第一章数与式备课人:lsq
具体目标
1．数与式
（1）有理数
①理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。
②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。
③理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）。
④理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。
⑤能运用有理数的运算解决简单的问题。
⑥能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。［参见例1］
（2）实数
①了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
②了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
③了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
④能用有理数估计一个无理数的大致范围。［参见例2］
⑤了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值。
⑥了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化)。
（3）代数式
①在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义。
②能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示。［参见例3与例4］
③能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。［参见例5］
④会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。
（4）整式与分式
①了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。
②了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）。
③会推导乘法公式：（a＋b）（a－b）=a2－b2；（a＋b）2=a2＋2ab＋b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。
④会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。
⑤了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算。
第一课时 实数的有关概念
知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值 大纲要求：
1． 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念．
2． 了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。
3． 会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小
4． 画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 考查重点：
1． 有理数、无理数、实数、非负数概念； 2．相反数、倒数、数的绝对值概念；
3．在已知中，以非负数a 2
、|a|、 a (a ≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。 实数的有关概念 (1)实数的组成
{
}
?????????????????????
?????
?
??????
正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 (2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，
实数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3)相反数
实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反效是零)． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值
??
?
??<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数
实数a(a ≠0)的倒数是
a
1
(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数． 讲解例题:“复习导引”P1—P2的有关例题
学生练习：“三阶练习”，对不同的学生有不同的要求，可以灵活取舍。 附参考资料： 考查题型：
以填空和选择题为主。如 一、考查题型：
1． －1的相反数的倒数是
2． 已知｜a+3|+b+1 ＝0，则实数（a+b ）的相反数 3． 数－3．14与－Л的大小关系是 4． 和数轴上的点成一一对应关系的是
5． 和数轴上表示数－3的点A 距离等于2．5的B 所表示的数是 6． 在实数中Л,－2
5 ,0, 3 ,－3．14, 4 无理数有（ ）
（A ）1 个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） （A ）非负数 （B ）非正数 （C ）负数 （D ）正数 8．若x ＜－3，则｜x ＋3｜等于（ ）
（A ）x ＋3 （B ）－x －3 （C ）－x ＋3 （D ）x －3 9．下列说法正确是（ ）
（A ） 有理数都是实数 （B ）实数都是有理数
（B ） 带根号的数都是无理数 （D ）无理数都是开方开不尽的数 10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小： （1） c-b 和d-a （2） bc 和ad 二、考点训练： 1．判断题：
（1）如果a 为实数，那么－a 一定是负数；（ ） （2）对于任何实数a 与b,|a －b|=|b －a|恒成立；（ ） （3）两个无理数之和一定是无理数；（ ） （4）两个无理数之积不一定是无理数；（ ）
（5）任何有理数都有倒数；（ ） （6）最小的负数是－1；（ ）
（7）a 的相反数的绝对值是它本身；（ ） （8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a －b=－1；（ ） 2．把下列各数分别填入相应的集合里
－|－3|，21．3，－1．234，－227 ,0，sin60°o
,－9 ,－3－18 , －Л2 ,8 ,
( 2 － 3 )0
，3－2
，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中
无理数集合｛ ｝ 负分数集合｛ ｝ 整数集合 ｛ ｝ 非负数集合｛ ｝ 3．已知1 等于（ ） （A ）－2x （B ）2 （C ）2x （D ）－2 4．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？ －3, 2 －1， 3， － 0．3， 3－1 ， 1 + 2 ， 313 互为相反数： 互为倒数： 互为负倒数： 5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X － 2 ）2 和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y 的值 6．ａ,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是2，求|a+b| 2m 2+1 +4m-3cd= 。 7．已知（ａ－3ｂ）2 ＋｜ａ2 －4｜ a+2 ＝0，求ａ＋ｂ= 。 三、解题指导： 1．下列语句正确的是（ ） （A ）无尽小数都是无理数 （B ）无理数都是无尽小数 （C ）带拫号的数都是无理数 （D ）不带拫号的数一定不是无理数。 2．和数轴上的点一一对应的数是（ ） （A ）整数 （B ）有理数 （C ）无理数 （D ）实数 3．零是（ ） （A ） 最小的有理数 （B ）绝对值最小的实数 （C ）最小的自然数 （D ）最小的整数 4.如果a 是实数，下列四种说法：（1）ａ2 和｜ａ｜都是正数， （2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，（3）ａ的倒数是1a ，（4）ａ和－ａ的两个分别在原 点的两侧，其中正确的是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 5．比较下列各组数的大小： （1） 34 45 (2) 3 2 3 12 (3)a a 1b 6．若a,b 满足|4-a 2 |+a+b a+2 =0,则2a+3b a 的值是 7．实数a,b,c 在数轴上的对应点如图，其中O 是原点，且|a|=|c| （1） 判定a+b, a+c, c-b 的符号 （2） 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b| 8．数轴上点A 表示数－1，若AB ＝3，则点B 所表示的数为 9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x ，－x ，－|y|，y 。 10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？ 11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？ 12．把下列语句译成式子： （1）a 是负数 ；（2）a 、b 两数异号 ；（3）a 、b 互为相反数 ； （4） a 、b 互为倒数 ；(5)x 与y 的平方和是非负数 ； （6）c 、d 两数中至少有一个为零 ；（7）a 、b 两数均不为0 。 13.数轴上作出表示 2 ， 3 ，－ 5 的点。 四．独立训练： 1．0的相反数是 ，3－л的相反数是 ，3 －8 的相反数是 ；－л的绝对值是 ，0 的绝对值是 ， 2 － 3 的倒数是 2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是 。 A 表示的数是－12 ，且A B ＝1 3 ，则点B 表示的数是 。 3 －33 ,л,(1－ 2 )o,－227 ,0．1313…,2cos60o, －3－1 ,1．101001000… (两1之间依次多一个0),中无理数有 ，整数有 ，负数有 。 4. 若a 的相反数是27，则｜a|＝ ；5．若|a|＝ 2 ，则a= 5．若实数x ，y 满足等式（x ＋3）2 ＋｜4－y ｜＝0，则x ＋y 的值是 6．实数可分为（ ） （A ）正数和零（B ）有理数和无理数（C ）负数和零 （D ）正数和负数 7．若2a 与1－a 互为相反数，则a 等于（ ） （A ）1 （B ）－1 （C ）12 （D ）1 3 8．当a 为实数时，a 2 =－a 在数轴上对应的点在（ ） （C ） 原点右侧（B ）原点左侧（C ）原点或原点的右侧（D ）原点或原点左侧 ＊9．