圆锥曲线中点差法的应用
一、知识点归纳：
1、若椭圆的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭22
221(0)x y a b a b
+=>>x l 圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为AB P 常数，即；22l PO b k k a
=-A 若椭圆的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭22
221(0)y x a b a b
+=>>y l 圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为AB P 常数，即；22l PO a k k b
=-A 2、若双曲线的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，22
221(0,0)x y a b a b
-=>>x l 被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之AB P 积为常数，即；22l PO b k k a
=A 若双曲线的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，22
221(0,0)y x a b a b
-=>>y l 被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之AB P 积为常数，即；22l PO a k k b
=A 二、练习题
1、已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F 的直线与相交于A ，B 两
E (3,0)P E l E 点，且AB 的中点为,则的方程式为
(12,15)N --E (A) (B) (C) (D) 22136x y -=22
145x y -=22163x y -=22154
x y -=2、已知椭圆：的右焦点为（3,0），过点的直线交于，E )0(122
22>>=+b a b
y a x F F E A
两点.若的中点坐标为（1，-1）
，则的方程为B A B E （A ） （B ） （C ） （D ）
136
4522=+y x 1273622=+y x 1182722=+y x 19182
2=+y x 3、设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B
两点。若AB 的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.
ι三、适用的题型
（一）以定点为中点的弦所在直线的方程1、已知抛物线，过点的直线交抛物线于A 、B 两点且点平分AB ，求
x y 42=)4,3(P l P 直线的方程。
l 2、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的14
162
2=+y x )1,2(M M 方程。
(二)过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
3、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。125
752
2=+x y （三）圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
4、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有13
42
2=+y x m m x y +=4不同的两点关于该直线对称。
（四）证明定值问题
5、已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是AB ()22
2210x y a b a b
+=>>x P 的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是AB O AB OP