浅论高等数学中的极限思想
谷亮
（辽宁铁道职业技术学院 辽宁 锦州 121000 中国）
摘要： 极限是高等数学最基本的概念之一，极限思想是近代数学的一种很重要的数学思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，本文从极限的定义、极限思想的价值、教学中如何渗透极限思想几个方面进行了简要论述。
关键词：高等数学，极限，极限思想、教学
一、极限的概念
1、数列极限：设
{x }n 为一个数列，a 为一常数，若0ε?>，总存在一个正整数N ，使得
当n N >时，有n x a ε-<，称a 是数列{x }n 的极限。记作lim n n x a →∞=
2、函数极限：设函数(x)f 在点a 的某去心邻域内有定义，A 为一常数，若0ε?>，总存在一个正数δ，使得当0x a δ
<-<时，有
(x)f A ε
-<，称A 是当x 趋向于a 时函数(x)
f 的极限。记作lim (x)x a
f A
→=。
自变量变化过程还包括：
,,,x a x a x x +-
→→→+∞→-∞，极限的定义类似。 在数学发展的过程中,出于不同需要,还引进了不同意义下的极限概念,比如在集论中引
进了集列的上、下极限的概念,在无穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及在函数逼近论中引进了一致逼近、平均逼近等的极限概念.无论怎样定义，其本质都是一样的，都是从有限观念发展到无限观念的过程。
二、极限思想的价值
极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系，通过极限思想，我们可以从有限来认识无限，以直线近似代替曲线，以不变认识变化，从量变认识质变。因此，极限思想具有由此及彼的创新作用，极限思想方法也广泛用于微分方程、积分方程、函数论、概率极限理论、微分几何、泛函分析、函数逼近论、计算数学、力学等领域。
生活中也有这样的例子：一张饼，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，……如此这样，这张饼能吃得完吗？显然是永远吃不完的，虽然饼越来越小，但还是有的。只能说，这张饼的极限为零，但绝不是零。这就是一种极限思想的具体写照。
极限思想不仅非常重要，它也是学生难以理解掌握的重要概念，它贯穿整个数学体系，是一种非常重要的数学思想，它是人类发现并解决数学问题的非常重要手段，它能很好地展现出数学的思维之美，在高等数学的教学过程中起着相当重要的作用，恰当的应用极限思想
不仅可以将一些问题简化，开辟解决问题的新途径，通过分析、总结、归纳得出极限概念中各变量具有的变化特征和内在练习，分析变化过程中的各种规律，还可以培养学生的数学思维，提高学生解决问题的素质能力，因此，使学生能够灵活运用极限思想有重要的意义。
三、将极限思想渗透到课堂教学中
1、课堂上介绍一些体现极限思想的典故
比如，中国古代的哲学家庄周在《庄子天下篇》中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”，将木棰长度的变化归结为一个无限的过程中去研究，我国古代数学家刘徽割圆术中“割之弥细,所失弦少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”，他用圆的内接正n 边形的边长代替圆的周长,n 越大,正n 边形的边长就越接近圆的周长，这都蕴涵了极限思想。通过这些有趣的小故事，小典故，不仅让学生回顾历史，从中体验和感受极限思想的妙处，还能激发学生学习高数的兴趣和积极性。 2、讲授新知识时渗透极限思想
在教学中，讲授新知识的同时体现极限思想，这样可以使学生对新知识有一个更好更深入的的理解，达到很好的教学效果。在教学中能够渗透极限思想的地方有很多，比如求曲线上任一点的切线斜率、圆面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形面积、曲顶柱体的体积等都是通过这种极限思想得以引入课题并解决问题的，还有空间集合体中圆柱、圆锥之间相互转化，圆锥是圆柱的上底逐渐缩小的一种极限状态，也体现了一种动态的极限思想。 3、体现极限思想的数学概念
高等数学中的许多概念都是利用极限来描述的，体现极限思想的数学概念比比皆是，不胜枚举，下面就举几个这样的例子： （1）函数连续的概念中就用到极限式：
0lim (x)(x )
x x f f →=
（2）导数的概念中有极限式：
00000(x x)(x )(x )lim
lim
x x f f y
f x x ?→?→+?-?'==??
