《等边三角形》拔高练习
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…
在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则B2018B2019的长为（）
A．2017B．2018C．D．
2．（5分）如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高，则高AD的长为（）
A．.1B．.C．D．.2
3．（5分）如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为（）
A．3B．4C．5D．6
4．（5分）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（）
A．30°B．20°C．25°D．15°
5．（5分）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（）
A．3B．4.5C．6D．7.5
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）如图，若BD为等边△ABC的一条中线，延长BC至点E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝．
7．（5分）如图，△ABC是等边三角形，BD为AC边上的中线，点E在BC的延长线上，连接DE，若CE＝2，∠E＝30°，则线段BC的长为．
8．（5分）下列图形由大小相等的等边三角形组成：
图1为一个白三角形；
图2在图1外部，画了3个黑三角形；
图3在图2外部，画了6个白三角形；
图4在图3外部，画了9个黑三角形；
图5在图4外部，画了12个白三角形；…；
以此类推，那么图n（n为大于1的整数）在前一个图外部，画了个三角形（用含有n的代数式表示）
9．（5分）如图，等边三角形ABC的顶点在坐标轴上，边长为4，则点A的坐标是．
10．（5分）在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，∠B＝60°，则△ABC的周长是．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）列方程解应用题
用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用），A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面，现有19张硬纸板，如何裁剪才能使裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做多少个盒子？
12．（10分）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．
A方法：剪6个侧面；
B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有38张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
（1）分别求裁剪出的侧面和底面的个数（用x的代数式表示）
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
13．（10分）在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．
（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；
（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．
①补全图2；
②若BN＝DN，求证：MB＝MN．
14．（10分）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE ＝CD，DM⊥BC，垂足为M．
（1）求∠E的度数．
（2）求证：M是BE的中点．
15．（10分）已知：如图等边△ABC，D是AC的中点，且CE＝CD，DF⊥BE．（1）求证：BF＝EF．
（2）若DE＝5cm，求DF的长．
《等边三角形》拔高练习
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…
在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则B2018B2019的长为（）
A．2017B．2018C．D．
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出B1B2＝，B2B3＝2，B3B4＝4，以此类推，B n B n+1的长为2n﹣1，进而得出答案．
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2＝2，
∴B1B2＝，
∵B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
∴B2B3＝2，
∵A4B4＝8B1A2＝8，
∴B3B4＝4，
以此类推，B n B n+1的长为2n﹣1，
∴B2018B2019的长为22017，
故选：C．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．
2．（5分）如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高，则高AD的长为（）
A．.1B．.C．D．.2
【分析】根据等边三角形的性质求出CD，再根据勾股定理求出AD即可．
【解答】解：∵等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝BC＝1，
由勾股定理得：AD＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和勾股定理，能根据等边三角形的性质求出CD 的长是解此题的关键．
3．（5分）如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为（）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据等边三角形的性质得到AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，根据直角三角形的性质得到AE＝AD＝2，于是得到结论．
【解答】解：∵在等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，
∴AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，
∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，
∴∠AFD＝∠CFE＝90°，
∴AE＝AD＝2，
∴CE＝8﹣2＝6，
∴CF＝CE＝3，
∴BF＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
4．（5分）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（）
A．30°B．20°C．25°D．15°
【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得
AD⊥BC，∠CAD＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
故选：D．
【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
