一、指数的性质 (一)整数指数幂
1.整数指数幂概念: 43
421Λa
n n
a a a a 个???= )(*
∈N n ()010a a =≠ ()10,n
n
a
a n N a
-*
=
≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m
n
m n
a a a
m n Z +?=∈ (2)()
(),n
m mn a a m n Z =∈
(3)()()n n n
ab a b n Z =?∈
其中m n m n
m n
a a a a
a
--÷=?=, ()1n
n n n n
n a a a b a b b b --??=?=?= ???
.
3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a (
)*
∈>N
n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根,
即: 若a x
n
=,则x 叫做a 的n 次方根, ()*
∈>N n n ,1
例如:27的3次方根3273=, 27-的3次方根3273-=-,
32的5次方根2325=, 32-的5次方根2325-=-.
说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0 ②若n 是偶数,且0>a 则a 的正的n 次方根记作n a ,a 的负的n 次方根,记作: n a -;(例如:8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±) ③若n 是偶数,且0a <则n a 没意义,即负数没有偶次方根; ④( )* ∈>=N n n n ,100Θ 0=; ⑤式子n a 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。 ∴ n a =. . 4.a 的n 次方根的性质 一般地,若n 是奇数,则a a n n =; 若n 是偶数,则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n . 5.例题分析: 例1.求下列各式的值: (1)() 338- (2) ()210- (3)()44 3π- (4) ()()b a b a >-2解:略。 例2.已知,0< ∈>N n n ,1, 化简:()()n n n n b a b a ++-. 解:当n 是奇数时,原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时,原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以,()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 . 例3.计算:407407-++ 解:407407-++52)25()25(22=-++= 例4.求值: 54 925-+. 解:549 25-+4 25254 5 49252 )(-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=)( (二)分数指数幂 1.分数指数幂: ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式; 如果幂的运算性质(2)() n k kn a a =对分数指数幂也适用, 例如:若0a >,则3 223233a a a ???== ??? ,4 554544a a a ???== ???, 23a = 4 5 a =. 即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>; (2)正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>. 2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 即 ()() 10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()() ()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 说明:(1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用; (2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没意义。 3.例题分析: 例1. 用分数指数幂的形式表示下列各式()a o >: 2 a 3a . 解:2 a 11522 2 2 2 a a a a + ?==; 3 a 2113 3 3 a a a ?=; =111 33 2 2 2 2 4a a a a ???? ?== ? ????? . 例2.计算下列各式的值(式中字母都是正数). (1)21 1511336622263a b a b a b ?????? -÷- ??? ??????? ; (2)8 3184m n -?? ???; 解(1)21 1511336622263a b a b a b ?????? -÷- ??? ??????? =()()211 115326 236 263a b +-+-?-÷-???? =0 44ab a =; (2) 8 3184m n -?? ???=8 83184 m n -???? ? ????? =2233m m n n -=. 例3.计算下列各式: (1 ) (2 )20a >. 解:(1 ) 231324555??-÷ ??? =213134245555÷-÷ =5 5124 55- = (2 2 = 526 213 2 a a a a ==. (三)综合应用 例1.化简:1 1555x x x -+++. 解:1 15 55x x x -+++=15(1525)x -++=1315x -?= 3155 x ?. 例2.化简:)()(4 14 12 12 1y x y x -÷-. 解:11112 2 4 4 ()()x y x y -÷-1111114 4 4 4 4 4 ()()()x y x y x y =+-÷- 114 4 x y =+. 评述:此题注重了分子、分母指数间的联系,即2 1241)(x x =,由此联想到平方差公式的特点, 进而使问题得到解决。 例3.已知1 3x x -+=,求下列各式的值: (1)112 2x x - +;(2)332 2 x x - +. 解:(1)1 1 2 2 2()x x -+Q 111122 22 2 2()2()x x x x - - =++ 112x x -=++325=+=, ∴1 12 2 5x x - +=±, 又由13x x -+=得0x >,∴112 2 0x x - +>, 所以112 2 5x x - +=. (2)(法一)332 2 x x - +113 322)()x x - +=(11111122 2 222 2 2()[()()]x x x x x x - - - =+-+ 1 112 2 ()[()1]x x x x --=++-5(31)=-25=, (法二)332 2 2 [()()]x x - +33332 2 222 2 ()()2x x x x - - - =++332x x -=++ 而33 x x -+122()(1)x x x x --=++- 112()[()3]x x x x --=++-23(33)=?-18= ∴332 2 2()20x x - +=, 又由1 30x x -+=>得0x >,∴332 2 0x x - +>, 所以332 2 2025x x -+==. 二、指数函数 1.指数函数定义: 一般地,函数x y a =(0a >且1a ≠)叫做指数函数,其中x 是自变量,函数定义域是R . 2.指数函数x y a =在底数及这两种情况下的图象和性质: 1a > 01a << 图象 例1.求下列函数的定义域、值域: (1)121 8 x y -= (2)y =(3)3x y -= (4)1(0,1)1 x x a y a a a -=>≠+. 