（3）定积分的概念也是通过分划、取近似、求和、取极限得到的：0
1
(x)lim ()b
n
i
i
i a
f dx f x λ
ξ→==?∑?
（4）无穷区间上的广义积分的定义也是通过有限区间的定积分取极限得到的：
(x)lim (x)b
b a
a
f dx f dx
+∞
→∞
=?
?，
(x)lim
(x)b
b
a a
f dx f dx
→-∞
-∞
=?
?，
(x)lim (x)lim (x)b a b a
f dx f dx f dx
+∞→-∞
→∞
-∞
=+???
（5）级数的收敛性也是用极限式定义的：若级数
1
n
n u
∞
=∑的部分和数列{s }n 的极限lim n n s s →∞
=存在，称级数
1
n
n u
∞
=∑为收敛的，否则该级数称为发散的。
（6）无穷小的定义也是用极限来描述的：若有lim (x)0
x a
f →=，称(x)f 为此自变量的变化过
程中的无穷小量。
（7）二元函数(x,y)f 在有界闭区域D 上的二重积分的定义也用到了极限，
1
(x,y)lim (,)n
i
i
i
d i D
f d f σξησ
→==?∑??
（8）二元函数(x,y)f 在曲线L 上的第一型曲线积分也是用极限定义的：
1
(x,y)lim (,)n
i i i
L
d i f ds f s ξη→==?∑?
（9）多元函数偏导数也是用极限来定义的，以二元函数为例，
(x,y)f 关于x 的偏导数为：
0000000(x ,y )(x x,y )(x ,y )lim
x f f f
x x
?→+?-?=??，关于y 的偏导数类似。
4、解决问题时利用极限思想
高等数学中的许多问题都是通过极限的思想方法来解决的，下面简单的举两个例子。 （1）如何求平面上曲边梯形的面积？
计算梯形的面积公式是我们所熟知的，但曲边梯形面积是不能依此求得的，可以通过极限思想方法，利用无限分割，以直代曲、用无数个小矩形面积无限逼近曲边梯形的面积通过取极限最终来解决这个问题； （2）如何求圆面积？
我们可以设定情境，就是在不知圆面积公式的情况，是怎么考虑圆面积的，当然，也是利用极限思想方法，通过圆内接正多边形，无限增加内接正多边形的边数，利用内接正多边形的面积无限逼近圆面积的方法来解决的；
除了上述两个问题，还有解决物体的瞬时速度、平面曲线的弧长、曲顶柱体的体积等问题都是利用极限思想方法来解决的。教师可以在教学中恰当选取问题，让学生逐步紧跟教师思路，利用极限思想一步一步解决问题，不仅是教学效果事半功倍，还能增加学生对数学的学习兴趣，提高学生用极限思想方法解决相关问题的能力。
四、结束语
综上所述，极限思想是高等数学教学中的重点与难点，贯穿于整个高等数学体系，在教学中教师要有意识的将极限思想渗入其中，通过恰当的方法让学生更好的理解极限的概念和极限的思想方法，让学生体会到极限思想的作用和妙处，体会“以直代曲、化零为整、化圆为方、以不变代变、以有限找无限”等的极限思想，培养学生对数学的学习兴趣，提高学生应用数学知识，利用极限思想方法解决各种问题。
参考文献：
[1]陈刚、米平治.关于高等数学中的极限思想的研究 [J].工科数学.2001,6(17) [2]张魁元、赵建华，大学数学.北京：高等教育出版社,2004
[3]施红英.对微积分“极限”思想方法教学的思考[J].甘肃广播电视大学学报，2005（9）
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ? ??∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
第二章 极限与连续 一、教学要求 1.了解极限概念，了解无穷小量的定义与基本性质，掌握求极限的方法. 2.了解函数连续性的概念，掌握函数连续性的性质及运算. 重点：极限的计算，函数连续性的性质及运算。 难点：极限、连续的概念。 二、课程内容导读 1. 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例1 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =21613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即
x x x 10)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即 222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+? 2. 知道一些与极限有关的概念 (1) 知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等； (2) 了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质； (3) 了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点； 例2 填空、选择题 (1) 下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. )0(1ln +→x x B. )1(ln →x x C. )0(e 1 →-x x D. )2(422→--x x x 解 选项A 中：因为 +→0x 时， +∞→x 1，故 +∞→x 1ln ，x 1ln 不是无穷小量； 选项B 中：因为1→x 时，0ln →x ，故x ln 是无穷小量； 选项C 中：因为 +→0x 时，-∞→-x 1，故0e 1 →-x ；但是-→0x 时，x 1- +∞→，故+∞→-x 1 e ，因此x 1 e -当0→x 时不是无穷小量。 选项D 中：因为21422+=--x x x ，故当2→x 时，41422→--x x ，4 22--x x 不是无穷小量。 因此正确的选项是B 。 （2） 下列极限计算正确的是（ ）。 A.=→x x x 1sin lim 001sin lim lim 00=→→x x x x