代数式ａ｜ａ｜ ＋ｂ｜ｂ｜ ＋ａｂ ｜ａｂ｜ 的所有可能的值有（ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个 10．已知实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图 （1）比较a －b 与a+b 的大小 （2）化简|b －a|+|a+b| 11．实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜ 试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜ 12．已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0 。求它的周长。＊13．若3，ｍ，5为三角形三边，化简：（2－ｍ）2－（ｍ－8）2 第二课实数的运算 知识点：平方根、算术平方根、立方根的概念。实数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学计数法、近似数与有效数字、计算器功能鍵及应用。 大纲要求： 1．了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幂的有关概念、掌握有理数运算法则、运算委和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。 2．了解有理数的运算率和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算法则，灵活运用运算律简化运算能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算。 3．了解近似数和准确数的概念，会根据指定的正确度或有效数字的个数，用四舍五入法求有理数的近似值（在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值），会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。 4了解电子计算器使用基本过程。会用电子计算器进行四则运算。 考查重点： 1．考查近似数、有效数字、科学计算法； 2．考查实数的运算； 3．计算器的使用。 实数的运算 (1)加法 同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 任何数与零相加等于原数。 (2)减法 a-b=a+(-b) (3)乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即 ?? ? ???-?=)(0),(||||),(||||为零或异号同号b a b a b a b a b a ab (4)除法 )0(1 ≠?=b b a b a (5)乘方 个 n n a aa a = (6)开方 如果x 2 ＝a 且x ≥0，那么a ＝x ； 如果x 3 =a ，那么x a =3 在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面． 3．实数的运算律 (1)加法交换律 a+b ＝b+a (2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法交换律 ab ＝ba ． (4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) (5)分配律 a(b+c)=ab+ac 其中a 、b 、c 表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便． 讲解例题:“复习导引”P6—P8的有关例题 学生练习：“三阶练习”，对不同的学生有不同的要求，可以灵活取舍。 附参考资料： 典型题型与习题 一、填空题： 1．我国数学家刘徽，是第一个找到计算圆周率π方法的人，他求出π的近似值是3.1416，如果取3.142是精确到 位，它有 个有效数字，分别是 。 1.5972精确到百分位的近似数是 ；我国的国土面积约为9600000平方干米，用科学计数法表示为 平方干米。 2 ＝，结果是 。 3．我国1990年的人口出生数为23784659人。保留三个有效数字的近似值是 人。 4．由四舍五入法得到的近似数 3.10×104 ，它精确到 位。这个近似值的有效数字是 。 5．2的相反数与倒数的和的绝对值等于 。 6．若n 为自然数时(－1) 2n+1 +(－1)2n = . 7．查表得 2.132 ＝4.5，4.1053 ＝69.18，则－21.32 ＝ 。（－0.0213）2 ＝ ，0.41053 ＝ ，－（－410.5）3＝ 。若8.3202 ＝69.32,x 2 ＝6.932×105 ，则x ＝ . 4.44 ＝2.107 44.4 ＝6.663 0.00444 ＝ . 8.已知2a －b ＝4, 2(b －2a)2 －3(b －2a)＋1＝ 9．已知：｜x|＝4，y 2 ＝149 且x>0,y<0，则x －y ＝ 。 二、选择题 1． 下列命题中：（1）几个有理数相乘，如果负因数个数是奇数，则积必为负； （2）两数之积为1，那么这两数都是1或都是－1；（3）两个实数之和为正数，积为负数，则两数异号，且正数的绝对值大；（4）一个实数的偶次幂是正数，那么这个实数一定不等于零，其中错误的命题的个数是（ ） （A ）1 个 （B ）2 个 （C ）3个 （D ）4个 2．近似数1.30所表示的准确数A 的范围是（ ） （A ）1.25≤A ＜1.35 （B ）1.20＜A ＜1.30 （C ）1.295≤A ＜1.305 （D ）1.300≤A ＜1.305 3．设a 为实数，则|a+|a||运算的结果（ ） （A ） 可能是负数（B ）不可能是负数（C ）一定是负数（D ）可能是正数。 4．已知|a|＝8，|b|＝2，|a －b|=b －a,则a+b 的值是（ ） （A ） 10 （B ）－6 （C ）－6或－10 （D ）－10 5．绝对值小于8的所有整数的和是( ) (A)0 (B)28 (C)－28 (D)以上都不是 6．由四舍五入法得到的近似数4.9万精确到( ) (A)万位 (B)千位 (C)十分位 (D)千分位 7． 计算下列各题： （1） 32÷(－3)2 +|－ 16 |×(－ 6)+49 ； （2） ｛213 （－12 ）－23 × 3 －8 ÷16 ｝×（－6）； （3）－0.252÷（－12 ）4 (4) 43 －3－1 ＋（π－3）0 ＋tg 2 300 (5) （112 ＋23 8 －3.75）×24； （6）0.3－1－（－ 16 ）－2＋ （7）（23 ）－1－（2001＋ｃtg300）0＋（－2）2· 第3课 整式 知识要点 代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则、幂的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂。 大纲要求 1、 了解代数式的概念，会列简单的代数式。理解代数式的值的概念，能正确地求出代数式的 值； 2、 理解整式、单项式、多项式的概念，理解同类项的概念，会合并同类项； 3、 掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方运算法则，并能熟练地进行数字指数幂 的运算； 4、 能熟练地运用乘法公式（平方差公式，完全平方公式）进行运算； 5、 掌握整式的加减乘除乘方运算，会进行整式的加减乘除乘方的简单混合运算。 考查重点 1．代数式的有关概念． (1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式． (2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p 叫做代数式的值． 求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． (3)代数式的分类 2．整式的有关概念 (1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式． 对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。 (2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式 对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来分析 (3)同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷． 要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并．即x b a bx ax )(+=+ 其中的X 可以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。 3．整式的运算 (1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是： (i)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号． (ii)合并同类项： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变． (2)整式的乘除：单项式相乘(除)，把它们的系数、相同字母分别相乘(除)，对于只在一个单项式(被除式)里含有的字母，则连同它的指数作为积(商)的一个因式相同字母相乘(除) 要用到同底数幂的运算性质： ) ,,0(),(是整数是整数n m a a a a n m a a a n m n m n m n m ≠=÷=?-+ 多项式乘(除)以单项式，先把这个多项式的每一项乘(除)以这个单项式，再把所得的积(商)相加． 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算： 2222 2 ()()(), ()(),()2, x a x b x a b x ab a b a b a b a b a ab b ++=++++-=-±=±+ (3)整式的乘方 单项式乘方，把系数乘方，作为结果的系数，再把乘方的次数与字母的指数分别相乘所得的幂作为结果的因式。 单项式的乘方要用到幂的乘方性质与积的乘方性质： ) ()(),,()(是整数是整数n b a ab n m a a n n n mn n m == 多项式的乘方只涉及 . 222)(, 2)(2 2 2 2 222ca bc ab c b a c b a b ab a b a +++++=+++±=± 考查重点与常见题型 1、 考查列代数式的能力。题型多为选择题，如： 下列各题中，所列代数错误的是（ ） （A ） 表示“比a 与b 的积的2倍小5的数”的代数式是2ab －5 （B ） 表示“a 与b 的平方差的倒数”的代数式是1 a － b 2 （C ） 表示“被5除商是a ，余数是2的数”的代数式是5a+2 （D ） 表示“数的一半与数的3倍的差”的代数式是a 2 －3b 2、 考查整数指数幂的运算、零指数。