高中数学专题突破练习-数列中的典型题型与创新题型
一、选择题
1.如果等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( )
A.14 B.21 C.28 D.35
答案 C
解析∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12,a4=4.∴a1+a2+…+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a
5
)+a4=7a4=28.故选C.
2.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m等于( )
A.9 B.10 C.11 D.12
答案 C
解析a m=a1a2a3a4a5=(a1a5)·(a2a4)·a3=a23·
a2
3
·a3=a53=a51·q10.因为a1=1,|q|≠1,
所以a m=a51·q10=a1q10,所以m=11.故选C.
3.在递减等差数列{a n}中,若a1+a5=0,则S n取最大值时n等于( )
A.2 B.3 C.4 D.2或3
答案 D
解析∵a1+a5=2a3=0,∴a3=0.
∵d<0,∴{a n}的第一项和第二项为正值,从第四项开始为负值,故S n取最大值时n等于2或3.故选D.
4.在等差数列{a n}中,首项a1=0,公差d≠0,若a k=a10+a11+…+a100,则k=( )
A.496 B.469 C.4914 D.4915
答案 D
解析因为数列{a n}是等差数列,所以a n=a1+(n-1)d=(n-1)d,因为a k=a10+a11+…+
a 100,所以a k=100a1+
100×99
2
d-9a
1
+
9×8
2
d=4914d,又a
k
=(k-1)d,所以(k-1)d=4914d,所
以k=4915.故选D.
5.已知数列{a n}的通项为a n=log n+1(n+2)(n∈N*),我们把使乘积a1·a2·a3·…·a n为整数的n叫做“优数”,则在(0,2018]内的所有“优数”的和为( )
A.1024 B.2012 C.2026 D.2036
答案 C
解析设a1·a2·a3·…·a n=log23·log34·log45·…·log n+1(n+2)=log2(n+2)=k,k∈Z,则0 +…+(210-2)=22(1-29) 1-2 -18=211-22=2026.故选C. 6.约瑟夫规则:将1,2,3,…,n按逆时针方向依次放置在一个单位圆上,然后从1开始,按逆时针方向,每隔一个数删除一个数,直至剩余一个数为止,删除的数依次为1,3,5,7,….当n=65时,剩余的一个数为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 B 解析将1,2,3,…,65按逆时针方向依次放置在一个单位圆上,然后从1开始,按逆时针方向,每隔一个数删除一个数,首先删除的数为1,3,5,7,…,65(删除33个,剩余32个);然后循环,删除的数的个数分别为16,8,4,2,1,最后剩余2.故选B. 7.已知数列{a n}中,a n+1=3S n,则下列关于{a n}的说法正确的是( ) A.一定为等差数列 B.一定为等比数列 C.可能为等差数列,但不会为等比数列 D.可能为等比数列,但不会为等差数列 答案 C 解析若数列{a n}中所有的项都为0,则满足a n+1=3S n,所以数列{a n}可能为等差数列,故B,D不正确;由a n+1=3S n,得a n+2=3S n+1,则a n+2-a n+1=3(S n+1-S n)=3a n+1,所以a n+2=4a n+1,当 a 1≠0时,易知a n+1≠0,所以 a n+2 a n+1 =4,由a n+1=3S n,得a2=3a1,即 a 2 a 1 =3,此时数列{a n}既不是等比数 列又不是等差数列,故A不正确,C正确.故选C. 8.(江西南昌测试二)已知各项均为正数的递增数列{a n }的前n项和为S n满足2S n=a n +1,b n= a n a n +t ,若b1,b2,b m成等差数列,则 t m 的最大值为( ) A.2 7 B. 3 5 C. 3 8 D. 5 4 答案 D 解析由题2S n=a n+1,则4S n=(a n+1)2,4S n+1=(a n+1+1)2,作差得a n+1-a n=2,2S1=a1 +1?a 1=1,a n =2n -1,由b 1,b 2,b m 成等差数列,可得b m =2b 2-b 1,2m -12m -1+t =63+t -1 1+t ,分离m 化简得m =3+ 4t -1,故(t ,m )=(2,7),(3,5),(5,4),t m max =5 4 .故选D . 9.(河南信阳高级中学模拟)给定函数y =f (x )的图象在下列四个选项中,并且对任意a 1 ∈(0,1),由关系式a n +1=f (a n )得到的数列{a n }满足a n +1 答案 A 解析 由题对于给定函数y =f (x )的图象在下列四个选项中,并且对任意a 1∈(0,1),由关系式a n +1=f (a n )得到的数列{a n }满足a n +1 10.杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡(1623~1662)是在1654年发现这一规律的,比杨辉要迟393年,比贾宪迟600年.右图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了,这又是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示,在“杨辉三角”中,从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,则此数列前16项和为( ) A .120 B .163 C .164 D .165 答案 C 解析 考查每行第二个数组成的数列:2,3,4,5,…,归纳推理可知其通项公式为b n =n +1,其前8项和S 8=8×2+8×7 2×1=44;每行第三个数组成的数列:1,3,6,10,…,归纳推理可知 其通项公式为c n = n (n +1)2 =12 (n 2+n ),其前8项和 T 8=12× 8×(8+1)×(2×8+1)6+(8+1)×8 2 =120,据此可得题中数列前16项和为120+44 =164.