离散数学复习资料
一、填空
1. 命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x 为实数，y
x y x L >:),(则命题的逻辑谓词公式为 。
2. 设p ：王大力是100米冠军，q ：王大力是500米冠军，在命题逻辑中，命题“王大力不
但是100米冠军，而且是500米冠军”的符号化形式为 。命题“存在一个人不但是100米冠军，而且是500米冠军”的符号化形式为____。
3. 选择合适的论域和谓词表达集合A=“直角坐标系中，单位元（不包括单位圆周）的点集”
则A= 。 4. 设 P （x ）：x 是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x 是奇数 N (x,y)：x 可以整数y 。则谓词
(()(()(,)))x P x y O y N y x ?→?∧ 的自然语言是 对于任意一个素数都存在一个奇数使
该素数都能被整除 。
5. 设个体域是{a,b}，谓词公式()()()()x P x x P x ??∨?写成不含量词的形式是 。
6. 谓词(((,)(,))(,,))x y z P x z P y z uQ x y u ???∧→?的前束范式为 。
7. 命题公式)))(((R Q Q P P A →?∧→?∨?的主合取范式为 ，其编码表示为 。 8. 设E 为全集， ，称为A 的绝对补，记作～A ，且～（～A ）= ，～E = ， 9. ～Φ= 。
10. 设={256},{234},{134}A B C ==，，，，，，，则A-B= ，AB = ，A ×C = 。 11. 设},,{c b a A =考虑下列子集}},{},,{{1c b b a S =，}},{},,{},{{2c a b a a S =， 12. }},{},{{3c b a S =，}},,{{4c b a S =，}}{},{},{{5c b a S =，}},{},{{6c a a S = 13. 则A 的覆盖有 ，A 的划分有 。
14. 设}2,121{Z x x x x M ∈≤≤=整除，被，}3,121{Z x x x x N ∈≤≤=整除，被，则
=?N M ，=-N M 。
15. 设A={<1,2>,<2 , 4 >,<3 , 3 >} , B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则B A ?= ，B A ο= 。 16. A={1，2，3，4，5，6}，A 上二元关系}|,{是素数y x y x T ÷><=，则用列举法 T= ；
T 的关系图为 ，T 具有 性质。
17. 偏序集><≤R A ,的哈斯图为
，则≤R = 。
18. 设},2|{N n x x A n
∈==，定义A 上的二元运算为普通乘法、除法和加法，则代数系统
20. 设图G = < V ，E >，},,,4321v v v 的邻接矩阵??
??
?
?
?
??=000100111101
1010A ，则1v 的入度 )(deg 1v -= ，4v 的出度)(deg 4v += ，从2v 到4v 的长度为2的路径有 条。
21. 结点数n （3≥n ）的简单连通平面图的边数为m ，则m 与n 的关系为 m<=3n-6 。 22. 设 f ，g 是自然数集N 上的函数x x g x x f N x 2)(,1)(,
=+=∈?，
则=)(x g f ο 。 23. 设I 是整数集合，Z 3是由模3的同余类组成的同余类集，在Z 3上定义+3如下：
]3m od )[(][][3j i j i +=+，则+3的运算表为 ；
24. 集合S={α，β，γ，δ}上的二元运算*为
* α β γ δ α δ α β γ β α β γ δ γ β γ γ γ δ
α
δ
γ
δ
那么，代数系统
A B
C
则它的幺元为 ；零元为 。
26. 设A={a ，b ，c}，A 上二元关系R={< a, a > , < a, b >,< a, c >, < c, c>} , 则s （R ）= 。 27. 设A={<1,2>,<2 , 4 >,<3 , 3 >} , B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则B A ?= ，B A ο= 。 28. 设集合X={1,2,3}，下列关系中 不是等价的。 A= {<1,1>,<2 , 2 >,<3 , 3 >}