题型多为选择题，在实数运算中也有出现，如： 下列各式中，正确的是（ ） （A ）a 3 +a 3 =a 6 (B)(3a 3)2 =6a 6 (C)a 3 ?a 3 =a 6 (D)(a 3)2 =a 6 整式的运算，题型多样，常见的填空、选择、化简等都有。 考查题型： 1.下列各题中，所列代数错误的是（ ） （E ） 表示“比a 与b 的积的2倍小5的数”的代数式是2ab －5 （F ） 表示“a 与b 的平方差的倒数”的代数式是1 a － b 2 （G ） 表示“被5除商是a ，余数是2的数”的代数式是5a+2 （H ） 表示“数ａ的一半与数ｂ的3倍的差”的代数式是a 2 －3b 2.下列各式中，正确的是（ ） （A ）a 3 +a 3 =a 6 (B)(3a 3)2 =6a 6 (C)a 3 ?a 3 =a 6 (D)(a 3)2 =a 6 3.用代数式表示：（1）a 的绝对值的相反数与b 的和的倒数； （2）x 平方与y 的和的平方减去x 平方与y 的立方的差； 4.－ лa 2b 312 的系数是 ，是 次单项式； 5.多项式3x 2 －1－6x 5 －4x 3 是 次 项式，其中最高次项是 ，常数项是 ，三次项系数是 ， 6.如果3m 7x n y+7 和-4m 2-4y n 2x 是同类项，则x= ,y= ；这两个单项式的积是＿＿。 7.下列运算结果正确的是（ ） ①2x 3 -x 2 =x ②x 3 ?(x 5)2 =x 13 ③(-x)6 ÷(-x)3 =x 3 ④(0.1)-2 ?10-1 =10 （A ）①② （B ）②④ （C ）②③ （D ）②③④ 考查训练： 1、代数式a 2 －1，0,13a ,x+1y ，－xy 2 4 ，m ，x+y 2 , 2 –3b 中单项式是 ，多项式 是 ，分式是 。 2、－x 2 yz 3 3 是 次单项式，它的系数是 。 3、多项式3yx 2 －1－6y 2x 5 －4yx 3 是 次 项式，其中最高次项是 ，常数项是 ，三次项系数是 ， 4、已知梯形的上底为4a －3b ，下底为2a+b,高为3a+b 。试用含a,b 的代数式表示出梯形的面积，并求出当a=5,b=3时梯形的面积。 5、下列计算中错误的是（ ） (A)(－a 3 b)2 ·(－ab 2)3 =-a 9b 8 (B) (－a 2b 3)3 ÷(－ab 2)3 =a 3b 3 (C)(－a 3)2 ·(－b 2)3 =a 6b 6 (D)[(－a 3)2 ·(－b 2)3]3 =－a 18b 18 6、计算：3ｘｙ3·（－12 ｘ3ｙ4）÷（－16 ｘ2ｙ3）2 7．已知代数式3ｙ2 －2ｙ＋6的值为8，求代数式32 ｙ2－ｙ＋1的值 8．设ａ－ｂ＝－2，求ａ2 ＋ｂ 2 2 －ａｂ的值。 9、利用公式计算： (1) (13 a 2－14 b)( －14 b －13 a 2) (2) (a －12 )2 (a 2+14 )2(a+12 ) 2 (3)(x+y －z)(x －y+z)－(x+y+z)(x －y －z) (4)[(x 2 +6x+9) ÷(x+3)](x 2 -3x+9) (5) 101×99 解题指导： 1、代数式15 －2x 2 3 是（ ） （A ）整式 （B ）分式 （C ）单项式 （D ）无理式 2、如果3x 7-m y n+3 和－4x 1－4m y 2n 是同类项，那么m,n 的值是（ ） (A)m=－3,n=2 (B) m=2,n=－3 (C) m=－2,n=3 (D) m=3,n=－2 3、正确叙述代数式13 (2a-b 2 )的是（ ） （A ） ａ与2的积减去ｂ平方与3的商 （B ）ａ与2的积减去ｂ的平方的差除以3 （C ）ａ与2倍减去ｂ平方的差的13 （D ）ａ的2倍减去ｂ平方1 3 4、用乘法公式计算: (1) (－2a －3b)2 (2) (a －3b+2c)2 (3) (2y －z)2 (z+2y) 2 (4)(c －2b+3a)(2b+c －3a) 5、已知ｘ＋ｙ＝4，ｘｙ＝3，求：3ｘ2 ＋3ｙ2 ；（ｘ－ｙ）2 巩固提高 1、 若一个多项式加上2x 2 －x 3 －5－3x 4 得3x 4 －5x 3 －3，则这个多项式是 ； 2、 若3x n －(m －1)x+1为三次二项式，则m －n 2的值为 ； 3、 用代数式表示，m,n 两数的和除这两数的平方的差 ； 用语言叙述代数式x 3 －3 6 ； 4、－[a －(b －c)]去括号正确的是（ ） (A) －a －b+c (B)－a+b －c (C)－a －b －c (D)－a+b+c 5、设P 是关于x 的五次多项式，Q 是关于x 的三次多项式，则（ ） （A ）P+Q 是关于的八次多项式 （B ）P-Q 是关于的二次多项式 （C ）P ·Q 是关于的八次多项式 （D ）Q P 是关于的二次多项式 6.下列计算中正确的是（ ） (A)x n+2÷x n+1=x 2 (B)(xy)5÷xy 3=(xy)2 (C)x 10 ÷(x 4 ÷x 2 )=x 8 (D)(x 4n ÷x 2n ) ·x 3n =x 3n+2 7．若（ａ ｍ＋1 ｂ ｎ＋2 ）（ａ 2ｎ－1 ｂ2ｍ）＝ａ5ｂ3 ，则ｍ＋ｎ的值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）－3 8、计算： (1) (－2ax)2 ·(－25 x 4y 3z 3) ÷(－12 a 5xy 2) (2) (13 a n+2+2a n+1) ÷(－13 a n －1 ) (3) 5(m+n)(m －n)－2(m+n)2 －3(m －n)2 (4)(a －b+c －d)(－a －b －c －d) (5)(－x －y)2 (x 2 －xy+y 2)2 (6)15+2a －{9a －[a －9－(3－6a)]} （7）（a 2 c －bc 2）－(a －b+c)(a+b －c) ＊(8)(a －b)(a+b)2 －(a+b)(a-b)2 +2b(a 2 +b 2 ) 第4课 因式分解 知识点: 因式分解定义，提取公因式、应用公式法、二次三项式的因式（求根）、因式分解一般步骤。 大纲要求: 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。 考查重点与常见题型: 考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公因式、应用公式法、及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。 因式分解知识点: 多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有： (1)提公因式法 如多项式),(c b a m cm bm am ++=++ 其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． (2)运用公式法，即用 ) )((, )(2), )((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=- 写出结果． (3)求根公式法：如果),0(02 ≠=++a c bx ax 有两个根X 1，X 2，那么 ).)((212x x x x a c bx ax --=++ 典型题型: 1．下列因式分解中，正确的是（ ） (A) 1- 14 x 2= 14 (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x 2 – 2 = - 2(x- 1)2 (C) ( x- y )3 –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y – 1) (D) x 2 –y 2 – x + y = ( x + y) (x – y – 1) 2．下列各等式(1) a 2 － b 2 = (a + b) (a –b ),(2) x 2 –3x +2 = x(x –3) + 2 (3 ) 1 x 2 –y 2 － 1 ( x + y) (x – y ) ,(4 )x 2 + 1 x 2 －2－（ x －1x )2 从左到是因式分解的个数为（ ） (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4个 3．若x 2 ＋mx ＋25 是一个完全平方式，则m 的值是（ ） (A) 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±10 4．若x 2＋mx ＋n 能分解成( x+2 ) (x – 5)，则m= ,n= ; 5．若二次三项式2x 2 +x+5m 在实数范围内能因式分解，则m= ; 6．若x 2 +kx －6有一个因式是(x －2)，则k 的值是 ; 7．把下列因式因式分解： (1) 6a 2b 3 －8ab 4 (2) a(a-b)2 －b(b-a) (3) -5mx 2 +10mxy-5my 2 (4) a 4 －8a 2b 2 +16b 4 (5) (x 2 +1)-4x 2 8. 利用因式分解计算或说明理由: (1) 计算: 2.9×9876.5+11.7×9876.5-4.6×9876.5 (2) 求((x-y)(x2+3xy+y2)+ xy(y-x)的值,其中 x=4.9, y=5.1 训练： 1. 分解下列因式： (1).10a(x －y)2 －5b(y －x) (2).a n+1－4a n ＋4a n-1 (3).x 3(2x －y)－2x ＋y (4).x 5y －9xy 5 (5).4a －a 5 解题指导： 1．下列运算:(1) (a －3)2＝a 2 －6a ＋9 (2) x －4＝(x ＋2)( x －2) (3) ax 2＋a 2xy ＋a ＝a(x 2＋ax) (4) 116 x 2－14 x ＋14 ＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2 其中是因式分解， 且运算正确的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．不论ａ为何值，代数式－ａ2 ＋4ａ－5值（ ） （A ）大于或等于0 （B ）0 （C ）大于0 （D ）小于0 3．若x 2 ＋2（m －3）x ＋16 是一个完全平方式，则m 的值是（ ） （A ）－5 （B ）7 （C ）－1 （D ）7或－1 4．(x 2 ＋y 2 )(x 2 －1＋y 2 )－12＝0,则x 2 ＋y 2 的值是 ； 5．分解下列因式： (1).8xy(x －y)－2(y －x)3 ＊(2).x 6 －y 6 6．ａ、ｂ、ｃ为⊿ABC 三边，利用因式分解说明ｂ2 －(ａ2 -2ａｃ+ｃ2 ) 的符号 独立训练： 1．多项式x 2 －y 2 , x 2 －2xy ＋y 2 的公因式是 。 2．填上适当的数或式，使左边可分解为右边的结果： (1)9x 2－( )2＝(3x ＋ )( －15 y), (2).4x 2＋12xy + ( )2＝(2x+ ) 2 3．矩形的面积为6x 2 ＋13x ＋5 (x>0),其中一边长为2x ＋1,则另为 。 4．把a 2 －a －6分解因式，正确的是( ) (A)a(a －1)－6 (B)(a －2)(a ＋3) (C)(a ＋2)(a －3) (D)(a －1)(a ＋6) 5．多项式a 2＋4ab ＋2b 2,a 2－4ab ＋16b 2,a 2＋a ＋14 ,9a 2－12ab ＋4b 2 中，能用完全平方公式分解 因式的有( ) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 6．