第3讲 法拉第电磁感应定律及其应用
一、感应电流的产生条件
1、回路中产生感应电动势和感应电流的条件是回路所围面积中的磁通量变化，因此研究磁通量的变化是关键，由磁通量的广义公式中φθ=B S ·sin （θ是B 与S 的夹角）看，磁通量的变化?φ可由面积的变化?S 引起；可由磁感应强度B 的变化?B 引起；可由B 与S 的夹角θ的变化?θ引起；也可由B 、S 、θ中的两个量的变化，或三个量的同时变化引起。
2、闭合回路中的一部分导体在磁场中作切割磁感线运动时，可以产生感应电动势，感应电流，这是初中学过的，其本质也是闭合回路中磁通量发生变化。
3、产生感应电动势、感应电流的条件：穿过闭合电路的磁通量发生变化。
二、法拉第电磁感应定律 公式一： t n E ??=/φ
注意: 1)该式普遍适用于求平均感应电动势。
2)E 只与穿过电路的磁通量的变化率??φ/t 有关, 而与磁通的产生、磁通的大小及变化方式、电路是否闭合、电路的结构与材料等因素无关。
公式t
n E ??=φ
中涉及到磁通量的变化量?φ的计算, 对?φ的计算, 一般遇到有两种情况: 1)回路与磁场垂直的面积S 不变, 磁感应强度发生变化, 由??φ=BS , 此时S t
B n E ??=, 此式中的
??B
t 叫磁感应强度的变化率, 若
??B
t
是恒定的, 即磁场变化是均匀的, 那么产生的感应电动势是恒定电动势。 2)磁感应强度B 不变, 回路与磁场垂直的面积发生变化, 则??φ=B S ·, 线圈绕垂直于匀强磁场的轴匀速转动产生交变电动势就属这种情况。
严格区别磁通量φ, 磁通量的变化量?φB 磁通量的变化率
??φ
t
, 磁通量φ=B S ·, 表示穿过研究平面的磁感线的条数, 磁通量的变化量?φφφ=-21, 表示磁通量变化的多少, 磁通量的变化率??φ
t
表示磁通量变化的快慢,
公式二: θsin Blv E =
要注意: 1)该式通常用于导体切割磁感线时, 且导线与磁感线互相垂直(l B )。
2)θ为v 与B 的夹角。l 为导体切割磁感线的有效长度(即l 为导体实际长度在垂直于B 方向上的投影)。
公式Blv E =一般用于导体各部分切割磁感线的速度相同, 对有些导体各部分切
割磁感线的速度不相同的情况, 如何求感应电动势？
如图1所示, 一长为l 的导体杆AC 绕A 点在纸面内以角速度ω匀速转动, 转动的区域的有垂直纸面向里的匀强磁场, 磁感应强度为B , 求AC 产生的感应电动势, 显然, AC 各部分切割磁感线的速度不相等, v v l A C ==0,ω, 且AC 上各点的线速度大小与半径成
正比, 所以AC 切割的速度可用其平均切割速v v v v l A C C =+==
222ω, 故2
21l B E ω=。
ω2
2
1BL E =
——当长为L 的导线，以其一端为轴，在垂直匀强磁场B 的平面内，以角速度ω匀速转动时，其两端感应电动势为E 。
公式三：ω···S B n
E m =——面积为S 的纸圈，共n 匝，在匀强磁场B 中，以角速度ω匀速转坳，其转轴与磁场方向垂直，则当线圈平面与磁场方向平行时，线圈两端有最大有感应电动势m E 。
如图所示，设线框长为L ，宽为d ，以ω转到图示位置时，ab 边垂直磁场方向向纸外运动，切割磁感线，速度
为v d
=ω·
2
（圆运动半径为宽边d 的一半）产生感应电动势 ωω····BS d BL v BL E 2
1
2===，a 端电势高于b 端电势。
cd 边垂直磁场方向切割磁感线向纸里运动，同理产生感应电动热势ωBS E 2
1
=
。c 端电势高于e 端电势。 bc 边，ae 边不切割，不产生感应电动势，b ．c 两端等电势，则输出端M ．N 电动势为ωBS E m =。
如果线圈n 匝，则ω···S B n
E m =，M 端电势高，N 端电势低。
参照俯示图，这位置由于线圈长边是垂直切割磁感线，所以有感应电动势最大值m E ，如从图示位置转过一个
角度θ，则圆运动线速度v ，在垂直磁场方向的分量应为v cos θ，则此时线圈的产生感应电动势的瞬时值即作最大值θcos .m E E =.即作最大值方向的投影，θωcos ···S B n E =（θ是线圈平面与磁场方向的夹角）。 当线圈平面垂直磁场方向时，线速度方向与磁场方向平行，不切割磁感线，感应电动势为零。