解:(1)210x -≠Q ∴12x ≠ 原函数的定义域是1{,}2 x x R x ∈≠, 令1 21t x = - 则0,t t R ≠∈ ∴8(,0)t y t R t =∈≠得0,1y y >≠, 所以,原函数的值域是{0,1}y y y >≠. (2)11()02 x -≥Q ∴0x ≥ 原函数的定义域是[)0,+∞, 令11()2 x t =-(0)x ≥ 则01t ≤<, y = Q [)0,1是增函数 ∴01y ≤<, 所以,原函数的值域是[)0,1. (3)原函数的定义域是R , 令t x =- 则0t ≤, 3t y =Q 在(],0-∞是增函数, ∴01y <≤, 所以,原函数的值域是(]0,1. (4)原函数的定义域是R , 由1(0,1)1 x x a y a a a -=>≠+得1 1x y a y +=--, 0x a >Q ∴1 01 y y +- >-, ∴11y -<<, 所以,原函数的值域是()1,1-. 说明:求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。 例2.当1a >时,证明函数1 1 x x a y a +=- 是奇函数。 证明:由10x a -≠得,0x ≠, 故函数定义域{0}x x ≠关于原点对称。 1()1x x a f x a --+-=-(1)(1)x x x x a a a a --+=-11x x a a +=-()f x =- ∴()()f x f x -=- 所以,函数1 1 x x a y a +=- 是奇函数。 例3.设a 是实数,2 ()()21 x f x a x R =- ∈+, (1)试证明:对于任意,()a f x 在R 为增函数; (2)试确定a 的值,使()f x 为奇函数。 分析:此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生 注意不同题型的解答方法。 (1)证明:设1212,,x x R x x ∈<,则 12()()f x f x -1222()()2121x x a a =- --++ 21 22 2121x x =-++ 12122(22)(21)(21) x x x x -=++, 由于指数函数2x y =在R 上是增函数,且12x x <,所以1222x x <即12220x x -<, 又由20x >,得1120x +>,2120x +>, 所以,12()()0f x f x -<即12()()f x f x <. 因为此结论与a 取值无关,所以对于a 取任意实数,()f x 在R 为增函数。 评述:上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性。 (2)解:若()f x 为奇函数,则()()f x f x -=-, 即22 ()2121 x x a a -- =--++ 变形得:2222(21) 2(21)22121 x x x x x x a -?+=+=+?++, 解得:1a =, 所以,当1a =时, ()f x 为奇函数。 三、对数的性质 1.对数定义:一般地,如果a (10≠>a a 且)的b 次幂等于N , 就是N a b =,那么数 b 叫做a 为底 N 的对数,记作 b N a =log ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 即b a N =, log N b = 2.Θ对任意 0>a 且 1a ≠, 都有 0 1a = ∴log 10a =,同样:log 1a a =. 3.如果把b a N =中的 b 写成log a N , 则有 log a N a N =(对数恒等式). 2.对数式与指数式的互换 例如: 2416= 4log 162= 210100= 10log 1002= 12 42= 41log 22 = 2100.01-= 10log 0.012=- 例1.将下列指数式写成对数式: (1)4 525=; (2)6 1 264 -=; (3)327a =; (4)1 5.373m ??= ??? . 解:(1)5log 6254=; (2)21log 664=-; (3)3log 27a =; (4)13log 5.37m =. 3.介绍两种特殊的对数: ①常用对数:以10作底 10log N 写成 lg N ②自然对数:以e 作底为无理数,e = 2.71828…… , log e N 写成 ln e . 例2.(1)计算: 9log 27, 625. 解:设 x = 9log 27 则 27x a = , 2333x =, ∴3 2 x =; 令x =625, ∴ 625x =, 443 5 5x =, ∴5x =. (2)求 x 的值:①33log 4x =-; ②()2 221log 3211x x x ?? ??? -+-=. 解:①34 3x -== ; ②2 2232121200,2x x x x x x x +-=-?+=?==- 但必须:22 22102113210x x x x ?->?-≠??+->? , ∴0x =舍去 ,从而2x =-. (3)求底数:①3log 35x =-, ②7log 28 x =. 解:①3535 35 3(3)x ---== ∴5 33 x -=; ②7788 8722x ?? ? ?? ? ==, ∴2x =. 4.对数的运算性质: 如果 a > 0 , a ≠ 1, M > 0 ,N > 0, 那么 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2)log log -log a a a M M N N =; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. 例3.计算: (1)lg14-21g 18lg 7lg 37-+; (2) 9lg 243lg ; (3)2 .1lg 10 lg 38lg 27lg -+. 解:(1)解法一:18lg 7lg 3 7 lg 214lg -+- 2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)=?--+-? lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=; 解法二:18lg 7lg 3 7 lg 214lg -+- 27 lg14lg()lg 7lg183=-+- =18)3 7(714lg 2 ??lg10==; (2)253lg 23lg 53 lg 3lg 9lg 243lg 2 5===; (3)2 .1lg 10lg 38lg 27lg -+=1133 2 2 2 3 (lg32lg 21) lg(3)lg 23lg103232lg32lg 212lg 10 +-+-==?+-. 5.换底公式:log log log m a m N N a = ( a > 0 , a ≠ 1 ;0,1m m >≠) 证明:设log a N x =,则x a N =, 两边取以m 为底的对数得:log log x m m a N =,∴log log m m x a N =, 从而得:a N x m m log log = , ∴ a N N m m a log log log =. 说明:两个较为常用的推论: (1)log log 1a b b a ?= ; (2)log log m n a a n b b m = (a 、0b >且均不为1) . 证明:(1) 1lg lg lg lg log log =?= ?b a a b a b b a ; (2) lg lg log log lg lg m n n a m a b n b n b b a m a m = ==. 例4.计算:(1) 0.21log 3 5-; (2 )492log 3log 2log ?+. 解:(1)原式 = 0.25 1log 3log 3 55 5 151553 = = =; (2) 原式 = 2 3 45412log 452log 213log 21232=+=+?. 例5.已知18log 9a =,185b =,求36log 45(用 a , b 表示). 