B= {<1,1>,<2 , 2 >,<3 , 3 >,<3,2>,<2 ,3 >} C= {<1,1>,<2 , 2 >,<3 , 3 >,<1,4>}
D= {<1,1>,<2 , 2 >,<1 , 2 >,<2,1>,<1 ,3 >,<3,1>,<3 , 3 >,<2 , 3 >,<3,2>}
29. 设{1,2,3,4},{1,2,2,43,3}X R ==<><><>，，则r (R)= ；s (R)= ；t (R) = 。
30. 设G 是n 阶完全图，则G 的边数m= 。
31. 设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图如右图所示：则 R= 。 32. n 阶完全图Kn 的边数为 。
33. 结点数n （3≥n ）的简单连通平面图的边数为m ，则m 与n 的关
系为 。
34. 图的补图为 。
* a b c a a b c b b a c c
c
c
c
35. 有向图 中从v 1到v 2长度为2的通路有 条。
36. 设G 为9阶无向图，每个结点度数不是5就是6，则G 中至少有 个5度结点。 37. n 阶完全图结点v 的度数d(v) = n-1 。
二、证明
1. 不构造真值表证明蕴涵式
2. Q R P P R R P P Q →??∧→→→?∧→)))((())((
3. 证明,A B C D D E F A F ∨→∧∨→?→
4. 证明(P ∧Q)∨(P ∧Q) P
5. 证明(())()P Q R P Q R →∨?∧?→
6. 证明)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?→??→?
7. 证明(()())()()x P x Q x xP x xQ x ?∨??∨?
8. 用推理规则证明下式：
9. 前提: )()(,)()(,))())()((()()(x Q x x P x x R x Q x P x x P x ??→∨?→? 10. 结论：))()()()((y R x P y x ∧??
11. 设论域D={a , b , c}，求证：))()(()()(x B x A x x xB x xA ∨???∨?。 12. 设f g ο是复合函数，如果f g ο满射，则g 也是满射。
13. 假定C B g B A f →→:,:，且f g ο是一个满射，g 是个入射，则f 是满射。 14. 用反证法证明R S S Q R P Q P ∨?→∧→∧∨)()()(。
15. 设< I ，+ >是一个群，设I E ={ x|x=2n ，n ∈I }，证明< I E ，+ >是< I ，+ >的一个子群。
三、按要求解答
1. 将谓词公式)()())()()()((y R y y Q y x P x ?→?∨?化为前束析取范式与前束合取范式。
2. 用推理规则论证：如果今天是星期六，我们就要到颐和园或圆明园玩，如果颐和园游人太
多，我们就不去颐和园玩。今天是星期六，颐和园游人太多，所以，我们去圆明园玩。 3. 符号化语句：“有些人喜欢所有的花，但是人们不喜欢杂草，那么花不是杂草”。并推证其
结论。
4. 用推理规则论证：或者逻辑难学，或者有少数学生不喜欢它；如果数学容易学，那么逻辑
并不难学。因此，如果许多学生喜欢逻辑，那么数学并不难学。
5. 设有下列情况，用推理规则论证结论是否有效 （a ）或者天晴，或者下雨。（b ）如果天晴，
我去看电影。（c ）如果我去看电影，我就不看书。结论：如果我在看书则天在下雨。 6. 符号化语句：“有些病人相信所有的医生，但是病人都不相信骗子，所以医生都不是骗子”。
并推证其结论。
7. 给定3个命题：P ：北京比天津人口多；Q ：2大于1；R ：15是素数。 求复合命题：
)()(R P R Q ?∧?→的真值。
8. 将(((,))(()()))x yP x y zQ z R x ???→?→化为与其等价的前束范式。 9. 把公式()()()()x Q x x P x ?→?转化为前束范式 10. 求)()(Q P P Q ∧?∧→的主合取范式。 11. 求(ABC) (A(BC))的主析取范式与主合取范式。 12. 求(P ∨Q )R 的主析取范式与主合取范式。
13. 设命题A 1，A 2的真值为1，A 3，A 4真值为0，求命题 14. )()))(((421321A A A A A A ?∨??∧→∨的真值。 15. 求集合),3,2,1(10Λ=?
