一、选择题
1．如图，△ACB ≌△A′C B′，∠ACB ＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′度数是（ ）
A ．40°
B ．35
C ．30°
D ．45°
2．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（ ）
A ．BD CE =
B ．AD AE =
C ．BE C
D = D ．DA D
E =
3．如图，若DEF ABC ?，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，9BF =，
5EC =，则CF 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．2.5
D ．3
4．下列说法不正确的是（ ） A ．三边分别相等的两个三角形全等 B ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C ．有两角及一边对应相等的两个三角形全等 D ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
5．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=?，CAB ∠的平分线交BC 于点D ，且DE 所在直线是AB 的垂直平分线，垂足为E ．若3DE =，则BC 的长为（ ）．
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
6．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，AD 是BAC ∠的平分线，若AC 3=，
BC 4=，则ABD
ACD
S
:S
为( )
A ．5:4
B ．5:3
C ．4:3
D ．3:4
7．如图，点C ，D 在线段AB 上，AC DB =，AE //BF ，添加以下哪一个条件仍不能判定△AED ≌△BFC （ ）
A ．ED CF =
B ．AE BF =
C ．E F ∠=∠
D ．ED //CF
8．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝34°，那么∠BED ＝（ ）
A ．134°
B ．124°
C ．114°
D ．104° 9．在尺规作图作一个角的平分线时的两个三角形全等的依据是（ ） A ．SAS
B ．AAS
C ．SSS
D ．HL
10．根据下列条件，能画出唯一ABC 的是（ ） A ．3AB =，4BC =，7CA = B ．4AC =，6BC =，60A ∠=? C ．45A ∠=?，60B ∠=?，75C ∠=?
D ．5AB =，4BC =，90C ∠=?
11．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD AE 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若
,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（ ）
A ．1.5()a b +
B ．2a b +
C ．3a b -
D ．2+a b
12．已知，如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，
PE ⊥OB ，下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ，②PD ＝PE ，③OD ＝OE ，④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
13．如图，四边形ABCD 中，AC BC =，90ACB ADC ∠=∠=?，10CD =，则
BCD ?的面积为______．
14．如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD=AE ，请添加一个条件，使得ABE ≌
ACD ．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．
15．如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BE 与CD 相交于点O ．若AB AC =，
AD AE =，60A ∠=?，80ADC ∠=?，则B 的度数为______．
16．如图，ABC 的面积为215cm ，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交
AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于1
2
MN 的长为半径画弧，两
弧交于点P ，作射线AP ，过点C 作CD AP ⊥于点D ，连接DB ，则DAB 的面积是______2cm ．
17．如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于点P ，已知AD ＝AE ．若△ABE ≌△ACD ，则可添加的条件为_____．
18．如图，AB ＝8cm ，AC ＝5cm ，∠A ＝∠B ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向B 运动，同时，点Q 以x cm/s 的速度从点B 出发在射线BD 上运动，则△ACP 与△BPQ 全等时，x 的值为_____________
19．如图，12∠=∠，要用“SAS ”判定ADC BDC ≌△△，则可加上条件__________．
20．如图，已知点(44)A -，
，一个以A 为顶点的45?角绕点A 旋转，角的两边分别交x 轴正半轴，y 轴负半轴于E 、F ，连接EF ．当△AEF 直角三角形时，点E 的坐标是________．
三、解答题
21．如图，AD 是ABC 的角平分线，AB AC >，求证：AB AC BD CD ->-．
22．如图所示，A ，C ，E 三点在同一直线上，且ABC DAE △△≌．
（1）求证：BC DE CE =+；
（2）当ABC 满足什么条件时，//BC DE ？
23．OAB 和ODE 均为等腰三角形，且AOB DOE β∠=∠=，OA OB =，
OD OE =，连接AD 、BE ，它们所在的直线交于点F ．
（1）观察发现：如图1，当60β?
=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的
度数是______；
（2）探究证明：如图2，当90β?