设(x ＋y)(x ＋2＋y)－15＝0,则x ＋y 的值是（ ） (A)-5或3 (B) -3或5 (C)3 (D)5 7．若x 2－mx ＋n ＝(x －4)(x ＋3) 则m,n 的值为（ ） (A) m ＝－1, n ＝－12 (B)m ＝－1,n ＝12 (C) m ＝1,n ＝－12 (D) m ＝1,n ＝12. 8．代数式y 2 ＋my ＋254 是一个完全平方式，则m 的值是 。 9．分解因式: (1).x 2 (y －z)＋81(z －y) (2).9m 2 －6m ＋1－n 2 ＊(3).a 2 ＋2ab ＋b 2 －2a －2b ＋1 第5课 分式 知识点: 分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算，零指数，负整数，整数，整数指数幂的运算 大纲要求: 了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。掌握分式的基本性质，会约分，通分。会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算。掌握整数指数幂的运算。 考查重点与常见题型: 1．考查整数指数幂的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题中，如：下列运算正确的是（ ） （A ）-40 =1 (B) (-2)-1= 1 2 (C) (-3m-n )2=9m-n (D)(a+b)2=a 2+b 2 2.考查分式的化简求值。在中考题中，经常出现分式的计算就或化简求值，有关习题多为中档的解答题。注意解答有关习题时，要按照试题的要求，先化简后求值，化简要认真仔细. 知识要点 1．分式的有关概念 设A 、B 表示两个整式．如果B 中含有字母，式子B A 就叫做分式．注意分母B 的值不能为零，否则分式没有意义 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简 2、分式的基本性质 ,M B M A B A ??= M B M A B A ÷÷= （M 为不等于零的整式） 3．分式的运算 (分式的运算法则与分数的运算法则类似)． bd bc ad d c b a ±=± (异分母相加，先通分)；;;bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? .)(n n n b a b a = 4．零指数 )0(10≠=a a 5．负整数指数 ).,0(1 为正整数p a a a p p ≠= - 注意正整数幂的运算性质 n n n mn n m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=?-+)(,)(),0(, 可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是O 或负整数． 考查题型: 1． 下列运算正确的是（ ） （A ）－40 =1 (B) (－2)-1= 1 2 (C) (－3m-n )2=9m-n (D)(a+b)2=a 2+b 2 2．．ａ3 、x-4x 、x-ｙ2 、1ａ 、ｐЛ＋1 、32 ａ＋ｂ、3ａｂ2ｃ3 5 中分式有＿＿＿ 3．当x=-----------时， 分式|x|-1 (x-3)(x+1) 的值为零； 4．当x 取---------------值时，分式5 4 x -有意义； 5．化简(1)2 2bc 2a a b c (2). 211x x x +-- (3).22 4422 2(4)x xy y x y x y -+-÷- (4) ( x+2x 2-2x – x-1x 2-4x+4 )÷x-4 x 6．先化简后再求值： (1) 2223123111a a a a a a ++---++,其中a=-3 (2) 2222a -b 2441a b a b a a b b -+++- ÷ ,其中(3) 请先化简,再选取一个你喜欢的数代入求值 32 2211x x x x x x --+-- 7.(1) 已知 2113,x x x + =+2求x 的值 (2) 已知 34x y = ,22 2 y x x x y x y x y +--+-求的值 考点训练： 1， 分式-3 x-2 当x=----------- 时有意义，当x=-----------时值为正。 2， 分式1 1-11-x 2 中的取值范围是（ ） （A ）x ≠1 （B ）x ≠-1 （C ）x ≠0 （D ）x ≠±1且x ≠0 3， 当x=-------------------时，分式|x|-3 x 2+4x+12 的值为零？ 4， 化简 （1） 1－1x+1 +2 1-x 2 (2) 已知b(b －1)－a(2b －a)=－b+6，求a 2+b 2 2 –ab 的值 解题指导: 1．当a=----- -时,分式a 2-1 a 2-2a-3 无意义,当a -=----- -时,这个分式的值为零. 2．写出下列各式中未知的分子或分母, (1) x-y 5y =(y-x)2( ) (2)-2x 1-2x =( )2x 2-x 3．不改变分式的值,把分式43 b+21 2 -2b 2 的分子,分母各项的系数化为整数,且最高次项 的系数均为正整数,得-------------------------，分式ａ2－1 －ａ2－ａ＋2 约分的结果为＿＿＿＿。 4．把分式3x x+y 中的x,y 都扩大两倍,那么分式的值( ) (A)扩大两倍 (B) 不变 (C) 缩小 (D) 缩小两倍 5．分式－12x 2 , 5x-14(m-n) ,2 n-m 的最简公分母为( ) (A) 4(m －n)(n －m)x 2 (B)1 4x 2(m-n) (C)4x 2(m －n)2 (D)4(m －n)x 2 6．下列各式的变号中,正确的是 (A)x-y y-x = － y-x x-y ( B)x-y y-x 2 =y-x y-x 2 (C) -x-1-y+1 =x-1y+1 (D)-x-y y-x ＝－ x+y y-x 7．若x >y>0,则 x+1y+1 － y x 的结果是( ) (A) 0 (B)正数 (C) 负数 (D) 以上情况都有可能 8．化简下列各式: (1) 1a-3 +a+16+2a － 6a 2-9 (2) (xy+y 2 )÷ x 2+2xy+y 2xy ·x+y y 2 ＊(3) [1－(a －11-a )2 ÷ a 2-a+1a 2-2a+1 ]·11-a (4) 若( 2 –1)a=1，求a 1+1a －1 1+a +1的值 (5) 已知 x 2 －5xy+6y 2 =0 求 x 2+3xy 2y 2 的值 独立训练 1．化简6-5x+x 2x 2-16 ÷ x-34-x · x 2+5x+4 4-x 2 ＊2．当a= 3 时，求分式(a 2+6a 2-1 － a+1a-1 +1) ÷a 3+8 a 4+3a 3+2a 2 的值 ＊3．化简 a a+1 +11+3a 2a 2-1 4。已知 1a +1b = 1a+b 值,求a b +b a 的值 5．已知m 2－5m+1=o 求(1) m 3+1m 3 (2)m －1 m 的值 ＊6。当x=1998,y=1999时， 求分式 x 4-y 4 x 3+x 2y+xy 2+y 3 的值 7．已知a+2b 5 =3b-c 3 =2c-a 7 ,求 c-2b 3a+2b 的值 中考总复习：数与式综合复习—知识讲解（基础） 【考纲要求】 (1) 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的倒数、相反数与绝对值．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算； （2）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；会用根号表示数的平方根、立方根．了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算； （3）了解整式、分式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算．会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、实数的有关概念、性质 1．实数及其分类 实数可以按照下面的方法分类： 1 实数还可以按照下面的方法分类： 要点诠释：有理数和无理数统称实数．整数和分数统称有理数．无限不循环小数叫做无理数． ．数轴2规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数和数轴上的点是一一对应的关系．要点诠释：实数和数轴上的点的这种一一对应的关系是数学中把数和形结合起来的重要基础． ．相反数3叫做互为相反数．零的相反数是零．和-a 实数a 一般地，数轴上表示互为相反数的两个点，分别在原点的两旁，并且离原点的距离相等． 要点诠释：；反＝0和b互为相反数，那么a+b两个互为相反数的数的运算特征是它们的和等于零，即如果a b互为相反数．0，那么a和过来，如果a+b＝ 4．绝对值一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即；|a|＝a如果 a＞0，那么；＝-a|a|如果a＜0，那么 ．＝0a＝0，那么|a| 如果要点诠释：从绝对值的定义可以知道，一个实数的绝对值是一个非负数． 5．实数大小的比较在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数较大． 6．有理数的运算．略运算法则() (1) 运算律： (2) ；＝b+a加法交换律 a+b a+(b+c)；(a+b)+c 加法结合律＝；＝乘法交换律 abba a(bc)＝；乘法结合律 (ab)c ．＝律配分 a(b+c)ab+ac2 (3)运算顺序：在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，加、减是第一级运算，乘、除是第二级运算，乘方、开方是第三级运算．在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后进行第一级运算，也就是先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．算式里如果有括号，先进行括号内的运算． 如果只有同一级运算，从左到右依次运算． 7．平方根 x＝a，那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)． 2如果 要点诠释： 正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根． 8．算术平方根 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．零的算术平方根是零． 要点诠释： 从算术平方根的概念可以知道，算术平方根是非负数． 9．近似数及有效数字 近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字． 10．科学记数法 n10称为用科学记)，而小于10的数(的形式其中n是整数，a是大于或等于把一个数记成±a×1 数法表示这个数． 考点二、二次根式、分式的相关概念及性质 1．二次根式的概念a 0) 的式子叫做二次根式．(a ≥形如 2．