??
???
≤
<=n n x x A n 的并与交。 16. 设X={1,2,3,4,5}，X 上的关系R={<1,1> , < 1 , 2 > , <2 , 4 > , < 3 , 5 > , < 4 , 2 > }，求R 的传递闭
包t (R)。 17. 设集合{}X a b c d =，，，上的关系{},,,,,,,R a b b a b c c c =<><><><>。求R 的传递
闭包()t R 。
18. 在实数平面上，画出关系{}
0202,<--∧>+-><=y x y x y x R ，并判定关系的特
殊性质。
19. 设X ={ a ，b ，c ，d }，R 是X 上的二元关系,R ={< a ，c >，< a ，d >，< b ，c >，< b ，d >，< c ，d >}
设S={1 , 2 , 3 , 4, 6 , 8 , 12 , 24}，“≤”为S 上整除关系，问：（1）偏序集≤><,S 的哈斯图
如何（2）偏序集(1) 画出R 的关系图。(2) 写出R 的关系矩阵。(3) 说明R 的性质
20. A={a,b,c,d}，R={
22. 集合}36,24,12,6,3,2{=A 上的偏序关系为整除关系。设}12,6{=B ，
}6,3,2{=C ，试画出哈斯图，并求A ，B ，C 的最大元素、极大元素、下界、上确界。
23. 对于实数集合R ，在下表所列的二元远算是否具有左边一列中的性质，请在相应位上填写“Y ”
或“N ”。
24. 设
则是一个群（称作Klein 四元群）。
25. 设S = R - {-1}（R 为实数集），ab b a b a ++=*。
（1）说明>*<,S 是否构成群； （2）在S 中解方程732=**x 。 26. 设{1234}X ＝，，，，R 是X 上的二元关系，
27. {113113333243414212}R <><><><><><><><><>＝，，，，，，，，，，，，，，，，，
(1) 画出R 的关系图。写出R 的关系矩阵。说明R 是否是自反、反自反、对称、传递的。 28. 设I -是负整数集合，定义二个双射函数f g 、，
(): {1,12,2}f I I f x x -+
→=-=<-><->?，,<-3,3>,, (): 1{1,02,1}g I N
g x x +→=-=<><>?，,<3,2>,，
求g f o ，并说明其是否是双射函数。
29. 设M= {0o,60o,120o,240o,300o,180o}表示平面上几何图形顺时针旋转的六种位置，定义一个
二元运算*，对M 中任一元素a,b 有a*b=图形旋转(a+b)的角度，并规定当旋转到360o 时即为0o 。
30. 求图中的一棵最小生成树。
240o
180o
120o
60o
0o
300o
300o
180o 120o 60o 0o 300o 240o 240o 120o 60o 0o 300o 240o 180o 180o 60o 0o 300o 240o 180o 120o 120o 0o 300o 240o 180o 120o 60o 60o 300o 240o 180o 120o 60o 0o 0o 300o 240o 180o 120o 60o 0o *
31.已知某有向图的邻接矩阵如下：
??
?
?
?
?
?
?
?