●总结：计算感应电动势公式：
为平均感应电动势。
是平均速度，则如为即时感应电动势。是即时速度，则如E v E v BLv
E =
ω2
2
1BL E =
(道理同上)
，为即时感应电动势。
应电动势。为这段时间内的平均感
是一段时间，o t E t t n
E →????=φ
θωcos ···S B n E =（θ是线圈平面与磁场方向的夹角）
。
()()??
?==夹角是线圈平面与磁场方向瞬时值公式，····有感应电动势最大值线圈平面与磁场平行时··θθωωcos S B n
E BS n
E m
注意：区分感应电量与感应电流, 回路中发生磁通变化时, 由于感应电场的作用使电荷发生定向移动而形成感
应电流, 在?t 内迁移的电量(感应电量)为R
n t t R n t R E t I q φ
φ?=
???=?=
?=, 仅由回路电阻和磁通量的变化量决定, 与发生磁通量变化的时间无关。
例题分析
例1：如图所示，长L 1宽L 2的矩形线圈电阻为R ，处于磁感应强度为B 的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直。求：将线圈以向右的速度v 匀速拉出磁场的过程中，⑴拉力的大小F ； ⑵拉力的功率P ； ⑶拉力做的功W ； ⑷线圈中产生的电热Q ；⑸通过线圈某一截面的电荷量q 。
解：这是一道基本练习题，要注意计算中所用的边长是L 1还是L 2 ，还应该思考一下这些物理量与速度v 之间有什么关系。
⑴v R
v L B F BIL F R E I v BL E ∝=∴===22222,,,
⑵22222v R v L B Fv P ∝== ⑶v R v L L B FL W ∝==12221 ⑷v W Q ∝= ⑸ R
t R E t I q ?Φ
=
=
?=与v 无关 特别要注意电热Q 和电荷q 的区别，其中R q ?Φ=与速度无关！
例2：如图所示，竖直放置的U 形导轨宽为L ，上端串有电阻R （其余导体部分的电阻都忽略不计）。磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直于纸面向外。金属棒ab 的质量为m ，与导轨接触良好，不计摩擦。从静止释放后ab 保持水平而下滑。试求ab 下滑的最大速度v m
解：释放瞬间ab 只受重力，开始向下加速运动。随着速度的增大，感应电动势E 、感应电流I 、安培力F 都随之增大，加速度随之减小。当F 增大到F=mg 时，加速度变为零，这时ab 达到最大速度。
由mg R v L B F m
==22，可得22L
B mgR v m =
这道题也是一个典型的习题。要注意该过程中的功能关系：重力做功的过程是重力势能向动能和电能转化
的过程；安培力做功的过程是机械能向电能转化的过程；合外力（重力和安培力）做功的过程是动能增加的过程；电流做功的过程是电能向内能转化的过程。达到稳定速度后，重力势能的减小全部转化为电能，电流做功又使电能全部转化为内能。这时重力的功率等于电功率也等于热功率。
进一步讨论：如果在该图上端电阻的右边串联接一只电键，让ab 下落一段距离后再闭合电键，那么闭合电键后ab 的运动情况又将如何？（无论何时闭合电键，ab 可能先加速后匀速，也可能先减速后匀速，还可能闭合电键后就开始匀速运动，但最终稳定后的速度总是一样的）。
例3：如图所示，U 形导线框固定在水平面上，右端放有质量为m 的金属棒ab ，ab 与导轨
b
间的动摩擦因数为
μ，它们围成的矩形边长分别为L 1、L 2，回路的总电阻为R 。从t =0时刻起，在竖直向上方向加一个随时间均匀变化的匀强磁场B =kt ，（k >0）那么在t 为多大时，金属棒开始移动？
解：由t E ??Φ== kL 1L 2可知，回路中感应电动势是恒定的，电流大小也是恒定的，但由于安培力F=BIL ∝B =kt
∝t ，所以安培力将随时间而增大。当安培力增大到等于最大静摩擦力时，ab 将开始向左移动。这时有：
2
212211,L L k mgR
t mg R L kL L kt μμ==?