最简二次根式和同类二次根式的概念最简二次根式是指满足下列条件的二次根式： 被开方数不含分母； (1) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． (2) 这几个二次根式就叫做同类二次根式．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，要点诠释：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们.把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母 1、整数 整数（Integer ）：像-2，-1，0，1，2这样的数称为整数。（整数是表示物体个数的数，0表示有0个物体）整数是人类能够掌握的最基本的数学工具。整数的全体构成整数集，整数集合是一个数环。在整数系中，自然数为0和正整数的统称，称0为零，称-1、-2、-3、…、-n 、… (n 为整数)为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。 一个给定的整数n 可以是负数（n ∈Z-），非负数（n ∈Z*），零（n=0）或正数（n ∈Z+）． 如何分类 我们以0为界限，将整数分为三大类 a 、正整数，即大于0的整数如，1，2，3，…，n ，… b 、0 既不是正整数，也不是负整数，他是介于正整数和负整数的数 c 、负整数，即小于0的整数如，-1，-2，-3，…，-n ，… 2、分数 把整体“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母表示把一个物体平均分成几份,分子是表示这样几份的数。把1平均分成分母份，表示这样的分子份。 分子在上分母在下，（如这样表示b a ）也可以把它当做除法来看，用分子除以分母，相反除法也可以改为用分数表示。 百分数与分数的区别 （1）意义不同，百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可带单位名称。 （2）百分数的分子可以是整数，也可以是小数；而分数的分子不能是小数只是除0以外的自然数；百分数不可以约分，而分数一般通过约分化成最简分数。 （3）任何一个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的意义。 （4）应用范围的不同，百分数在生产和生活中，常用于调查、统计、分析和比较，而分数常常在计算、测量中的不到整数结果时使用。 3、正数与负数 正数：大于0的数叫正数。如1、15、3000、 负数：比零小（<0 )的数。用负号（即相当于减号）“－”标记。如-2、-5.33、-45、-0.6等。 任何正数前加上负号都等于负数. 负数比零，正数小 在数轴线上，负数都在0的左侧，没有最大与最小的负数，所有的负数都比自然数小。 七年级上1.1 4、有理数 整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数n m （m 、n 都是整数，且n≠0）的形式。 无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number ，而rational 通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio ，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很 初中数学数与式 第一章 实数 ★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 1．数的分类及概念 数系表： 说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏） 2）有标准 2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x ≥0） 常见的非负数有： 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数： ①定义及表示法 ②性质：A.a ≠1/a （a ≠±1）;B.1/a 中，a ≠0;C.0＜a ＜1时1/a ＞1;a ＞1时，1/a ＜1;D.积为1。 4．相反数： ①定义及表示法 ②性质：A.a ≠0时，a ≠-a;B.a 与-a 在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。 5．数轴：①定义（“三要素”） ②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数 的一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数） 定义及表示： 实数 无理数(无限不循环小数) 正分数 负分数 正整数 0 负整数 (有限或无限循环性数) 整数 分数 0 实数 负数 整数 分数 无理数 有理数 正数 整数 分数 无理数 有理数 │a │ 2 a a (a ≥0) (a 为一切实数) 奇数：2n-1 偶数：2n （n 为自然数） 7．绝对值：①定义（两种）： 代数定义： 几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点 的距离。 ②│a │≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a 的绝对值只有一个;④ 处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 1． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2． 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律） 3． 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左” 到“右”（如5÷5 1×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例（略） 附：典型例题 1． 已知：a 、b 、x 在数轴上的位置如下图，求证：│x-a │+│x-b │ =b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，（a ≠0，b ≠0），判断a 、b 的符号。 第二章 代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 分类： 1.代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独 的一个数或字母也是代数式。 整式和分式统称为有理式。 2.整式和分式 含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。 有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 3.单项式与多项式 没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母） a(a≥0) -a(a<0) │a │= a x b 单项式 多项式 整式 分式有理式 无理式 代数式 初三数学第一轮总复习 第一讲实数的概念及实数的运算 （一）：【知识梳理】 1.实数的有关概念 (1)有理数: 和 统称为有理数。 （2）无理数： 小数叫做无理数。 （3）实数： 和 统称为实数。 （4）实数和 的点一一对应。 （5） 实数的分类 ①按定义分: ②按符号分: 实数( ) ( )0() ()()( )? ???????????????? ； 实数( )( )()0()( )( ) ??????? ?? ?????? （6）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。若a 、b 互为相反数，则 。 （7）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。 （8）倒数：乘积 的两个数互为倒数。若a （a≠0）的倒数为1a . 。 （9）绝对值： =a 2.科学记数法、近似数和有效数字 （1）科学记数法：把一个数记成±a×10n 的形式（其中1≤a<10，n 是整数） （2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。 （3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。 3.实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、 ，然后 ，最后 ．有括号 时，先算 里面，再算括号外。同级运算从左到右，按顺序进行。 4.实数的大小比较 5.零指数幂和负指数幂:当a ≠0时a 0 =____;当a ≠0时且n 为整数时,a -n =(a 1 )n 6.三个重要的非负数： 二：【经典考题剖析】 例1 ①a 的相反数是-1 5 ,则a 是_______。(3－2)的倒数是_______，相反数是______． ②．数a ，b 在数轴上的位置如图所示: 化简2 () ()|| a a b a b a b -+--. a b ③去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约______________________． 6.3 《实数的概念及分类》导学案 教学目标： 认知目标：1.了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类， 2.了解实数与数轴上点的一一对应关系。 过程目标：1.在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩 充到实数的范围，从而总结出实数的分类， 2.通过实数与数轴上点的对应关系的探究，体验“数形结合”思想。 情感目标： 经历探索从有理数到实数的扩充过程，培养探究精神，激发求知热 情；通过实数的分类，培养分类思想，发展分类意识。 教学重点：无理数，实数的概念及实数的分类； 教学难点：无理数概念及实数与数轴上点的一一对应关系 教学过程： 【知识回顾，创设情境】 1、把下列各数按要求填在横线上： 整数 ；分数 ；正数 2、有理数是怎样定义的? 有理数分类有哪两类标准？请与他人交流 。 【合作交流，探究新知】 有理数包括整数和分数，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3= ，35 = ，478= ，911= ，119 = 59= 我们发现，上面的有理数 归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。 猜想：有限小数或无限循环小数都能转化为分数吗？ 验证：下列有限小数能化为分数吗？ 5、2.3、0.25、1.334 无限循环小数能转化为分数吗？ 阅读下列材料 设x=0.3=0.333…① 则10x ＝3.333… ② 则②－①得９x=3,解得x=1/3，即0.3=1/3 结论：有限小数或无限循环小数都能转化为分数 拓展：有限小数或无限循环小数就是有理数 问题：我们在求一个数的平方根或立方根时，发现有些数的平方根或立方 根是这样的小数，如=3.1415926552374 …， 1.101001000100001. …， … 这些小数有什么共同点？