坐标平面内图形变换教
案
TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
6.3坐标平面内的图形变换
背景介绍及教学资料
七年级下册第2章图形和变换中已从几何的角度了解了轴对称变换与几何变换，本章从坐标的角度来研究这两种变换,并利用图形变换与坐标之间的关系来作图。虽然但就作图而言，可能不如几何画法方便，但这种画法在计算机制图等方面有着广泛的实际应用。此外对这两种变换的学习，为下一章函数当中的相关应用奠定了基础。
第1课时
教学内容分析：
本节开头是让学生通过动手画图，自己探索，找出关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系，得出一般规律，再依据这种关系，求作已知点关于坐标轴的对称点。因为两个端点可以确定一条线段，所以只要作出各个转折点关于对称轴的对称点，依此连接就得到一个多边形关于对称轴的对称图形。最后，与同伴合作学习，在方格纸上，按自己认为合适的比例，建立适当的坐标系，利用轴对称特点画出一个零件的主视图。
教学目标：
1、感受坐标平面内图形变换的坐标变换；
2、了解关于坐标轴对称的两个点的坐标变换；
3、会求与已知点关于坐标轴对称点的坐标；
4、利用图形变换与坐标之间的关系来作图；
5、进一步培养坐标意识与数形结合的数学思想。
教学重点与难点：
教学重点：关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系。
教学难点：利用关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系，在平面直角坐标系内作轴对称图形。
教学准备：刻度尺、方格纸
1．教学改革主要是学习方式的改革，过去习惯于用灌输法，整堂课都由老师告诉学生该怎么做，学生只是被动接受，老师讲得累死，学生学习效果却不好。这节课安排了两处的合作学习，充分调动学生的积极性，让学生主动探索，经历思维的发生过程。
2．本课给出一些非常美丽的图案以及在生活中能碰到的实物的图案，在数学课中实施美育，在数学课上融入生活。
3．图形变换是培养数形结合思想发展空间观念的有效载体，很多题目可以让学生发挥想象力，而不一定借助于图形。
仁爱/诚信/勤奋/创新 授课教师：蒋金凤 课程名称：平面向量基本定理授课地点：高一（12）班
授课日期： 3 月 15 日星期四序号课题 2.3.1平面向量基本定理共 1 课时第 1 课时 教学目标1.了解平面向量基本定理，会运用它来解决一些简单的问题. 2.通过观察、猜想、验证、概括得到平面向量基本定理，使学生体会研究问题的过程与方法. 3.通过定理的推导使学生感受到数学思维的严谨性，体会化归转化的方法和数与形的完美结合. 重 点 平面向量基本定理 难点在平面向量基本定理探究过程中“不共线”和 “任意性”的验证 突破 方法 通过实例画图和类比平面直角 坐标系的象限归纳总结 教学模式讲授式、探究式 板书设计 平面向量基本定理 平面向量基本定理例题：定理说明：多媒体投影 小结： 教学过程 教学活动学生活动设计意图一、情景引入 两个小朋友在荡秋千，那么在所有条件都相同 的前提条件下，哪个秋千的绳子更容易断掉？ 二、新课探究 1.给定向量 2 1 e,e请根据平面坐标的线性运算 （1）作出向量) e ( ) e ( 2 1 3 2+ 下面我们把刚刚的作图痕迹擦去，给定向量 2 1 e,e和 1 OC，你能将 1 OC用 2 1 e,e表示成 2 2 1 1 e eλ λ+的形式吗？ 看图观察并 思考，说出自己 的判断和依据 学生口述，作图 过程得结果 独立完成，个别 展示 从实际生活 问题入手，贴近 学生的日常生 活，能很好地激 发学生的求知欲 望 复习向量的 线性运算和共线 向量定理，为后 续的向量的分解 和唯一性作铺垫 进入向量分解的 探究，刚刚作图 的过程还记忆犹 新，按照来的痕 迹寻找构造平行 四边形的方法
平面向量的坐标运算（一）（教案） 教学目标： 知识与技能：（1）理解平面向量的坐标概念；（2）掌握平面向量的坐标运算. 过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力； （2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力； （3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力. 情感、态度与价值观:（1）让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养； （2）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质； （3）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律. 教学重点和教学难点： 教学重点：平面向量的坐标运算； 教学难点：平面向量坐标的意义. 教学方法：“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式. 教学手段：利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性，提高课堂教学效率. 教学过程设计： 一、创设问题情境，引入课题. 同学们，我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的，但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处，那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？ 我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量. 思路一：用一个数能否表示向量？（请学生回答） （不能，因为向量既有大小，又有方向）
思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考） 在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？ 让我们先来探讨这样一个问题： 探究一：如图，为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d 使1122=a e e λλ+ ，其中的1e ，2e 称为平面的一组基底. 强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的. 二、理解概念，加深认识. 根据平面向量基本定理，我们知道，在选定基底的情况下，所给,,,.a b c d 四 个向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是说，这几个向量用基底、来表示的形式是唯一的，每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标. 推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？（引导学生思考，请学生尝试给出定义） 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 a xi yj =+ …………○ 1 我们把),(y x 叫做向量的（直角）坐标，记作