【极限】 一、数列极限 1）数列的单调性 对于数列﹛x n ﹜,如果有x n ≤x 1 +n （即x 1 ≤x 2 ≤····≤x n ≤···）, n ≥1，则称﹛x n ﹜是单调增加 的；若x n ≥x 1 +n ，n ≥1，则称﹛x n ﹜是单调减少的。 2）数列的有界性 如果对于数列﹛x n ﹜，存在正整数M ，使得对每一 个x n 都满足 n x ≤M ，则称数列﹛x n ﹜是有界的；如果这样的数不 存在，则称数列﹛x n ﹜是无界的。 例: ﹛n 1﹜, ﹛﹙﹣1﹚1 +n ﹜，﹛2 1n n +﹜是有界的， ﹛n 2 ﹜是无界的 3）数列的极限 对于数列﹛x n ﹜，如果当n →∞时，x n 无限的趋于 一个确定的常数A ，则称当n 趋于无穷大时，数列﹛x n ﹜以常数A 为极限，或称数列﹛x n ﹜收敛于A ， 记作： n x n lim ∞ →＝A 或x n →A （当n →∞时） 否则称数列﹛x n ﹜没有极限，如果数列﹛x n ﹜没有极限，就称数列
﹛x n ﹜是发散的。 4）数列极限的性质 定理1：若数列﹛x n ﹜收敛，则其极限值必定唯一 定理2：若数列﹛x n ﹜收敛，则它必定有界（反之 不对！！） 5）数列极限的存在准则 定理3：（两边夹定理） 若数列﹛x n ﹜，﹛y n ﹜, ﹛z n ﹜满足下列条件： ①y n ≤x n ≤z n ，n ＝1,2，···· ②lim ∞ →n x n ＝A ，n z n lim ∞ →＝A 那么，数列﹛x n ﹜的极限存在，且n x n lim ∞ →＝A 定理4：若数列﹛x n ﹜为单调有界数列，则n x n lim ∞ →存在 6）数列极限四则运算 定理5：若n x n lim ∞ →＝A n y n lim ∞ →＝B 则 ①lim ∞ →n (n x ±y n )＝lim ∞ →n n x ±lim ∞ →n y n ＝A ±B ②lim ∞ →n (n x ·y n )＝lim ∞ →n n x ·lim ∞ →n y n ＝AB
第一章 极限论 极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终。因为有关函数的可积、连续。可导等性质都是用极限来定义的。毫不夸张地说，所谓高数，就是极限。衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻，有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。重点是求极限。 ??????? ?? ?? ?? 极限的定义数列极限极限的性质 函数极限的定义函数极限函数极限的性质 一、求极限的方法 1.利用单调有界原理 单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递减有下界，则该数列的极限一定存在。可以说，整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。 利用该定理一般分两步：1、证明极限存在。2、求极限。 说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第n 项和第1n +项的关系式，首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性（或先证有界、再证单调性），由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限。 例1设0110,0,()0,1,2n n n a a x x x n x +>>=+=，…证{}n x 的极限存在，并求其极限。 分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。 解：由基本不等式，11()2n n n a x x x +=+≥n x 有下界；下面证单 调性，可知当2n ≥时，有2 111 ()()22n n n n n n n x a x x x x x x +=+≤+=，则n x 单调递减。综 合可得，则n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞ 存在；令lim n n x A →∞ = ，带入等式解得 A 评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性
第一章函数、极限、连续 习题一 一．选择题 1．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（） A.f(x)=x,g(x)=x2 B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 x,g(x)=x2 C.f(x)=x D.f(x)=x,g(x)=-x 2.函数y=4-x+sinx的定义域是( ) A.[0,1] B.[0,1)(1,4] C.[0,+∞) D.[0,4] 3.下列函数中,定义域为(-∞,+∞)的有( ) A.y=x-132 3 B.y=x2 C. y=x3 D.y=x-2 4.函数y=x2-1单调增且有界的区间是( ) A. [-1,1] B. [0,+∞) C. [1,+∞) D. [1,2] 5.设y=f(x)=1+logx+3 2,则y=f-(x)=( ) A.2x+3 B. 2x-1-3 C. 2x+1-3 D. 2x-1+3 6.设f(x)=ax7+bx3+cx-1,其中a,b,c是常数,若f(-2)=2，则f(2)=( A.-4 B.-2 C.-3 D.6 二．填空题 1．f(x)=3-x x+2的定义域是 2．设f(x)的定义域是[0,3]，则f(lnx)的定义域是。 3．设f(2x)=x+1，且f(a)=4，则a= 。 4．设f(x+11 x)=x2+x2，则f(x) 5．y=arcsin1-x 2的反函数是。 6．函数y=cos2πx-sin2πx的周期T。 ) ?π?sinx,x<17．设f(x)=?则f(-)=。 4??0,x≥1 2??1,x≤12-x,x≤1??8．设f(x)=?，g(x)=?，当x>1时，g[f(x)]= 。 x>1x>1???0?29．设f(x)=ax3-bsinx，若f(-3)=3，则f(3)=。 10．设f(x)=2x，g(x)=x2，则f[g(x)]=。 三.求下列极限 x3-1x2-91.lim2 2.lim x→1x-1x→3x-3 3.limx→52x-1-3+2x2-1 4. lim x→0xx-5 x2-3x+2x+2-35.lim 6. lim3x→1x→1x-xx+1-2 7.limx→1x+4-2-x-+x 8. lim2x→0sin3xx-1