5．（5分）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（）
A．3B．4.5C．6D．7.5
【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∵EC＝1.5，
∴CD＝2EC＝3，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AC＝AD+CD＝6．
故选：C．
【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）如图，若BD为等边△ABC的一条中线，延长BC至点E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝．
【分析】根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD＝DE，求出BC，在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD即可．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC，
∵BD为中线，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠E+∠CDE＝∠ACB，
∴∠E＝30°＝∠DBC，
∴BD＝DE，
∵BD是AC中线，CD＝1，
∴AD＝DC＝1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝1+1＝2，BD⊥AC，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD＝，
即DE＝BD＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE＝BD和求出BD的长．
7．（5分）如图，△ABC是等边三角形，BD为AC边上的中线，点E在BC的延长线上，连接DE，若CE＝2，∠E＝30°，则线段BC的长为4．
【分析】先利用等边三角形的性质证明BC＝2CD，再证明△CDE是等腰三角形，即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，
∵BD为AC边上的中线，
∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝2DC，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴CD＝CE＝2，
∴BC＝2CD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
8．（5分）下列图形由大小相等的等边三角形组成：
图1为一个白三角形；
图2在图1外部，画了3个黑三角形；
图3在图2外部，画了6个白三角形；
图4在图3外部，画了9个黑三角形；
图5在图4外部，画了12个白三角形；…；
以此类推，那么图n（n为大于1的整数）在前一个图外部，画了3（n﹣1）个三角
形（用含有n的代数式表示）
【分析】数列的数字依次由3乘2、3、4…连续的自然数得到，由此得出图n（n为大于1的整数）在前一个图外部，画了3（n﹣1）个三角形．
【解答】解：图2在图1外部，画了3个；
图3在图2外部，画了3×（3﹣1）＝6个白三角形；
图4在图3外部，画了3×（4﹣1）＝9个黑三角形；
图5在图4外部，画了3×（5﹣1）＝12个白三角形，
…，
∴图n（n为大于1的整数）在前一个图外部，画了3（n﹣1）个三角形；
故答案为：3（n﹣1）．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出规律解决问题的关键．
9．（5分）如图，等边三角形ABC的顶点在坐标轴上，边长为4，则点A的坐标是（0，2）．
【分析】根据等边三角形三线合一定理，即可求出OC的长度，再根据勾股定理，即可得到AO的长，进而得到点A的坐标．
【解答】解：由等边三角形的三线合一，可知：OC＝BC＝2，
由勾股定理可知：OA＝＝2，
∴A（0，2），
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是利用等边三角形的性质解决问题．
10．（5分）在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，∠B＝60°，则△ABC的周长是15．
【分析】根据等边三角形的判定和性质即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC＝5，
∴△ABC的周长为15，
故答案为15．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）列方程解应用题
用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用），A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面，现有19张硬纸板，如何裁剪才能使裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做多少个盒子？
【分析】由x张用A方法，就有（19﹣x）张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数；由侧面个数和底面个数比为3：2建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论．
【解答】解：设裁剪时x张用A方法，则裁剪时（19﹣x）张用B方法．
∴侧面的个数为：6x+4（19﹣x）＝（2x+76）个，
底面的个数为：5（19﹣x）＝（95﹣5x）个；
由题意，得＝，
解得：x＝7，
经检验，x＝7是原分式方程的解，
∴盒子的个数为：＝30．
答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，列代数式的运用以及分式方程的应用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键．
12．（10分）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．
A方法：剪6个侧面；
B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有38张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
（1）分别求裁剪出的侧面和底面的个数（用x的代数式表示）
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
【分析】（1）由x张用A方法，就有（38﹣x）张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数；
（2）由侧面个数和底面个数比为3：2建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论．
【解答】解：（1）∵裁剪时x张用A方法，
∴裁剪时（38﹣x）张用B方法．
∴侧面的个数为：6x+4（38﹣x）＝（2x+152）个，
底面的个数为：5（38﹣x）＝（190﹣5x）个；
（2）由题意，得（2x+152）：（190﹣5x）＝3：2，
解得：x＝14，
∴盒子的个数为：＝60．
答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做60个盒子．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，列代数式的运用以及分式方程的应用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键．