故选C . 11.(河南林州调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 17>0,S 18<0,则S 1a 1,S 2 a 2,…,S 15a 15 中最大的项为( ) A .S 7a 7 B .S 8a 8 C .S 9a 9 D .S 10a 10 答案 C 解析 ∵等差数列{a n }中,S 17>0,且S 18<0,即S 17=17a 9>0,S 18=9(a 9+a 10)<0,∴a 9+a 10<0,a 9>0,∴a 10<0,∴等差数列{a n }为递减数列,故可知a 1,a 2,…,a 9为正,a 10,a 11,…为负;∴S 1,S 2,…,S 17为正,S 18,S 19,…为负,则S 1 a 1>0,S 2a 2>0,…,S 9a 9>0,S 10a 10<0,S 11a 11<0,…,S 15a 15<0,又∵S 1 a 9 最大.故选C . 12.已知数列{a n }为等比数列,a 1∈(0,1),a 2∈(1,2),a 3∈(2,3),则a 4的取值范围是( ) A .(3,4) B .(22,4) C .(2,9) D .(22,9) 答案 D 解析 设等比数列{a n }的公比为q , 由已知得??? 0 1 2 <3. ③ 由①②得q =a 1q a 1>11=1;由①③得q 2=a 1q 2a 1>21=2;由②③得q =a 1q 2a 1q >1且q =a 1 q 2 a 1q <3,故2 二、填空题 13.(湖南张家界模拟)定义“等积数列”,在一个数列中,如果每一项与它后一项的积都为同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做该数列的公积.已知数列{a n }是等积数列且a 1=2,公积为10,则a 2018=________. 答案 5 解析 已知数列{a n }是等积数列且a 1=2,公积为10,可得a 2=5,a 3=2,a 4=5,a 5=2,…,由此奇数项为2,偶数项为5,所以a 2018=5. 14.设数列{a n}满足a2+a4=10,点P n(n,a n)对任意的n∈N*,都有向量P n P n+1=(1,2),则数列{a n}的前n项和S n=________. 答案n2 解析∵P n(n,a n),∴P n+1(n+1,a n+1),∴P n P n+1=(1,a n+1-a n)=(1,2),∴a n+1-a n=2,∴{a n} 是公差d为2的等差数列.又由a2+a4=2a1+4d=2a1+4×2=10,解得a1=1,∴S n=n+n(n-1) 2 ×2=n2. 15.(湖北荆州中学模拟一)“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数.具体数列为:1,1,2,3,5,8,…,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{a n}为“斐波那契”数列,S n为数列{a n }的前n项和,若a2020=M,则S2018=________.(用M表示) 答案M-1 解析∵数列为:1,1,2,3,5,8,…,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和, ∴a n+2=a n+a n+1=a n+a n-1+a n=a n+a n-1+a n-2+a n-1=a n+a n-1+a n-2+a n-3+a n-2=…=a n+a n-1 +a n-2+a n-3+…+a2+a1+1,则S2018=a2020-1=M-1. 16.(衡水金卷压轴卷二)已知曲线C1的方程为(x-1)2+(y-2)2=1,过平面上一点P1作C1 的两条切线,切点分别为A1,B1,且满足∠A1P1B1=π 3 .记P1的轨迹为C2,过平面上一点P2作C2的 两条切线,切点分别为A2,B2,且满足∠A2P2B2=π 3 .记P2的轨迹为C3,按上述规律一直进行下 去,…,记a n=|A n A n+1|min,且S n为数列{a n}的前n项和,则满足S n-5n>0的最小正整数n为________. 答案 5 解析由题设可知轨迹C1,C2,C3,…,C n分别是半径为1,2,4,8,16,32,…,2n的圆.因为a n =|A n A n+1|min,所以a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,…,a n=2n-1,所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+2+4 +…+2n-1=2n-1 2-1 =2n-1.由S n-5n>0,得2n-1-5n>0?2n>5n+1,故最小的正整数n为5. 三、解答题 17.(山西考前适应训练)已知等比数列{a n}中,a n>0,a1= 1 64 , 1 a n - 1 a n+1 = 2 a n+2 ,n∈N*. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =(-1)n ·(log 2a n )2,求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,则q >0, 因为1 a n - 1 a n +1= 2 a n +2 ,所以 1 a 1q n -1- 1 a 1q n = 2 a 1q n +1 , 因为q >0,解得q =2, 所以a n = 1 64 ×2n -1=2n -7,n ∈N *. (2)b n =(-1)n ·(log 2a n )2=(-1)n ·(log 22n -7)2 =(-1)n ·(n -7)2, 设c n =n -7,则b n =(-1)n ·(c n )2. T 2n =b 1+b 2+b 3+b 4+…+b 2n -1+b 2n =-c 21+c 22+(-c 23)+c 24+…+(-c 22n -1)+c 2 2n =(-c 1+c 2)(c 1+c 2)+(-c 3+c 4)(c 3+c 4)+…+(-c 2n -1+c 2n )(c 2n -1+c 2n ) =c 1+c 2+c 3+c 4+…+c 2n -1+c 2n =2n [-6+(2n -7)]2 =n (2n -13)=2n 2-13n . 18.