科组长签字：
高中数学必修4 平面向量 基本知识回顾： 1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示-----AB u u u r (几何表示法)； ②用字母a r 、b r 等表示(字母表示法)； ③平面向量的坐标表示（坐标表示法）： 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i r 、j r 作为基底。任作一个向量a ，由平 面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj r r ，),(y x 叫做向量a 的（直 角）坐标，记作(,)a x y r ，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特 别地，i r (1,0) ，j r (0,1) ，0(0,0) r 。a r ),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x ， AB 3.零向量、单位向量： ①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.| |a 就是单位向量） 4.平行向量： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0r 与任一向量平行.向量a r 、b r 、c r 平行，记作a r ∥b r ∥c r .共线向量与平行向量 关系：平行向量就是共线向量. 性质：//(0)(a b b a b r u r r r r r 是唯一）||b a b a a b u r r u r r r r 0,与同向方向---0,与反向长度--- 1221//(0)0a b b x y x y r u r r r （其中 1122(,),(,)a x y b x y r u r ） 5.相等向量和垂直向量： ①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为2 性质：0a b a b r u r r r g
2.3平面向量的基本定理及坐标表示 第4课时 §2.3.1 平面向量基本定理 教学目的： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决 实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、 复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时 λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b = λa . 二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ 2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例： 例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e . 例 2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b 表示，，和 例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任 意一点，求证：+++=4 例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用， 表示. （2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且 (1)()OP t OA tOB t R =-+∈ .求证：A 、B 、P 三点共线. 例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实 数,d a b λμλμ=+ 、使与c 共线. 四、课堂练习： 1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e 1、e 2一定平行 B .e 1、e 2的模相等 C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R ) D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系 A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( ) A.3 B .-3 C.0 D.2 4.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= . 5.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填 共线或不共线). 五、小结（略）
第五章 平面向量 第一教时 教材：向量 目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 过程： 一、开场白：课本P93（略） 实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 二、 提出课题：平面向量 1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量 等 注意：1?数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大 小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学 体系，用以研究空间性质。 2． 向量的表示方法： 1?几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） 2?字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） P95 例 用1cm 表示5n mail （海里） 3． 模的概念：向量 记作：|| 模是可以比较大小的 4． 两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？ 答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 例：与是否同一向量？ A B A(起点) B （终点） a