13．（10分）在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．
（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；
（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．
①补全图2；
②若BN＝DN，求证：MB＝MN．
【分析】（1）分别求出∠ADF，∠ADB，根据∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB计算即可；
（2）①根据要求画出图形即可；
②设∠ACM＝∠BCM＝α，由AB＝AC，推出∠ABC＝∠ACB＝2α，可得∠NAC＝∠NCA
＝α，∠DAN＝60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN ＝∠DAN＝60°+α，∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，构建方程求出α，再证明∠MNB＝∠MBN即可解决问题；
【解答】（1）解：如图1中，
在等边三角形△ACD中，
∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC．
∵E为AC的中点，
∴∠ADE＝∠ADC＝30°，
∵AB＝AC，
∴AD＝AB，
∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝160°，
∴∠ADB＝∠ABD＝10°，
∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝20°．
（2）①补全图形，如图所示．
②证明：连接AN．
∵CM平分∠ACB，
∴设∠ACM＝∠BCM＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α．在等边三角形△ACD中，
∵E为AC的中点，
∴DN⊥AC，
∴NA＝NC，
∴∠NAC＝∠NCA＝α，
∴∠DAN＝60°+α，
在△ABN和△ADN中，
∴△ABN≌△ADN（SSS），
∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∴∠BAC＝60°+2α，
在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴60°+2α+2α+2 α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝10°，
∴∠MNB＝∠NBC+∠NCB＝30°，
∴∠MNB＝∠MBN，
∴MB＝MN．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．（10分）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE ＝CD，DM⊥BC，垂足为M．
（1）求∠E的度数．
（2）求证：M是BE的中点．
【分析】（1）由等边△ABC的性质可得：∠ACB＝∠ABC＝60°，然后根据等边对等角可得：∠E＝∠CDE，最后根据外角的性质可求∠E的度数；
（2）连接BD，由等边三角形的三线合一的性质可得：∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，结合（1）的结论可得：∠DBC＝∠E，然后根据等角对等边，可得：DB＝DE，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得：M是BE的中点．
【解答】（1）解：∵三角形ABC是等边△ABC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠ACB＝30°；
（2）证明：连接BD，
∵等边△ABC中，D是AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°
由（1）知∠E＝30°
∴∠DBC＝∠E＝30°
∴DB＝DE
又∵DM⊥BC
∴M是BE的中点．
【点评】此题考查了等边三角形的有关性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质．15．（10分）已知：如图等边△ABC，D是AC的中点，且CE＝CD，DF⊥BE．（1）求证：BF＝EF．
（2）若DE＝5cm，求DF的长．
【分析】（1）要证F是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质即可得证；
（2）利用含30°角的直角三角形的性质直接求出即可．
【解答】证明：（1）∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E，
∵∠ACB＝∠CDE+∠E，
∴∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形，
又∵DF⊥BE，
∴F是BE的中点，
∴BF＝EF；
（2）∵在直角三角形DFE中，∠E＝30°，DE＝5，
∴DF＝DE＝×5＝．
【点评】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．
人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形 1．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。 2．全等三角形的判定：三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等（SAS）、两角和它们的夹边（ASA）、两角和其中一角的对边对应相等（AAS）、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。 3．角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等 4．角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。 5．证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 6．第十二章轴对称 1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。 2．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3．角平分线上的点到角两边距离相等。 4．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
5．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 6．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 8．点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y） 点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y） 点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y） 9．等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。 10．等腰三角形的判定：等角对等边。 11．等边三角形的三个内角相等，等于60°， 12．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60°的三角形是等边三角形。 13．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 14．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 第十三章实数 ※算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根为0；从定