=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的
度数是______，根据图2证明你的猜想；
（3）拓展推广：当β为任意角时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数
是______．（用含β的式子表示）
24．已知ACE △和DBF 中，AE FD =，//AE FD ，AB DC =，请判断CE 与BF 的位置关系，并说明理由．
25．按要求作图
（1）如图，已知线段,a b ，用尺规做一条线段，使它等于+a b （不要求写作法，只保留作图痕迹）
（2）已知：∠α，求作∠AOB=∠α（要求：直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
26．如图①，∠BAD=90°，AB=AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥CA 的延长线点E ，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D ，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD ，得
△ABC ≌△DAE 进而得到AC=DE ，BC=AE ， 我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．
请应用上述“一线三等角”模型，解决下列问题：
（1）如图②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AC=AE ，连接BC 、DE ，且BC ⊥AH 于点H ，DE 与直线AH 交于点G ，求证：点G 是DE 的中点．
（2）如图③，在平面直角坐标系中，点A 为平面内任意一点，点B 的坐标为（4，1），若△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A 的坐标．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据已知ACB≌A′CB′，得到∠A′CB′=∠ACB=70?，再通过∠ACB′=100?，继而利用角的和差求得∠BCB′=30?，进而利用∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′得到结论．
【详解】
解：∵ACB≌A′CB′，
∴∠A′CB′=∠ACB=70?，
∵∠ACB′=100?，
∴∠BCB′=∠ACB′-∠ACB=30?，
∴∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′=40?，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】
解：A、添加BD＝CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；
B、添加AD＝AE，根据等边对等角可得∠ADE＝∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；
C、添加BE＝CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠BAE=∠CAD，可得∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；
D、添加DA＝DE无法求出∠DAB＝∠EAC，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF，计算即可．
【详解】
解：∵△DEF≌△ABC，
∴BC=EF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BE=CF，
又∵BF=BE+EC+CF=9，EC=5
∵CF=1
2(BF-EC)=
1
2
(9-5)=2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
直接利用三角形全等的判定条件进行判定，即可求得答案；注意而SSA是不能判定三角形全等的.
【详解】
解：A，三边分别相等的两个三角形全等，故本选项正确；
B，两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C，两个角和一个边对应相等的两个三角形，可利用ASA或AAS判定全等，故本选项正确；
D，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故本选项正确．
故选：B
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定．注意普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．
5．D
解析：D
【分析】
由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∵∠C=90°，
∴3∠EAD=90°，
∴∠EAD=30°，
∵∠AED=90°，∴DA=BD=2DE，
∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，CD ⊥AC ， ∴CD=DE=3，∴DA=BD=6， ∴BC=BD+CD=6+3=9， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
6．B
解析：B 【分析】
过D 作DF AB ⊥于F ，根据角平分线的性质得出DF ＝DC ，再根据三角形的面积公式求出ABD 和ACD 的面积，最后求出答案即可. 【详解】
解：过D 点作DF AB ⊥于F ,
∵AD 平分CAB ∠，C 90∠=（即AC BC ⊥）， ∴DF CD =， 设DF CD R ==，
在Rt ABC 中，C 90∠=，AC 3=，BC 4=， ∴22AB 5AC BC =+=，
∴ABD
115
S AB DF 5R R 222
=??=??=，ACD
113
S AC CD 3R R 222
=??=??=， ∴ABD ACD
5S
:S
R 2??= ???：3R 5:32??
= ???
, 故选：B.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DF ＝CD 是解此题的关键.
7．A
解析：A 【分析】
欲使△AED ≌△BFC ，已知AC=DB ，AE ∥BF ，可证明全等三角形判定定理AAS 、SAS 、ASA 添加条件，逐一证明即可；
【详解】 ∵ AC=BD ， ∴ AD=CE ， ∵ AE ∥BF ， ∴ ∠A=∠E ，
A 、如添加ED=CF ，不能证明△AED ≌△BFC ，故该选项符合题意；
B 、如添加AE=BF ，根据SAS ，能证明△AED ≌△BF
C ，故该选项不符合题意； C 、如添加∠E=∠F ，利用AAS 即可证明△AE
D ≌△BFC ，故该选项不符合题意； D 、如添加ED ∥CF ，得出∠EDC=∠FC
E ，利用ASA 即可证明△AED ≌△BFC ，故该选项不符合题意； 故选：A ． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理；
8．B
解析：B 【分析】
根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可； 【详解】
∵AE 平分∠BAC ，∠BAE ＝34°， ∴34EAC ∠=?， ∵ED ∥AC ，
∴18034146AED ∠=?-?=?， ∵BE ⊥AE ， ∴90AEB =?∠，
∴36090146124BED ∠=?-?-?=?； 故答案选B ． 【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质，结合周角的定理计算是解题的关键 。
9．C
解析：C 【分析】
根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS ． 【详解】
解：尺规作图-作一个角的角平分线的作法如下：
①以O 为圆心，任意长为半径画弧，交AO 、BO 于点F 、E ，
②再分别以F 、E 为圆心，大于
1
2
EF 长为半径画弧，两弧交于点M ， ③画射线OM ，射线OM 即为所求．
由作图过程可得用到的三角形全等的判定方法是SSS．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角的平分线的基本作图方法．
10．D
解析：D
【分析】
利用构成三角形的条件，以及全等三角形的判定得解.
