计算方法第2章 方程求根

方程求根

§2.0 引言

§2.1 二分法

§2.2 简单迭代法

§2.3 牛顿（Newton）法

§2.4 其它求根方法（迭代过程的加速方法）§2.5 作业讲评

2.0 引 言

非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，非线性方程的求根也成为

其中一个重要内容。一般而言，非线性方程的求根非常复杂。 在实际应用中有许多非线性方程的例子，例如

（1）在光的衍射理论（the theory of diffraction of light)中,需要求x-tanx=0的根

（2）在行星轨道（ planetary orbits ）的计算中,对任意的a 和b ，需要求x-asinx=b 的根

（3）在数学中，需要求n 次多项式

-1-110 ... 0n n n n a x a x a x a ++++=的根。

非线性方程的一般形式 ()0f x = 这里

()f x 是单变量x 的函数，它可以是代数多项式

-1

-110() ... n

n n n f x a x a x a x a =++++ (0n a ≠)

也可以是超越函数，即不能表示为上述形式的函数。满足方程 ()0f x = 的x 值通常叫做方程的根或解，也叫函数

()0f x =的零点。

2.1 二分法(Bisection Method)

1 概念:

二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。

在用近似方法时，需要知道方程的根所在区间。

若区间[a,b]含有方程f(x)=0的根，则称[a,b]为f(x)=0的有根区间；

若区间[a,b]仅含方程f(x)= 0的一个根，则称[a,b]为f(x)= 0的一个

单根区间。

2．基本思想

根的存在定理(零点定理)：

f(x)为[a,b]上的连续函数，若f(a)·f(b)<0，则[a,b]中至少有一个实根。如果f(x)在[a,b]上还是单调递增或递减的，则f(x)=0仅有一个实根。

．构造原理

直接取区间[a,b]的中点x=(a +b)/2作为问题的近似解，那么我们可以估计出绝对误差限仅为区间长的一半，即e=(b-a)/2。如果这个结果能满足精度要求，我们就停止进一步的计算；如果不能，就求出f(x),结果只能是下面三种情况之一：

（1） f(a)·f(x)<0，此时我们有x*∈[a,x]；

（2） f(x)·f(b)<0，此时我们有x*∈[x,b]；

（3） f(x)=0，此时x即为问题的精确解。

在前两种情况下，我们可以用x分别替换原问题中的b或a,从而把求解的区间减小了一半。这样我们又可以取新区间[a,b]的中点。经过N 次迭代后，剩下的区间长为(b- a)/2N。这也是结果的绝对误差限。如此继续下去就达到是有根区间逐步缩小的目的，在这一些相互包含的

子区间中构造收敛的数列{}

k

x来逼近根*x。

例求方程的有根区间.

解根据有根区间定义，对方程的根进行搜索计算，结果如下表：

方程的三个有根区间为［1,2］,［3,4］,［5,6］.

非线性方程f(x)=0求根，包括求超越方程和代数方程的根x*,方程的根也是f(x)的零点，即f(x*)=0,x*可以是实根也可以是复根，本章以求实根为主。求实根首先要确定根x*所在区间，称为有根区间。根据连续函数性质，若f(x)在上连续，当f()f(b)<0时，为有根区间,为找到方程f(x)=0的有根区间,可用逐次搜索法,也就是在x的不同点上计算f(x),观察f(x)的符号,如例2.1表中所示,只要在相邻两点f反号,则得到有根区间,本例得到三个有根区间,分别为[1,2][3,4][5,6].

4．基本步骤

假设f(x)=0，在区间[a,b]中只有一个根，且满足f(a)f(b)<0，则利用二分法构造求根过程为：

按上述步骤求根的方法称为二分法，若记做了k 次二分区间处理得到的有根区间为[]k k K

a b ?，

则有二分法对应的求根数列算式为 0.5*()k k k x a b =+,

k=0,1,2,…。

5．误差估计与分析

第1步产生的12

a b

x +=有误差12b a |x x*|--≤ 第 k 步产生的[,]

k k k x a b ?有误差

对于给定的精度 ε ,可估计二分法所需的步数 k ：

()ln ln ln 2

2

k b a εk b a

ε--????>

-

注：用二分法求根，最好先给出 f (x ) 草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将[a , b ]分为若干小区间，对每一个满足 f (ak )·f (bk ) < 0 的区间调用二分法程序，可找出区间[a , b ]内的多个根，不必要求 f (a )·f (b ) < 0 。

2k k

b a |x x*|--≤While(|a-b|>eps) x=(a+b)/2 计算f(x)

若(|f(x)|

若f(x)*f(b)<0 修正区间为[x,b] 若f(a)*f(x)<0 修正区间为[a,x] End while

6 例题

例1 证明方程1－x －sinx ＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？ 证明 令f(x)＝1－x －sinx ，

∵ f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0

∴ f(x)=1－x －sinx=0在[0，1]有根.又

f '(x)=1－cosx>0(x ∈[0.1]),故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根.

给定误差限ε＝0.5×10-4，有

287

.1312

ln 10ln 45.0ln 1

2

ln ln )ln(=-+-=---≥ε

a b n

只要取n ＝14. □

例2： 已知

32()410f x x x =+- 在[1,2]有一个零点，(1)5f =-，

(2)14f = ，用二分法计算结果如下：

n 有根区间 1 [1.0,2.0] 1.5 2.375

2 [1.0,1.5] 1.25 -1.79687

3 [1.25,1.5] 1.375 0.16211

4 [1.25,1.375] 1.312

5 -0.84839 5 [1.3125,1.375] 1.34375 -0.35098

6 [1.34375,1.375] 1.359375 -0.09641

7 [1.359375,1.375] 1.3671875 0.03236 8

[1.359375,1.3671875]