它们是有理数吗？如果不是，它们是什么数呢？ . 第二章数学教学的测量与评价 一、目的 （1）鉴定和诊断数学教学的效果 （2）调节学生的学习与教师的教学 （3）督促和激励师生继续努力 二：一般程序 （1）测量与评价数学教学的准备阶段 ①数学教学评价的指标体系 （数学教学是一个复杂的活动，所以常用一个指标体系来评价它） ②数学教学评价指标体系的建立 各评价指标的目的性，要求指标体系中的各指标能够作为标准的尺度，如评价学生的数学学习时，评价指标体系要能反映数学教学目标的要求。 各指标之间的独立性，要求尽可能得保持指标体系中诸指标的独立性，减少指标间的彼此相关或部分包含关系 整个指标体系的完备性，要求整个指标体系对于评价标准来说，具有全面评价的意义 可测性，说明诸指标是可以直接测量的 确定指标体系的权值也是建立指标体系的一项重要工作 ③测量数学教学的方法（测验法、观察法、谈话法（又称访谈法）、问卷法等） （2）数学教学测量和评价实施阶段 分两步：预测与正式施测 （3）整理与分析测量的结果 （4）对数学教学进行评价 ①形成性评价与终结性评价 ②绝对评价与相对评价 ③教师对学生的评价与学生的自我评价 ④成长记录袋评价（档案袋评价） 三、关于数学测验的基本理论 （1）什么是数学测验 三个特征：一个测验是一个行为样本； 这个样本是在标准化条件下获得的； 在记分或从行为样本中获得数量化信息方面有已有的规则 ①行为样本 ②标准化 ③效度（描述数学测验有效性的指标，说明该测验的准确性程度） ④信度（描述数学测验可靠性的指标，对测量结果一致性程度的估计） ⑤项目分析⑥ （2）编制数学测验的一般过程 ①测验目的的确立和材料的选择 ②选择与编制数学测验题目的原则 （测题的取样应有代表性；难度要有一定的分布范围；文字简练，不重不漏； 各测题要尽量彼此独立；答案的正确性是没有争议的；知识的记忆、原理 的应用要有恰当的比例；形式应根据测验的目的、材料的性质、学生的年 级而确定；测题的数目至少要比最后所需的数目多一倍，以备日后删除淘 汰，也可编制备份，交替使用） ③常用的数学测验题型（选择题、填空题、计算题、证明题、综合题） 中考数学复习专题1《数与式》 考点1 有理数、实数的概念 【知识要点】 1、实数的分类：有理数，无理数。 2、实数和数轴上的点是___________对应的，每一个实数都可以用数轴上的________来表示，反过来，数轴上的点都表示一个________。 3、______________________叫做无理数。一般说来，凡开方开不尽的数是无理数，但要注意，用根号形式表示的数并不都是无理数（如4），也不是所有的无理数都可以写成根号的形式（如π）。 【典型考题】 1、把下列各数填入相应的集合内： 5 1.0,25.0,,8,32,138,4,15,5.73&&π- 有理数集{ }，无理数集{ } 正实数集{ } 2、在实数27 1,27,64,12,0,23, 43--中，共有_______个无理数 3、在4,45sin ,3 2,14.3,3?--中，无理数的个数是_______ 4、写出一个无理数________，使它与2的积是有理数 【复习指导】 解这类问题的关键是对有理数和无理数意义的理解。无理数与有理数的根本区别在于能否用既约分数来表示。 考点2 数轴、倒数、相反数、绝对值 【知识要点】 1、若0≠a ，则它的相反数是______，它的倒数是______。0的相反数是________。 2、一个正实数的绝对值是____________；一个负实数的绝对值是____________； 0的绝对值是__________。???<≥=) 0____()0____(||x x x 3、一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与______的距离。 【典型考题】 1、___________的倒数是2 11-；0.28的相反数是_________。 2、如图1，数轴上的点M 所表示的数的相反数为_________ M 3 图1 初中数学数与式总复习 注意：1.最简分数是有理数。2. n 、最简根式、e 等是无理数。 (2) 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 (画数轴时，要注意 上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是 ---------- 对应的。数轴上任一 点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3) 相反数 实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反 数是零). 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. (4) 绝对值 a(a 0) |a | 0(a 0) a(a 0) 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5) 倒数 实数a(a 工的倒数是丄(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数. 【例题经典】 理解实数的有关概念 例1①a 的相反数是-丄,则a 的倒数是 5 ----- 4 --------- 4 ---- * ②实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示： b 0 a 则化简 |ba |+ ―b)2 = __________ . ③去年泉州市林业用地面积约为 10200000亩,用科学记数法表示为约 【点评】本大题旨在通过几个简单的填空,让学生加强对实数有关概念的理 解. 例 2.(-2)3 与-23(). (A)相等 (B)互为相反数 (C)互为倒数 (D)它们的和为16 分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。 实数的有关概念 ⑴实数的组成 正整数 整数 有理数 实数 分数 负整数 正分数 负分数 有尽小数或无尽循环小数 无理数 正无理数 负无理数 无尽不循环小数 例3.-.、3的绝对值是；-3丄的倒数是；4的平方根是? 2 9 分析：考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不要混淆。 答案：,3 , -2/7,切3 例4.下列各组数中，互为相反数的是() A. -3 与3 B -3 | 与一- C.| -3 | 与- D . -3 与，(-3)2 3 3 分析：本题考查相反数和绝对值及根式的概念掌握实数的分类 例1 下列实数22、sin60 ° —、(0) °、3.14159、-宾、(-厲)-2、V8 中无7 3理数有()个 A. 1 B. 2 C . 3 D. 4 【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断. 实数的运算 (1) 加法 同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 任何数与零相加等于原数。 (2) 减法a-b=a+(-b) ⑶乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零.即 |a| |b|(a,b同号) ab | a | | b | (a,b异号) 0(a或b为零) a 1 ⑷除法—a -(b 0) b b (5) 乘方a n aa a n个 (6) 开方如果x2= a且x>0那么Q a = x；如果x3=a，那么Va x 在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减.有括号时，先算括号里面. 3.实数的运算律 (1) 加法交换律a+b= b+a (2) 加法结合律(a+b)+c=a+(b+c) (3) 乘法交换律ab= ba (4) 乘法结合律(ab)c=a(bc) (5) 分配律a(b+c)=ab+ac 其中a、b、c表示任意实数?运用运算律有时可使运算简便. 【例题经典】 例1、若家用电冰箱冷藏室的温度是4C,冷冻室的温度比冷藏室的温度低22C, 则冷冻室的温度 第一章实数的概念、性质和运算 【考试大纲内容精要解析】 第一节“条件充分性判断”——解题策略与应试技巧 MBA联考综合能力考试中，数学部分有问题求解和条件充分性判断两大题型。内容涉及实数的概念、性质和运算，整式和分式，方程和不等式，数列，排列组合与概率论初步，平面几何与解析几何初步等数学基础知识。从大纲要求上看，条件充分性判断题主要考查考生对数学的基本概念、基本方法的熟练掌握程度，并能够迅速准确地判断题干中陈述的结论可否由条件（1）或（2）推出。因而考生在备考时应对于充分条件的有关概念、联考题型的结构及其逻辑关系以及解题策略和应试技巧等有一个全面的理解和把握。 以下我们就从这几个方面并结合联考真题进行分析： 一、充分条件的有关概念 1、四种命题及其关系： 原命题互逆逆命题 若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ 互互 互为为互 否否 逆逆 否否 否命题逆否命题 若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ 【注】：互为逆否的两组命题等价（即同真同假） 2、充分条件、必要条件 )，称p是q的充分条件，q是p的必要条件 若p，则q（即p q 充分条件：有之则必然，无之未必不然 必要条件：有之未必然，无之则必不然 【注】：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 具体判断时:注意两点：（1）分清条件与结论——抓“主语” （2）推导方向 对于具体问题可以有以下情况：（1）充分不必要 (2) 必要不充分 （3）充分而且必要（充要） （4）既不充分也不必要 3、MBA 联考中，只要求判定“充分性”——有之则必然 （1）若p 是q 的充分条件，也说：p 具备了使q 成立的充分性； （2）若p 不是q 的充分条件，即 p q ?，也即：p 不具备使q 成立的充分性。 由于在MBA 联考中，只要求对条件充分性进行判断，故实际上只需考虑“p q ?”与“p q ?”两种类型的命题真假。 解题关键——“有之则必然，无之未必不然”，重点在前一句。 例1：x,y 是实数，︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣ (1)x ＞0, y ＜0 (2) x ＜0, y ＞0 【解题分析】：（1）“有之” x ＞0,y ＜0 “则” ︱x ︱+︱y ︱=x －y ︱x －y ∣= x －y (∵x －y ＞0) “必然”︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣ 故条件（1）充分 （2）“有之” x ＜0,y ＞0 “则” ︱x ︱+︱y ︱＝﹣x ＋y ︱x －y ∣＝﹣x ＋y (∵x －y ＜0） “必然”︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣ 故条件（2）也充分 注：对“无之未必不然”可以这样理解。如上例中条件（1）为结论成立的充分条件，但若无条件（1）（即“无之” ），结论未必不成立（“未必不然”）。