(山东青岛统测)已知等差数列{a n }的公差为2,等比数列{b n }的公比为2,且a n b n =n ·2n . (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)令c n = 1a n ·log 2b n +3,记数列{c n }的前n 项和为T n ,试比较T n 与3 8 的大小. 解 (1)∵a n b n =n ·2n , ∴?? ? a 1 b 1=2, a 2 b 2=8 ??? ? a 1 b 1=2,(a 1+2)·2b 1=8, 解得a 1=2,b 1=1, ∴a n =2+2(n -1)=2n ,b n =2n -1. (2)∵a n =2n ,b n =2n -1, ∴c n = 1a n ·log 2b n +3=12n (n +2)=141n -1 n +2 , ∴T n =c 1+c 2+c 3+c 4+…+c n -1+c n =141-13+12-14+13-15+14-16+…+1n -1-1n +1+1n -1n +2 =141+12-1n +1-1n +2 =38-141n +1+1n +2<38, ∴T n <38 . 19.(广东三校联考二)设数列{a n }的前n 项和为S n ,点(a n ,S n )(n ∈N *)在直线2x -y -2=0上. (1)求证:数列{a n }是等比数列,并求其通项公式; (2)设直线x =a n 与函数f (x )=x 2的图象交于点A n ,与函数g (x )=log 2x 的图象交于点B n ,记b n =OA n →·OB n →(其中O 为坐标原点),求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)证明:∵点(a n ,S n )在直线2x -y -2=0上, ∴2a n -S n -2=0.① 当n =1时,2a 1-a 1-2=0,∴a 1=2. 当n ≥2时,2a n -1-S n -1-2=0,② ①-②,得a n =2a n -1. ∴数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列, 则a n =2n . (2)由(1)及已知易得A n (2n ,4n ),B n (2n ,n ), ∴b n =OA n →·OB n →,∴b n =(n +1)·4n . 则T n =2×41+3×42+4×43+…+(n +1)·4n ,③ 4T n =2×42+3×43+4×44+…+(n +1)·4n +1,④ ③-④,得 -3T n =8+42+43+…+4n -(n +1)·4n +1 =8+16(1-4n -1)1-4 -(n +1)·4n +1, ∴T n =n 3+29·4n +1-89 . 20.(湖南六校联考)已知函数f (x )=x 2 +x +c (c 为常数),且x ∈-12,0时,f (x )的最大值 为-14,数列{a n }的首项a 1=3 2 ,点(a n ,a n +1)在函数f (x )的图象上,其中n ≥1,n ∈Z . (1)证明:数列lg a n +1 2是等比数列; (2)记R n =a 1+12·a 2+12·…·a n +1 2,求R n . 解 (1)证明:依题意,f (x )=x 2+x +c ,c 为常数, 当x ∈-1 2,0时,f ′(x )≥0,f (x )单调递增, 所以f (x )max =f (0)=c =-1 4, 所以f (x )=x 2+x -1 4 . 又点(a n ,a n +1)在函数f (x )的图象上, 所以a n +1=a 2 n +a n -1 4 , 即a n +1+12=a n +122 , 由于a 1=32,易知a n +1 2>0, 所以lg a n +1+12=2lg a n +1 2, 又lg a 1+1 2 =lg 2≠0, 所以数列lg a n +1 2是首项为lg 2,公比为2的等比数列. (2)由(1)知lg a n +1 2=2n -1·lg 2=lg 22n -1, 所以a n +1 2 =22n -1, 所以R n =220·221·222·…·22n -1=220+21+22+…+2n -1 =22n -1. 21.(2019·宁夏六盘山高级中学模拟)已知函数y=f(x).对任意x∈R,都有f(x)+f(1-x)=2. (1)求f 1 2 和f 1 n +f n-1 n (n∈N*)的值; (2)数列{a n}满足a n=f(0)+f 1 n +f 2 n +…+f n-1 n +f(1)(n∈N*),求证:数列{a n}是等差数 列. 解(1)由题设条件知f 1 2 +f 1 2 =2,故f 1 2 =1.而 1 n + n-1 n =1,故f 1 n +f n-1 n =2. (2)证明:依题有a n=f(0)+f 1 n +…+f n-1 n +f(1),n∈N*, 同理有a n=f(1)+f n-1 n +…+f 1 n +f(0),n∈N*, 上述两式对应相加得2a n=[f(0)+f(1)]+f 1 n +f n-1 n +…+f 1 n +f n-1 n +[f(0)+f(1)]= 2(n+1),从而a n=n+1,n∈N*,而a n+1-a n=1,故{a n}为等差数列. 2017届高三复习:数列大题训练50题 1 .数列{n a }的前n 项和为n S ,且满足11a =,2(1)n n S n a =+. (1)求{n a }的通项公式; (2)求和T n = 12111 23(1)n a a n a +++ + . 2 .已知数列}{n a ,a 1=1,点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线012 1 =+-y x 上. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)函数)2*,(1 111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n 且 ,求函数)(n f 最小值. 3 .已知函数x ab x f =)( (a ,b 为常数)的图象经过点P (1,8 1)和Q (4,8) (1) 求函数)(x f 的解析式; (2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数,n S 是数列{a n }的前n 项和,求n S 的最小值。 4 .