下载文档原格式
二次方程求根公式二次方程是一种形式为ax^2 + bx + c = 0的代数方程，其中a、b和c是已知实数且a不等于0。
解二次方程的方法有很多种，其中一种被称为“二次方程求根公式”。
该公式可以准确地计算出二次方程的根，无论是实数根还是复数根。
假设我们要解形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，其中a、b和c都是已知实数，且a不等于0。
将二次方程的系数代入求根公式，即可得到方程的根：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在这个公式中，±表示取两个值，一个是正数，一个是负数。
√表示求平方根。
为了更好地理解这个公式，我们可以逐步解释各个部分的含义。
首先，我们注意到二次方程的系数b^2 - 4ac被开方。
这部分被称为“判别式”，用于确定方程的根的性质。
根据判别式的值，可以得到以下结论：1. 当b^2 - 4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根。
2. 当b^2 - 4ac等于0时，方程有两个相等的实数根。
3. 当b^2 - 4ac小于0时，方程有两个复数根。
接下来，我们可以继续讨论求根公式中的其他部分。
公式中的负号b对应的是二次项的系数。
负号表示如果二次项的系数是正数，则在求根时要取负号，以保证方程的解是负数。
同样地，如果二次项的系数是负数，则在求根时要取正号，以保证方程的解是正数。
公式中的2a对应的是二次项的系数前面的系数。
2a的作用是将方程中的二次项系数乘以2，以保证求根后得到正确的结果。
在使用二次方程求根公式时，我们需要遵循以下步骤：1. 将二次方程的系数代入求根公式中。
2. 根据判别式的值，判断方程的根的性质。
3. 计算并得到方程的根。
以下是一个示例，演示如何使用二次方程求根公式解方程：假设我们要解方程2x^2 + 5x - 3 = 0。
首先，我们可以根据公式把a、b和c的值代入：a = 2b = 5c = -3接下来，我们可以根据判别式的值来判断方程的根的性质：判别式：b^2 - 4ac= (5)^2 - 4(2)(-3)= 25 + 24= 49由于判别式的值大于0，我们可以得出结论：该方程有两个不相等的实数根。
根的求法公式范文求根公式是一种用来计算方程的根的方法。
根据方程的类型，我们有不同的公式来求解根。
下面将介绍一些常见方程的求根公式。
一元一次方程求根公式：一元一次方程的一般形式为 ax + b = 0，其中a和b为已知数。
解这个方程可以使用一元一次方程的求根公式：x=-b/a一元二次方程求根公式：一元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数。
求解这个方程可以使用一元二次方程的求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)如果 b^2 - 4ac < 0，方程没有实数根。
这种情况下，方程的解为复数，可以表示为：x = (-b ± √(4ac - b^2)i) / (2a)其中i为虚数单位。
一元三次方程求根公式：一元三次方程的一般形式为 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c和d为已知数。
求解这个方程的根比一元二次方程复杂得多，没有通用的公式。
但是，可以使用数值方法（如牛顿法或二分法）来逼近方程的根。
一元四次方程求根公式：一元四次方程的一般形式为 ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a、b、c、d和e为已知数。
与一元三次方程一样，一元四次方程也没有通用的公式来求解。
在一些特殊情况下，可以使用其他数值方法来逼近方程的根。
高阶多项式方程求根公式：对于高于四次阶的多项式方程，一般没有通用的公式来求解。
在这种情况下，可以使用数值方法或者图形方法（如牛顿迭代法、二分法或者图形分析等）来逼近或计算方程的根。
总结：求解方程的根是数学中的重要问题。
根据方程的类型，我们有不同的公式来求解根。
对于一元一次方程，可以使用一元一次方程的公式求解。
对于一元二次方程，可以使用一元二次方程的公式求解。
对于高于二次阶的方程，一般没有通用的公式，可以使用数值或者图形方法来逼近或计算根。
计算方程根的公式一、一元二次方程根的公式。
对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
1. 推导过程。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，我们首先将方程进行配方。
- 方程两边同时除以a，得到x^2+(b)/(a)x+(c)/(a)=0。