人教版八年级上册数学全册全套试卷检测（提高，Word版含解析） 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明． （1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程； （2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）． 【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM． 【解析】 【分析】 （1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN =60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到 MN=BM+NC． （2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论． 【详解】 解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30° ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°， 在△MBD与△ECD中， ∵BD CD MBD ECD BM CE ， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴MD=DE，∠BDM=∠CDE ∵∠MDN =60°，∠BDC=120°， ∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°， 在△DMN与△DEN中， ∵MD DE MDN EDN DN DN ， ∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴MN=NE=CE+NC=BM+NC． （2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．
八年级上册数学教案人教版(全册) 第十一章全等三角形 11.1 全等三角形 教学容 本节课主要介绍全等三角形的概念和性质． 教学目标 1．知识与技能 领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念． 2．过程与方法 经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角． 3．情感、态度与价值观 培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值． 重、难点与关键 1．重点：会确定全等三角形的对应元素． 2．难点：掌握找对应边、对应角的方法． 3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．教具准备 四大小一样的纸片、直尺、剪刀． 教学方法 采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程 一、动手操作，导入课题
1．先在其中一纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 2．重新在一纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论． 【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形． 学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两纸，注意整个过程要细心． 【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示． 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？ 【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等． 【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边． 【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？ 【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论： 1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合．2．这时它们的三个顶点、三条边和三个角分别重合了． 3．完全重合说明三条边对应相等，三个角对应相等，?对应顶点在相对应的位置． 【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规． 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，?如果本图11．1
第十一章三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形 的高. 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间 的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对 角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用 多边形覆盖平面， 13.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. n-·180° ⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2) ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. n-条对角 ⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)
线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2 n n -条对角线. 第十二章 全等三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质： ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等. 4.角平分线： ⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 5.证明的基本方法： ⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶 角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