1.36328125

-0.03215

n

x

()

n f x

就是不管含根区间[a , b]多大总能求出满足要求的根，且对函数的要求不高，计算简单；

缺点：不能求重根，其收敛速度在数列xn越靠近根时越慢。二分法一般常用于为方程提供初始近似值当计算出的近似根比较准确时，再用其他方法对近似根做快速进一步精化。

§2.2 简单迭代法

1 不动点迭代法的思想

将方程 改写成等价的形式

，则 的根*

x 也满足方程()x x ?= ，反之亦然。称*

x 为()x ?的

不动点。

而求()0f x = 的根的问题就成为求()x ?的不动点问题。

2 不动点迭代法的基本过程 选取初值0x ，以公式 1

()n n x x ?+= 进行迭代，()x ?称为迭

代函数，

若{}n x 收敛到*x ，则 *

x 就是 ()x ?的不动点，

这种方法就称为不动点迭代法。

将 ()0f x = 转化为()x x ?=的方法可以是多种多样的，

例：

3

2

()4100f x x x =+-=在 [1,2]上有以下方法：

(1) 3

2

410x x x x =

--+

(2)

31/2

(1/2)(10)x x =- (3) 1/2(10/4)x x x =-

(4) 1/2[10/(4)]x x =+

取0 1.5x = ，有的收敛，有的发散，有的快，有的慢。

()0f x =()x x ?=()0

f x =

例1： 用迭代法求解方程3

210x x --=

(1) 将原方程化为等价方程

3

21x x =-00,x =如果取初值由迭代法得03

103213320

211213

2155x x x x x x x ==-=-=-=-=-=-

显然迭代法发散

(2) 如果将原方程化为等价方程

3

1

2x x +=仍取初值

00x =03

3111

0.793722

x x +=

=≈13

321 1.7937

0.964422x x +==≈依此类推,得

234567x = 0.9644x = 0.9940x = 0.9990x = 0.9998x = 1.0000x = 1.0000

已经收敛,故原方程的解为 1.000x =.可以发现,同样的方程不同的迭代格式有不同的结果. 这与迭代函数的构造有关。

迭代法是非线性方程求根中各类迭代法的基础，其涉及的处理方法，概念和理论都易于推广。

3 迭代法的几何意义

记12y =x , y =(x) , 它们交点的横坐标p 即为方程的根。

例2 用迭代法求方程x 5

－4x －2＝0的最小正根.计算过程保留4位小数.

[分析] 容易判断[1，2]是方程的有根区间.若建立迭代格式4

2

5-=x x ,即

42

)(5-=x x ?,

))2,1((14

5|)(|4

∈>='x x x ?

此时迭代发散. 建立迭代格式

))2,1((5

4

2454|)(|,

24)(,

244

55∈<+=

'+=+=x x x x x x x ??

此时迭代收敛.

解 建立迭代格式

))

2,1((5

4

2454|)(|,

24)

(,

24455∈<+='+=+=x x x x x x x ?? 取初值x 0=1得:

5185

.10728.8245182.1066.824,

5165.1024.824,

5051.1724.724,4310.1624554555345523

55225511≈=+=≈=+=≈=+=≈=+=≈=+=x x x x x x x x x x

取

5185.1*≈x

4 迭代过程的收敛性

从前面的分析可知，收敛的迭代数列｛x k ｝的极限是方程f(x)＝０的根，但计算机是不能做无穷次计算，因此迭代法一般只能求出具有

任意固定精度的根的近似值，这样在给定精度后，了解迭代进行的次数即何时终止迭代才能得到满足要求的近似根就显得非常重要。

定理．假设迭代函数 Φ(x ), Φ(x )∈C [a , b ]满足下面条件:

( I ) 当 x ∈[a , b ] 时，Φ(x )∈[a , b ]；

( II ) ? 0 ≤ L < 1 使得 |Φ’(x ) | ≤ L < 1 对 ? x ∈[a , b ] 成立。

则任取x 0∈[a , b ]，由x k +1 =Φ(x k ) 得到的序列收敛于Φ(x ) 在[a , b ]上的唯一不动点。并且有误差估计式：

１. *

1||||1k

k k L x x x x L

--≤-- 2.

*

10||||1k k L x x x x L

-≤-- 证：

由迭代格式和条件，有 ｜x k+1-x k ｜＝|Φ(x k )- x k | ＝|Φ(x k )- Φ(x *) +Φ(x *)- x k | ＝| x*-x k -Φ(x k )+Φ(x *)| ≥| x*-x k |-|Φ(x k )- Φ(x*)| ≥| x*-x k |-L|x k - x*| ＝(1-L)| x*-x k |

因为 0

1|*|||1k k

k L

x x x x L

--≤--

另一方面，

｜x k+1-x k ｜＝|Φ(x k )-Φ(x k-1)|≤L|x k -x k-1|

证得结论1。

反复应用上式结果，有

｜x k+1-x k ｜≤L|x k -x k-1|≤ … ≤ L k |x 1-x 0| 可以得到结论２。

证毕

定理给出了收敛迭代数列{x k }的误差估计式，利用它，在给定精度ξ＞０后，要使| x *-x k |＜ξ，只要计算到

1||1k k L

x x L

ξ--<-

或

10||1k

L

x x L

ξ-<-

第一式可以得到迭代次数ｋ的值应取多大，但这样得到的ｋ值往往偏大，第二式是用刚算出的数列来估计误差的，它可用较小的迭代运算但到满足

精度的近似解。

特别当 L ≤１／２时，有不等式 | x * -x k |≤|x k -x k-1 |

此时可用更简单的不等式 |x k -x k-1 |＜ξ 成立与否终止迭代，由于这个判别具有简单易处理特点。

实用中，一般不管是否有 L ≤１／２成立，都用|x k -x k-1 |是否小于某个充分小的数来作为终止条件，它通常也能求出满足精度的根。

注：定理条件很难保证，可将[a , b ]缩小，定义局部收敛性：若在 x * 的某δ 领域 B δ = { x | | x - x * | ≤ δ } 有Φ∈C 1[a , b ] 且 |Φ’(x *) | < 1，则由?x 0∈B δ 开始的迭代收敛。即调整初值可得到收敛的结果。

简单迭代法的优点是理论丰富算法简单，易于推广；缺点是不易找到收敛最快迭代函数和局部收敛。

简单迭代法主要用于迭代的理论分析上。

§2.3 牛顿(Newton)法

1 基本思想: 将非线性方程0)(=x f 逐步线性化而形成迭代公式— Taylor

展开. 取

0)(=x f 的近似根k x ，将f (x )在点k

x 做一阶Taylor 展开:

.,,

)(!

