教学要紧密联系学生的生活实际”．在数学概念的引入上，尽可能地选取学生日常生活中熟悉的事例． 2.创设问题情境，引入新概念。 教师要善于恰当地创设趣味性、探索性的问题情境，激发学生概念学习的兴趣，使学生能够从问题分析中，归纳和抽象出概念的本质特征，这样形成的概念才容易被学生理解和接受。 3. 从最近概念引入新概念。 数学概念具有很强的系统性。数学概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后续概念的基础，从而形成了数学概念的系统。公理化体系就是这种系统性的最高反映。教学中充分利用学生头脑中已有的知识与相关的经验引入概念，使相应的具体经验升华为理性认识，不仅能使学生准确地理解概念的形式定义，而且有利于建立起关于概念的恰当心理表征。使学生对知识的积累变成对知识的融合。 二、解析概念 生动恰当的引入概念，只是概念教学的第一步，，要使学生真正掌握新概念，还必须多角度、多方位的解析概念。对概念理解不深刻，解题时就会出现这样或那样的错误，要正确而深刻地理解一个概念并不是一件容易的事，教师要根据学生的知识结构和能力特点，从多方面着手，适当地引导学生正确地分析解剖概念，充分认识概念的科学性，抓住概念的本质。因此，教师要充分利用概念课，培养学生的能力，训练学生的思维，使学生认识到数学概念，既是进一步学习数学的理论基础，又是进行再认识的工具。为此，我们可以从以下几个方面努力，加深对概念的理解。 1.用数学符号语言解析概念。数学教学体现了数学语言的特点，数学语言无非是文字叙述、符号表示、图形表示三者之间的转换，当然要会三者的翻译，同时更重要的是强调符号感。引进数学符号以后，应当引导学生把符号与它所代表的实质内容联系起来，使学生在看到符号时就能够联想起符号所代表的概念及其本质特征。事实上，如果概念的符号能够与概念的实质内容建立起内在联系，那么，符号的掌握可以提高学生的抽象能力、概括能力。数学中的逻辑推理关键就在于能够合理、恰当地应用符号，而这又要依靠对符号的实质意义的把握。在概念学习中，形式地掌握符号而不懂得符号的本质涵义的情况是经常发生的，这时符号将使知识学习产生困难，导致数学推理的错误。 2.用图形语言解析概念。数与形的结合是使学生正确理解和深刻体会概念的好方法，数形结合妙用无穷，教学中凡是“数”与“形”能够结合起来讲的，一定要尽量结合起来讲。 3.逆向分析，加深对概念的理解。人的思维是可逆的，但必须有意识地去培养这种逆向思维活动的能力。对某些概念还应从多方面设问并思考。 4.讲清数学概念之内涵和外延，沟通知识的内在联系。概念反映的所有对象的共同本质属性的总和，叫做这个概念的内涵，又称涵义。适合于概念所指的对象的全体，叫做这个概念的外延，又称范围。 5.揭示概念与概念之间的区别与联系,使新概念与已有认知结构中的有关概念建立联系,把新概念纳入到已有概念体系中,同化新概念。教学中，应将相近、相反或容易混淆的概念放到一块来对比讲解，从定义、图形、性质等各方面进行分析对比，从而正确理解把握概念.。 三、巩固概念 学生认识和形成概念，理解和掌握之后，巩固概念是一个不可缺少的环节。巩固的主要手段是多练习、多运用，只有这样才能沟通概念、定理、法则、性质、公式之间的内存联系。我们可以选择概念性、典型性的习题，加强概念本质的理解，使学生最终理解和掌握数学思想方法。例如，当学习完“向量的坐标”这一概念之后，进行向量的坐标运算，提出问题：已知平行四边形ABCD的三个顶点ABC的坐标分别是(1,2),(2,4),(0,2),试求顶点D的坐标。学生展开充分的讨论，不少学生运用平面解析几何中学过的知识（如两点间的距离公式、斜率、直线方程、中点坐标公式等），结合平行四边形的性质，提出了各种不同的解法，有的学生应用共线向量的概念给出了解法，还有一些学生运用所学过向量坐标的概念，把点D的坐标和向量CD的坐标联系起来，巧妙地解答了这一问题。学生通过对问题的思考，尽快地投入到新概念的探索中去，从而激发了学生的好奇以及探索和创造的欲望，使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外，教师通过反例、错解等进行辨析，也有利于学生巩固概念。 总之，在中学数学概念的教学中，只要针对学生实际和概念的具体特点，注重引入，加强分析，重视训练，辅以灵活多样的教法，使学生准确地理解和掌握概念，才能更好地完成数学概念的教学任务，从而有效地提高数学教学质量。 . 1.2.1 函数的概念（第一课时） 班级 姓名 时间 制作人： 课题 函数的概念 课 型 新 授 课 知识目标—— 通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系 的重要数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素 及函数符号的深刻含义. 