【详解】
+=，不满足三边关系，不能画出三角形，故选项错误；
解：A，AB BC CA
B，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；
C，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；
D，可以利用直角三角形全等判定定理HL证明三角形全等，故选项正确.
故选:D
【点睛】
本题考查三角形全等的判定以及构成三角形的条件，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.
11．B
解析：B
【分析】
在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明
△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形ABDC的周长．
【详解】
解：在线段AC上作AF=AB，
∵AE是BAC
∠的平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE，
∵AE CE
⊥，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中
∵
D CFE
CEF CED
CE CE
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△CEF≌△CED（AAS）
∴CE=CF，
∴四边形ABDC的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2a b+，
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．12．D
解析：D
【分析】
根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．
【详解】
解：∵∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，① 符合题意；
∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD ＝PE ，
∴OC 是∠AOB 的角平分线，② 符合题意； 在Rt △POD 和Rt △POE 中，
OD DE
OP OP =??
=?
， ∴Rt △POD ≌Rt △POE ， ∴∠AOC ＝∠BOC ，
∴OC 是∠AOB 的角平分线，③ 符合题意； ∵∠DPO=∠EPO ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴在△POD 和△POE 中，
DPO EPO PDO PEO OP OP =??
=??=?
∠∠∠∠ ∴△POD ≌△POE （AAS ）， ∴∠AOC ＝∠BOC ，
∴OC 是∠AOB 的角平分线，④ 符合题意， 故选：D ． 【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；
二、填空题
13．50【分析】过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E 先证明∠CBE=∠ACD 从而证明?ACD ?
?CBE 进而即可求解【详解】过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ∵BE ⊥CE ∴∠BEC=∠CDA=90°
解析：50 【分析】
过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，先证明∠CBE=∠ACD ，从而证明? ACD ?? CBE ，进而即可求解． 【详解】
过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，
∵BE ⊥CE ， ∴∠BEC=∠CDA=90°， ∴∠CBE+∠BCE=90°， 又∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠CBE=∠ACD ， 在? ACD 与? CBE 中，
∵CBE ACD CEB ADC BC AC ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴? ACD ?? CBE （AAS ）， ∴BE=CD=10， ∴BCD ?的面积=12CD?BE=1
2
×10×10=50， 故答案是50． 【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造“一线三垂直”模型，是解题的关键．
14．∠B=∠C （或∠ADC=∠AEB 或AB=AC ）【分析】根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠AAD=AE 两个条件对应相等故再添加一组对应角相等或是AB=AC 即可得到ABE ≌ACD 【详解】∵∠A=∠
解析：∠B=∠C （或∠ADC=∠AEB 或AB=AC ） 【分析】
根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠A ，AD=AE 两个条件对应相等，故再添加一组对应角相等或是AB=AC 即可得到ABE ≌ACD ．
【详解】
∵∠A=∠A ，AD=AE ，
∴当∠B=∠C 时，可利用AAS 证明ABE ≌ACD ； 当∠ADC=∠AEB 时，可利用ASA 证明ABE ≌
ACD ；
当AB=AC 时，可利用SAS 证明ABE ≌ACD ；
故答案为：∠B=∠C （或∠ADC=∠AEB 或AB=AC ）．
【点睛】
此题考查添加一个条件证明三角形全等，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．
15．40°【分析】由全等三角形的判定证得△ABE ≌△ACD （SAS ）由全等三角形的性质可得∠B ＝∠C 根据三角形内角和定理求出∠C 继而即可求解【详解】在△ABE 和△ACD 中∴△ABE ≌△ACD （SAS ）∴
解析：40° 【分析】
由全等三角形的判定证得△ABE ≌△ACD （SAS ），由全等三角形的性质可得∠B ＝∠C ，根据三角形内角和定理求出∠C ，继而即可求解． 【详解】
在△ABE 和△ACD 中，
AB AC AD AE A A ==∠=∠??