2)

())(()()(2之间的一点与是其中k k k k k x x x x f x x x f x f x f ξξ-''+-'+= 将2)(!

2)(k x x f -''ξ看成高阶小量，则

)

()

()

)(()()(0k k k k k k x f x f x x x x x f x f x f '-

=?-'+≈= 于是

牛顿迭代公式：

)

()

(1k k k k x f x f x x '-=+

相应的迭代函数为

)()

()(k k k x f x f x x '-=?

2 牛顿法)

()

(1k k k k x f x f x x '-=+几何意义是：

(牛顿法亦称切线法)

只要 f ∈C 1，每一步迭代都有f '( x k ) ≠ 0，而且 *

lim x x k = ，则 x *就是 f 的根。 [牛顿迭代公式算法]

1: 初始化. x 0, M,δ,ε,置i:=0 2: 如果|f(x i )|≤ε，则停止. 3: 计算x i+1:=x i -f(x i )/f'(x i )

4: 如果|x i+1-x i |<δ OR |f(x i )|≤ε，则停止. 5: i:=i +1, 转至3.

例1： 求解f(x)=e x -1.5-tan -1x 的零点。

（初始点x 0=-7.0）

解： f '(x )=-0.702×10-1，f '(x )=e x -(1+x 2)-1

计算结果如下表：(取|f(x)<=10-10|)

k x f(x) 0 -7.0000 -0.0701888 1 -10.6771 -0.0225666 2 -13.2792 -0.00436602 3 -14.0537 -0.00023902 4 -14.1011 -7.99585e-007 5 -14.1013 -9.00833e-012

注：Newton 's Method 收敛性依赖于x 0 的选取。

例2： 求解115的近似值，精度为6

10

-=ε。

（初始点x 0=10）

解: 该问题可转化为求解二次方程：

x 2-115=0的正根，相应的牛顿迭代公式为:

)115

(211k

k k x x x +

=+

取初值x 0=10,经3次迭代得近似值: 723805.10115≈

k x f(x) 0 10 -15

1 10.75 0.5625

2 10.7238 0.000684492

3 10.7238 1.01852e-009

3牛顿下山法

)

()

(1k k k k x f x f x x '-=+λ

其中，10≤<λ称为下山因子，为保证迭代过程中下山成功，即使|f (x k )|>|f (x k+1)|成立，必须选取适当的下山因子λ.

取?

??

???∈ ,21,,41,21,1n λ中依次挑取下山因子.

□

Newton

法是一种局部收敛方法，通常要求初始近似在解附近才保证迭代序列收

敛.为扩大收敛范围，使对任意迭代序列收敛，通常可引入参数，并将Newton 迭代改为

其中，称为下山因子，式(2.4.4)称为Newton 下山法.通常可选择使

，计算时可取

,直到满足要求为止.由此得到的序列｛｝由于

满足下山条件，故它是收敛的，但它只是线性收敛.

例 用Newton

下山法求的解，取

=0.6，计算精确到

解 由于

,

,由式(2.4.4)得Newton 下山法为

,若

=1.5用Newton 法(=1)迭代3步则求得解

的近似

=1.324

72.现用=0.6，用=1,则得=17.9,且f(0.6)=-1.384,而不

满足下山条件.通过试算，当

时，

满足

以下计算时参数,且

当Newton法不收敛时，使用Newton下山法.

具体做法是取，每次缩减成一半，并检验是否成立，若成立则做下一步.

§2.4 其它求根方法

1.正割法：

Newton's Method 是二阶收敛方法，每步都要计算 f 和 f '，相当于2个函数值，比较费时,同时在很多情况下计算函数的导数值比较困难。现考虑牛顿法的一种修改，用 f 的值近似f '，可少算一个函数值。但需要2个初值 x 0 和 x 1。

割线的斜率为: 1

1)

()()(----≈'k k k k k x x x f x f x f

)

()()

)((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x

2.艾特肯(Aitken)加速方法

有的迭代过程虽然收敛，但速度很慢，因此迭代过程的加速是一个重要课题。

设0x

是根*

x

的某个近似值，用迭代公式校正一次得

10()x x ?= ，根据微分中值定理，有

*

*

*

100()()()()

x x x x x x ???ξ'-=-=- 其中 ξ

介于 *

x 与 0x 之间。

假设()x ?' 改变不大，近似地取某个近似

L ，则有

**10()x x L x x -≈-

若将校正值 10()x x ?=再校正一次，又得21()x x ?= ，由

于

*

*

21()x x L x x -≈-

在两式中消去 L ，得到

*

*01**2

1x x x x x x x x --≈--

由此推得：

2

2

*

021

100210210

()22x x x x x x x x x x x x x --≈=-

-+-+

在计算了1x 及2x 之后，可用上式右端作为*x 的新近似，

记作1x ，一般情形是由k x 计算1k x +，2k x + ，记

2

221112

()()/(0,1,)