解:∵18log 9a =, ∴a =-=2log 12 18 log 1818 , ∴18log 21a =-, 又∵185b =, ∴18log 5b =, ∴a b a -+=++== 22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836. 例6.设1643>===t z y x ,求证:y x z 2111=-. 证明:∵1643>===t z y x , ∴ 6lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===,,, ∴ y t t t t x z 21 lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-. 例7.若8log 3p =,3log 5q =,求lg 5. 解:∵8log 3p =, ∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==?=p p p , 又∵ q == 3 lg 5 lg 5log 3, ∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q , ∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pq pq 3135lg +=. 四、对数函数 1.对数函数的定义:函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数。 2.对数函数的性质: (1)定义域、值域:对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞,值域为 ),(+∞-∞. (2)图象:由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数 函数图象作关于x y =的对称图形,即可获得。 同样:也分1>a 与10< 1log =(图2)为 例。 1 1 2x y = 2log y x = y x = 1 1 1()2 x y = y x = 图 象 1a > 01a << 性 质 (1)定义域:(0,)+∞ (2)值域:R (3)过点(1,0),即当1=x 时,0=y (4)在(0,+∞)上是增函数 (4)在(0,)+∞上是减函数 (1)2log x y a =; (2))4(log x y a -=; (3))9(log 2 x y a -=. 分析:此题主要利用对数函数x y a log =的定义域(0,)+∞求解。 解:(1)由2 x >0得0≠x , ∴函数2 log x y a =的定义域是{} 0x x ≠; (2)由04>-x 得4 ∴函数)4(log x y a -=的定义域是{} 4x x <; (3)由9-02 >-x 得-33< ∴函数)9(log 2 x y a -=的定义域是{} 33x x -<<. 例2.比较下列各组数中两个值的大小: (1)2log 3.4,2log 8.5; (2)0.3log 1.8,0.3log 2.7; (3)log 5.1a ,log 5.9a . 解:(1)对数函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数, 于是2log 3.4<2log 8.5; (2)对数函数0.3log y x =在(0,)+∞上是减函数, 于是0.3log 1.8>0.3log 2.7; (3)当1a >时,对数函数log a y x =在(0,)+∞上是增函数, 于是log 5.1a 当1o a <<时,对数函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数, 于是log 5.1a >log 5.9a . 例3.比较下列比较下列各组数中两个值的大小: (1)6log 7,7log 6; (2)3log π,2log 0.8; (1,0) (1,0) 1x = 1x = log a y x = log a y x = (3)0.9 1.1, 1.1log 0.9,0.7log 0.8; (4)5log 3,6log 3,7log 3. 解:(1)∵66log 7log 61>=, 77log 6log 71<=, ∴6log 7>7log 6; (2)∵33log log 10π>=, 22log 0.8log 10<=, ∴3log π>2log 0.8. (3)∵0.9 01.1 1.11>=, 1.1 1.1log 0.9log 10<=, 0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=, ∴0.9 1.1 >0.7log 0.8> 1.1log 0.9. (4)∵3330log 5log 6log 7<<<, ∴5log 3>6log 3>7log 3. 例4.已知log 4log 4m n <,比较m ,n 的大小。 解:∵log 4log 4m n <, ∴ 4411 log log m n <, 当1m >,1n >时,得4411 0log log m n <<, ∴44log log n m <, ∴1m n >>. 当01m <<,01n <<时,得 4411 0log log m n <<, ∴44log log n m <, ∴01n m <<<. 当01m <<,1n >时,得4log 0m <,40log n <, ∴01m <<,1n >, ∴01m n <<<. 综上所述,m ,n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<. 例5.求下列函数的值域: (1)2log (3)y x =+;(2)2 2log (3)y x =-;(3)2log (47)a y x x =-+(0a >且1a ≠). 解:(1)令3t x =+,则2log y t =, ∵0t >, ∴y R ∈,即函数值域为R . (2)令2 3t x =-,则03t <≤, ∴2log 3y ≤, 即函数值域为2(,log 3]-∞. (3)令2 2 47(2)33t x x x =-+=-+≥, 当1a >时,log 3a y ≥, 即值域为[log 3,)a +∞, 当01a <<时,log 3a y ≤, 即值域为(,log 3]a -∞. 例6 .判断函数2()log )f x x =的奇偶性。 x >恒成立,故()f x 的定义域为(,)-∞+∞, 2()log )f x x -= 2log =- 2 log =- 2log ()x f x =-=-, 所以,()f x 为奇函数。 例7.求函数213 2log (32)y x x =-+的单调区间。 解:令2 2 3 132()2 4u x x x =-+=-- 在3[,)2+∞上递增,在3 (,]2 -∞上递减, 又∵2 320x x -+>, ∴2x >或1x <, 故2 32u x x =-+在(2,)+∞上递增,在(,1)-∞上递减, 又∵13 2log y u =为减函数, 所以,函数213 2log (32)y x x =-+在(2,)+∞上递增,在(,1)-∞上递减。 例8.若函数2 2log ()y x ax a =--- 在区间(,1-∞-上是增函数,a 的取值范围。 解:令2 ()u g x x ax a ==--, ∵函数2log y u =-为减函数, ∴2 ()u g x x ax a ==-- 在区间(,1-∞上递减,且满足0u >, ∴12(10a g ?≥???≥? ,解得22a -≤≤, 所以,a 的取值范围为[22]-. C 咨询电话:4006-211-001 WWW r haOfangfa COm 1 指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数 a . 1及O ::: a ::: 1两种不同情况。 1、指数函数: 定义:函数y =a x a . 0且a --1叫指数函数。 定义域为R 底数是常数,指数是自变量。 认识。 