???
∴△ABE ≌△ACD （SAS ） ∴∠B ＝∠C
∵60A ∠=?，80ADC ∠=?， ∴∠C ＝180°－∠A －∠ADC ＝40°， ∴∠B=40° 故答案为：40°． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质证得∠B ＝∠C ．
16．【分析】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP 平分∠CAB 证明
△ADC ≌△ADE 得到CD=DE 由此得到推出即可得到答案【详解】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP 平分∠CAB ∴∠CAD=∠EAD ∵CD ⊥A
解析：15
2
【分析】
如图，延长CD 交AB 于E ，由题意得AP 平分∠CAB ，证明△ADC ≌△ADE ，得到CD=DE ，由此得到,ACD
ADE
BCD
BED S S
S
S
==，推出
ACD
BCD
ADE
BED
S
S
S
S
+=+，即可得到答
案． 【详解】
如图，延长CD 交AB 于E ， 由题意得AP 平分∠CAB ， ∴∠CAD=∠EAD,
∵CD ⊥AD ， ∴∠ADC=∠ADE ， ∵AD=AD ， ∴△ADC ≌△ADE ， ∴CD=DE ， ∴,ACD ADE BCD
BED S S S
S
==，
∴ACD
BCD
ADE
BED
S S
S
S
+=+，
∴12
ABD
ADE BED
ABC S
S
S
S =+=
=
152
， 故答案为：
152
． ．
【点睛】
此题考查三角形角平分线的作图方法，全等三角形的判定及性质，证出CD=DE 得到
,ACD
ADE
BCD
BED S
S
S
S
==是解此题的关键．
17．AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定定理（SASASAAASSSS ）即可得出答案【详解】解：添加条件：AB ＝AC 在△ABE 和△ACD 中∴△ABE ≌△A
解析：AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一） 【分析】
根据全等三角形的判定定理（SAS ，ASA ，AAS ，SSS ）即可得出答案． 【详解】
解：添加条件：AB ＝AC ， 在△ABE 和△ACD 中，
AB AC A A AE AD =??
∠=∠??=?
， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ）； 添加条件：∠B ＝∠C ， 在△ABE 和△ACD 中，
B C A A AE AD ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴△ABE ≌△ACD （AAS ）； 添加条件：∠AEB ＝∠ADC ， 在△ABE 和△ACD 中，
AEB ADC AE AD
A A ∠=∠??
=??∠=∠?
， ∴△ABE ≌△ACD （ASA ）；
故答案为：AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一）． 【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．
18．2或【分析】由∠A ＝∠B 可知△ACP 与△BPQ 全等时CP 和PQ 是对应边则分AP ＝BQ 和AP ＝PB 两种情况进行讨论即可【详解】设动点的运动时间为t 秒则AP ＝2tBP ＝AB －AP ＝8－2tBQ ＝xt ∵∠
解析：2或52
【分析】
由∠A ＝∠B ，可知△ACP 与△BPQ 全等时，CP 和PQ 是对应边，则分AP ＝BQ 和AP ＝PB 两种情况进行讨论即可． 【详解】
设动点的运动时间为t 秒，则AP ＝2t ，BP ＝AB －AP ＝8－2t ，BQ ＝xt ， ∵∠A ＝∠B ， ∴CP 和PQ 是对应边， 当△ACP 与△BPQ 全等时， ①AP ＝BQ ，即：2t ＝ xt ， 解得：x ＝2，
②AP ＝PB ，即：2t ＝8－2t ， 解得：t ＝2，
此时，BQ ＝AC ，xt ＝5，即：2x ＝5， 解得：x ＝
52 故填：2或52
． 【点睛】
本题考查全等三角形的性质，“分类讨论”的数学思想是关键．
19．AD=BD 【分析】要判定△BCD ≌△ACD 已知∠1=∠2CD 是公共边具备了一边一角对应相等注意SAS 的条件；两边及夹角对相等只能选AD=BD 【详解】解：由图可知只能是AD=BD 才能组成SAS 故答案为
解析：AD=BD 【分析】
要判定△BCD ≌△ACD ，已知∠1=∠2，CD 是公共边，具备了一边一角对应相等，注意“SAS”的条件；两边及夹角对相等，只能选AD=BD. 【详解】
解：由图可知，只能是AD=BD ，才能组成“SAS”， 故答案为：AD=BD. 【点睛】
本题考查了全等的判定，掌握“SAS”的条件是两边及夹角对相等是解题的关键.