人教版八年级数学上册整式的乘法与因式分解拔高解答题专项 解答题 1.计算（每小题4分，共计16分） ⑴.()()43 3a a -?- ⑵. （ab 2）2 ?（﹣a 3b ）3÷（﹣5ab ） ⑶()()22232x x y xy y x -x y 3x y ??--÷?? ⑷.()()5x 7y-35x+3-7y + 2.已知10x ＝3，10y ＝2． （1）求102x +3y 的值． （2）求103x ﹣4y 的值． 3.已知：(a +a )2=3,(a ?a )2=2，分别求a 2+a 2,aa 的值． 4.因式分解（每小题3分，共计12分） （1） 2342-x xy + (2) 822+-a a (3) 1322+-x x (4) x 2－1＋y 2－2xy 5.甲、乙二人共同计算2（x +a ）（x +b ），由于甲把第一个多项式中a 前面的符号抄成了“﹣”，得到的结果为2x 2+4x ﹣30；由于乙漏抄了2，得到的结果为x 2+8x +15． （1）求a ，b 的值； （2）求出正确的结果． 6.已知a +a =4，aa =2
(1)求a2+a2的值； (2)求(a?a)2的值． 7.解方程：2（x﹣2）+x2=（x+1）（x﹣1）+x． 8.请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和． 方法1：． 方法2：． （2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：．（3）利用（2）中结论解决下面的问题： 如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝ab＝9，求阴影部分的面积． 9.(1)已知a+a=4，aa=1.5，求a3a+2a2a2+aa3的值； (2)已知三次四项式2a3?5a2?6a+a分解因式后有一个因式是a?3，试求k的值及另一个因式．
八年级数学讲义 第11章 三角形 一、 三角形的概念 1． 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形的表示 △ABC 中，边：AB ，BC ，AC 或 c ，a ，b ． 顶点：A ，B ，C ． 内角：∠A ，∠B ，∠C ．． 二、 三角形的边 1. 三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法） (1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a (2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-ca 时,就可构成三角形. 1.2 确定三角形第三边的取值范围: 两边之差<第三边<两边之和. 2. 三角形的主要线段 2.1三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. ①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点； ②直角三角形三条高线交于直角顶点； ③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点 2.2三角形的角平分线 三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 三条角平分线交于三角形内部一点. 2.3三角形的中线 连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。 A C B A D
三角形的三条中线交于三角形内部一点. 三、三角形的角 1 三角形内角和定理 结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B） ②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角． 如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数 2三角形外角和定理 2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角． 2.2性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 2.3外角个数： 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等）， 可见一个三角形共有6个外角 四、三角形的分类 (1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形 (2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形 五多边形及其内角 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。 3、多边形的对角线 (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。 4、n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)。任意凸形多边形的外角和等于360° ※多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关. ※多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）； ※多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角. 5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。【考点三】判断三角形的形状 8、若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断△ABC的形状。 9、已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状。
设计者：方礼花 使用班级：初二一班 姓名： 寄语： 同学们一定要努力，争取期末取得优异的成绩 ！ 第十一章 三角形 (共5页，每页61份) 一、知识框架： 二、知识概念： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.（可以判断三边是否能够成三角形） 3.三角形的分类：按角可以分为三类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。按边可以分为两类：不等边三角形和等腰三角形。 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. （锐角三角形的高交于三角形内部一点，直角三角形交于直角顶点处，钝角三角形交于外部一点） 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（三角形的中线将三角形的面积平均分成相等的两份） 其交点称为重心。 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.（在生活中运用于未安装好的窗户加一条木条） 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.（经常用于角度计算中） 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（经常用于证明两个角度比较大小） ⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180° ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. ⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2 n n -条对角线. （6）正多边形每个内角度数：用(2)n -·180°除以n,每个外角度数：360°除以n 。