=
1
1
1
1
1
1
1
4
3
2
1
v
v
v
v
A
试求：3
v
到1
v的长度为4的有向
路径的条数。
32.下图所示带权图中最优投递路线并求出投递路线长度（邮局在D点）。
33.求图的可达矩阵，并判断图的连通性。
34.有向图G如图所示，试求：(1) 求G的邻接矩阵A。(2) 求出A2、A3和A4（3）v1到v4长度
为1、2、3和4的路径有多少(4) 求出可达矩阵P。
35.画一个有一条汉密尔顿回路的图。画一个有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。
有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。画一个有一条欧拉回路，但没
36.下面两图是否同构，若是给出点集间的同构映射。
V3
37. 已知某树有2个2度结点、3个3度结点、4个4度结点，问有几个叶子点（无其它度数点）。 38. 图给出的赋权图表示五个城市54321v v v v v ，，，，
及对应两城镇间公路的长度。试给出一个最优化的设计 方案使得各城市间能够有公路连通。
离散数学形成性考核作业4作业与答案 离散数学综合练习书面作业 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档． 3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、公式翻译题 1．请将语句“小王去上课，小李也去上课．”翻译成命题公式． 设Ｐ：小王去上课 Ｑ:小李去上课 则：命题公式Ｐ∧Ｑ 2．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 设Ｐ：他去旅游 Ｑ：他有时间 则命题公式为Ｐ→Ｑ
3．请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式． 设Ａ（x）:x是人 Ｂ（x）：去工作 则谓词公式为?x（A(x)∧－B（x）) 4．请将语句“所有人都努力学习．”翻译成谓词公式． 设A（x）: x是人 B（x）:努力学习 则谓词公式为?x（A（x）∧B（x）） 二、计算题 1．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算 （1）(A-B)；（2）(A∩B)；（3）A×B． 解： （1）（A-B）＝{{1}，{2}} （2）（A∩B）＝{1，2} （3）A×B＝ {<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2}>,<1,1>,<1, 2>,<1,{1,2}>,<2,1>,<2,2>,<2,{1,2}>} 2．设A={1，2，3，4，5}，R={
离散数学试题（A卷答案） 一、（10分）求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解：(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P∧Q 乙：?Q∧P 丙：?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为：
((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 综上可知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、（15分）集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }上的二元关系R 为R ＝{，，，，，，，，
离散数学考试试题（A 卷及答案） 一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P ∧Q 乙：?Q ∧P 丙：?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。
离散数学考试试题（A卷及答案） 一、（10分）证明?(A∨B)→?(P∨Q)，P，(B→A)∨?P A。 证明：(1)?(A∨B)→?(P∨Q) P (2)(P∨Q)→(A∨B) T(1)，E (3)P P (4)A∨B T(2)(3)，I (5)(B→A)∨?P P (6)B→A T(3)(5)，I (7)A∨?B T(6)，E (8)(A∨B)∧(A∨?B) T(4)(7)，I (9)A∧(B∨?B) T(8)，E (10)A T(9)，E 二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4种判断都是正确的： (1)甲和乙只有一人参加； (2)丙参加，丁必参加； (3)乙或丁至多参加一人； (4)丁不参加，甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 解符号化命题，设A：甲参加了比赛；B：乙参加了比赛；C：丙参加了比赛；D：丁参加了比赛。 依题意有， (1)甲和乙只有一人参加，符号化为A⊕B?(?A∧B)∨(A∧?B)； (2)丙参加，丁必参加，符号化为C→D； (3)乙或丁至多参加一人，符号化为?(B∧D)； (4)丁不参加，甲也不会参加，符号化为?D→?A。 所以原命题为：(A⊕B)∧(C→D)∧(?(B∧D))∧(?D→?A) ?((?A∧B)∨(A∧?B))∧(?C∨D)∧(?B∨?D)∧(D∨?A) ?((?A∧B∧?C)∨(A∧?B∧?C)∨(?A∧B∧D)∨(A∧?B∧D))∧((?B∧D)∨(?B∧?A)∨(?D∧?A)) ?(A∧?B∧?C∧D)∨(A∧?B∧D)∨(?A∧B∧?C∧?D)?T 但依据题意条件，有且仅有两人参加竞赛，故?A∧B∧?C∧?D为F。所以只有：(A∧?B∧?C∧D)∨(A∧?B∧D)?T，即甲、丁参加了围棋比赛。 