2k k k k k k k k k k x x x x x x x k x x x ++++-=-=-??=-+

该方法称为艾特肯加速方法。 可以证明：

*1*lim 0k k k

x x x x +→∞-=-

它表明序列

{}k x 的收敛速度比 {}k x 的收敛速度快。

普通计算器用计算器解方程的方法

用计算器解方程的方法 高中时发现一个用计算器来解方程的方法，前一阵用到计算器就想起来了，习惯性地谷歌之、百度之，居然没有发现类似的方法，于是就想把它写下来。 说明下对计算器的要求，只要是个带有"Ans"键的计算器就行，一般我们用的都是这种计算器。对于要解的方程，无论是超越方程还是高次方程，基本上都一样。 先来初步尝试一下。如果要解的方程是：exp(x)=-x+3 (注：exp(x) 是表示e的x次方) ，你要按的键就像下面一样： 0 = ln ( - Ans + 3 ) = = = = ?? 如你所知，Ans键有保存上一次计算结果的功能，所以第一条语句就是给Ans赋初值的意思，初值要选在解的附近，大概估计下就可以。第二条我没有打错，你在连续按了十几次"=" 后，是不是发现再按的时候屏幕上的数值不变了？这就是方程的解。看起来好像很晕，还是解释解释这样做的原因： 看见上面的图了吗？小赵(高一数学老师)曾经给我们介绍过一种有趣的现象，一般情况下两函数图象在交点附近有这种类似螺旋的收敛特性。灵感正是来自这里。是不是有点眉目了？ 假设上面的图中两个图象分别是y=f(x) 和 y=g(x) ，而我们要解的方程是f(x)=g(x)。为了方便，这里把F(x)和G(x)分别记做f(x)和g(x)的反函数。于是这个方程可以等价变换为 x=F(g(x)) 和x=G(f(x)) 。这两个式子的右半边就是我们要输入计算器然后不断按"="的，当然，输入计算器的时候所有的x都用Ans代替。再看看上面的图，其实这两个式子中，一个的代表顺时针螺旋，另一个代表逆时针螺旋；一个能使螺旋收敛于交点，另一个会使螺旋扩张。不幸滴是，我们不知道哪个式子能使螺旋扩张，哪个能使收敛，所以两个式子都得试试，在我们按了若干次 "=" 后如果屏幕上数值稳定了，就说明这是收敛式，并且这个稳定的值就是解。比如前面的例子，方程可以变成 x=ln(-x+3) 和 x=-exp(x) +3 ，其中-exp(x)+3使值扩散，而ln(-x+3)使值收敛，就想一开始做的那样。 如果这个方程有好几个解呢？那你就使用不同的初值，一般来说，它总会收敛于离初值比较近的那个解。要注意的是，使方程各个解收敛的螺旋方向可能不同，也就是说对于每个解，你还是需要代两个式子。上面说的是理想情况，比如遇到x^5+x^2 = x^4-x+5 这样的方程，总不可能去求两边的反函数吧，累都累死。这时候，提取两边最能体现原本特征的一部分就可以了，比如这里就是x^5 和x^4 ，变换后的式子是 x=5次根号下的(x^4-x+5-x^2) 和 x=4次根号的(x^5+x^2+x-5) 。 最后不得不说，比如x=-x+3 这种情况，这种方法无效。

(完整版)小学五年级解方程计算题练习题

一、解方程专题 7+=19 X+120=176 58+X=90 X+150=290 79.4+X=95.5 2X+55=129 7 X=63 X× 9=4.5 4.4X=444 X × 4.5=90 X × 5=100 6.2X=124 X-6=19 X-3.3=8.9 X-25.8=95.4 X-54.3=100 X-77=275 X-77=144 X ÷7=9 X÷4.4=10

X÷78=10.5 X÷2.5=100 X÷3=33.3 X÷2.2=8 9-X=4.5 73.2-X=52.5 87-X=22 66-X=32.3 77-X=21.9 99-X=61.9 3.3÷X=0.3 8.8÷X=4.4 9÷X=0.03 7÷X=0.001 56÷X=5 39÷X=3 3×(X-4)=46 (８+X)÷5=15 (X+5) ÷3=16 15÷(X+0.5)=1.5

12X+8X=40 12X-8X=40 12X+X=26 X+ 0.5X=6 X-0.2X=32 1.3X+X=26 3X+5X=48 14X-8X=12 6×5+2X=44 20X-50=50 28+6X=88 32-22X=10 24-3X=3 10X×（5+1）=60 99X=100-X X+3=18 X-6=12 56-2X=20 4X+2=6 X+32=76

3X+6=18 16+8X=40 2X-8=8 4X-3×9=29 8X-3X=105 X-6×5=42 X+5=7 2X+3=10 X-0.8X=6 12X+8X=4.8 7(X-2)=49 4×8+2X=36 (X-2)÷3=7 X÷5+9=21 (200-X)÷5=30 48-27+5X=31 3X-8=16 3X+9=27 5.3+7X=7.4 3X÷5=4.8

小学五年级解方程计算步骤

小学五年级解方程计算步骤 小学阶段解方程计算题一般有以下几个步骤，大家要认真把这几个步骤记住，看到相关题型就按照下面的方法去做就可以了。 一．移项 所谓移项就是把一个数从等号的一边移到等号的另一边去。注意，加减法移项和乘除法移项不一样，移项规则：当把一个数从等号的一边移到另一边去的时候，要把这个数原来前面的运算符号改成和它相反的运算符号，比如“+”变成“-”，或是“×”变成“÷” 请看例题： 加减法移项： x + 4 = 9 x-8=19 x=9-4 x=19+8 x=5 x=27 乘除法移项： 3x=27 x÷6=8 x=27÷3 x=8×6 x=9 x=48 1.常规题目，第一步，把所有跟未知数不能直接运算的数字，转移到与未知数相反的等号 那一边。比如： 3x - 4 = 8 5x + 9 = 24 3x=8+4 5x=24 - 9 3x=12 5x=15 x=4 x=3 2.第二种情况请记住，当未知数前面出现“－”或是“÷”的时候，要把这两个符号变成 “＋”或是“×”，具体如何改变请看下面例题： 20 – 3x=2 20=2 + 3x -----(注意：也就是前面提过的移项问题，改变符号在方程里面就是移项) 20-2=3x 18=3x x=6 36÷4x = 3 36=3×4x ----(注意：也就是前面提过的移项问题，改变符号在方程里面就是移项) 36=12x x=3