图象特征 函数性质 (1)图象都位于X 轴上方; (1)X 取任何实数值时,都有 a X A0 ; (2)图象都经过点(0, 1); (2)无论a 取任何正数,X = 0时,y = 1 ; (3) y — 2 , y — 10在第一象限内的纵坐 \ > 0 ,贝U a X A 1 (3)当 a > 1 时,{ →, X 标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于 1, < < 0 ,贝U a <1 X A 0 ,贝U a x V 1 y = — [的图象正好相反; 当 0 ca c1 时,< X £ 0 ,贝U a x A 1 k (4) y =2X , y=10X 的图象自左到右逐渐 (4)当a >1时,y =a x 是增函数, 当0cac1时,y=a x 是减函数。 为什么要求函数 y = a 中的a 必须a . 0且a = 1。 X 因为若a ::;0 时, X 1、对三个指数函数 a = 0 , y = 0 a =1 时,y = 1 =1x 的反函数不存在, y =a x ,y =Iog a X 在 上升,y = f l]的图象逐渐下降。 k2 J ①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如y=2x和y=10x相交于(0,1), 的图象在y =2x的图象的上方,当X :::0 ,刚好相反,故有1 0 2. 22及10 ^ ::: 2 ^。 步认识无限个函数的图象。 2、对数: 定义:如果a tl = N(a . 0且a ■■ 1),那么数b就叫做以a为底的对数,记作b = Iog a N (a是底数,N是 真数,log a N是对数式。) 由于N ^a b . 0故log a N中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如: 分析:对于初学者来说,对上述问题一般是束手无策,若将它写成 比较好办。 解:设Iog 0.32 X ■? 0 时,y = 10 % ②y =2x与y X 的图象关于y轴对称。 ③通过y = 2 X X 三个函数图象,可以画出任意一个函数y = a 示意图,如y =3x的图象,一定位于y =2x和y =IO x两个图象的中间,且过点(0, 1),从而y = X 也由关于y轴的对称性,可得的示意图,即通过有限个函数的图象进 再改写为指数式就 第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数. 【考试要求】(4)理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质.(5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质.(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 【考题分类】 (一)选择题(共15题) 1.(安徽卷文7)设 232555 322555a b c ===(),(),() ,则a ,b ,c 的大小关系是 (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数,所以a c >,2()5x y =在0x >时是减函数,所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.(湖南卷文8)函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图,|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾,选D 。 3.(辽宁卷文10)设525b m ==,且112a b +=,则m = (A (B )10 (C )20 (D )100 【答案】 D 解析:选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.(全国Ⅰ卷理8文10)设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a>,所以a=>,所以c,从而错选A,这也 是命题者的用苦良心之处. 【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去),或 1b a = ,所以a+2b=2 a a + 又0f(1)=1+2 1=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). 6.(全国Ⅰ卷文7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且,()()f a f b =,则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小 题时极易忽视a 的取值范围,而利用均值不等式求得a+b=12a a + ≥,从而错选D,这也是命 题者的用苦良心之处. 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 【学习要求】 1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系; 2.掌握对数函数与指数函数互为反函数. 【学法指导】 通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 填一填:知识要点、记下疑难点 1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量 作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即y =f(x)的反函数通常用 y =f - 1(x) 表示. 2.对数函数y =log a x 与指数函数y =a x 互为反函数 ,它们的图象关于 直线y =x 对称. 3.互为反函数的图象关于直线 y =x 对称;互为反函数的图象同增同减. 4.当a>1时,在区间[1,+∞)内,指数函数y =a x 随着x 的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数y =log a x 增长的速度 逐渐变得很缓慢. 研一研:问题探究、课堂更高效 [问题情境] 设a 为大于0且不为1的常数,对于等式a t =s,若以t 为自变量可得指数函数y =a x ,若以s 为自变量可得对数函数y =log a x.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢?这就是本节我们要探究的主要问题. 探究点一指数函数与对数函数的关系 导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y =2x 及y =log 2x 的图象. 问题1函数y =2x 及y =log 2x 的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系? 答:函数y =2x 的定义域为R,值域为(0,+∞);函数y =log 2x 的定义域为(0,+∞),值域为R.函数y =2x 的定义域和值域分别是函数y =log 2x 的值域和定义域. 问题2在列表画函数y =2x 的图象时,当x 分别取-3,-2,-1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y 值分别是什么? 答:y 值分别是: 18, 14, 1 2 , 1, 2, 4, 8. 问题3在列表画函数y =log 2x 的图象时,当x 分别取18,14,1 2 ,1,2,4,8时,对应的y 值分别是什么? 答:y 值分别是:-3,-2,-1,0,1,2,3. 问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟? 答:在列表画y =log 2x 的图象时,可以把y =2x 的对应值表里的x 和y 的数值对换,就得到y =log 2x 的对应值表. 问题5观察画出的函数y =2x 及y =log 2x 的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系? 答:函数y =2x 与y =log 2x 的图象关于直线y =x 对称. 