第一节极限的定义二、两个重要极限三、无穷小的比较二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质五、函数连续性的定义***** 六、函数的间断点间断点分类: 例如: 内容小结练习备用题确定函数间断点的类型. 2. 求三、极限3. 无穷小例6. 求下列极限：令例7. 确定常数a , b , 使显然为其可去间断点. (4) (5) 为其跳跃间断点. 左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式⑸利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限；⑹利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限；⑺利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；⑻利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4. 定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性, 极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 二、学法建议1 ．本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活多样．因此要掌握这部分知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习．2 ．本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界;无穷大, 极限，无穷小，连续等．只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此同学们要注意弄清它们之间的实质关系．3 ．要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续．千万不要求到极限存在就下连续的结论; 特别注意判断分段函数在分段点的连续性．三、例题精解例1 求下列极限: (1) (2) (3) (4) (5) 例2 设问当为何值时，
第一章 函数.极限和连续 第一节 函数 1. 决定函数的要素：对应法则和定义域 2. 基本初等函数：（六类） （1） 常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）； （3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1） （5）三角函数；（6）反三角函数。 注:分段函数不是初等函数。特例：y =√x 2是初等函数 《 3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。 4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。 5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。 第二节 极限 1.分析定义 ?&>0(任意小) ??>0 当|x |>e（或0<|x ?x 0|
高等数学函数极限与连续习题及答案 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与 ()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点．
极限与连续习题 一．填空题 1. 当0→x 时，x cos 1-是2x 的_______________无穷小量. 2. 0x =是函数x x x f sin )(= 的___________间断点. 3. =-→x x x 20)11(lim ___________。 4. 函数11arctan )(-=x x f 的间断点是x =___________。 5. =--→x x e x x x sin )1(lim 20___________. 6. 已知分段函数sin ,0(),0 x x f x x x a x ?>?=??+≤?连续，则a =___________. 7. 由重要极限可知，()1 lim 1+2x x x →=___________. 8. 已知分段函数sin ,0()2,0 x x f x x x a x ?>?=??+≤?连续，则a =___________. 9. 由重要极限可知，1lim (1)2x x x →+∞+=___________. 10. 知分段函数()sin 1,1()1,1x x f x x x b x -?>?=-??-≤? 连续，则b =___________. 11. 由重要极限可知，1 0lim(12)x x x →+=___________. 12. 当x →1时，233+-x x 与2ln x x 相比，_______________是高阶无穷小量. 13. 251lim 12n n n -→∞??- ???=___________.