三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误？为什么？给出正确的推理形式。 (1)?x(P(x)→Q(x)) P (2)P(y)→Q(y) T(1)，US (3)?xP(x) P (4)P(y) T(3)，ES (5)Q(y) T(2)(4)，I (6)?xQ(x) T(5)，EG 解 (4)中ES错，因为对存在量词限制的变元x引用ES规则，只能将x换成某个个体常元c，而不能将其改为自由变元。所以应将(4)中P(y)改为P(c)，c为个体常元。 正确的推理过程为： (1)?xP(x) P (2)P(c) T(1)，ES (3)?x(P(x)→Q(x)) P (4)P(c)→Q(c) T(3)，US (5)Q(c) T(2)(4)，I (6)?xQ(x) T(5)，EG 四、（10分）设A＝{a，b，c}，试给出A上的一个二元关系R，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。 解设R＝{
2017年11月上交的离散数学形考任务一 本课程的教学内容分为三个单元，其中第三单元的名称是（A ）． 选择一项： A. 数理逻辑 B. 集合论 C. 图论 D. 谓词逻辑 题目2 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 本课程的教学内容按知识点将各种学习资源和学习环节进行了有机组合，其中第2章关系与函数中的第3个知识点的名称是（D ）． 选择一项： A. 函数 B. 关系的概念及其运算 C. 关系的性质与闭包运算 D. 几个重要关系 题目3 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 本课程所有教学内容的电视视频讲解集中在VOD点播版块中，VOD点播版块中共有（B）讲． 选择一项： A. 18 B. 20 C. 19
D. 17 题目4 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 本课程安排了7次形成性考核作业，第3次形成性考核作业的名称是（ C）．选择一项： A. 集合恒等式与等价关系的判定 B. 图论部分书面作业 C. 集合论部分书面作业 D. 网上学习问答 题目5 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 课程学习平台左侧第1个版块名称是：（C）． 选择一项： A. 课程导学 B. 课程公告 C. 课程信息 D. 使用帮助 题目6 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 课程学习平台右侧第5个版块名称是：（D）． 选择一项：
A. 典型例题 B. 视频课堂 C. VOD点播 D. 常见问题 题目7 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 ―教学活动资料‖版块是课程学习平台右侧的第（A）个版块． 选择一项： A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 题目8 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 课程学习平台中―课程复习‖版块下，放有本课程历年考试试卷的栏目名称是：（D ）． 选择一项： A. 复习指导 B. 视频 C. 课件 D. 自测 请您按照课程导学与章节导学中安排学习进度、学习目标和学习方法设计自己的学习计划，学习计划应该包括：课程性质和目标（参考教学大纲）、学习内容、考核方式，以及自己的学习安排，字数要求在100—500字．完成后在下列文本框中提交． 解答：学习计划 学习离散数学任务目标：
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
2017年11月上交的离散数学形考任务一本课程的教学内容分为三个单元，其中第三单元的名称是（ A ）． 选择一项： ， A. 数理逻辑 B. 集合论 C. 图论 D. 谓词逻辑 题目2 . 答案已保存 满分 标记题目 题干 本课程的教学内容按知识点将各种学习资源和学习环节进行了有机组合，其中第2章关系与函数中的第3个知识点的名称是（ D ）． ) 选择一项： A. 函数 B. 关系的概念及其运算 C. 关系的性质与闭包运算 D. 几个重要关系 < 题目3 答案已保存 满分 标记题目 题干 ； 本课程所有教学内容的电视视频讲解集中在VOD点播版块中，VOD点播版块中共有（B）讲． 选择一项：
A. 18 B. 20 C. 19 ， D. 17 题目4 答案已保存 满分 标记题目 … 题干 本课程安排了7次形成性考核作业，第3次形成性考核作业的名称是（C）．选择一项： A. 集合恒等式与等价关系的判定 B. 图论部分书面作业 ~ C. 集合论部分书面作业 D. 网上学习问答 题目5 答案已保存 满分 " 标记题目 题干 课程学习平台左侧第1个版块名称是：（C）． 选择一项： A. 课程导学 … B. 课程公告 C. 课程信息 D. 使用帮助 题目6 答案已保存 ^ 满分
标记题目 题干 课程学习平台右侧第5个版块名称是：（D）． 选择一项： % A. 典型例题 B. 视频课堂 C. VOD点播 D. 常见问题 题目7 《 答案已保存 满分 标记题目 题干 “教学活动资料”版块是课程学习平台右侧的第（ A ）个版块． 、 选择一项： A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 @ 题目8 答案已保存 满分 标记题目 题干 ( 课程学习平台中“课程复习”版块下，放有本课程历年考试试卷的栏目名称是：（D ）．选择一项：
离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).