问题6我们说函数y =2x 与y =log 2x 互为反函数,它们的图象关于直线y =x 对称,那么对于一般的指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 又如何? 答:对数函数y =log a x 与指数函数y =a x 互为反函数.它们的图象关于直线y =x 对称. 探究点二 互为反函数的概念 问题1对数函数y =log a x 与指数函数y =a x 是一一映射吗?为什么? 答:是一一映射,因为对数函数y =log a x 与指数函数y =a x 都是单调函数,所以不同的x 值总有不同的y 值与之对应,不同的y 值也总有不同的x 值与之对应. 问题2对数函数y =log a x 与指数函数y =a x 互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念? 答:当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新 的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y =f(x)的反函数通常用y =f - 1(x)表示. 问题3 如何求函数y =5x (x ∈R)的反函数? 答:把y 作为自变量,x 作为y 的函数,则x =y 5,y ∈R.通常自变量用x 表示,函数用y 表示,则反函数为y =x 5 ,x ∈R. 例1 写出下列函数的反函数: (1)y =lg x; (2)y =log 1 3 x; (3)y =????23x . 解:(1)y =lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y =10x (x ∈R). (2)y =log 13x (x>0)的底数为1 3 ,它的反函数为指数函数y =????13x (x ∈R). (3)y =????23x (x ∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y =log 2 3x (x>0). 小结:求给定解析式的函数的反函数的步骤: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y =f(x)中解出x; (3)x 、y 互换并注明反函数的定义域. 跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y =3x -1; (2)y =x 3+1 (x ∈R); (3)y =x +1 (x≥0); (4)y =2x +3 x -1 (x ∈R,x≠1). 东山中学指数与对数函数同步练习 一、选择题:(本题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1、下列所给出的函数中,是幂函数的是 ( B ) A .3 x y -= B .3-=x y C .3 2x y = D .13 -=x y 2、下列命题中正确的是 ( D ) A .当0=α时函数α x y =的图象是一条直线 B .幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点 C .若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D .幂函数的图象不可能出现在第四象限 3、已知32a =,那么33log 82log 6-用a 表示是 ( ) A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 4、2log (2)log log a a a M N M N -=+,则 N M 的值为 ( ) A 、 4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 5、下列各式中成立的一项 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B .3124 3)3(-=- C .4 343 3)(y x y x +=+ D . 33 39= 6、化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 6 B .a - C .a 9- D .2 9a 7、已知732log [log (log )]0x =,那么12 x -等于 ( ) A 、 1 3 B C D 8、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于 ( ) 幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b就叫做以a为底N的对数,记作 logaN=b, 其中a叫做底数,N叫做真数,式子logaN叫做对数式. 练习1 把下列指数式写成对数形式: 练习2 把下列对数形式写成指数形式: 练习3 求下列各式的值: 因为22=4,所以以2为底4的对数等于2. 因为53=125,所以以5为底125的对数等于3. 师:由定义,我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么? 生:a>0且a≠1;b∈R;N∈R. 师:N∈R?(这是学生最易出错的地方,应一开始让学生牢牢记住真数大于零.) 生:由于在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,因而ab=N中N总是正数. 师:要特别强调的是:零和负数没有对数. 师:定义中为什么规定a>0,a≠1? 生:因为若a<0,则N取某些值时,b可能不存在,如b=log(-2)8不存在;若a=0,则当N不为0时,b不存在,如log02不存在;当N为0时,b可以为任何正数,是不唯一的,即log00有无数个值;若a=1,N 不为1时,b不存在,如log13不存在,N为1时,b可以为任何数,是不唯一的,即log11有无数多个值.因此,我们规定:a>0,a≠1. 师:(板书)对数logaN(a>0且a≠1)在底数a=10时,叫做常用对数,简记lgN;底数a=e时,叫做自然对数,记作lnN,其中e是个无理数,即e≈2.718 28……. 练习4 计算下列对数: lg10000,lg0.01,2log24,3log327,10lg105,5log51125. 师:请同学说出结果,并发现规律,大胆猜想. 生:2log24=4.这是因为log24=2,而22=4. 生:3log327=27.这是因为log327=3,而33=27. 生:10lg105=105. 生:我猜想alogaN=N,所以5log51125=1125. alogaN=N(a>0,a≠1,N>0).(用红笔在字母取值范围下画上曲线) 证明:设指数等式ab=N,则相应的对数等式为logaN=b,所以ab=alogaN=N. 师:你是根据什么证明对数恒等式的? 生:根据对数定义. 师:(分析小结)证明的关键是设指数等式ab=N.因为要证明这个对数恒等式,而现在我们有关对数的知 指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a >0, f (x)= x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f - 1 (x)的奇偶性与单调性. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )=)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y =)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习: 指数函数和对数函数知识点总结及练习题 一.指数函数 (一)指数及指数幂的运算 n m n m a a = s r s r a a a +=? rs s r a a =)( r r r b a ab =)( (二)指数函数及其性质 1.指数函数的概念:一般地,形如x a y =(0>a 且1≠a )叫做指数函数。 2.指数函数的图象和性质 10<a 6 54321 -1 -4-2 2460 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y >0 值域y >0 在R 上单调递减 在R 上单调递增 非奇非偶函数 非奇非偶函数 定点(0,1) 定点(0,1) 二.