14. 函数2 2(1)()23x f x x x +=--的无穷间断点是x =___________. 15. 0tan2lim 3x x x →=___________. 16. 351lim 12n n n +→∞??- ???=___________. 17. 函数2 2(1)()23 x f x x x +=--的可去间断点是x =___________. 18. 2 01cos lim x x x →-=___________. 19. 253lim 12n n n +→∞??+ ???=___________. 20. 函数221()34 x f x x x -=+-的可去间断点是x =___________. 21. 当0x →时，sin x 与3x 相比，_______________是高阶无穷小量. 22. 计算极限22 1lim 1n n n +→∞??+ ???=___________. 23. 设函数()21,0,0x x f x x a x +>?=?-≤? ，在0x =处连续, 则a =__________ 24. 若当1x →时, ()f x 是1x -的等价无穷小, 则1()lim (1)(1) x f x x x →=-+_______ . 25. 计算极限1lim 1x x x →∞??- ???=__________. 26. 设e ,0,(),0.x x f x x a x ?≤=?+>? 要使()f x 在0x =处连续, 则 a = . 27. . 当x →0时，sin x x -与x 相比， 是高阶无穷 小量.
关于高等数学函数的极 限与连续习题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所 以()x f 与()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x
第一章函数.极限和连续 第一节函数 1.决定函数的要素：对应法则和定义域 2.基本初等函数：（六类） （1）常数函数（y=c）；（2）幂函数（y=x a）； （3）指数函数（y=a x，a>0,a≠1）;（4）对数函数（y=log a x，a>0,a≠1）（5）三角函数；（6）反三角函数。 注:分段函数不是初等函数。特例：y=√x2是初等函数 3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。 4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。 5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。 第二节极限 1.分析定义 ?&>0(任意小) ??>0 当|x|>e（或0<|x?x0| 4.无穷小量与无穷大量 ，则称 时，f （x ）为无穷小量 ， 则称 时，f （x ）为无穷大量 注：零是唯一的可作为无穷小的常数。 性质 1 有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小。 注：无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量 性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积还是无穷小。 5. 定义 设 是同一极限过程中的无穷小， 则 若 则称 是比高阶的无穷小,记作 若 则称是比 低阶的无穷小 若 则称 是的同阶无穷小; 特别地，当c=1 时，则称 是的等价无穷小,记作 若 则称是关于 的 k 阶无穷小。 6.在求两个无穷小量之比的极限时，分子及分母都可以用各自的等价无穷小， 当x →0时， sin x ~x， tan x ~x， arc sin x ~x , 1?cos x ~12x 2, √1+x n ?1~1 n x , ln (1+x )~x 7.两个重要极限 第二节 函数的连续性 (x)在ee处连续的充要条件： lim x →x 0+f (x )=f（x 0）=lim x →x 0 ?f (x ) 2.函数的间断点 3.初等函数的连续性 ∞=→)(lim 0 x f x x ）（或∞→→x x x 00)(lim 0=→x f x x ）（或∞→→x x x 0)(,)(x x ββαα==,0)(≠x β且,0lim =βα); (βαo =,lim ∞=βα,0lim ≠=C βα);(βαO =;~βα,0lim ≠=C k βα1sin lim 0=→x x x e x x x =+∞→)1(lim 1 高等数学习题库 淮南联合大学基础部 2008年10月 第一章 映射，极限，连续 习题一 集合与实数集 基本能力层次： 1: 已知：A ＝{x|1≤x ≤2}∪{x|5≤x ≤6}∪{3},B={y|2≤y ≤3} 求：在直角坐标系内画出 A ×B 解：如图所示A ×B ＝{（x,y ）| ,x A y B ∈∈ }. 2： 证明：∵ P 为正整数，∴p ＝2n 或p ＝2n+1，当p ＝2n+1时，p 2 ＝4n 2 +4n+1，不能被2整除，故p ＝2n 。即结论成立。 