２014-20１5年人教版八年级下一次函数报告训练题 一、选择题(每题3分共30分) 1.已知方程0=+b x a 的解为23 -=x ,则一次函数b x a y +=图象与x 轴交点的横坐标为（ ) (A)3 (Ｂ）32- (C)2- （D)23- 2.如图一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y x =-的图象交于点B , 则该一次函数的表达式为（ ） A ．2y x =-+? B.2y x =+ C ．2y x =-?D.2y x =-- ３.将直线y =2x 向右平移2个单位所得的直线的解析式是( ） Ａ．ｙ＝2x+２ B.y ＝2ｘ－２ Ｃ.y ＝2(x －２) D.y ＝2（x ＋２) 4.直线l 1:y ＝ｋ1x ＋b 与直线l 1：y=k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示, 则关于x 的不等式ｋ1x+b ＞ｋ2x 的解为( ) Ａ、x ＞﹣１??B 、x ＜﹣1 C 、x<﹣2 ?D 、无法确定 5.与x 轴交点的横坐标是负数的直线是（ ） （A ）52+-=x y (B)x y 2= (C)43--=y （D ）x y 34+-= 6.若一次函数m x y +-=43和22-+=m x y 的图象与y 轴的交点的纵坐标互为相反数,则m 的值为（ ）（Ａ)3 （B)3- (C ）1 (Ｄ)1- 7．如果在一次函数中,当自变量x 的取值范围是－1
八年级上册数学目录人教版 第十一章三角形 11.1与三角形有关的线段 信息技术应用画图找规律 11.2与三角形有关的角 阅读与思考为什么要证明 11.3多边形及其内角和 数学活动 小结 复习题11 第十二章全等三角形 12.1全等三角形 12.2三角形全等的判定 信息技术应用探究三角形全等的条件 12.3角的平分线的性质 数学活动 小结 复习题12 第十三章轴对称 13.1轴对称 13.2画轴对称图形
信息技术应用用轴对称进行图案设计 13.3等腰三角形 实验与探究三角形中边与角之间的不等关系13.4课题学习最短路径问题 数学活动 小结 复习题13 第十四章整式的乘法与因式分解 14.1整式的乘法 14.2乘法公式 阅读与思考杨辉三角 14.3因式分解 数学活动 小结 复习题14 第十五章分式 15.1分式 15.2分式的运算 阅读与思考容器中的水能倒完吧 15.3分式方程 数学活动 小结 复习题15
部分中英文词汇索引 如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫 做分式(fraction)。 分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 a^-n=1/a^n(a≠0)这就是说，a^-n(a≠0)是a^n的倒数。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个 解不是原分式方程的解。
第十一章全等三角形 11.1 全等三角形 教学内容 本节课主要介绍全等三角形的概念和性质． 教学目标 1．知识与技能 领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念． 2．过程与方法 经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角． 3．情感、态度与价值观 培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值． 重、难点与关键 1．重点：会确定全等三角形的对应元素． 2．难点：掌握找对应边、对应角的方法． 3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．教具准备 四张大小一样的纸片、直尺、剪刀． 教学方法 采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程 一、动手操作，导入课题 1．先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 2．重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论． 【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形． 学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两张纸，注意整个过程要细心． 【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示． 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？ 【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等． 【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边． 【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？ 【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论： 1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合． 2．这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了． 3．完全重合说明三条边对应相等，三个内角对应相等，?对应顶点在相对应的位置． 【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范． 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，?如果本图11．1─2△ABC和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，?记作△ABC≌△DBC． 【问题提出】课本图11．1─1中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？ 【学生活动】经过观察得到下面性质： 1．全等三角形对应边相等； 2．全等三角形对应角相等． 二、随堂练习，巩固深化 课本P4练习． 【探研时空】 1．如图1所示，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=20cm，BC=8cm，你能求出线段AB的长吗？与同伴交流．（AB=6） 2．如图2所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数．?（∠AEC=30°，∠EAC=65°，∠ECA=85°） 三、课堂总结，发展潜能 1．什么叫做全等三角形？ 2．全等三角形具有哪些性质？ 四、布置作业，专题突破 1．课本P4习题11．1第1，2，3，4题． 2．选用课时作业设计． 板书设计 把黑板分成左、中、右三部分，左边板书本节课概念，中间部分板书“思考”中的问题，右边部分板书学生的练习． 疑难解析 由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻找对应边、角的规律：（1）有公共边的，?公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）．