如上述的条件（2）仍然使结论成立。这说明充分条件不一定唯一。 4、从集合的角度分析 若从集合的观点对条件充分性问题加以分析。我们可以发现：条件充分性问题实质上是两个集合之间的一种蕴含关系。 对于命题：“若A ，则B ”，实质上是指A 蕴含B 。回顾集合之间的包含关系：若A ?B （即A 是B 的子集），指“对任意的x ∈A,有x ∈B ”。这正是关系“A B ?”。因而我们有：若能够判断出A ?B ，即A 是B 的子集，则A 就是B 的充分条件。 MBA 中的很多问题，可以用集合的方法进行判断。 例2：关于x 的不等式x ≤1. (1) x ＜1 (2)x ＝1 解题分析：设B ＝｛x ∣x ≤1｝，A 1＝｛x|x ＜1｝，A 2=｛x ∣x ＝1｝ 虽然有A 1?B ，A 2?B 故条件（1）充分，条件（2）也充分。 注：对于任意两个集合A 与B ，它们之间可能的关系有： （ⅰ） （ⅱ） （ⅲ） （ⅳ） （ⅴ） MBA 联考中的“条件充分性判断”问题，由于只考虑充分性，如判断A 是否为B 的充分条件，则只有图(ⅲ)、(v) 满足A ?B 。 即A 是B 的充分条件，其它关系下，A 都不是B A B A B B A A B A （B ） 编号考点摘录答案要点 1 初中数学课程内容(4) (动手课教学)课程目标、教学内容、教学过程、评价手段 2 确定数学课程内容的主要依据(3) (单元课标知识)数学课程标准、单元目标、具体数学知识点 3 影响初中数学课程的主要因素(4) (心理内涵现状)学科内涵、社会发展现状、学生心理特征 4 初中数学课程性质(3) (吉普车展) 基础性、普及性、发展性 5 “数学课程目标”从根本上明确了哪些问题(3) (是什么，为什么，得什么) 6 初中数学课程的基本理念(5) (双内教学评技术) 课程内涵、内容、教学过程、学习评价、技术与数学课程 7 数学课程核心概念(10) (星空感应符合分算模拟) 8 初中数学课程总体目标(4) 四基 (智能验想)基础知识、基本技能、思想、活动经验 9 初中数学课程学段目标(4) (智能思考问情)（知识技能、数学思考、问题解决、情感态度） 10 总体目标和学段目标的关系(3) (总学四过结)总体学段目标、总目标四方面、过程与结果目标 11 初中数学课程的内容标准(4) (数形统合) (数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践) 12 综合与实践——设置必要性(3) (定义+学生能力+学科联系) 综合与实践——教学特点(5) (综合实践放生自主) 综合、实践、开放、生成、自主性 综合与实践——新课标教学要求(8) (暑假用心刻度河流心域反思问法) 综合与实践——课程目标(3) (合作实施发现问题+报告论文总结+探讨关联应用意识) 综合与实践——课程内容(4) (合作探究抽象问题) 综合与实践——课程本质及要求(2) (解决问题活动+独思自探+合流)(学生积极主动+教师尊重自主) 综合与实践——课程实施要点(3) (综合探索实践) (突出实践、强调综合、以探索为主线) 综合与实践——课程作用主动、个性、学习方式、探究、情感价值、能力、创新、经验 13 初中数学课程教学建议(6) (施主标地基验情态) 14 教学中应当注意的几个关系(4) 预设生成、全体个体、合情演绎、现代技术与手段多样 15 初中数学课程评价要点(6) 见后 16 初中数学课程评价形式(8) (口述成长两课三后) 17 初中数学课程评价实施建议(7) 见后 18 教学原则(4) (抽烟公论)抽象具体、严谨量力、理论实际、巩固发展 19 数学教学过程(5) (北外教学评上985)备课、上课、课外、成绩考核、教学评价 20 五段教学法(5) 引入、讲解、联系、总结、应用 21 数学教学方法定义加后 22 初中数学教学常用的教学方法(5) (自发讲论坛)自学辅助、发现法、讲授法、讨论法、谈话法 23 教学方法如何选择/需要考虑什么(5) (课目+学生+教学内件法) 24 概念间的逻辑关系(2) (相容:全同\交叉\从属；不相容:对立\矛盾) 25 概念下定义的常见方式(4) (公鼠秒揭)公理性、属加种差、描述性、揭示外延 26 概念教学基本要求(3) (内涵表达+运用+关系分类体系) 27 概念教学的一般过程(4) (引确固用) 引入、明确、巩固、运用 28 命题教学的基本要求(3) (理解运用系统) 29 命题教学的一般过程(5) (引证明雇佣) 1.引入 2.证明 3.明确 4.巩固 5.应用 30 命题教学的策略(5) (被提问生过情) 31 应处理好以下几种关系(教学规律)(5) 间直、技能能力、技能与数学观、认知与非认知、教师主导学生主体 32 数学问题的设计原则(3) (可行性原则、渐进性原则、应用性原则) 33 数学学习概述及特点见后 34 影响学生数学学习内因(2) 非认知因素+认知因素 35 影响学生数学学习外因见后 实数的概念与运算 (1) 班级________ 姓名________ 小组 _______ 一：学习目标：了解实数的定义与分类，会进行实数的有关运算.提高运算能力。 二：学习过程： （一）：【知识梳理】 1.实数的有关概念 （1）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。若a 、b 互为相反数，则 。 （2）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。 （3）倒数：乘积 的两个数互为倒数。若a （a ≠0）的倒数为1a .则 。 （4）绝对值： （5）实数和 的点一一对应。 2.科学记数法、近似数和有效数字 （1）科学记数法：把一个数记成±a ×10n 的形式（其中1≤a<10，n 是整数） （2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。 有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这 个数字的有效数字。 3.实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、 ，然后 ，最后 ． 有括号时，先算 里面，再算括号外。同级运算从左到右，按顺序进行。 4.实数的大小比较 （1）差值比较法：a b -＞0a ?＞b ，a b -=0a b ?=，a b -＜0a ?＜ b （2）商值比较法： 若a b 、为两正数，则a b ＞1a ?＞b ；1;a a b b =?=a b ＜1a ?＜b （3）绝对值比较法： 若a b 、为两负数，则a ＞b a ?＜b a b a b a =?=；；＜b a ?＞b 5．二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2() ()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥ 二：【经典考题剖析】 1．下列各数中：-1，0，169，2π ，1.1010016.0, ,12-, 45cos ,- 60cos , 722,2,π-722. 有理数集合{ …}； 正数集合 { …}； 整数集合 { …}； 自然数集合{ …}； 分数集合 { …}； 无理数集合{ …}； 2. 已知(x-2)2 +|y-4|+6z -=0，求xyz 的值．． 课海拾贝/ 反思纠错 初中数学数与式总 复习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初中数学 数与式 总复习 实数的有关概念 (1)实数的组成 {}?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 注意：1.最简分数是有理数。2. π、最简根式、e 等是无理数。 (2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3)相反数 实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零)． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值 ?? ???<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数 实数a(a≠0)的倒数是a 1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数． 【例题经典】 理解实数的有关概念 例1 ①a 的相反数是-15 ,则a 的倒数是_______． ②实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示:0a b 则化简│b -． ③去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约______________________． 【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解． 例2.(-2)3与-23( )． (A)相等 (B)互为相反数 (C)互为倒数 (D)它们的和为16 分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。 例3.-3的绝对值是 ；-321 的倒数是 ；9 4的平方根是 ． 分析：考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不要混淆。 答案：3，-2/7，±2/3 例4.下列各组数中，互为相反数的是 ( ) A ．-3与3 B ．｜-3｜与一31 C ．｜-3｜与3 1 D ．-3与2(-3) 分析：本题考查相反数和绝对值及根式的概念 掌握实数的分类 例1 下列实数227、sin60°、3 π 0、3.14159、 ）-2 无理数有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断． 实数的运算 (1)加法 同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 任何数与零相加等于原数。 (2)减法 a-b=a+(-b) (3)乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即 ?? ????-?=)(0),(||||),(||||为零或异号同号b a b a b a b a b a ab (4)除法 )0(1≠?=b b a b a (5)乘方 个 n n a aa a = (6)开方 如果x 2＝a 且x≥0，那么a ＝x ； 如果x 3=a ，那么x a =3 在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面． 3．实数的运算律 (1)加法交换律 a+b ＝b+a 初中数学的基本概念 数学 SHU XUE 第一章有理数 一．基本概念 １．大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数；0既不是正数也不是负数． 注（１）正负数通常用来表示一对具有相反意义的量．（２）不一定是负数． （３）负数＜０＜正数．（要会比较两个数的大小） ２有理数＂或有理数 注：了解几个概念，＂正整数＂、＂负整数＂、＂非正整数＂、＂非负整数＂． ３．数轴的三要素：原点、正方向和单位长度．