基本理论层次： 习题二 函数、数列与函数极限 基本能力层次 1： 解： 2： 证明：由得cxy ay ax b -=+即 ay b x cy a += -，所以 ()x f y = 所以命题成立 3： （1）2 2x y -= （2）lg(sin )y x = （3 []y x = （4）0,01,0x y x ≥?? =??取N ＝[1 ω ]，则当n>N 时,就有 11|1|n n n ω--=<有定义变知1lim 1n n n →∞-=成立 5：求下列数列的极限 （1）lim 3n n n →∞ （2）222 3 12lim n n n →∞+++ （3） （4）lim n 解：（1） 233n n n n <,又 2lim 03n n x →∞=,所以 0lim 03n n n →∞≤≤ , 故：lim 3n n n →∞＝0 （2）由于 222 3 312(1)(21)111 (1)(2)6n n n n n n n n n ++ +++= =++ 又因为：1111 lim (1)(2)63 n n n n →∞++=,所以：2223121 lim 3 n n n →∞+++ （3）因为： 所以： （4） 因为：111n n ≤≤+，并且1 lim(1)1n n →∞+=, 故由夹逼原理得 1n = 【教学内容】§1.1 函数 【教学目的】理解并掌握函数的概念与性质 【教学重点】函数的概念与性质 【教学难点】函数概念的理解 【教学时数】4学时 【教学过程】 一、组织教学，引入新课 极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。 二、讲授新课 （一）、实数概述 1、实数与数轴 （1）实数系表 （2）实数与数轴关系 （3）实数的性质： ?? ????? 封闭性 有序性 稠密性连续性 2、实数的绝对值 （1）绝对值的定义：,0 ,0x x x x x ≥?=?- 数集{x a x b ≤≤}为以a 、b 为端点的闭区间，记作[a ，b ] 数集{x a x b <<}为以a 、b 为端点的开区间，记作（a ，b ） 数集{x a x b ≤<}为以a 、b 为端点的半开半闭区间，记作[a ，b ） 数集{x a x b <≤}为以a 、b 为端点的半开半闭区间，记作（a ，b ] 区间长度：b a - ② 无限区间 数集{x a x ≤<+∞}记作[a ，+∞）， 数集{x a x <<+∞}记作（a ，+∞） 数集{x x a -∞<≤}记作（-∞，a ]， 数集{x x a -∞<<}记作（-∞，a ） 实数集R 记作（-∞，+∞） （3）邻域 ① 邻域：设a 与δ均为实数，且0δ>，则开区间（a δ-，a δ+）为点a 的δ邻域 记作(,)U a δ，其中点a 为邻域的中心，δ为邻域的半径。 ② 去心邻域：在的δ邻域中去掉点a 后，称为点a 的去心邻域，记作(,)U a δ。 （二）、函数的概念 1、函数的定义： 设有一非空实数集D ，如果存在一个对应法则f ，使得对于每一个D x ∈，都有一个惟一的实数y 与之对应，则称对应法则f 是定义在D 上的一个函数. 记作()y f x =，其中x 为自变量，y 为因变量，习惯上y 称是的函数。 定义域：使函数()y f x =有意义的自变量的全体，即自变量x 的取值范围D 函数值：当自变量x 取定义域D 内的某一定值0x 时，按对应法则f 所得的对应值0y 称 为函数()y f x =在0x x =时的函数值，记作00()y f x =。 值 域：当自变量x 取遍D 中的一切数时，所对应的函数值y 构成的集合，记作M ， 即{}D x x f y y M ∈==),( 函数的二要素： 定义域、对应法则 第二章 极限与连续 习题2-1 1、观察下列数列的变化趋势,判别哪些数列有极限,如有极限,写出它们的极限. (1)n n a x 1 = )1(>a ； 有. 0lim =∞→n n x . (2) n x n n 1 )1(1--=； 有. 0lim =∞→n n x . (3) n x n n 1 )1(--=； 无. (4) 2sin π n x n =； 无. (5) 1 1 +-= n n x n ； 有. 1lim =∞→n n x . (6) n n x )1(2-=； 无. (7) n x n 1 cos =； 有. 1lim =∞→n n x . (8) n x n 1 ln =. 无. 2、设9.01=u ,99.02=u , 个 n n u 999.0,=,问 (1) ?lim =∞ →n n u (2) n 应为何值时,才能使n u 与其极限之差的绝对值小于0001.0？ 解：(1) 显然,n n u 10 1 1- =,可见1lim =∞→n n u ； (2) 欲使4 101 0001.0101|1|= <=-n n u ,只需5≥n 即可. 3、对于数列? ?? ?? ?+=1}{n n x n ,),2,1( =n ,给定(1)1.0=ε;(2)01.0=ε; (3)001.0=ε时,分别取怎样的N ,才能使当N n >时,不等式ε<-|1|n x 成立,并利用极限定义证明此数列的极限为1. 