3.未知数在小括号里面的情况，注意，这种情况要分两种，第一种是根据乘法分配律先把 小括号去掉 例如：3(3x+4) = 57 9x + 12=57 9x=57-12 9x=45 x=5 第二种情况就是，要看括号前面的那个数跟等号后面的那个数是否倍数关系，如果是倍数关系，可以互相除一下，当然，用这一种方法的前提就是等号另一边的数只有一个数字，如果有多个，则先要计算成一个。 例如 3(3x+4) = 57 2(4x - 6) = 30+9-3 3x+4 = 57÷3 2(4x-6) = 36 3x+4 = 19 4x – 6=36÷2 3x = 19-4 4x-6=18 3x = 15 4x=18+6 x = 5 4x=24 x=6 4.第四种情况就是未知数在等号的两边都有，这种情况就是要把未知数都移项到一边，把 其它的数字移项到另一边，具体规则，如果两个未知数前面的运算符号不一样，要把未知数前面是“－”的移到“＋”这一边来，如果两个未知数前面的运算符号一样，则要把小一点的未知数移到大一点的未知数那一边去。 例如： 3x +12 = 48 – 6x 3x + 48 = 8 + 5x 3x + 6x = 48-12 48-8 = 5x – 3x 9x = 36 40 = 2x x = 4 x = 20

用求根公式法解一元二次方程教学设计说明

“用求根公式法解一元二次方程”教学设计 一、使用教材 新人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册 二、素质教育目标 （一）知识教学点 1、一元二次方程求根公式的推导 2、利用公式法解一元二次方程 （二）能力训练点 通过配方法解一元二次方程的过程，进一步加强推理技能训练，同时发展学生的逻辑思维能力。 （三）德育渗透点 向学生渗透由特殊到一般的唯物辩证法思想。 三、教学重点、难点、关键点 1、教学重点：一元二次方程的求根公式的推导过程 2、教学难点：灵活地运用公式法解一元二次方程 3、教学关键点： （1）掌握配方法的基本步骤 （2）确定求根公式中a 、b 、c 的值 四、学法引导 1、教学方法：指导探究发现法 2、学生学法：质疑探究发现法 五、教法设计 质疑—猜想—类比—探索—归纳—应用 六、教学流程 （一）创设情境，导入新课：

前面我们己学习了用配方法解一元二次方程，想不想再探索一种 比配方法更简单，更直接的方法？ 大家一定想，那么这节课我们一同来 研究。 < 设计意图 > 数学是一种逻辑性较强的科目，并且有时计算量较 大，如果能简化计算，那是我们所期望的，逐步激发学生的学习欲望。 教师；下面我们先用配方法解下列一元二次方程 学生；（每组一题，每组派一名同学板演） 1．2x 2-4x-1=0 2. x 2+1.5=-3x 3．02 1 22=+-x x 4. 4x 2-3x+2=0 完成后小组进行交流，并进行反馈矫正。 学生:总结用配方法解一元二次方程的步骤 教师板书：（1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程 的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 教师：通过以上四个方程的求解，你能试着猜想一下上述问题的求 解的一般规律吗？ 学生：独立思考 < 设计意图 > 规律的探索与猜想不仅要体现数学知识的应用，而且 要注重在观察实践中抽象出规律。 （二）新知探索

解方程计算题

解方程计算题 2x+8=16 x÷5=10 x+7x=8 9x-3x=6 6x-8=4 5x+x=9 x-8=6x 4÷5x=20 2x-6=12 2x+8=16 x÷5=10 x+7x=8 9x-3x=6 6x-8=4 5x+x=9 x-8=6x 4÷5x=20 2x-6=12 7x+7=14 6x-6=0 5x+6=11 2x-8=10 1÷2x-8=4 x-5÷6=7

3x+7=28 3x-7=26 9x-x=16 24x+x=50 6÷7x-8=4 3x-8=30 6x+6=12 3x-3=1 5x-3x=4 2x+16=19 5x+8=19 14-6x=8 15+6x=27 5-8x=4 7x+8=15 7x+7=14 6x-6=0 5x+6=11 2x-8=10 2x-8=4 x-5÷6=7 3x+7=28 3x-7=26 9x-x=16 24x+x=50 6÷7x-8=4 3x-8=30 6x+6=12 3x-3=1 5x-3x=4 2x+16=19 5x+8=19 14-6x=8 15+6x=27 5-8x=4 7x+8=15 9-2x=1 4+5x=9 10-x=8 8x+9=17 9+6x=14

x+9x=4+7 2x+9=17 8-4x=6 6x-7=12 7x-9=8 x-56=1 8-7x=1 x-30=12 6x-21=21 6x-3=6 9x=18 4x-18=13 5x+9=11 6-2x=11 x+4+8=23 7x-12=8 = 15 5X-2X=18 ×2= x 26×= 2x ×16―16×=4x －X= ÷X=0. 3 X÷= x＋13＝33 3 － 5x＝80 6x＝5 4 －＝ 9 ＋4x ＝40 －＋＝ －＝ 12 －4x＝20 1/3 x＋5/6 x＝ 12 x＋34 x=1 18x－14 x= 12

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，

π计算方法,二元一次和二元二次方程求根公式,一元n次方程

π的计算方法 如图，这是一个正五边形和它的外切圆。AD平分∠EDB，AC⊥交于BD与点C.已知外切圆的半径为5cm。求正五边形的周长？ 根据题目可以求出∠EDB= ? = - 108 5 180 * 2 5） （ ∵AD为∠EDB角平分线 ∴∠ADC=∠EDA=108*(1/2)=54° ∵AD=5cm,∠ADC=54° ∴CD=cos54°*5cm ∴BD=2CD=2*cos54°*5cm ∴C[正五边形] =2*cos54°*5cm*5=50*cos54° 如图，这是一个正n边形和它的外切圆。AD平分∠EDB，AC⊥交于BD与点C.已知外切圆的半径为rcm。求正n边形的周长与它的外切圆直径之比？根据题目可以求出∠ EDB= ?- n n180 * 2） （ ∵AD为∠EDB角平分线