离散数学期末考试试卷(A卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1） （1） （2）对任意的命题公式, 若, 则 （0） （3）设是集合上的等价关系, 是由诱导的上的等价关系，则。（1） （4）任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价。 （0） （5）设是上的关系，分别表示的对称和传递闭包，则 （0） 二、填空题：（每题2分，共10分） (１) 空集的幂集的幂集为（）。 (２) 写出的对偶式（）。 （３）设是我校本科生全体构成的集合，两位同学等价当且仅当他们在 同一个班，则等价类的个数为（），同学小王所在 的等价类为（）。 （４）设是上的关系，则满足下列性质的哪几条：自反的，对称的，传递的，反自反的，反对称的。 （） (5)写出命题公式的两种等价公式( ）。 三、用命题公式符号化下列命题（１）（２）（３），用谓词公式符号化下列命题（４）（５）（６）。（12分） （１）（１）仅当今晚有时间，我去看电影。 （２）（２）假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书。 （3）你能通你能通过考试，除非你不复习。 （４）（４）并非发光的都是金子。 （５）（５）有些男同志，既是教练员，又是国家选手。 （６）（６）有一个数比任何数都大。 四、设，给定上的两个关系和分别是
（１）（１）写出 和 的关系矩阵。（２）求 及 （1２分） 五、求 的主析取范式和主合取范式。（１０分） 六、设 是 到 的关系， 是 到 的关系，证明： （8分） 七、设 是一个等价关系，设 对某一个 ,有 ，证明： 也是一个等价关系。（10分） 八、（1０分）用命题推理理论来论证 下述推证是否有效？ 甲、乙、丙、丁四人参加比赛，如果甲获胜，则乙失败；如果丙获胜，则乙也获 胜，如果甲不获胜，则丁不失败。所以，如果丙获胜，则丁不失败。 九、（１０分） 用谓词推理理论来论证下述推证。 任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或喜欢乘汽车，或喜欢骑 自行车（可能这两种都喜欢）。有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行 (论 域是人)。 十、(8分) 利用命题公式求解下列问题。 甲、乙、丙、丁四人参加考试后，有人问他们，谁的成绩最好， 甲说：“不是我，”乙说：“是丁，”丙说：“是乙，” 丁说：“不是我。” 四人的回答只有一人符合实际，问若只有一人成绩最 好，是谁？ 离散数学期末考试试卷答案(A 卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1）}}{{}{x x x -∈ （ ∨） (2) 对任意的命题公式C B A ,,, 若 C B C A ∧?∧, 则B A ? ( ? ) （3）设R 是集合A 上的等价关系, L 是由 R A 诱导的A 上的等价关系，则L R =。 ( ∨ ) （4） 任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等 价。 （ ? ） （5）设R 是A 上的关系，)(),(R t R s 分别表示R 的对称和传递闭包，则 )()(R st R ts ? （ ? ） 二、填空题：（每题2分，共10分）
一、单项选择题（共 10 道试题，共 100 分。） 1. 设集合A = {1, a }，则P(A) = ( D )． A. {{1}, {a}} B. { ,{1}, {a}} C. {{1}, {a}, {1, a }} D. { ,{1}, {a}, {1, a }} 2. 集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={|x=y且x, y A}，则R的性质为（C ）． A. 不是自反的 B. 不是对称的 C. 传递的 D. 反自反 3. 若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( C )． A. {a，{a}} A B. {1，2} A C. {a} A D. A 4. 设集合A ={1 , 2, 3}上的函数分别为：f = {<1, 2>，<2, 1>，<3, 3>}，g = {<1, 3>，<2, 2>，<3, 2>}，h = {<1, 3>，<2, 1>，<3, 1>}， 则h =（ A ）． A. f?g
C. f?f D. g?g 5. 设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<4, 4>}，S={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>，<4, 4>}，则S是R的（ C ）闭包． A. 自反 B. 传递 C. 对称 D. 自反和传递 6. 若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( A )． A. A B，且A B B. B A，且A B C. A B，且A B D. A B，且A B 7. 设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系￡是A上的整除关系，则偏序集上的元素5是集合A的（ C ）． A. 最大元 B. 最小元 C. 极大元 D. 极小元 8. 若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ A ）．
一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法
列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{
《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???.