- 配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，即((b)/(2a))^2。
- 得到x^2+(b)/(a)x + ((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。
- 左边可以写成完全平方式(x + (b)/(2a))^2=frac{b^2}{4a^2}-(c)/(a)。
- 通分右边得到(x+(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}。
- 然后开平方，得到x+(b)/(2a)=±frac{√(b^2)-4ac}{2a}。
- 移项就得到求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
2. 判别式Δ=b^2-4ac的意义。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，此时x =-(b)/(2a)（两个根相同）。
- 当Δ<0时，方程没有实数根，在复数范围内有两个共轭复数根。
二、一元三次方程根的公式（卡尔丹公式）对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx + d=0(a≠0)，我们可以通过变换将其化为不含二次项的形式。
令x = y-(b)/(3a)，代入原方程得到y^3+py+q = 0，其中p=frac{3ac - b^2}{3a^2}，q=frac{2b^3-9abc + 27a^2d}{27a^3}。
其求根公式为：y=sqrt[3]{-(q)/(2)+√((frac{q){2})^2+((p)/(3))^3}}+sqrt[3]{-(q)/(2)-√((frac{q){2})^2+((p)/(3))^3}}1. 判别式Δ = ((q)/(2))^2+((p)/(3))^3的意义。
二次方程的求根公式二次方程是数学中一种常见的方程类型，其形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
求解二次方程的根是解方程的重要步骤之一，可以通过使用求根公式来得到。
1. 求根公式的表达式二次方程的求根公式可以用下面的表达式表示：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2. 求解步骤下面是求解二次方程步骤的详细说明：步骤 1：确定二次方程的系数给定二次方程的表达式为ax^2 + bx + c = 0，首先要确定方程中的系数a、b和c的值。
步骤 2：计算判别式判别式是一个用来确定二次方程根的性质的数值。
它可以通过计算Δ = b^2 - 4ac得到。
步骤 3：根据判别式的值确定根的类型根据判别式的值可以确定二次方程的根的类型：- 当Δ > 0时，方程有两个不同实根。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等实根。
- 当Δ < 0时，方程没有实根，只有复数根。
步骤 4：根据根的类型计算根的值根据根的类型，可以使用求根公式计算根的值：- 当方程有两个不同实根时，根的值为x1 = (-b + √Δ) / (2a) 和 x2 = (-b - √Δ) / (2a)。
- 当方程有两个相等实根时，根的值为x1 = x2 = -b / (2a)。
- 当方程没有实根而只有复数根时，根的值为x1 = (-b + i√(-Δ)) / (2a) 和 x2 = (-b - i√(-Δ)) / (2a)，其中i为虚数单位。
3. 示例以下是一个求解二次方程的示例：例如，我们希望求解方程2x^2 + 5x - 3 = 0的根。
步骤 1：确定系数a、b和c的值我们可以得到a = 2，b = 5，c =-3。
步骤 2：计算判别式判别式Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49。
步骤 3：确定根的类型由于Δ > 0，所以方程有两个不同实根。
方程求根§2.0 引言§2.1 二分法§2.2 简单迭代法§2.3 牛顿（Newton）法§2.4 其它求根方法（迭代过程的加速方法）§2.5 作业讲评2.0 引 言非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，非线性方程的求根也成为其中一个重要内容。
一般而言，非线性方程的求根非常复杂。
在实际应用中有许多非线性方程的例子，例如（1）在光的衍射理论（the theory of diffraction of light)中,需要求x-tanx=0的根（2）在行星轨道（ planetary orbits ）的计算中,对任意的a 和b ，需要求x-asinx=b 的根（3）在数学中，需要求n 次多项式-1-110 ... 0n n n n a x a x a x a ++++=的根。