∴∠ADC=∠EDA=n n n 2180*2n 21*180*2）（）（-=- ∵AD=rcm,∠ADC=n 2180*2-n ）（ ∴CD=r n *)2180*2-n cos(）（ ∴BD=2CD=2*r n *)2180*2-n cos(）（ ∴C[正五边形]=2*n **)2180*2-n cos(r n ）（ ∴π=n r n r n C C n *)2n 180*2)-(n cos(2*2**)2180*)2n ((cos =-=≈它外切圆直径 直径边形正圆（180单位为°）

)2180)2n (tan(*)2180)2n (tan(na n *)2180)2n (tan(2*a 5.0*)2180)2n (tan(5.0*)2180)2n (tan()2180)2n (tan(5.02180)2n (,180)2n (a 5.0,a n n a n n a C a n n G a n GH n a HG AH HG n FAG BAF AG n BAF HF AH AF H AF GH G AF FG AG AF n G n n AFG n -=-≈≈∴=-=-∴-=∴-==-=∠∴∠-=∠==∴∴⊥∴==直径边形周长外接正π直径为圆平方中点 为等腰三角形三线合一 的切线 为圆边形的内接圆。为正边形，圆已知；这是一个正边形一部分 为等腰△是正边形，△假设这是个正正多边形ΘΘΘΘΘ 二元一次方程的求根公式

公式法解一元二次方程教案

公式法解一元二次方程 一、教学目标 （1）知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. （2）能力目标 1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思 想． 2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感． 二、教学的重、难点及教学设计 （1）教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。 （2）教学的难点： 理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 （3）教学设计要点 1.情境设计 上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。 然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。 2.教学内容的处理 （1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。 （2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用。 （3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法 在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形

用公式法解一元二次方程教案精编版

优质课比赛教案 第23章 23.2 用公式法解一元二次方程 整体设计 教学分析 求根公式是直接运用配方法推导出来的，从数字系数的一元二次方程到字母系数的方程，体现了从特殊到一般的思路。用公式法解一元二次方程是比较通用的方法，它体现了一元二次方程根与系数最直接的关系，一元二次方程的根是由系数a，b，c决定的，只要将其代入求根公式就可求解，在应用公式时应首先将方程化成一般形式。 教学目标 知识与技能： 1、理解一元二次方程求根公式的推导过程 2、会用求根公式解简单系数的一元二次方程 过程与方法： 经历探索求根公式的过程，发展学生的合情推理能力，提高学生的运算能力并养成良好的运算习惯 情感、态度与价值观 通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，并让学生在学习中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。 重点： 掌握一元二次方程的求根公式，并能用它熟练地解一元二次方程 难点： 一元二次方程求根公式的推导过程 教学过程： 一、复习引入： 1、用配方法解下列方程： （1）4x2-12x-1=0；（2）3x2+2x-3=0 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 说明：教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤，为本节课的学习做好铺垫。 3、你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）吗？ 二、问题探究： 问题1：你能用一般方法把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）转化为（x+m)2=n 的形式吗？

说明：教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论 交流，达成共识，最后化成（x+a b 2)2=2244a a c b - ∵a ≠0，方程两边都除以a,得x 2+ 0=+a c x a b 移项，得x 2+ a c x a b -= 配方，得x 2+ 22)2(-)2(a b a c a b x a b +=+ 即（x+=2)2a b 2244a ac b - 问题2：当b 2_ 4ac ≥0，且a ≠0时，2244a ac b -大于等于零吗？ 教师让学生思考，分析，发表意见，得出结论：当b 2-4ac ≥0时，因为a ≠0，说以4a 2 ＞0，从而得出04422≥-a ac b 问题3：在问题2的条件下，直接开平方你得到什么结论？ 让学生讨论可得x+a ac b a b 2422-±= 说明：若有必要可让学生讨论22224444a ac b a ac b -±=-±为什么成立 问题4：由问题1，问题2，问题3，你能得出什么结论？ 让学生讨论，交流，从中得出结论，当b 2-4ac ≥0时，一般形式的一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a ≠0）的根为x+a ac b a b 2422-±=,即x=a ac b b 242-±- 由以上研究结果得到了一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0）的求根公式：x=04(2422≥--±-ac b a ac b b ），这个公式就称为“求根公式”。利用它解一元二次方程叫做公式法。 说明和建议： （1)求根公式a 2ac 4-b b -x 2±=（b 2-4ac ≥0）是专指一元二次方程的求根公式，b 2-4ac ≥0是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）求根公式的重要条件。

一元二次方程求根公式讲解学习

一元二次方程求根公 式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。

(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往 能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程 ；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若 配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑 运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才 能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3).

一元二次方程求根公式

一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．

二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为 要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元

一元二次方程的解法公式法-教案

解：移项得：3832=+x x 化系数为1得：13 8 2=+x x 配方得： 2 2 2 2413438?? ? ??+=??? ??++x 2 23534?? ? ??=??? ??+x 开平方得 35 34±=+x 所以 3 1 1=x 32-=x §2．3 解一元二次方程(公式法) 一、 教学目标 1. 知识与能力 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 2. 能力训练要求 1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力． 2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程． 3. 情感感与态度 体会从一般到特殊的思维方式，养成严谨、认真的科学态度和学风 二 、教学重点与难点 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 三、教学过程 1、复习引入。 用配方法解下列方程 （1） 03832=-+x x （2）2742 -=-x x 解：化系数为1得： 2 1472-=- x x 配方得： 2 2 2 87218747??? ??+-=?? ? ??+-x x 6417872 =?? ? ?? -x 开平方得 8 1787±=- x 所以8 17 71+= x 81772-=x

总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为()n m x =+2 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一 元二次方程无解． 从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a ，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多 这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式 2、探索新知 问题：刚才我们已经利用配方法求解了一个一元二次方程，那你能否利用配方法的基 本步骤解方程02=++c bx ax ()0≠a 呢? 解： 二次项系数化为1得：;02=++a c x a b x 移项，得： ;2a c x a b x -=+ 配方得： 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 2 22 442a ac b a b x -=?? ? ?? + 能直接开平方吗？当b 2-4ac ≥0时 ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2 2 44b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a =±242b ac a - 即a ac b b x 242-±-= ∴x 1=242b b ac a -+-，x 2=242b b ac a ---