第一单元 三角形 【知识归纳】 1. 三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角 形. 2. 三角形的分类 三角形(按角分) ?? ? ??钝角三角形直角三角形锐角三角形 三角形(按边分) ?????? ?) (等边三角形等腰三角形不等边三角形 3. 三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 4. 三角形的重要线段 ①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心 ②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心 ③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同) 5. 三角形具有稳定性 6. 三角形的内角和定理及性质 定理：三角形的内角和等于180°. 推论1：直角三角形的两个锐角互补。 推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 7. 多边形定义：在平面内，由不共线的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，组 成多边形的线段，叫做多边形的边，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做外角． 8. 多边形按其组成图形的线段的条数分类，一个多边形由n 条线段构成，那么这个多边形 就叫做n 边形． 9. n 边形的内角和等于(n －2)·180°（n≥3的正整数） 10. 多边形的外角和恒为360°。 11. 正多边形：如果多边形的各内角都相等，各边也都相等，那就称它为正多边形. 12. 正多边形与镶嵌 可以进行镶嵌的条件是：一个顶点各个内角和是360°。 【同步练习】 一、选择题 1. 能把一个任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是三角形的（ ） A 、角平分线 B 、中线 C 、高 D 、两边中点连线 2. 如图，在ABC ?中，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、CE 的中点，且2 4cm S ABC =△，则B E F S △的值为 。
《整式的乘法》拔高练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）已知：（2x+1）（x﹣3）＝2x2+px+q，则p，q的值分别为（）A．5，3B．5，﹣3C．﹣5，3D．﹣5，﹣3 2．（5分）若（）×（﹣xy）＝3x2y2，则括号里应填的单项式是（）A．﹣3y B．3xy C．﹣3xy D．3x2y 3．（5分）下面的计算中，正确的是（） A．b4?b4＝2b4B．x3?x3＝x6 C．（a4）3?a2＝a9D．（ab3）2＝ab6 4．（5分）下列运算正确的是（） A．x2?x3＝x6B．x2+x2＝2x4 C．（﹣3a3）?（﹣5a5）＝15a8D．（﹣2x）2＝﹣4x2 5．（5分）计算（）2017×（﹣0.6）2018的结果是（） A．﹣B．C．﹣0.6D．0.6 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）计算（a﹣1）（2a+1）＝． 7．（5分）若（x+p）与（x+5）的乘积中不含x的一次项，则p＝． 8．（5分）不等式（3x+4）（3x﹣4）＜9（x﹣2）（x+3）的解集为． 9．（5分）若a n＝3，则a2n＝． 10．（5分）多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，则m＝． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）计算：（a+b）（3a﹣2b）﹣b（a﹣b）． 12．（10分）计算：3a2b?（﹣a4b2）+（a2b）3 13．（10分）计算： （1）x2（x﹣1）﹣x（x2﹣x﹣1）； （2）（2a）2?b4+12a3b2． 14．（10分）如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地块，中间是边长为（a+b）米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部
新人教版八年级数学上册知识点总结（上）（含思维导图） 因式分解： 1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化. 2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”. 3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂. 5．因式分解的注意事项： （1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字； （2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性； （3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止； （4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正； （5）因式分解的最后结果要求加以整理； （6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6．因式分解的解题技巧：
（2）提负号； （3）全变号； （4）换元； （5）配方； （6）把相同的式子看作整体； （7）灵活分组； （8）提取分数系数； （9）展开部分括号或全部括号； （10）拆项或补项. 3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.
4．分式的基本性质与应用： （1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； （2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变； （3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单. 5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解. 6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.
《三角形的外角》拔高练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（） A．75°B．105°C．110°D．120° 2．（5分）在△ABC中，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（） A．60B．65C．70D．80 3．（5分）如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知∠A＝40°，∠C＝20°，∠ADC＝120°，若∠ABC的平分线BE经过点D，则∠ABE的度数（） A．20°B．30°C．40°D．60° 4．（5分）如图，∠1的度数为（） A．100°B．110°C．120°D．130° 5．（5分）如图所示的图形中x的值是（） A．60B．40C．70D．80