解：欲使ε=<+=-+=-k n n n n x 10 1 1111|1|,只需110->k n . (1)若给定1.0=ε,此时1=k ,取91101=-=N 即可; (2)若给定01.0=ε,此时2=k ,取991102=-=N 即可; (3)若给定001.0=ε,此时3=k ,取9991103=-=N 即可; 下面证明1lim =∞→n n x . 欲使ε<<+= -n n x n 111|1|,只需ε 1>n . 0>?ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε 1 ≥>N n 时,恒有ε<-|1|n x , 所以 1lim 1lim ==+∞ →∞→n n n x n n . 4、用极限定义考查下列结论是否正确,为什么？ (1)设数列}{n x ,当n 越来越大时,||a x n -越来越小,则a x n n =∞ →lim . 解：结论错误.例如取n x n 1 1+=,0=a ,显然n a x n 11||+=-越来越小, 但a x n n =≠=∞ →01lim . (2)设数列}{n x ,当n 越来越大时,||a x n -越来越接近于0,则a x n n =∞ →lim . 解：结论错误.例如取n x n 1 1+ =,0=a ,显然n a x n 11||+=-越来越接近于0, 高数极限与连续 第一单元复习 主要内容： １．函数部分：复合函数，反函数，分段函数，函数记号的运算及基本初等函数与图象（这部分内容贯穿全书，不另行复习） ２．极限：极限的概念、性质、极限存在的条件以及求极限； 求极限的方法： （１）利用运算法则及幂指数运算法则、无穷小与有界必为无穷小； （２）利用函数的连续性； （３）利用变量替换与两个重要极限； （４）利用等价无穷小因子替换； （５）利用洛必达法则； （６）分别求左右极限； （７）数列极限转化成函数极限； （８）利用适当放大与缩小法，利用夹逼定理； （９）对递归数列先证明极限存在（常用“单调有界必有极限”准则），再利用递归关系求出极限； （１０）利用导数定义求极限； ３．无穷小及其阶、会比较无穷小的阶及确定无穷小阶的方法。 ４．连续函数的性质：会判断函数的连续性及间断，能说 出间断点的类型，特别是分段函数的在连接点处的连 续性。 ５．闭区间上的连续函数的性质：有界性、最值定理、介 值定理，特别会用零点定理证明方程有根的方法。 一、 选择题 １．函数log (a y x =+ 是（ ）. （A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 2.若函数f(e x )=x+1，则f(x)=( ) A. e x +1 B. x+1 C. ln(x+1) D. lnx+1 3．当∞→x 时，arctanx 的极限（ ）。 Ａ.2π= Ｂ.2π-= Ｃ.∞= Ｄ.不存在，但有界 ４．下列等式中成立的是（ ）。 Ａ.e n n n =??? ??+∞→21lim Ｂ.e n n n =?? ? ??++∞→211lim Ｃ.e n n n =??? ??+∞→211lim Ｄ.e n n n =??? ??+∞→211lim ５．无穷小量是（ ）. Ａ.比0稍大一点的一个数 Ｂ.一个很小很小的 Ｃ.以0 为极限的一个变量 Ｄ. 数0 《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。 一，极限的概念 从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！ 从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。 二，极限的运算技巧 我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助! 我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。 1，连续函数的极限 这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。 2，不定型 我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。 第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个： 需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。 此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。 当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。 在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。高等数学习题及解答(极限-连续与导数)
高等数学 第一章 函数极限与连续 教案
高等数学-极限与连续(习题)Word版
高数极限与连续讲课稿
《高等数学》的极限与连续
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