答：不是同一向量。 例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 三、 向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 = = = 例：（P95）略 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个） 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（,,） 四、 小结： 五、 作业：P96 练习 习题5.1 第二教时 教材：向量的加法 目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作 几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向 量计算。 过程： 六、复习：向量的定义以及有关概念 强调：1?向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。 2?正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何 向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。 七、 提出课题：向量是否能进行运算？ 5．某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+ a b c A B C
2．3．1平面向量基本定理（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握平面向量基本定理； 2．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法： 体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算 教学难点：平面向量基本定理． 一、复习回顾： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二、师生互动，新课讲解： 思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？. 在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式. 1． 平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得
平面向量的坐标运算教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
“平面向量的坐标运算”教学方案 教学目标： 1.知识与技能： 理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量坐标的运算。 2.过程与方法： 在对平面向量坐标表示及坐标运算的学习过程中使学生的演绎、归纳、猜想、类比的能力得到发展，利用图形解决问题，也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性。 3.情感、态度与价值观： 通过本节课的学习，使学生感受到数学与实际生产、生活的密切联系，体会客观世界中事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。 教学重点： 平面向量的坐标表示及坐标运算。 教学难点： 平面向量坐标表示的意义。 教学方法： 结合本节课的目标要求、重难点的确定以及学生实际思维水平，教学设计中采取启发引导、类比归纳、合作探究、实践操作等教学方法。 教学手段： 投影仪、多媒体软件 教学过程 1.情境创设 教师借助多媒体动画演示人站在高处抛掷硬物的过程作为本节课的问题情境引入课题，引导学生注意观察硬物下落轨迹，提出问题：结合同学们的生活常识及物理学知识，想一想硬物的速度可做怎样的分解？ 学生回答：速度可按竖直和水平两个方向进行分解 设计目的：情境与生活联系，激发学生学习兴趣，同时为下面展开的知识做好铺垫。 2.展开探究 问题一：平面向量的基本定理内容是什么？ 教师请一学生回答，同时投影出示其内容。 问题二：向量能不能象平面坐标系中点一样给出坐标表示呢？我们如何表示更加 合理呢？ 组织学生谈论，给出各种想法，教师做点评归纳。 投影展示：将一任意向量a置于直角坐标系中，给出向量的起点、终点坐标，并提出问题 问题三：既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗？
人教版必修四第二章平面向量教案 教学目标： 三维目标 1、知识与技能 （1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； （2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念； 并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系 （3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 2、过程与方法 引导发现法与讨论相结合。这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。 3、情感目标与价值观 通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。 教学重点：理解向量、相等向量等相关的概念，向量的几何表示等是本节课的重点。 教学难点：难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解。 学情和教材分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景及代数意义，因此向量具有数形结合的特征，是深入学习数学及解决各类数学问题的有效工具，在其他学科中也有广泛应用。所以向量是历年高考的必考内容，本节课是向量的第一节课，是新知识的一个起点，所以这是十分关键、重要的一节课。