2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？
试卷二十三试题与答案 一、单项选择题：（每小题1分，本大题共10分） 1．命题公式)(P Q P ∨→是（ ）。 A 、 矛盾式； B 、可满足式； C 、重言式； D 、等价式。 2．下列各式中哪个不成立（ ）。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?； D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。 3．谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是（ ）。 A 、自由变元； B 、约束变元； C 、既是自由变元又是约束变元； D 、既不是自由变元又不是约束变元。 4．在0 Φ之间应填入（ ）符号。 A 、= ； B 、?； C 、∈； D 、?。 5．设< A ， > 是偏序集，A B ?，下面结论正确的是（ ）。 A 、 B 的极大元B b ∈且唯一； B 、B 的极大元A b ∈且不唯一； C 、B 的上界B b ∈且不唯一； D 、B 的上确界A b ∈且唯一。 6．在自然数集N 上，下列（ ）运算是可结合的。 （对任意N b a ∈,） A 、b a b a -=*； B 、),max(b a b a =*； C 、b a b a 5+=*； D 、b a b a -=*。 7．Q 为有理数集N ，Q 上定义运算*为a*b = a + b – ab ,则的幺元为（ ）。 A 、a ； B 、b ； C 、1； D 、0。 8．给定下列序列，（ ）可以构成无向简单图的结点度数序列。 A 、（1，1，2，2，3）； B 、（1，1，2，2，2）； C 、（0，1，3，3，3）； D 、（1，3，4，4，5）。 9．设G 是简单有向图，可达矩阵P(G)刻划下列 （ ）关系。 A 、点与边； B 、边与点； C 、点与点； D 、边与边。 10．一颗树有两个2度结点，1个3度结点和3个4度结点，则1度结点数为（ ）。 A 、5； B 、7； C 、9； D 、8。
离散数学作业4 离散数学图论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业． 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、填空题 1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是15 ． 2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是 { f }，{ e,c} ． 3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则 G的结点度数之和等于边数的两倍． 4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且不含奇数度结 点． 5．设G=
8．结点数v与边数e满足e=v - 1 关系的无向连通图就是树． 9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去条边后使之变成树． 10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 4 ． 二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．） 1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路． 答：错误。应叙述为：“如果图G是无向连通图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路。” 2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路． 答：错误。因为图中存在奇数度结点，所以不存在欧拉回路。 3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．
填空10% （每小题 2 分） 1、若P，Q，为二命题，P Q 真值为0 当且仅当。 2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数” 令F（x）：x 为实数，L（x, y） : x y 则命题的逻辑谓词公式为。 3、谓词合式公式xP（x） xQ（x）的前束范式为。 4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为 换名规则。 5、设x 是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A（x）关于y 是自由的，则被称为存 在量词消去规则，记为ES。 选择25% （每小题分） 1、下列语句是命题的有（）。 A、明年中秋节的晚上是晴天； C、xy 0 当且仅当x 和y 都大于0； D 、我正在说谎。 2、下列各命题中真值为真的命题有（）。 A、2+2=4当且仅当3是奇数； B、2+2=4当且仅当 3 不是奇数； C、2+2≠4 当且仅当3是奇数； D、2+2≠4当且仅当 3 不是奇数； 3、下列符号串是合式公式的有（） A、P Q ； B、P P Q； C、( P Q) (P Q)； D、(P Q) 。 4、下列等价式成立的有（ ）。 A、P QQ P ； B、P(P R) R； C、P (P Q) Q； D 、P (Q R) (P Q) R。 5、若A1,A2 A n和B为 wff ，且A1 A2 A n B 则 （ ）。 A、称A1 A2 A n 为 B 的前 件； B 、称 B 为A1,A2 A n 的有效结论