20．或【分析】根据等腰三角形的性质作辅助线构造全等三角形得到对应线段相等即可得到结论【详解】①如图所示：∴∵∴∵∴∴在△和中
∴△△FDE ∴∴②当时同①的方法有：∴综上所述满足条件的点坐标为或故答案为：或
解析：(8)0，
或(40)， 【分析】
根据等腰三角形的性质，作辅助线构造全等三角形，得到对应线段相等即可得到结论． 【详解】 ①如图所示：
90AFE ?∠=，
∴90AFD OFE ?∠+∠=， ∵90OFE OEF ?∠+∠=， ∴AFD OEF ∠=∠，
∵90AFE ?∠=，45EAF ?∠=， ∴45AEF EAF ?∠==∠， ∴AF EF =， 在△ADF 和FOE 中，
ADE FOE AFD OEF AF EF ∠=∠??
∠=∠??=?
∴△ADF ≌△FDE ，
∴4FO AD ==，8OE DF OD FO ==+=，
∴(40)E ，
． ②当90AEF ?∠=时，同①的方法有：8OF =，4OE =，
∴(40)E ，
， 综上所述，满足条件的点E 坐标为(8)0，
或(40)， 故答案为：(8)0，
或(40)， 【点睛】
本题考查三角形全等性质和判定、等腰直角三角形的性质，注意直角三角形按角分类讨论分三种情况，不要漏解．
三、解答题
21．见解析 【分析】
在 AB 上取 AE = AC ，然后证明ADC ≌()SAS ADE △，根据全等三角形对应边相等得到
DC DE =，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可． 【详解】
证明：如解图，在AB 上截取AE AC =，连接DE ，
∵ AD 是ABC 的角平分线， ∴ CAD EAD ∠=∠．
在ADC 和ADE 中，,,,AC AE CAD EAD AD AD =??
∠=∠??=?
∴ ADC ≌()SAS ADE △． ∴ DC DE =．
∵在BDE 中，BE BD ED >-， ∵ AB AE BE -=，
∴ AB AC BD CD ->-． 【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质以及三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）ACB ∠为直角时，//BC DE 【分析】
（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE ，AD=CE ，代入求出即可；
2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA= 90?，推出∠BDE=90? ，根据平行线的判定求出即可． 【详解】
（1）证明：∵ABC DAE △△≌， ∴AE=BC ，AC=DE ， 又∵AE AC CE =+， ∴BC DE CE =+．
（2）若//BC DE ，则BCE E ∠=∠， 又∵ABC DAE △△≌， ∴ACB E ∠=∠， ∴ACB BCE ∠=∠， 又∵180ACB BCE ∠+∠=?， ∴90ACB ∠=?，
即当ABC 满足ACB ∠为直角时，//BC DE ． 【点睛】
本题考查全等三角形的性质和平行线的判定的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论．
23．（1）AD BE =，60°；（2）AD BE =，90°，理由见解析；（3）AD BE =，β 【分析】
（1）设AF 交BD 于G ，证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，得到60AFB AOB ∠=∠=?；
（2）证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，根据
OFA DFB ∠=∠及三角形内角和定理即可证得90AFB AOB ∠=∠=?； （3）根据（1）与（2）直接得到结论． 【详解】
（1）证明：设AF 交BO 于G ， ∵60AOB DOE ∠=∠=?，
∴
AOB BOD DOE BOD ∠-∠=∠-∠，
即AOD BOE ∠=∠， ∵OA OB =，OD OE =， ∴AOD BOE ≌△△，