本节教学内容的特点是：概念多，有向量、平行向量、相等向量、单位向量等相关概念及向量的几何表示。学生在学习过程中，诸多概念容易混淆，它们之间关系不易理清，这些是学习中的难点。 教法设计：引导启发式教学 学法设计：指导学生自主学习 课时计划：一课时 教具学具：多媒体、彩笔、三角板 教学过程 一、创设情景、导入新课 1.我们知道物理中的力、速度，位移等都是矢量，不同与路程、质量等量，他们具有什么样的共同特征？………（学生讨论作答） 2.你能举出几个具有以上特征的量吗？年龄、身高、体重、长度等具有这些特征吗？（学生思考作答） 3.在数学上，我们把具有这种特征的量称为向量，（教师在黑板上书写课题，然后大屏幕展示课题，学生阅读课本P74） 二、推进新课 1.定义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度等。 注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，可以比较大小；向量既有方向 又有大小，不能比较大小（强调）。 2.向量的表示方法：
11.1平面内点的坐标（1） 教学内容 本节主要学习平面上的点的坐标，如横轴、纵轴、原点、坐标、象限等，能从坐标中写出点的坐标。反之，能根据坐标标出坐标系中的点。 教学目标 1.知识与技能 理解和掌握平面直角坐标系的有关知识，领会其特征。 2.过程与方法 经历现实生活中有关有序实数对的例子，让学生充分体会平面直角坐标系是构建有序实数对的平台。 3.情感、态度与价值观 认识直角坐标系的作用，体现现实生活中的坐标的应用价值，激发学习的兴趣。 重、难点与关键 1.重点：认识直角坐标系，感受有序实数对的应用。 2.难点：对有序实数对的理解。 3.关键：通过实例例子，认识有序实数对的特征，充分体回有序实数对在实际中的应用。 教学准备 1.教师准备：投影仪，投影片，补充引入资料。 2.学生准备：收集一些现实中有关有序实数对的图片。 教学过程 —、创设情境，导入新知 1.回顾交流。 教师提问：什么叫做数轴？实数与数轴建立了怎样的关系？ 学生思考后回答： （1）规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 （2）数轴上的点同实数建立了——对应的关系。 教师引伸：实际上这个实数可以称为这个点在数轴上的坐标。（一维坐标）
2．问题提出。 提问：请同学们观看屏幕投影片，你发现了什么？ 投影显示有关有序实数对的情境 （1）情境1. 我们都去电影院看电影的经历。大家知道，影剧院对观众的所有座位都按“几排几号”编号，以便确定每一个座位在剧院中的位置，这样观众就能根据入场券上的“排数”和“号数”准确地“对号入座”。 学生活动：通过观察，发现了电影院中的“几排几号”是有序实数对。 （2）情境2. 请以下座位的同学今天放学后参加英语口语测试： （1，4），（2，3），（5，4），（2，2），（5，7）。 教师在学生回答的基础上，进一步引导学生从中发现数学问题：确定一个位置需要两个数据，体会约定的重要性。 二、建立表象，数形结合 我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，这样就组成平面直角坐标系。确定水平数轴成为X轴（横轴），习惯上我们取向右为正方向; 竖直的数轴称为Y轴（纵轴），取向上方向为正方向；两轴交点为原点，这样就形成了坐标平面。 有了坐标平面，平面内的点就可以用一个有序实数对来表示。 由点A分别向X轴和Y轴作垂线，垂足M在X轴上的坐标是3，垂足N 在Y轴上的坐标是4，我们说点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序实数对（3，4）就叫做点A的坐标，记作（3，4）。 教师提问：请同学们想一想：原点O的坐标是什么？X轴和Y轴上的点坐标有什么特点？ 学生观察发现：O的坐标（0，0），X轴上的纵坐标为0，Y轴上的点横坐标为0. 三、观察应用，领会新知 教师活动：布置学生完成课本图11-3，让学生明确平面直角坐标系中的点的坐标表示法，并在平面直角坐标系（如课本图11-4所示）中标出点。
2.3.1 平面向量的基本定理 教学目的： 要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量． 教学重点： 平面向量的基本定理及其应用． 教学难点： 平面向量的基本定理． 教学过程： 一、复习提问： 1．向量的加法运算（平行四边形法则）； 2．向量的减法运算； 3．实数与向量的积； 4．向量共线定理。 二、新课： 1．提出问题：由平行四边形想到： （1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ （2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 2．新课 1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量， =1e ，=λ1 2e ，=a =+=λ1 1e +λ2 2e ， =2e ，=λ 2 2e ． 1e 2e a C
得平面向量基本定理： 如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ 1 ，λ2使a ＝λ 1 1e +λ2 2e ． 注意几个问题： （1）1e ,2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底； （2）这个定理也叫共面向量定理； （3）λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量． 例1 已知向量1e ,2e ，求作向量-2.51e +32e ． 作法：（1）取点O ，作=-2.51e ，=32e ， （2）作平行四边形OACB ，即为所求． 已知两个非零向量a 、b ，作OA = a ，OB = b ，则∠AOB ＝θ（0°≤θ≤180°），叫做向量a 与b 的夹角． 当θ＝0°，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向，如果a 与b 的夹角为90°，我们说a 与b 垂直，记作：a ⊥b ． 三、小结： 平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合． 1 e 2e