C 、 x(M (x) Mortal (x)) ； D 、 x(M(x) Mortal (x)) 8、公式 A x(P(x) Q(x))的解释 I 为：个体域 D={2} ，P(x) ：x>3, Q(x) ：x=4则 A 的 真 值为（ ） 。 A 、 1； B 、 0； C 、 可满足式； D 、无法判定。 9、 下列等价关系正确的是（ ）。 A 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)； B 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)； C 、 x(P(x) Q) xP(x) Q ； D 、 x(P(x) Q) xP(x) Q 。 10 、 下列推理步骤错在（ ）。 ① x(F(x) G(x)) P ② F(y) G(y) US ① ③ xF(x) P ④ F(y) ES ③ ⑤G(y) T ②④I ⑥ xG(x) EG ⑤ A 、②； B 、④； C 、⑤； D 、⑥ 逻辑判断 30% 1、 用等值演算法和真值表法判断公式 A ((P Q) (Q P)) (P Q) 的类型。 C 、当且仅当 A 1 A 2 A n D 、当且仅当 A 1 A 2 A n B F 。 6、 A ，B 为二合式公式，且 B ，则（ ）。 7、 A 、 A C 、 A B 为重言式； B 、 B ； E 、 A B 为重言式。 人总是要死的”谓词公式表示为（ ）。 论域为全总个体域） M （x ） ： x 是人； Mortal(x) x 是要死的。 A 、 M (x) Mortal (x) ； B M (x) Mortal (x)
电大离散数学本形考任 务 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
离散数学集合论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业． 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、填空题 1．设集合{1,2,3},{1,2} A B ==，P(A)-P(B )={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}，A B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ． 2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ．
3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}． 4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} x∈ y y > <那么R－1＝{<6,3>,<8,4>}． x = ∈ 2 , , x , {B A y 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={
一、填空 20% （每小题2分） 1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =?B A 。 2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。 3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ?∨→?∧→∨?的真值= 。 4．公式P R S R P ?∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。 5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ?→? 在I 下真值为 。 6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为 则 R 2 = 。 7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为 则 R= 。
8．图的补图为 。 9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下： 那么代数系统的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。 10．下图所示的偏序集中，是格的为 。 二、选择 20% （每小题 2分） 1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ? ； B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ； C ． }},{{ΦΦ∈Φ； D ． }}{{}{Φ∈Φ。 2、下列集合中相等的有（ ） A ．{4，3}Φ?； B ．{Φ，3，4}； C ．{4，Φ，3，3}； D ． {3，4}。 3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。
A．23 ；B．32 ；C．332?；D．223?。 4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（） R 是自反的； A．若R，S 是自反的，则S R 是反自反的； B．若R，S 是反自反的，则S R 是对称的； C．若R，S 是对称的，则S R 是传递的。 D．若R，S 是传递的，则S 5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下 t s p R= t s ∈ =则P（A）/ R=（） < > ∧ A ) (| || |} ( , {t , | s A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}} 6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“?”的哈斯图为（） 7、下列函数是双射的为（） A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N?N, f (n) =