能力目标—— 培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽 学习目标 重 点 难 点 学法指导 象、归纳概括的能力；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想 情感目标——探究过程中，强化学生参与意识，激发学生观察、分析、探求 的兴趣和热情；体会由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、 相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；逐渐形成善于提出问题的习惯， 学会数学表达和交流，发展数学应用意识；感受数学的抽象性和简洁美渗， 透数学思想和文化. 函数的概念、函数的三要素 函数概念及符号 y = f ( x ) 的理解 ⑴先自学课本 15～18 页，尝试完成课本例题和练习题。 ⑵找准自学中存在的问题，以备课堂内解决。 一．知识链接： 1、在初中我们学习了哪几种基本初等函数？ 一次函数，二次函数，反比例函数 2、在初中学习阶段，函数的定义是如何表述的？ 在一个变化过程中，有两个变量x 与 y ，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定的值和它 对应，那么就说 x 是 y 的函数， y 叫自变量． 3、由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？函数 y=x 与函数 y = x 2 表示同一个函 x 数吗？ （学生思考、小组讨论） 教师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念。这 就是今天我们要学习的课题：函数的概念（板书） 二、新课探究： 1.实例感受： 实例一：一枚炮弹发射后，经过 26s 落到地面击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹 距地面的高度 h （单位： m ）随时间 t （单位： s ）变化的规律是： y = 130t - 5t 2． 思考 1：（１）. t 的范围是什么？ h 的范围是什么？ （２）. t 和 h 有什么关系？这个关系有什么特点？ （实例一由师生共同完成） 事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高， 1 对高中数学概念教学的一点想法 发表时间：2009-07-07T11:16:12.733Z 来源：《中学课程辅导·教学研究》2009年第10期供稿作者：王仙 [导读] 随着新课改的深入实施，高中数学概念教学受到了前所未有的重视。 摘要：随着新课改的深入实施，高中数学概念教学受到了前所未有的重视。本文结合实例探讨了怎样才能更有效地进行概念教学以及相应的教学方法。 关键词：概念教学；课堂教学；理解；概括 作者简介：王仙，任教于浙江省衢州高级中学。 长期以来,由于受应试教育的影响,不少教师在教学中重解题、轻概念,造成数学概念与解题脱节的现象。有些教师仅仅把数学概念看作一个名词而已,认为概念教学就是对概念作解释,要求学生记忆。而没有看到像函数、向量这样的概念,本质是一种数学观念,是一种处理问题的数学方法。一节“概念课”教完了,也就完成了它的历史使命,剩下的是赶紧解题,造成学生对概念含糊不清,一知半解,不能很好地理解和运用概念,严重影响了学生的解题质量。另一方面,新教材有的地方对概念教学的要求是知道就行,需要某个概念时,就在旁边用小字给出,这样过高的估计了学生的理解能力,也是造成学生不会解题的一个原因。那么如何搞好新课标下数学概念课的教学呢? 一、正确地理解概念 我国从20世纪50年代以来，中学数学教学大纲虽经历多次修订，但都有一个共同的指导思想，这就是搞好三基。并强调指出，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。而当前我国数学教学中的突出问题，恰好是把掌握数学基础，即数学概念的正确理解，给忽视了。一方面是教材低估了学生的理解能力，为了“减负”，淡化甚至回避一些较难理解的基本概念；另一方面，“题海战术”式的应试策略，使教师没有充分的时间和精力去钻研如何使学生深入理解基本的数学概念。说是为了减负，其实南辕北辙，老师、学生的压力都增加了。 其实我们知道，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。学生如果不能正确地理解数学中的各种概念，就不能掌握各种法则、定理、公式，从而也就不能进行计算和论证。因此，讲清概念，使学生正确地理解概念，对于提高数学教学质量具有重要的意义。鉴于此，教师们都渐渐地开始重视概念的教学。 