2-4平面向量的坐标 一、教学目标： 1.知识与技能 ⑴平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算. ⑵理解平面向量的坐标概念，掌握已知平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法. 2.过程与方法 通过探索平面向量共线的坐标形式，灵活运用公式解决一些问题。 3.情感态度价值观 通过本节的学习，了解相关数学知识的来龙去脉，认识其作用和价值，培养学生的探索研究能力。 二.教学重、难点 重点: 平面向量的坐标运算. 难点: 向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 三.学法与教学用具 自主性学习+探究式学习法 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【复习引入】 1．平面向量的基本定理：1212a e e λλ=+ ； 2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？ 【新课讲解】 【知识点1】向量的坐标表示的定义 分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j 作为基底，对于任一向量a ，a xi y j =+ ，（,xy R ∈），实数对(,)x y 叫向量a 的坐标， 记作(,)a x y = ． 其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标，y 叫向量a 在y 轴上的坐标。 说明：⑴对于a ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应； ⑵(1,0)i = ，(0,1)j = ，0(0,0)= ； ⑶只有从原点引出的向量OA 的坐标(,)x y 才是点A 的坐标；不是从原点引出的向量C B 的坐标(,)x y ，就不是终点C 的坐标 ⑷要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，若()3,5A ，()6,8B ，则()3,3AB = ；若()C 5,3-，()D 2,6-，则()3,3CD = 。这里AB CD = ，显然,,,A B C D 四点坐标各不相同。 ⑸向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量表示后，可使向量运算代数化，将数形紧密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为数量运算。 【知识点2】向量的坐标运算 y x O (,)A x y j i a
《平面向量的加法》教案 课题名称：平面向量的加法 教材版本：苏教版《中职数学基础模块*下册》 年级：高一 撰写教师：徐艳 一、理解课程要求 教材分析： (1)地位和作用 《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平面向量第二节平面向量的加法﹑减法和数乘向量的第1课时，主要内容为向量加法的三角形法则和运算律.向量的加法是向量线性运算中最基本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课,为后继学习向量的减法运算及其几何意义﹑向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应用.因此，本节学习起着承上启下的作用. （2）教学内容及教材处理 教材是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生结合对平面向量概念的理解感受不同方式的位移对结果的影响，初步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知.同时让学生知道数学源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情. 教学目标： （1）知识目标 ①理解向量加法的含义,学会用代数符号表示两个向量的和向量； ②掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；
③掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算. （2）能力目标 ①经历向量加法的概念﹑三角形法则的建构过程； ②通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力. (3) 情感目标 努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态. 二、分析学生背景 (1)认知分析:学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础. (2)能力分析:学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生分析问题和处理问题的能力. (3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，好在11综计1班学生对数学学习尚有一定兴趣，与教师沟通较好，故此应因势利导，引导学生积极参与探究，指导学生合作互动，讨论交流. 教法学法：在教学时，主要运用问题情境教学法﹑启发式教学法和多媒体辅助教学法.在学法上，引导学生采用以“小组合作﹑自主探究以及练习法. 三、选择媒体资源 媒体资源1 名称：两岸直航视频 媒体格式： avr 媒体资源2 名称：《爱的直航》 媒体格式： MP3
课题：11 .1.1 第1课时平面内点的坐标 学习目标： 1、理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点坐标等的概念 2、认识并能画出平面直角坐标系 3、能在给定的直角坐标系中由点的位置写出它的坐标 重点：理解平面直角坐标系的有关知识，在规定的直角坐标系中根据点的位置与它的坐标。 难点：坐标轴上的坐标有什么特点的总结 学习内容及学习流程教学行为提示及方法指导 一目标导学（2分钟） （1）请同学们回顾一下数轴的概念？ 答：规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴 （2）数与数轴有怎样的位置关系 答：是数与数轴上的点是一一对应的关系 二自学自研（14分钟） 知识点1：用有序实数对表示平面上物体的位置 阅读教材P2的问题完成下面的内容 物体在平面内的位置需要从横向和纵向两个方向来确定，因此可以利用有序实数对（a,b）来准确的表示物体的位置。 归纳：用有序实数对（a,b）表示一个物体的位置时，一般用a表示物体的横向位置，用b表示物体的纵向位置，注意a b两者位置不能互换。 范例：如果将一张电影票“2排1号”简记为（2,1）那么电影票（7,9）表示的是什么位置？ 