?
例4：如图所示，xoy 坐标系y 轴左侧和右侧分别有垂直于纸面向外、向里的匀强磁场，磁感应强度均为B ，一个围成四分之一圆形的导体环oab ，其圆心在原点o ，半径为R ，开始时在第一象限。从t =0起绕o 点以角速度ω逆时针匀速转动。试画出环内感应电动势E 随时间t 而变的函数图象（以顺时针电动势为正）。
解：开始的四分之一周期内，oa 、ob 中的感应电动势方向相同，大小应
相加；第二个四分之一周期内穿过线圈的磁通量不变，因此感应电动势为零；
第三个四分之一周期内感应电动势与第一个四分之一周期内大小相同而方向
相反；第四个四分之一周期内感应电动势又为零。感应电动势的最大值为
E m =BR 2ω，周期为T =2π/ω，图象如右。
例5：如图所示，矩形线圈abcd 质量为m ，宽为d ，在竖直平面内由静止自由下落。其下
方有如图方向的匀强磁场，磁场上、下边界水平，宽度也为d ，线圈ab 边刚进入磁场就开始
做匀速运动，那么在线圈穿越磁场的全过程，产生了多少电热？
解：ab 刚进入磁场就做匀速运动，说明安培力与重力刚好平衡，在下落2d 的过程中，重力势能全部转化为电能，电能又全部转化为电热，所以产生电热Q =2mgd 。
例6：如图所示，水平面上固定有平行导轨，磁感应强度为B 的匀强磁场方向竖直向下。同种合金做的导体棒ab 、cd 横截面积之比为2∶1，长度和导轨的宽均为L ，ab 的质量为m ,电阻为r ，开始时ab 、cd 都垂直于导轨静止，不计摩擦。给ab 一个向右的瞬时冲量I ，在以后的运动中，cd 的最大速度v m 、最大加速度a m 、产生的电热各是多少？
解：给ab 冲量后，ab 获得速度向右运动，回路中产生感应电流，cd 受安培力作用而
加速，ab 受安培力而减速；当两者速度相等时，都开始做匀速运动。所以开始时cd 的加
速度最大，最终cd 的速度最大。全过程系统动能的损失都转化为电能，电能又转化为内
能。由于ab 、cd 横截面积之比为2∶1，所以电阻之比为1∶2，根据Q=I 2
Rt ∝R ，所以cd 上产生的电热应该是回路中产生的全部电热的2/3。又根据已知得ab 的初速度为v 1=I/m ，因此有：2
/,,2,1m F a BLI F r r E I BLv E m ==+== ，解得r m I L B a m 2
2232=。最后的共同速度为v m =2I/3m ，系统动能损失为ΔE K =I 2/ 6m ，其中cd 上产生电热Q=I 2
/ 9m
例7：如图所示，水平的平行虚线间距为d =50cm ，其间有B=1.0T 的匀强磁场。一个正方形线圈边长为l =10cm ，线圈质量m=100g ，电阻为R =0.020Ω。开始时，线圈的下边缘到磁场上边缘的距离为h =80cm 。将线圈由静止释放，其下边缘刚进入磁场和刚穿出磁场时的速度相
等。取g =10m/s 2
，求：⑴线圈进入磁场过程中产生的电热Q 。⑵线圈下边缘穿越磁场过程中的最小速度v 。⑶线圈下边缘穿越磁场过程中加速度的最小值a 。
解：⑴由于线圈完全处于磁场中时不产生电热，所以线圈进入磁场过程中产生的电热Q
b