一元二次方程求根公式及讲解

主讲：黄冈中学高级教师 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．

二、重难点知识总结 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是

小学四年级解方程的方法详解

小学四年级解方程的方法详解 方程：含有未知数的等式叫做方程。如4x-3=21，6x-2(2x-3)=20 方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。如上式解得x=6 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 解方程的依据：方程就是一架天平，―=‖两边是平衡的，一样重！ 1. 等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个非零的数，等式仍然成立。 2. 加减乘除法的变形： (1) 加法：a + b = 和则 a = 和－b b = 和－a 例：4+5=9 则有：4=9-5 5=9-4 (2) 减法：被减数a –减数b = 差则： 被减数a = 差＋减数b 被减数a－差= 减数b 例：12-4=8则有：12=8+4 12-8=4 (3) 乘法：乘数a ×乘数b = 积则： 乘数a = 积÷乘数b 乘数b= 积÷乘数a 例：3×7=21则有：3=21÷7 7=21÷3 (4) 除法：被除数a ÷除数b = 商则： 被除数a= 商×除数b 除数b=被除数a ÷商例：63÷7=9 则有：63=9×7 7=63÷9 解方程的步骤： 1、去括号：（1）运用乘法分配律；（2）括号前边是―－‖，去掉括号要变号；括号前边是―＋‖，去掉括号不变号。 2、移项：法1——运用等式性质，两边同加或同减，同乘或同除；法2——符号过墙魔法，越过―=‖时，加减号互变，乘除号互变。 注意两点：（1）总是移小的；（2）带未知数的放一边，常数值放另一边。 3、合并同类项：未知数的系数合并；常数加减计算。 4、系数化为1：利用同乘或同除，使未知数的系数化为1。

一元三次方程的求根公式及其推导

一元三次方程的求根公式及其推导 有三个实数根。有三个零点时，当有两个实数根。 有两个零点时，当有唯一实数根。 有唯一零点时，当。，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。 有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。 有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。 点的个数即方程零即方程则设实数根的判定： 程即可。因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0 )()(0)1281(81 1 )()(0 )()(0)1281(81 1)()(0 )()(0)1281(81 1 )()(3 3: 0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(0323 23221''33332332 32323=?<+=?=?=+=?=?>+=?--==- = ==<=?===?=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F p x p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC A B A B x A B C A B x A D Cx Bx Ax βαβαβαβα

33 23323232 33 232332313 223213232 32 33333 33333 3333333333333233233232321281121086 1 128112108610)1281(81 1)27(412811210861 12811210861181281918128190)1281(81 1)27(4027 27,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(81 1 0)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--?? ?? ?+--==++-==??? ????+--=++-=>+=--=-+?????-=+-=?? ????????-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=?=++=+=?=++>+=?+=?>+≥式，为： 实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。故由以 ，小于零时会出现虚数等于零时只能解出一个但却又无法直接解出（二或三个实数根， ，虽然我们清楚方程有若判别式顺序，则有，如果不考虑。则有， 若判别式的两根。 为一元二次方程，易知，。，即可令， 对比。即有，故， 由于。，就是设法求出下面的工作为两个待定的代数式。，的形式。其中，程的求根公式应为了一元三次方根公式的归纳，我得到及特殊一元高次方程求一元一次，一元二次以得到。通过对出的，通常由归纳思维式由演绎推理是很难解一元三次方程的求根公实根式的推导： ）（求根公式的推导：有三个实数根。时，方程有两个实数根。时，方程有唯一实数根。时，方程，则有以下结论： 。令一定有时， ，则当时方程很容易求解同时为不同时为为研究方便，不妨设

一元二次方程之求根公式

一元二次方程之求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法． 求根公式a ac b b x 242 2,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运 算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美． 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法． 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个． 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A ． 一4 B ．8 C ．6 D ．0 【例3】 解关于x 的方程012)1(2=++--a ax x a ． 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和． 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的 值． 注： 一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x ． 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如 222 x x x ==． 巩固练习 1．已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 ． 2．已知0232 =--x x ，那么代数式1 1)1(23-+--x x x 的值是 ． 3．若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 ． 4．若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( ) A ．b a = B ．0=+b a C ．1=+b a D ．1-=+b a

一元二次方程求根公式的推导

一元二次方程求根公式的推导 创新是一个学生学习数学的灵魂，是学业成绩不断提高的不竭动力．因此，同学们在数学学习的过程中，要 怀疑权威——书本和老师，不人云亦云．敢于对同一个问题要另辟途径，探求问题的存在规律，只有这样，我们的数学发展水平才能不断提高． 比如，我们课本对一元二次方程求根公式的推导是通过配方法得到的，即： 对于方程ax 2+bx+c=0(a≠0) (1)方程两边同除以a 得：x 2+a b x+a c =0 (2)将常数项移到方程的右边得：x 2+a b x=﹣a c (3)方程两边同时加上(a b 2)2得：x 2+a b x+(a b 2)2=(a b 2)2﹣a c (4)左边写成完全平方式，右边通分得：(x +a b 2)2=2244a ac b - 由a≠0得，4 a 2＞0，所以，当b 2－4ac≥0时，2244a ac b -≥0， 所以，x=a ac b b 242 -±- 除了上述推导方法外，不知道同学们是否思考过：还有其他方法吗？ 多思出智慧，多练出成绩．我们也可以这样推导： 方法1：ax 2+bx+c=0(a≠0) 方程两边同乘以4a 得：4 a 2x 2+4abx+4ac=0 方程两边同时加上b 2得：4 a 2x 2+4abx+4ac+b 2=b 2 把4ac 移到方程的右边得：4 a 2x 2+4abx+ b 2=b 2－4ac 将左边写成完全平方式得：(2ax+b)2= b 2－4ac 当b 2－4ac≥0时，有： 2ax+b=±ac b 42- 所以，2ax=﹣b±ac b 42- 因为，a≠0