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C的外角等于． 7．（5分）三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为． 8．（5分）如图，BD与CD分别平分∠ABC、∠ACB的外角∠EBC、∠FCB，若∠A＝80°，则∠BDC＝． 9．（5分）如图，∠A＝70°，∠B＝26°，∠C＝20°，则∠BDC＝°． 10．（5分）如图，△ABC中，BD为△ABC内角平分线，CE为△ABC外角平分线，若∠BDC ＝130°，∠E＝50°，则∠BAC的度数为． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF． （1）求∠CBE的度数； （2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．
新人教版八年级上册数学 知识点总结归纳 1 第十一章三角形 第十二章全等三角形 第十三章轴对称 第十四章整式乘法和因式分解 第十五章分式 第十一章三角形
1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）
把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。8、三角形的面积=2 1 ×底×高 多边形知识要点梳理 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。 凸多边形 分类1： 凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 分类2： 多边形 非正多边形： 1、n 边形的内角和等于180°（n-2）。 多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。
富水中学八年级数学补习班试题 ( 二次根式训练题 ) 2015.3.21. 一. 计算题 1）（2 5 ＋1）（ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 ）． 2 3 99 1 2 3 4 100 2）（ 5 32）（5 32）； 3） 5 － 4 － 2 ； 11 7 4 11 3 7 4）（a 2 n － ab mn ＋ n m ）÷ a 2b 2 n ； m m m n m ）（ a ＋ b ab ）÷（ a ＋ b － a b ）（ a ≠ b ）． 5 a b ab b ab a ab 6） 4 23 7） 5 26 8） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 4 2 L 2003 2 2004 2 ． 1 3 3 9.化简： y 2 3 2y 5 y 2 2 y 5 ． 10）化简 6 8 1224 ． 11）化简： 2366 4 2 ． 3 2
）（ 1 1 ggg 1 ) ( a 83 + a）． 12 a 1 a 1 a 2 a 82 a a 83 二.比较大小 1）已知比较a,b,c的大小 2）．设 a＞b＞c＞d＞0 且，x abcd， y acbd， zad bc ．则x、 y、z 的大小关系． 3）比较m n 与m 1997n 1997 的大小． 4）比较19961995 与19971996 的大小． 三、二次根式的应用 （一）无理数的分割 1．设a为 3 5 3 5 的小数部分，b为 6 3 3 6 3 3 的小数部分，则2 1 b a 的值为（） （A） 6 2 1 （B）1 （C）1 （D）2 3 4 2 8 2．设 5 1 的整数部分为 x ，小数部分为y，试求 x2 1 xy y2的值． 5 1 2 3．设 19 8 3 的整数部分为a，小数部分为b，试求a b 1 的值b （二）最值问题 1．若 x， y 为正实数，且x y 4 那么x2 1 y2 4 的最小值是 _____________．2.实数a，b满足 a2 2a 1 36 12a a2 10 | b 3| |b 2| ，则a2 b2最大_ __．
新人教版八年级上册数学教案 第11章三角形 教材内容 本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。 三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 教学目标 〔知识与技能〕www. 12999. com 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和等于1800，了解三角形外角的性质。 4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。 5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点。 课时分配 11.1与三角形有关的线段……………………………………… 2课时 11.2 与三角形有关的角………………………………………… 2课时 11.3多边形及其内角和………………………………………… 2课时 本章小结………………………………………………………… 2课时 11.1.1三角形的边 [教学目标] 〔知识与技能〕 1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形； 2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 〔过程与方法〕 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 〔情感、态度与价值观〕
2014-2015年人教版八年级下一次函数报告训练题 一、选择题（每题3分共30分） 1．已知方程0=+b x a 的解为23 -=x ，则一次函数b x a y +=图象与x 轴交点的横坐标为（ ） （A ）3 （B ）32- （C ）2- （D ）23- 2．如图一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y x =-的图象交于点B ， 则该一次函数的表达式为（ ） A ．2y x =-+ B ．2y x =+ C ．2y x =- D ．2y x =-- 3.将直线y ＝2x 向右平移2个单位所得的直线的解析式是（ ） A.y ＝2x ＋2 B.y ＝2x －2 C.y ＝2(x －2) D.y ＝2(x ＋2) 4．直线l 1：y=k 1x+b 与直线l 1：y=k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示， 则关于x 的不等式k 1x+b ＞k 2x 的解为（ ） A 、x ＞﹣1 B 、x ＜﹣1 C 、x ＜﹣2 D 、无法确定 5．与x 轴交点的横坐标是负数的直线是（ ） (A)52+-=x y (B)x y 2= (C)43--=y (D)x y 34+-= 6．若一次函数m x y +-=43和22-+=m x y 的图象与y 轴的交点的纵坐标互为相反数，则m 的值为（ ）（A ）3 （B ）3- （C ）1 （D ）1- 7．如果在一次函数中,当自变量x 的取值范围是－1＜x ＜3时，函数y 的取值范围是－2＜y ＜6， 那么此函数解析式为( ) A.x y 2= B.42+-=x y C.x y 2=或42+-=x y D.x y 2-=或42-=x y 8．已知二元一次方程组?? ?=-=+n y mx b y ax 解是???-==13y x ，则一次函数b ax y +-=与n mx y -=的图象交点坐为（ ） （A ）)3,1(- （B ）)1,3(- （C ）)1,3(- （D ）)3,1(- 9．.如图是一次函数y=kx+b 的图象，当y ＜2时，x 的取值范围是（ ） A 、x ＜1 B 、x ＞1 C 、x ＜3 D 、x ＞3 10．一次函数2-=ax y 与1+=bx y 交于x 轴上一点，则b a :等于（ ） （A ）2 （B ）21 （C ）2- （D ）2 1- 二、填空题 （每题3分共18分） 11．如图，已知函数y=3x+b 和y=ax ﹣3的图象交于点P （﹣2，﹣5），则根据图象 可得不等式3x+b ＞ax ﹣3的解集是 4题图 9题图 11题图