对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =(0>a 且1≠a ),那么x 叫做以a 为底N 的对数,记作N x a log =,其中a 叫做底数,N 叫做真数,N a log 叫做对数式。 2.指数式与对数式的互化 幂值 真数 x N N a a x =?=log 底数 指数 对数 3.两个重要对数 (1)常用对数:以10为底的对数N lg (2)自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln (二)对数的运算性质(0>a 且1≠a ,0,0>>N M ) ①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log log =- ③M n M a n a log log = ④换底公式:a b b c c a log log log =(0>c 且1≠c ) 关于换底公式的重要结论:①b m n b a n a m log log = ②1log log =?a b b a (三)对数函数 1.对数函数的概念:形如x y a log =(0>a 且1≠a )叫做对数函数,其中x 是自变量。 2对数函数的图象及性质 01 32.5 2 1.51 0.5-0.5 -1-1.5-2-2.5 -1 1 23456780 1 1 32.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 1 2345678 1 1 定义域x >0 定义域x >0 值域为R 值域为R 在R 上递减 在R 上递增 定点(1,0) 定点(1,0) 高一指数函数对数函数 测试题及答案精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】 指数函数和对数函数测试题 一、选择题。 1、已知集合A={y|x y 2log =,x >1},B={y|y=( 21)x ,x >1},则A ∩B=() A.{y|0<y <21}B.{y|0<y <1}C.{y|2 1<y <1}D.φ 2、已知集合M={x|x <3}N={x|1log 2>x }则M ∩N 为() φ.{x|0<x <3}C.{x|1<x <3}D.{x|2<x <3} 3、若函数f(x)=a (x-2)+3(a >0且a ≠1),则f(x)一定过点() A.无法确定 B.(0,3) C.(1,3) D.(2,4) 4、若a=π2log ,b=67log ,c=8.02log ,则() >b >>a >>a >>c >a 5、若函数)(log b x a y +=(a >0且a ≠1)的图象过(-1,0)和(0,1)两点,则a ,b 分别为() =2,b==2,b==2,b==2,b=2 6、函数y=f(x)的图象是函数f(x)=e x +2的图象关于原点对称,则f(x)的表达式为() (x)=(x)=-e x +(x)=(x)=-e -x +2 7、设函数f(x)=x a log (a >0且a ≠1)且f(9)=2,则f -1(2 9log )等于() 2422229log 、若函数f(x)=a 2log log 32++x x b (a ,b ∈R ),f(2009 1)=4,则f(2009)=() 、下列函数中,在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是() =-x 2log (x >0)=x 2+x(x ∈R)=3x (x ∈R)=x 3(x ∈R) 10、若f(x)=(2a-1)x 是增函数,则a 的取值范围为() <21B.2 1<a <>≥1 11、若f(x)=|x|(x ∈R),则下列函数说法正确的是() (x)为奇函数(x)奇偶性无法确定 (x)为非奇非偶(x)是偶函数 12、f(x)定义域D={x ∈z|0≤x ≤3},且f(x)=-2x 2+6x 的值域为()A.[0,29]B.[29,+∞]C.[-∞,+2 9]D.[0,4] 【教学设计中学数学】 区县雁塔区 学校西安市航天中学 姓名贾红云 联系方式 邮编710100 《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计 一、设计理念 《普通高中数学课程标准》明确指出:“学生的数学学习活动,不应该只限于接受、记忆、模仿和练习,高中数学课程还应该倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等信息数学的方式;课程内容的呈现,应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律,体现从具体到抽象,特殊到一般的原则;教学应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉等”。本节课是北师大版高中数学必修Ⅰ第三章第6节内容,本节专门研究指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较,目的是探讨不同类型的函数模型,在描述实际增长问题时的不同变化趋势,通过本节课的学习,可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动,利用几何画板这种信息技术工具,可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异,使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想,并为学生提供了学数学、用数学的机会,体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。 二、教学目标 1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义,理解它们增长的差异性; 2.能借助信息技术,利用函数图像和表格,对几种常见增长类型的函数增长的情况进行比较,体会它们增长的差异; 3.体验指数函数、幂函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实际问题中的作用,体会数学的价值. 三、教学重难点 教学重点:认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含 义。 教学难点:比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异 四、教学准备 ⒈提醒学生带计算器; ⒉制作教学用幻灯片; ⒊安装软件:几何画板 ,准备多媒体演示设备 五、教学过程 ㈠基本环节 ⒈创设情景,引起悬念 杰米和韦伯的故事 一个叫杰米的百万富翁,一天,碰上一件奇怪的事,一个叫韦伯的人对他说,我想和你定个合同,我将在整整一个月中每天给你 10万元,而你第一天只需给我一分钱,而后每一天给我的钱是前一天的两倍。杰米说:“真的?!你说话算数?” 合同开始生效了,杰米欣喜若狂。第一天杰米支出一分钱,收入10万元;第二天,杰米支出2分钱,收入10万元;第三天,杰米支出4分钱,收入10万元;第四天,杰米支出8分钱,收入10万元…..到了第二十天,杰米共得到200万元,而韦伯才得到1048575分,共10000元多点。杰米想:要是合同定两个月、三个月多好! 你愿意自己是杰米还是韦伯? 【设计意图】创设情景,构造问题悬念,激发兴趣,明确学习目标 ⒉复习旧知,提出问题 图1-1 图1-2 图1-3 ⑴ 如图1-1,当a 时,指数函数x y a =是单调 函数,并且对于0x >,当底数a 越大时,其 函数值的增长就越 ; ⑵ 如图1-2当a 时,对数函数log a y x =是单调 函数,并且对1x >时,当底数a 越 时 其函数值的增长就越快; ⑶ 如图1-3当0x >,0n >时,幂函数n y x =是增函数,并且对于1x >,当n 越 时,其函数值 2015级建筑部3月份月考数学测试题 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题(本大题共20小题,每小题3分,共60分。