解：（7,9）表示7排9号 变例：小丽在教室里的座位记作（2,5）表示她坐在第二排第五列，那么小强坐在第四列第三排记作（3,4） 知识点2：平面直角坐标系的相关概念 阅读P3~4页回答 1.定义：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，水平的 数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y轴或纵 轴，取向上为正方向，两轴的交点O为原点，这样就建立了平面直角坐标系，这个平面叫做坐标平面。 建立平面直角坐标系后x轴与y轴把坐标平面分成四部分，每一个部分叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限；坐标轴上的点也就是x轴y轴上的点，不属于任何一个象限。 2.点的坐标[来源学科网] 平面内的任意一点都可以用一对实数来表示，这个实数对就叫做这个点的坐标。已知点P是平面直角坐标系中的一点，若由点P向x轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a，由点P向y轴作垂线，垂足N在y轴上的坐标 是b，a是横坐标，b是纵坐标；则（a,b）就叫做点P在平面直角坐标系中的坐标，简称点P的坐标。提示：让学生自由举手抢答：答对小组加2分 教学行为提示：学生阅读教材P2~4页后，独立完成知识点1、2，要求做完的组长督促迅速完成。教师及时巡查并帮助自学中有困难的学生。 注意： （1）P（x,y）的横坐标X和纵 坐标Y的顺序是不能任意 交换。如A（3,2）和B（2,3） 表示两个不同点 （2）对于坐标平面内任意一点 P,都有唯一的一个有序实 数对（x,y）和它对应；反 之，对于任意一个有序实 数对（x,y），在坐标平面 内都有唯一的一点P和它 对应
《平面向量基本定理》教学教案 ----新余一中蒋小林 一、背景分析 1．教材分析 函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。 2．学情分析 从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。 从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力，能在教师的引导下解决问题。 教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点． 二.学习目标 1）知识与技能目标 1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。 2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。 2）过程与方法目标 1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培
养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。 2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生 进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。 3）情感、态度与价值观目标 1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神， 发展学生的数学应用意识； 2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活 动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 [设计意图]：这样设计目标，可操作性强，容易检测目标的达成度，同时也体现 了培养学生核心素养的要求． 三．教学过程设计 教学过程 1．创设问题、引出新课 （一）通过击鼓传花游戏复习的向量的运算及平行向量基本定理，我们知道可以用(0)a a λ≠表示任意和a 共线的向量，那么再随便画一个方向的向量b ，你还可以用a 表示出来吗？一个向量不够那么需要几个向量来表示呢？za 此问题激发了学生的学习兴趣，蕴含着本节课设计主线，即从共线定理的一维关系转向研究平面向量基本定理的二维关系。（二）情景1：火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度；情景2：斜坡上物体所受的重力G ，课分解为力沿斜坡向下的力和垂直于斜坡的力；让学生对数学中的任意向量也可以用两个不共线的向量表示，有了充分的事实根据和感性认识。总之，整个引入，是从学生熟知的数学基础知识和物理基础知识为入手点，让学生轻松接受本节课的内容，让本节课的内容新而不新，难而不难了。 [设计意图]：两个生活常景抓住学生的兴趣，完成从生活到数学的建模过程，培养了学生，在生活中感知和发现数学，即知识问题化，问题情景化，情景生活化，生活学科化。体现了数学与生活密不可分的关系，为探究定理作好铺垫。 2.问题驱动、探究新知 问题（1）给定平面内任意两个向量21,e e 请你做出2121223e e e e -+和两个向量。 [设计意图]：利用向量的加减法和数乘向量，利用平行四边形法则可以表示
考情播报 1.平面向量基本定理的应用、坐标表示下向量的线性运算及向量共线条件的应用是考查重点. 2.题型以客观题为主，与三角、解析几何等知识交汇则以解答题为主. 1.平面向量基本定理 (1)条件:e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量. 结论:对于这一平面内任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a = λ1e 1+λ2e 2. (2)关于平面向量基本定理的几点说明: ①e 1、e 2为不共线向量,把它们叫做这一平面内所有向量的一组基底. ②平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合 ③.基底不唯一,当基底给定时,分解形式唯一:λ1、λ 2 是被a 、e 1、e 2唯一确定的数量. 2.平面向量的正交分解与坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. (2)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,对于平面内的 一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y,使得a =x i +y j ,这样,平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,因此把(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a=(x,y),其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标. 3.