（判断是不是数轴的依据） ４．（１）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （２）倒数：乘积为１的两个数叫做互为倒数． （３）绝对值：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值． 注：① 互为相反数的两数之和为０；互为倒数的两数之积为１． ② ０的相反数是０；０的绝对值是０；０没有倒数． ③ 出现＂平方＂、＂绝对值＂、＂距离＂等关键字的题目，一般有两个答案． 例如：平方为９的数有±３；绝对值为３的数有±３；距离原点３个单位长度的点表示的数是±３． 注：要求能够熟练、快速、准确的求出任意一个数的相反数、倒数（０除外）和绝对值． 相反数 绝对值 倒数 正数 负数 正数 正数 负数 正数 正数 负数 ０ ０ ０ 不存在 ５．科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式，就 叫做科学记数法． 注：是整数位只有一位的数，是正整数． ６（１）近似数：它是相对于精确数来说的． （２）有效数字：从一个数的左边第一个非０数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 二．有理数的运算法则 １．加法法则： （１）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． （２）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． （３）０加任何数都得任何数． ２．减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数．即 注：加上一个数等于减去这个数的相反数．例如． ３．乘法法则： （１）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （２）０乘任何数都得０． ４．除法法则： 九年级数学专题复习教学设计《数与式》 ——万安中学成冬琴 【学习目标】 1.正确理解实数的有关概念，能用数轴上的点表示实数； 2.借助数轴理解相反数、绝对值的意义，掌握求实数相反数、绝对值和倒数的方法； 3.掌握科学计数法表示一个数，能按问题的要求对结果取近似值. 【重点难点】 实数的有关概念 【学习过程】 一、自主学习 考点一 实数的有关概念 1．数轴 规定了____、______、_____的直线，叫做数轴．____和数轴上的点是一一对应的． 2．相反数 (1)实数a 的相反数为____；(2)a 与b 互为相反数?______________； (3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离__________ 3．倒数 (1)实数a 的倒数是______，其中a____0；(2)a 和b 互为倒数?___________ 4．绝对值 在数轴上表示一个数的点离开_____的距离叫做这个数的绝对值．即一个正数的绝对值等于它_____，0的绝对值是___，负数的绝对值是它的__________. 即|a|＝???? ? a a ＞ 00 a ＝ － a a ＜ 考点二 实数的分类 考点三 平方根、算术平方根、立方根 1．若________(a ≥0)，则x 叫做a 的平方根，记作______；正数a 的_________叫做算术平方根，记作______ 2．平方根有以下性质 (1)正数有两个平方根，它们_____________；(2)0的平方根是____；(3)_________没有平方根． 3．如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，记作________ 考点四 科学记数法、近似数、有效数字 1．科学记数法 把一个数N 表示成____________(__≤|a|＜____，n 是整数)的形式叫科学记数法． 2．近似数与有效数字 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从__边第一个不为0的数字起，到______数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字． 二、合作交流 例1.下列运算正确的是（ ） A ．33--= B ．3 )3 1(1-=- C 3=± D 3=- 例 ） A ． C ． D 例3.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示， 则必有（ ） A ．0a b +> B ．0a b -< C ．0ab > D ．0a b < 例4.有一个运算程序，可以使： a ⊕ b = n (n 为常数)时，得 （a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3 现在已知1⊕2 = 4，那么2013⊕2014 = ． 0 a 0 第1讲实数概念与运算 一、知识梳理 实数的概念 1、实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数的概念。 (1)_____________叫有理数，_____________________叫无理数；______________叫做实数。 (2)相反数：①定义：只有_____的两个数互为相反数。实数a的相反数是______0的相反数是________ ②性质：若a+b=0 则a与b互为______, 反之，若a与b 互为相反数，则a+b= _______ (3)倒数： ①定义：1除以________________________叫做这个数的倒数。 ②a 的倒数是________(a≠0) (4)绝对值：①定义：一般地数轴上表示数a的点到原点的_______, 叫数a的绝对值。 ② 2、平方根、算术平方根、立方根 (1)平方根：一般地，如果_________________________,这个数叫a的平方根，a的平方根表示为_________.（a≥0） (2)算术平方根：正数a的____的平方根叫做a的算术平方根，数a的算术平方根表示为为_____（a≥0） (3)立方根：一般地，如果_________,这个数叫a的立方根，数a的立方根表示为______。 注意：负数_________平方根。 实数的运算 1、有效数字、科学记数法 （1）有效数字：从一个数的_____边第一个_____起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。 （2）科学记数法：一个数M 可表示为a ?10n 或a ?10-n 形式，其中1//10a ≤∠，n 为正整数，当/M/≥10时，可表示为__________形式，当/M/<1时，可表示为____________形式。 2、实数的运算： （1）运算顺序：在进行混合运算时，先算______,再算_______，在最后算_________;有括号时，先算括号里面的。 （2）零指数：0a =__________（a≠0），负指数：p a -=________（a≠0，p 是正整数）。 特殊角的三角函数值：30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。 二、题型、技巧归纳 考点一：实数的概念 1、5-的相反数是（ ） A ．5 B ．5- C ．55- D ．55 2、如果 2()13?-=，则“”内应填的实数是（ ） A ． 32 B ． 23 C ．23- D ．32 - 3、在实数π、13 、2、sin30°,无理数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 技巧归纳： 1.只有符号不同的两个数互为相反数； 2.乘积为1的两个数互为倒数 3.无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 考点二：平方根、算术平方根、立方根 4、已知一个正数的平方根是32x -和56x +，则这个数是 ． 技巧归纳： 一个数的平方根互为相反数，相加等于0 考点三：实数的运算 5、PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025 m 的颗粒物．将0.0000025用科学记数法表示为( ) 初中数学基本知识点总结（精简版） 1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.737373…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数． 2、绝对值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14． 3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0． 4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10－5． 5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋ b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 6、幂的运算性质：①a m×a n＝a m＋n．②a m÷a n＝a m－n．③(a m)n＝a mn．④(ab)n＝a n b n．⑤()n＝n． ⑥a－n＝1 n a ，特别：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3a3)3＝27a9， (－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)o＝1，(－)0＝1． 7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如： ①(3)2＝45．②＝6．③a＜0时，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念） 8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0： ①求根公式是x＝ 24 b b ac -±- ，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式． 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根． ②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)． ③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0． 9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点． 10、反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反． 11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数北师大初中数学中考总复习数与式综合复习 知识讲解基础
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