在每小题所给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,不选、多选、错选均不得分) 1、下列函数是幂函数的是( ) A 3+=x y ; B 3 x y =; C x y 3=; D x y 2log = 2、数列-3,3,-3,3,…的一个通项公式是( ) A. n a =3(-1) n+1 B. n a =3(-1)n C. n a =3-(-1)n D. n a =3+(-1)n 3、对数1log 3的值正确的是( ). A. 0 B.1 C. 2 D. 以上都不对 4、将对数式24 1 log 2 -=化成指数式可表示为( ) A.224 1-= B.412 2 =- C.2412 =?? ? ??- D.2412 -=?? ? ?? 5、若指数函数的图像经过点?? ? ??21,1,则其解析式为( ) A.x y 2= B.x y ??? ??=21 C. x y 4= D. x y ??? ??=41 6、下列运算中,正确的是( ) A.5553443=? B.435÷5534= C.55 3 44 3=??? ? ? ? D.0554343=?- 7、已知3log 2log a a >,则a 的取值范围是( ) A 1>a ; B 1a a 或 8、将对数式ln 2x =化为指数式为 ( ) A. 210x = B. x = 2 C. x = e D. x = e 2 9、4 32813?-的计算结果为( )。 A .3 B.9 C.3 1 D.1 一、指数的性质 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)()(),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根, ()* ∈>N n n ,1 例如:27的3次方根3273=, 27-的3次方根3273-=-, 32的5次方根2325=, 32-的5次方根2325-=-. 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。 ∴ n a =. . 4.a 的n 次方根的性质 一般地,若n 是奇数,则a a n n =; 若n 是偶数,则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n . 5.例题分析: 例1.求下列各式的值: (1)() 338- (2) ()210- (3)()44 3π- (4) ()()b a b a >-2解:略。 例2.已知,0<N n n ,1, 化简:()()n n n n b a b a ++-. 解:当n 是奇数时,原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时,原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以,()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 . 例3.计算:407407-++ 解:407407-++52)25()25(22=-++= 例4.求值: 54 925-+. 解:549 25-+4 25254 5 49252 )(-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=)( (二)分数指数幂 1.分数指数幂: ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式; 如果幂的运算性质(2)() n k kn a a =对分数指数幂也适用, 例如:若0a >,则3 223233a a a ???== ??? ,4 554544a a a ???== ???, 23a = 4 5 a =. 即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>; (2)正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>. 2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 指数函数与对数函数知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次 方根,其中n >1,且n ∈N * . 当n 是奇数时, a a n n =,当n 是偶数时, ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数, 记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ; 0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log =; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数 指数函数和对数函数单元测试题 一选择题 1 如果,那么a、b间的关系是【】 A B C D 2 已知,则函数的图象必定不经过【】 A第一象限 B第二象限 C第三象限D第四象限 3 与函数y=x有相同图象的一个函数是【】 A B,且 C D,且 4 已知函数的反函数为,则的解集是【】 A B C D 5已知函数在上是x的减函数,则a的取值范围是【】 A B C D 6 已知函数的值域是,则它的定义域是【】 A B C D 7已知函数在区间是减函数,则实数a的取值范围是【】 A B C D 8 已知,则方程的实数根的个数是【】 A1 B 2 C 3D 4 9 函数的定义域为E,函数的定义域为F,则【】 A B C D 10有下列命题:(1)若,则函数的图象关于y轴对称;(2)若,则函数的图象关于原点对称;(3)函数与的图 象关于x轴对称;(4)函数与函数的图象关于直线对称。其中真命题是【】 A(1)(2) B(1)(2)(3)C(1)(3)(4) D (1)(2)(3)(4) 二填空题 11函数的反函数是______ 。12 的定义域是______ 。 13 函数的单调减区间是________。 14 函数的值域为R,则实数a的取值范围是__________. 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 (1)(2) 2 求下列函数的单调区间 (1)(2) 3 已知函数 (1)求的定义域;(2)讨论的单调性;(3)解不等式。 4 已知函数 (1)证明:在上为增函数;(2)证明:方程=0没有负数根。 参考答案 一选择题BADBC BCBDD 二填空题11121314或 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 (1)(2) 定义域定义域 值域值域且 2 求下列函数的单调区间 (1)(2) 减区间,增区间减区间, 3 已知函数 (1)求的定义域;(2)讨论的单调性;(3)解不等式。解(1),又,所以,所以定义域。 (2)在上单调增。 (3),,即 ,所以,所以解集 2 已知函数 (1)证明:在上为增函数;(2)证明:方程=0没有负数根。 指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==,log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x =1 4 时,函数值不存在。 a =0,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为1, 但y x =1的反函数不存在,因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210,,的图 象的认识。 对图象的进一步认识,(通过三个函数相互关系的比较): ①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如y x =2和y x =10相交于()01,,当x >0 时,y x =10的图象在y x =2的图象的上方,当x <0,刚好相反,故有10222>及 10222--<。 ②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2,y x =10,y x =?? ?? ?12三个函数图象,可以画出任意一个函数y a x =(a a >≠01且)的示意图,如y x =3的图象,一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间,且过点()01,,从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性,可得y x =?? ? ? ?13的示意图,即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数: 定义:如果a N a a b =>≠()01且,那么数b 就叫做以a 为底的对数,记作b N a =log (a 是底数,N 是真数,log a N 是对数式。) 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 (2)对数恒等式: 由a N b N b a ==()log ()12 将(2)代入(1)得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点,不能乱用,特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算: () 313 2 -log 解:原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 (3)对数的性质: ①负数和零没有对数; ②1的对数是零; ③底数的对数等于1。 (4)对数的运算法则: ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ , ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ , ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1 例1.设a >0, f (x)=x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f - 1 (x)的奇偶性与单调性. 解:(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0) 0(f >=?=-? =, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4 x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )=)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解:设x ax ) x (u 2-=, 对称轴a 21x = . (1) 当1a >时, 1a 0 )2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤?? ???>≥. 综上所述: 1a > 1.(安徽卷文7)设 232 555 322555a b c ===(),(),() ,则a ,b ,c 的大小关系是 (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数,所以a c >,2 ()5x y =在0x >时是减函数,所以c b >。 2.(湖南卷文8)函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可 能是【答案】D 【解析】对于A 、B 两图,|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-1 《指数函数与对数函数》测试题 一、选择题: 1、已知(10)x f x =,则(5)f =( ) A 、510 B 、10 5 C 、lg10 D 、lg5 2、对于0,1a a >≠,下列说法中,正确的是( ) ①若M N =则log log a a M N =; ②若log log a a M N =则M N =; ③若2 2 log log a a M N =则M N =; ④若M N =则2 2 log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2 {|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈,则S T 是 ( ) A 、? B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为( ) A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ,则( ) A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中,实数a 的取值范围是( ) A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()2 2 lg 2lg 52lg 2lg 5++?等于( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =,那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A 、52a - B 、2a - C 、2 3(1)a a -+ D 、2 31a a -- 9、若210 25x =,则10x -等于( ) A 、15 B 、15- C 、150 D 、1625 指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==,l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x = 14 时,函数值不存在。 a =0,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为1,但 y x =1的反函数不存在, 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210,,的图象的 认识。 图象特征与函数性质: 对图象的进一步认识,(通过三个函数相互关系的比较): ①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如y x =2和y x =10相交于()01,,当x >0时,y x =10的图象在y x =2的图象的上方,当x <0,刚好相反,故有10222>及10222--<。 ②y x =2与y x =?? ? ? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2,y x =10,y x =?? ? ? ?12三个函数图象,可以画出任意一个函数y a x =(a a >≠01且)的 示意图,如y x =3的图象,一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间,且过点()01,,从而y x =?? ? ? ? 13也由 关于y 轴的对称性,可得y x =?? ? ? ?13的示意图,即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数: 定义:如果a N a a b =>≠()01且,那么数b 就叫做以a 为底的对数,记作b N a =l o g (a 是底数,N 是真数,log a N 是对数式。) 由于N a b =>0 故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如: 求lo g .032524?? ? ? ? 分析:对于初学者来说,对上述问题一般是束手无策,若将它写成log .032524?? ? ? ?=x ,再改写为指数式就比较好办。 解:设log .032524?? ? ? ?=x对数指数函数公式全集
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