非线性方程的一般形式 ()0f x = 这里()f x 是单变量x 的函数，它可以是代数多项式-1-110() ... nn n n f x a x a x a x a =++++ (0n a ≠)也可以是超越函数，即不能表示为上述形式的函数。
满足方程 ()0f x = 的x 值通常叫做方程的根或解，也叫函数()0f x =的零点。
2.1 二分法(Bisection Method)1 概念:二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。
在用近似方法时，需要知道方程的根所在区间。
若区间[a,b]含有方程f(x)=0的根，则称[a,b]为f(x)=0的有根区间；若区间[a,b]仅含方程f(x)= 0的一个根，则称[a,b]为f(x)= 0的一个单根区间。
2．基本思想根的存在定理(零点定理)：f(x)为[a,b]上的连续函数，若f(a)·f(b)<0，则[a,b]中至少有一个实根。
如果f(x)在[a,b]上还是单调递增或递减的，则f(x)=0仅有一个实根。
．构造原理直接取区间[a,b]的中点x=(a +b)/2作为问题的近似解，那么我们可以估计出绝对误差限仅为区间长的一半，即e=(b-a)/2。
如果这个结果能满足精度要求，我们就停止进一步的计算；如果不能，就求出f(x),结果只能是下面三种情况之一：（1） f(a)·f(x)<0，此时我们有x*∈[a,x]；（2） f(x)·f(b)<0，此时我们有x*∈[x,b]；（3） f(x)=0，此时x即为问题的精确解。
在前两种情况下，我们可以用x分别替换原问题中的b或a,从而把求解的区间减小了一半。
这样我们又可以取新区间[a,b]的中点。
经过N 次迭代后，剩下的区间长为(b- a)/2N。
这也是结果的绝对误差限。
如此继续下去就达到是有根区间逐步缩小的目的，在这一些相互包含的子区间中构造收敛的数列{}kx来逼近根*x。
例求方程的有根区间.解根据有根区间定义，对方程的根进行搜索计算，结果如下表：方程的三个有根区间为［1,2］,［3,4］,［5,6］.非线性方程f(x)=0求根，包括求超越方程和代数方程的根x*,方程的根也是f(x)的零点，即f(x*)=0,x*可以是实根也可以是复根，本章以求实根为主。
求实根首先要确定根x*所在区间，称为有根区间。
根据连续函数性质，若f(x)在上连续，当f()f(b)<0时，为有根区间,为找到方程f(x)=0的有根区间,可用逐次搜索法,也就是在x的不同点上计算f(x),观察f(x)的符号,如例2.1表中所示,只要在相邻两点f反号,则得到有根区间,本例得到三个有根区间,分别为[1,2][3,4][5,6].4．基本步骤假设f(x)=0，在区间[a,b]中只有一个根，且满足f(a)f(b)<0，则利用二分法构造求根过程为：按上述步骤求根的方法称为二分法，若记做了k 次二分区间处理得到的有根区间为[]k k Ka b ⊆，则有二分法对应的求根数列算式为 0.5*()k k k x a b =+,k=0,1,2,…。
5．误差估计与分析第1步产生的12a bx +=有误差12b a |x x*|--≤ 第 k 步产生的[,]k k k x a b ⊆有误差对于给定的精度 ε ,可估计二分法所需的步数 k ：()ln ln ln 22k b a εk b aε--⎡⎤⎣⎦>-<⇒注：用二分法求根，最好先给出 f (x ) 草图以确定根的大概位置。
或用搜索程序，将[a , b ]分为若干小区间，对每一个满足 f (ak )·f (bk ) < 0 的区间调用二分法程序，可找出区间[a , b ]内的多个根，不必要求 f (a )·f (b ) < 0 。
2k kb a |x x*|--≤While(|a-b|>eps) x=(a+b)/2 计算f(x)若(|f(x)|<eps) 则 x 为解若f(x)*f(b)<0 修正区间为[x,b] 若f(a)*f(x)<0 修正区间为[a,x] End while6 例题例1 证明方程1－x －sinx ＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？ 证明 令f(x)＝1－x －sinx ，∵ f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0∴ f(x)=1－x －sinx=0在[0，1]有根.