已知y =f (x )为一次函数,且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列,f (8)=15. 求n S =f (1)+f (2)+…+f (n )的表达式. 5 .设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n n S c ca =+-,其中c 是不等于1-和0的实常数. (1)求证: {}n a 为等比数列; (2)设数列{}n a 的公比()q f c =,数列{}n b 满足()()111 ,,23 n n b b f b n N n -==∈≥,试写出1n b ?? ? ??? 的通项公式,并求12231n n b b b b b b -+++ 的结果. 6 .在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N*),满足向 量1+n n A A 与向量n n C B 共线,且点B n (n,b n ) (n ∈N*)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ; (2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12 2011高考数学压轴题专题训练--数列(36页WORD ) 第六章 数列 高考题 三、解答题 22.(2009全国卷Ⅰ理)在数列{}n a 中,1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ (I )设n n a b n = ,求数列{}n b 的通项公式 (II )求数列{}n a 的前n 项和n S 分析:(I )由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) (II )由(I )知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型, 易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析:09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.(2009北京理)已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ;对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤,i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . (Ⅰ)分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ,并说明理由; 1.(本题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =, (1)证明:数列{}n a 是等比数列; (2)若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=,12b =,求数列{}n b 的通项公式. ; 2.(本小题满分12分) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S 。 ~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式; (Ⅱ)设b n=(4﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n. % 5.已知数列{a n}满足,,n∈N×. (1)令b n=a n+1﹣a n,证明:{b n}是等比数列; (2)求{a n}的通项公式. { 、 ~ 、 1.解:(1)证:因为34-=n n a S (1,2,)n =,则3411-=--n n a S (2,3,)n =, 所以当2n ≥时,1144n n n n n a S S a a --=-=-, 整理得14 3 n n a a -=. 5分 由34-=n n a S ,令1n =,得3411-=a a ,解得11=a . 所以{}n a 是首项为1,公比为4 3 的等比数列. 7分 (2)解:因为14 ()3 n n a -=, ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=,得114 ()3 n n n b b -+-=. 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b 一.解答题(共30小题) 1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; ( (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*). (Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3. (Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤. 4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; ` (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2, (1)写出c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{c n}的通项公式. 6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10 * (I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; ] (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2) (1)求数列{a n}的通项公式; (4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1.a 2>…>a 9,则S 92017届高三复习:数列大题训练50题及答案
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