平面向量的坐标运算 (1)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ±b =(x 1±x 2,y 1±y 2); (2)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1 ); (3)若a =(x,y),则λa =(λx,λy); (4)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2 ),则a =b ????==；2121y y ，x x (5)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ?x 1y 2-x 2y 1=0. 质疑探究:相等向量的坐标一定相同吗?相等向量起点和终点坐标可以不同吗?
教学设计 向量的加法 一、高考统览 平面向量在高考中的考查内容主要集中在三个方面：一是向量的基本概念，二是向量的坐标运算，三是向量的数量积，其中向量的数量积及其应用是考查的重点。从试题形式上看，该部分主要以选择题、填空题的形式出现。另外，平面向量具有几何与代数形式的双重性，是中学数学知识网络的重要交汇点，它与三角函数、解析几何、平面几何都能够整合在一起，在高考中以解答题为主，要予以高度重视。 二、教学目标 1．知识与技能 掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们实行向量计算。 使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移水平，增强学生的数学应用意识和创新意识。 3．情感态度与价值观 注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。 三、教学重点、难点 1、重点：向量加法的两个法则及其应用； 2、难点：对向量加法定义的理解。 突破难点的关键是抓住实例，借助多媒体动画演示，持续渗透数形结合的思想，使学生从感性理解升华到理性理解。 教学方法 结合学生实际，主要采用“问题探究”式教学方法。通过创设问题情境，使学生对向量加法有一定的感性理解；通过设置一条问题链，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提升思维品质，
力求把传授知识与培养水平融为一体。 采用计算机辅助教学，通过直观演示体现形、动、思于一体的教学效果，优化课堂结构，提升教学质量。 四、教学过程
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
§2.3.1 平面向量基本定理 教学目的： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解 决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、 复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 b =λa . 二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例：
高中数学必修4第二章平面向量教案（12课时) 本章内容介绍 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题. 本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.） 第1课时 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学目标： 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、情景设置： 如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否 追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、 A B C D
《2.3.1 平面向量基本定理》教案 【教材】人教版数学必修4（A版）第105-106页【课时安排】1个课时 【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹 【教材分析】 1.向量在数学中的地位 向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具，因此具有很高的教育价值。 2.本节在教学中的地位 平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。因此本节知识在本章中起承上启下的作用。 3.本节在教学思维方面的培养价值 平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。 【目标分析】 知识与技能 1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表 示为一组基底的线性组合； 2.了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。过程与方法 1.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上 的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念； 2.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定 理所蕴含的转化思想。 情感态度价值观 1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程； 2.与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。 【学情分析】 有利因素 1.学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和 向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备； 2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这 为我们学习向量分解提供了认知准备。 不利因素