在较长的一段时间里，概念教学搞“一个定义三项注意”，不讲概念产生的背景，也不经历概念的概括过程，仅从“逻辑意义”列举“概念要素”和“注意事项”，忽视“概念所反映的数学思想方法”，导致学生难以达成对概念的实质性理解，无法形成相应的“心理意义”。 没有“过程”的教学，因为缺乏数学思想方法为纽带，概念间的关系无法认识，概念间的联系难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性。 用例题教学替代概念的概括过程，认为“应用概念的过程就是理解概念的过程”。殊不知没有概括过程必然导致概念理解的先天不足，没有理解的应用是盲目的应用。结果不仅“事倍功半”，而且“功能僵化”--面对新情境时无法“透过现象看本质，难以实现概念的正确、有效应用，质量效益都无保障。那么怎样才能有效地进行概念教学呢？ 二、对不同的概念，要采取不同的方法 有的只需在例题教学中实施概念教学。比如：相关关系的概念是描述性的，不必追求形式化上的严格。建议采用案例教学法。对比函数关系，重点突出相关关系的两个本质特征在：关联性和不确定性。关联性是指当一个变量变化时，伴随另一个变量有一定的变化趋势；不确定性是指当一个变量取定值时，与之相关的变量的取值仍具有随机性。因为有关联性，才有研究的必要性。因为其不确定性，从少量的变量观测值，很难估计误差的大小，因此必须对变量进行大量的观测。但每个观测值都有一定误差，为了消除误差的影响，揭示变量间的本质联系，就必须要用统计分析方法。 有的先介绍概念产生的背景，然后通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，提炼出本质属性。如：“异面直线”概念的教学，可以在长方体模型或图形中（或现有的教室中），引导学生找到既不相交也不平行的两条直线，直接给出像这样的两条直线叫“异面直线”。然后画出一些看起来是异面直线其实不是异面直线的图，以完善异面直线的概念。再给出简明、准确、严谨的定义。最后让学生在各种模型中找出、找准所有的异面直线，以体验概念的发生发展过程。 有的要联系其它概念，借助多媒体等一些辅助设施进行直观教学。比如：导数是微积分的一个核心概念，它有着极其丰富的背景和广泛的应用。高等数学里，导数定义为自变量的改变量趋于零时，函数的改变量和相应的自变量的改变量之比的极限（倘若存在），涉及有限到无限的辩证思想，这样的数学概念是比较抽象的，这与初等数学在知识内容、思想方法等方面有较大的跨度，加上学生刚接触导数概念，所以往往把导数作为一种运算规则来记忆，却没有理解导数概念的内涵和基本思想。建议（1）导数教学前要加强变化率的实例分析； (2)利用多媒体的直观性，帮助学生理解动态无限趋近的思想；（3）利用APOS理论指导导数概念教学。 有的在情景设计、意义建构、例题讲解、课堂小结整个教学环节中实施，比如“函数”一课。我们知道函数是一个核心概念，函数思想是一种核心的数学思想方法。衢州高级中学何豪明老师是用三个实例（以解析式、图象、表格三种形式给出）设计情景，以小组讨论的形式让学生自己归纳出函数概念及三要素，又用四个例题层层深入地加深对概念的理解。整堂课紧紧围绕函数概念和思想方法进行教学，上出“简约”而“深刻”的效果。 概念是人们对客观事物在感性认识的基础上经过比较，分析，综合，概括，判断，抽象等一系列思维活动，逐步认识到它的本质属性以后才形成的。数学概念也不例外。因此，数学概念的产生和发展，人们对数学概念的认识都要经历由实践，认识，再实践，再认识的不断深化的过程。学生要形成、理解和掌握基本的数学概念也是一个十分复杂的认识过程，这就决定了对较难理解的数学概念的教学不能一步到位，而是要分阶段进行。 三、在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念 数学中有许多概念都有着密切的联系,如平行线段与平行向量、平面角与空间角、方程与不等式、映射与函数、对立事件与互斥事件等等,在教学中应善于寻找、分析其联系与区别,有利于学生掌握概念的本质。再如,函数概念有两种定义,一种是初中给出的定义,是从运动变化的观点出发,其中的对应关系是将自变量的每一个取值,与唯一确定的函数值对应起来:另一种是高中给出的定义,是从集合、对应的观点出发, 第一章集合与函数 1．1.1集合的含义与表示 第一课时集合的含义 一、元素与集合的概念 1、元素的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写的拉丁字母或数学表示。 2、集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示。 