所以，x=a ac b b 242-±- 方法2：ax 2+bx+c=0(a≠0) 移项得：ax 2+bx=﹣c 方程两边同乘以a 得：a 2x 2+abx=﹣ac 方程两边同时加上(2b )2得：a 2x 2+abx+(2b )2=(2 b )2﹣a c 整理得：(ax+2 b )2=42 b ﹣a c 即：(ax+2 b )2=442a c b - 当b 2－4ac≥0时， ax+2 b =±242a c b - 即：x=a ac b b 242-±- 同学们，没有做不到，只怕想不到．对于任何问题，大家都要想一想：这个问题还有其他的解法吗？问题都可以得到圆满的解决．

计算方法实验一 方程求根

山西大学计算机与信息技术学院 实验报告 姓名学号专业班级 课程名称计算方法实验实验日期 成绩指导老师批改日期 实验名称实验一方程求根 一、实验目的 用各种方法求任意实函数方程f(x)=0在自变量区间[a,b]上，或某一点附近的实根。并比较方法的优劣。 二、实验方法 (1)二分法 对方程f(x)=0在[a,b]内求根，将所给区间二分，在分点x= 2a b 判断是否f(x)=0，若是，则有根x=(b+a)/2。否则，继续判断是否f(a)* f(x)<0，若是，则令b=x，否则令a=x、重复此过程直至求出方程f(x)=0在[a,b]中的近似根为止。 (2)迭代法 将方程f(x)=0等价变换为x=φ（x）形式，并建立相应的迭代公式x k+1=φ（x k）。 (3)牛顿法 若已知方程f(x)=0的一个近似根x0，是函数f(x)在点x0附近可用一阶泰勒多项式 p1(x)=f(x )+f`(x0)(x-x0)来近似，因此方程f(x)=0可近似表示为f(x0)+f`(x0)(x-x0)=0。设f`(x0)≠0，则x=x0-f(x0)/f`(x0)。则x作为原方程新的近似根x1，然后x1将作为x0带入上式。迭代公式为x k+1=x k -f(x k)/f`(x k)。 三、实验内容 （1）在区间[0，1]上用二分法求方程ex+10x-2=0的近似根，要求误差不超过0.5x10-3。 （2）取初值x0=0，用迭代公式，x k+1= 10 k x e- 2，（k=0,1,2···）求方程e x+10x-2=0的 近似根。要求误差不超过0.5x10-3。 （3）取初值x0=0，用牛顿迭代法求方程e x+10x-2=0（k=0,1,2···）的近似根。要求误差不超过0.5x10-3。 四、实验程序 #include #include using namespace std;

一元二次方程——求根公式法

一元二次方程（4） 知识回顾： （一）一元二次方程的一般形式是 ． （二）配方规律：形如x 2＋b x + ＝(x + )2， ：（三） （ 三）求根公式是 （四）一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的判别式为： 其中当b 2－4ac ＝0时，方程有 实数根 ； 当 时，方程有实数 根。 当b 2－4ac ＞0时，方程的两根有 实数根； 当b 2－4ac ＜0时，方程 实数根；。 巩固练习： 1. 解方程： x 2+3x+1=0 （x+5）（x ﹣1）=9． 2x 2 2．若方程3x 2+bx+1=0无解，则b 应满足的条件是________． 3．已知方程x 2+px+q=0有两个相等的实数，则p 与q 的关系是________． 4．不解方程，判定2x 2-3=4x 的根的情况是______（?填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）． 5．已知b≠0，不解方程，试判定关于x 的一元二次方程x 2-（2a+b ）x+（a+ab-2b 2）?=0的根的情况是________． 6.若关于x 的一元二次方程2 (2)210a x ax a --++=有实数解，求a 的取值。 7.试证明:不论m 为何值,方程已知关于x 的方程x 2＋mx ＋m －2＝0.总有两个不相等的实数根.

新知探究： 1．分解因式： （1）x2-4x=_________；（2）x-2-x（x-2）=________ （3）m2-9=________；（4）（x+1）2-16=________ 2．方程（2x+1）（x-5）=0的解是_________ 3．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是___________ 4．方程（x-1）（x-2）=0的两根为x1·x2，且x1>x2，则x1-2x2的值等于_______ 5．已知y=x2+x-6，当x=________时，y的值为0；当x=________时，y的值等于24． 6．方程x2+2ax-b2+a2=0的解为__________． 7．若（2x+3y）2+3（2x+3y）-4=0，则2x+3y的值为_________．8．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（） A．-1，2 B．1，-2 C．0，-1，2 D．0，1，2 9．若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（） A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0 C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=0 10．已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（） A．只有一个根x=3 4 B．只有一个根x=0 C．有两个根x1=0，x2= 3 4 D．有两个根x1=0，x2=- 3 4 11．解方程2（5x-1）2=3（5x-1）的最适当的方法是（） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法 12．方程（x+4）（x-5）=1的根为（） A．x=-4 B．x=5 C．x1=-4，x2=5 D．以上结论都不对 3．若实数x，y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0．则x2+y2的值为（） A．1 B．2 C．2 或﹣1 D．﹣2或﹣1 4．已知x2﹣5xy﹣6y2=0（y≠0且x≠0），则的值为（） A．6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．﹣1或6 5．已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式x2﹣x+1的值为（） A．﹣1 B．7 C．﹣1或7 D．以上全不正确 6．已知关于x的方程x2+px+q=0的两个根为x1=3，x2=﹣4，则二次三项式x2﹣px+q可分解为（）A．（x+3）（x﹣4）B．（x﹣3）（x+4）C．（x+3）（x+4）D．（x﹣3）（x﹣4） 13．用因式分解法解下列方程． （1）①x2﹣2x=99 （2）（y-5）(y+7）=0 ④（x+5）（x﹣1）=7．