又f '(x)=1－cosx>0(x ∈[0.1]),故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限ε＝0.5×10-4，有287.1312ln 10ln 45.0ln 12ln ln )ln(=-+-=---≥εa b n只要取n ＝14. □例2： 已知32()410f x x x =+- 在[1,2]有一个零点，(1)5f =-，(2)14f = ，用二分法计算结果如下：n 有根区间 1 [1.0,2.0] 1.5 2.3752 [1.0,1.5] 1.25 -1.796873 [1.25,1.5] 1.375 0.162114 [1.25,1.375] 1.3125 -0.84839 5 [1.3125,1.375] 1.34375 -0.350986 [1.34375,1.375] 1.359375 -0.096417 [1.359375,1.375] 1.3671875 0.03236 8[1.359375,1.3671875]1.36328125-0.03215nx()n f x就是不管含根区间[a , b]多大总能求出满足要求的根，且对函数的要求不高，计算简单；缺点：不能求重根，其收敛速度在数列xn越靠近根时越慢。
二分法一般常用于为方程提供初始近似值当计算出的近似根比较准确时，再用其他方法对近似根做快速进一步精化。
§2.2 简单迭代法1 不动点迭代法的思想将方程 改写成等价的形式，则 的根*x 也满足方程()x x ϕ= ，反之亦然。
称*x 为()x ϕ的不动点。
而求()0f x = 的根的问题就成为求()x ϕ的不动点问题。
2 不动点迭代法的基本过程 选取初值0x ，以公式 1()n n x x ϕ+= 进行迭代，()x ϕ称为迭代函数，若{}n x 收敛到*x ，则 *x 就是 ()x ϕ的不动点，这种方法就称为不动点迭代法。
将 ()0f x = 转化为()x x ϕ=的方法可以是多种多样的，例：32()4100f x x x =+-=在 [1,2]上有以下方法：(1) 32410x x x x =--+(2)31/2(1/2)(10)x x =- (3) 1/2(10/4)x x x =-(4) 1/2[10/(4)]x x =+取0 1.5x = ，有的收敛，有的发散，有的快，有的慢。
()0f x =()x x ϕ=()0f x =例1： 用迭代法求解方程3210x x --=(1) 将原方程化为等价方程321x x =-00,x =如果取初值由迭代法得031032133202112132155x x x x x x x ==-=-=-=-=-=-显然迭代法发散(2) 如果将原方程化为等价方程312x x +=仍取初值00x =0331110.793722x x +==≈13321 1.79370.964422x x +==≈依此类推,得234567x = 0.9644x = 0.9940x = 0.9990x = 0.9998x = 1.0000x = 1.0000已经收敛,故原方程的解为 1.000x =.可以发现,同样的方程不同的迭代格式有不同的结果. 这与迭代函数的构造有关。
迭代法是非线性方程求根中各类迭代法的基础，其涉及的处理方法，概念和理论都易于推广。
3 迭代法的几何意义记12y =x , y =(x) , 它们交点的横坐标p 即为方程的根。
例2 用迭代法求方程x 5－4x －2＝0的最小正根.计算过程保留4位小数.[分析] 容易判断[1，2]是方程的有根区间.若建立迭代格式425-=x x ,即42)(5-=x x ϕ,))2,1((145|)(|4∈>='x x x ϕ此时迭代发散. 建立迭代格式))2,1((542454|)(|,24)(,24455∈<+='+=+=x x x x x x x ϕϕ此时迭代收敛.解 建立迭代格式))2,1((542454|)(|,24)(,24455∈<+='+=+=x x x x x x x ϕϕ 取初值x 0=1得:5185.10728.8245182.1066.824,5165.1024.824,5051.1724.724,4310.162455455534552355225511≈=+=≈=+=≈=+=≈=+=≈=+=x x x x x x x x x x取5185.1*≈x4 迭代过程的收敛性从前面的分析可知，收敛的迭代数列｛x k ｝的极限是方程f(x)＝０的根，但计算机是不能做无穷次计算，因此迭代法一般只能求出具有任意固定精度的根的近似值，这样在给定精度后，了解迭代进行的次数即何时终止迭代才能得到满足要求的近似根就显得非常重要。
定理．假设迭代函数 Φ(x ), Φ(x )∈C [a , b ]满足下面条件:( I ) 当 x ∈[a , b ] 时，Φ(x )∈[a , b ]；( II ) ∃ 0 ≤ L < 1 使得 |Φ’(x ) | ≤ L < 1 对 ∀ x ∈[a , b ] 成立。
则任取x 0∈[a , b ]，由x k +1 =Φ(x k ) 得到的序列收敛于Φ(x ) 在[a , b ]上的唯一不动点。