c
R v l B F 22 就是线圈从图中2位置到4位置产生的电热，而2、4位置动能相同，由能量守恒Q =mgd=0.50J ⑵3位置时线圈速度一定最小，而3到4线圈是自由落体运动因此有
v 02-v 2=2g (d-l )，得v =22m/s
⑶2到3是减速过程，因此安培力 减小，由F -mg =ma 知加速度减小，到3位置时加速度最
小，a=4.1m/s 2
例8.(16分)如图所示，两条足够长的互相平行的光滑金属导轨（电阻可忽略）位于水平面内，距离为Ｌ，在导轨的ab 端接有电阻R 和电流表，一质量为m 、电阻为r 、长为Ｌ的金属杆垂直放置在导轨上，杆右侧是竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为Ｂ。现用一水平并垂直于杆的力Ｆ拉杆，求当电流表示数稳定是多少、方向如何和此时杆的速度．
解：(1)开始一段时间，力F 大于安培力，所以金属杆做加速度减小的变加速运动，随速度的增大安培力也增大，当安培力大小等于F 时，金属杆将做匀速直线运动，由二力平衡得，
Ｆ= =BIL (4分) 得 I= ①(1分)
方向由b 到R 到a (2分)
(2)金属杆切割磁感线,产生感应电动势E=BL ②(4分)
由闭合电路欧姆定律得: ③(4分)
由①②③式得 (1分)
例9.(20分)如图所示，位于竖直平面内的1/4光滑圆弧轨道，半径为Ｒ，Ｏ点为切点，离水平地面高Ｒ， 右侧为匀强电场和匀强磁场叠加，大小分别为Ｅ、Ｂ，方向如图所示。质量为m 、带电 q 的小球a 从Ａ静止释放，并与在Ｂ点质量也为m 不带电小球ｂ正碰，碰撞时间极短，且a 球电量不变，碰后a 沿水平方向做直线运动，b 落到水平地面Ｃ点。求：Ｃ点与O 点的水平距离S 。
解：设a下落到O点时速度为，与b碰撞后速度为，b速度为。
a从到O机械能守恒，有①(4分)
a、b碰撞时动量守恒，有ｍ＝ｍ＋ｍ②(4分)
ａ进入电磁叠加场后做直线运动，受力平衡，则有
ｑＥBq ＝ｍｇ③(4分)
由得①②③得＝④(2分)
碰撞后b做平抛运动，设从O到C时间为t
则Ｒ= ⑤Ｓ= t ⑥(4分)由④⑤⑥得 S=( ) (2分)
例10.(19分)如图所示，足够长的绝缘光滑斜面AC与水平面间的夹角是α（sinα=0.6），放在图示的匀强磁场和匀强电场中，电场强度为E=4.0v/m,方向水平向右，磁感应强度B=4.0T,方向垂直于纸面向里，电量q=5.0×10-2C，质量m=0.40Kg的带负电小球，从斜面顶端A由静止开始下滑，求小球能够沿斜面下滑的最大距离。（取g=10m/s2）
解：(19分)小球沿斜面下滑时受重力mg、电场力Eq、洛伦兹力f和斜面支
持力N，（2分）
如图所示。小球沿斜面向下做匀加速直线运动，随速度的增加，洛伦兹力增大，直到支持力N等于零时，为小球沿斜面下滑的临界情况，有
（3分）
解得v=10m/s （2分）
小球由静止开始下滑的距离为S，根据动能定律得
（3分）
解得S=5.0m （2分）
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