3、准确认识集合的含义 (1)：集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与 我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的． (2)：集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到 的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集 合中的元素. 二、元素与集合的关系及常用数集的记法 1．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a A. (2)如果a不是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a A 2、常用的数集及其记法 （1）自然数集：N（2）正整数集：N*或N（3）整数集：Z（4）有理数集：Q （5）实数集：R 3、对∈和?的理解 (1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果． (2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的． 题型一、集合的基本概念 [例1](1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到 点a的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集 合的组数是(B) A．2B．3 C．4 D．5 [解析](1)“接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合． [活学活用] 下列说法正确的是(D) A．小明身高 1.78 m，则他应该是高个子的总体这一集合中的一个元素 B．所有大于0小于10的实数可以组成一个集合，该集合有9个元素 C．平面上到定直线的距离等于定长的所有点的集合是一条直线 《新课标下高中数学概念教学的实践与研究》 课题开题报告 浙江温州第二十二中学高洪武325000 一、课题提出的背景及现实意义 新一轮课程改革已经在全国部分省市如火如荼地开展，为了进一步扩大普通高中新课程实验范围，教育部决定从2006年秋季起，福建、浙江、辽宁和安徽4省将全面进入普通高中新课程实验。这将意味着我省教师将真正意义上进入新课程教学的实践与研究了。作为高中数学教师，理所当然将在这一实验过程中扮演着重要的角色。在新课程理念下，对构建数学理论大厦的数学概念如何实施教学是摆在每一位老师面前的一个严峻的课题。 高中数学课程标准指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。长期以来，由于受应试教育的影响，不少数学教师重解题、轻概念造成数学解题与概念脱节、学生对概念含混不清，一知半解，不能很好地理解和运用概念。数学课堂变成了教师进行学生解题技能培训的场所；而学生成了解题的机器，整天机械地按照老师灌输的“程序”进行简单的重复劳作。严重影响了学生思维的发展，能力的提高。这与新课程大力倡导的培养学生探究能力与创新精神已严重背离。那么在新课标下如何才能帮助学生更好、更加深刻地理解数学概念；如何才能灵活地应用数学概念解决数学问题，我想关键的环节还是在于教师如何实施数学概念教学，为此“新课标下高中数学概念教学的实践与研究”课题在这样的背景下应运而生。 二、国内外关于同类课题的研究综述和课题研究的理论依据 1.国内外关于同类课题的研究综述： 国内外关于数学概念教学理论研究是比较多的，对于一些概念课授课方法也是有研究的。但是那些理论的得出和经验的总结都是特定教育环境下的产物；而对于今天所推进的新课程实验（特别是在我国刚刚开始实施阶段），高中数学概念教学理论研究还几乎是一片空白。对于实践研究就更不足为谈了。 2. 课题研究的理论依据: 2-1 一般来说，数学概念要经历感知、理解、保持和应用四种心理过程。数学概念教学主要依据有如下理论： （1）联结理论、媒介理论：联结理论把概念的掌握过程解释为各种特征的重叠过程，尤如用照相机拍摄下来的事物在底片上的重叠，能够冲洗出照片一样。即接受外界刺激然后做出相应的反应。而媒介理论认为内部过程存在一种媒介因素，并用它来解释复杂的人类行动。 （2）同化、顺应理论：皮亚杰认为，概念的掌握过程无非是经历了一个同化与顺应的过程；所谓同化，就是把新概念、新知识接纳入到一个已知的认知结构中去；所谓顺应，就是当原有的认知结构不能纳入新概念时，必须改变已有的认知结构，以适应新概念。 （3）假设理论：假设理论不同于联结理论把概念掌握的过程看成是一个消极被动的过程，并认为学生掌握概念是一个积极制造概念的过程。所谓积极制造概念的过程，就是根据事实进行抽象、推理、概括、提出假设，并将这一假设应用于日后遇到的事例中加以检验的 高中数学-集合的概念及其基本运算练习 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.【新课标I 卷文】已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合中 的元素，最后求得结果. 详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得 ，故选A. 2.【天津文】设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()A B C =U I （A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{1,2,3,4,6} 【答案】B 【解析】由题意可得：{}(){}1,2,4,6,1,2,4A B A B C =∴=U U I .本题选择B 选项. 3．【浙江省嘉兴市高三上期末】已知集合{|1}P x x =<， {} 0Q x x =，则（ ） A. P Q ? B. Q P ? C. P ? R C Q D. R C P Q ? 【答案】D 【解析】R C P =[1,)+∞∴ R C P Q ?,选D. 4．【浙江省嵊州市高三上期末】已知集合2 {|1}A x x =≤， {}21B =-，，则A B ?=（ ） A. {}1 B. {}21-， C. {|11}x x -≤≤ D. {|211}x x x =--≤≤， 或 【答案】A 【解析】Q {} 2|1A x x =≤ {}=|11x x -≤≤， {}21B =-，， {}1A B ∴?=，故选A. 5．【浙江省杭州市高三上期末】设集合{|22}A x x =+≤， [] 0,4B =，则()R C A B ?=（ ） A. R B. {}0 C. {|,0}x x R x ∈≠ D. ? 高中数学概念教学论文 导语：教学论文是教师教学经验和教学研究成果在写作上的表现，简单的说，就是教师将平时教学中的一些经验或研究进行了总结，并综合运用综合理论知识进行分析和讨论。 摘要：在科学技术不断发展、进步的今天，知识的更新速度日新月异，作为一名高中数学教学者，只有不断学习、进步，才能顺应时代的发展。 关键词：高中数学；高效课堂；策略 在新课改不断推行的过程中，各门课程的改革势在必行。为了适应时代的发展，符合新课改的要求，高中数学也做了一些相应的调整，采取了相应的措施。课堂是教学开展的主要平台，是学生学习的主要阵地，它就是教师完成教学任务，学生完成学习任务的主要途径，而高效课堂是促使教师教学效率以及学生学习效率稳定提升的主要途径，所以，高效课堂成为整个教育界共同探讨的话题。如何构建高效的高中数学教学课堂成为新课程改革大环境下一个相当棘手的话题。因此，本文就如何构建高效的高中数学课堂提出几种策略。 一、通过生活化问题情境的导入，调动学生学习的积极性 有经验的教师都知道，学生学习的积极性，在教学过程中是多么的重要。只有善于调动学生学习积极性，激发学生学习兴趣的教师，其课堂教学效率才会高，教学结果才会理想。因此，在教学中，教师的首要教学任务，就是通过精心设计生活化的问题情境，导入课题，激发学生与课堂产生共鸣，让他们能够触景生情，积极走进课堂，参与教学。比如，我在教学高一《集合与函数概念》这一章中“函数及其表示”这一知识点时，为了促使学生很快清晰地掌握完整的函数定义，我结合学生刚学过的《集合》这一章内容进行导入，首先，我借助有关集合的两个例题，让学生回顾与集合相关的知识，然后我根据学生实际生活进行提问，引发学生进行思考，如，“期中考试的成绩出来了，我们班50人中，每个阶段的学生人数都不尽相同，成绩分布如下，90——100分5人，80——90分12人，70——80人10人，60——70分8人，60——50分5人，40——50分5分，30——40分3人，20——30分0人，而20分以下2人，请同学们分别算出各个阶段学生的数学成绩的概率是多少？”学生在做题的过程中，复习了以前的知识，同时，也激发了学习兴趣，调动了学生学习的积极性。再如，我在教学《空间几何体》这一章时，为了促使学生意识到什么是空间集合图形，我首先结合学生的实际生活举了两个例子，如“粉笔盒”“电冰箱”“洗衣机”，而后再结合空间集合图形的结构特点对学生进行引导，再让学生联系的亲身经历，谈谈他们所认识的空间几何图形。学生在我的引导下，积极动脑，主动思考，很快地就走进课堂，融入教学，这对我下一步教学的开展是非常有利的。 二、重视“问题”在教学开展中的重要性 “问题” 数学是一门思维性很强的应用学科，其教学过程也是发现问题、解决问题的过程。 作为整个数学课堂的灵魂，在教学中非常重要。因此，作为高中数学教师，（）在教学中一定要重视“问题”的重要性，要善于“提问”。 1。在关键处提问高中数学函数概念
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