≠?
必修1数学知识点
集合：
1、集合的定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。集合中的每个对象叫做 这个集合中的元素
2、集合元素的特征：①确定性 ②互异性 ③无序性
3、集合的分类：①有限集 ②无限集 ③空集，记作?
4、集合的表示法：①列举法 ②描述法 ③文氏图法 ④特殊集合 ⑤区间法 常用数集及其记法：①自然数集（或非负整数集）记为N 正整数集记为*
N 或+N
②整数集记为Z ③实数集记为R ④有理数集记为Q 5、元素与集合的关系：①属于关系，用“∈”表示；②不属于关系，用“?”表示 6、集合间的关系：①包含：用“?”表示 ②真包含：用“ ”表示 ③相等 ④不相等 7、集合的交、并、补
交集的定义：由所有属于集合A 且属于集合的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作B A ， 即{}
B x A x x B A ∈∈=且
并集的定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作B A ， 即{}
B x A x x B A ∈∈=或
8、全集与补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于集合U
的补集，记作A C U ，即{}
A x U x x A C U ?∈=且,
9、交集、并集、补集的运算： (1)交换律：A B B A A
B B A ==
(2)结合律:)()()()(C B A C B A C B A C B A == (3)分配律:.)()()()()()(C A B A C B A C A B A C B A == (4)0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ=== (5)等幂律：A A A A A A == (6)求补律：A A C C U C U C U A C A A C A U U U U U U =====)(φφφ (7)反演律：)()()(B C A C B A C U U U = )()()(B C A C B A C U U U =
10、文氏图的应用：交集、并集、补集的文氏图表示
11、重要的等价关系：B A B B A A B A ??=?=
12、一个由n 个元素组成的集合有n 2个不同的子集，其中有12-n 个非空子集，也有12-n
个真子集
函数：
1、映射：设B A 、是两个集合,如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素a ，在集合B 中
都有唯一的元素b 和它对应,则这样的对应（包括集合B A 、以及A 到B 的对应法则f ）叫做从集合A 到集合的映射，记作B A f →:，其中b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象
如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合中有不同的象，而且B 中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A 到B 上的一一映射
2、 函数：设B A 、是两个非空数集，那么从A 到B 的映射B A f →:就叫做函数，记作)(x f y =，其
中B y A x ∈∈,，x 叫做自变量,y 是x 的函数值．自变量的取值集合A 叫做函数的定义域，函
U
C U A A
A B A ∩B A ∪B
数值的集合C 叫做函数的值域，值域B C ?，函数三要素：定义域、值域、对应法则;两个函数相同：定义域和对应关系都分别相同 3、函数的表示方法：（1）列表法 （2）图象法 （3）解析法
4、分段函数:在自变量的不同取值范围内,其解析式不同,分段函数不是几个函数,是一个函数
5、（1）函数的定义域的常用求法：
①分式的分母不等于零 ②偶次方根的被开方数大于等于零 ③对数的真数大于零 ④指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1 ⑤三角函数正切函数tan y x =中()2
x k k Z π
π≠+
∈，余切函数cot y x =中,)(Z k k x ∈≠π
⑥如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围
（2）值域的求法：①直接法 ②分离常数法 ③图象法 ④换元法 ⑤判别式法 ⑥不等式与对勾函数 6、求函数解析式的方法:
①直代 ②凑配法 ③ 换元法 ④待定系数法 ⑤列方程组法 ⑥特殊值法 7、增减函数的定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x
①若当21x x <时，都有)()(21x f x f <,则说)(x f 在这个区间上是增函数
②若21x x <当时，都有)()(21x f x f >,则说)(x f 在这个区间上是减函数
8、（1）单调性的证明：讨论函数的增减性应先确定单调区间, 用定义证明函数的增减性, 有“一设, 二
差, 三判断”三个步骤
（2）函数单调性的常用结论：
①若(),()f x g x 均为某区间上的增（减）函数,则()()f x g x +在这个区间上也为增（减）函数 ②若()f x 为增（减）函数，则()f x -为减（增）函数
③若()f x 与()g x 的单调性相同，则[()]y f g x =是增函数；若()f x 与()g x 的单调性不同，则[()]y f g x =是减函数,即复合函数的单调性是“同增异减”
④奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反
9、（1）奇、偶函数的定义：对于函数)(x f ①如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数 ②如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数 注意：①函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称 ②)()()()(x f x f x f x f =--=-或是定义域上的恒等式
③若奇函数)(x f 在0=x 处有意义，则0)0(=f
④奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形 （2）函数奇偶性的常用结论：
①如果一个奇函数在0x =处有定义，则(0)0f =，如果一个函数()y f x =既是奇函数又是偶函数，则()0f x =（反之不成立）
②两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数 ③一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数
④两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数
基本初等函数
1、（1）一般地，如果a x n
=，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1
①负数没有偶次方根 ②0的任何次方根都是0，记作00=n ③当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，?
?
?<≥-==)0()
0(||a a a a a a n
n
④我们规定：(1)m n m
n a a
=()
1,,,0*>∈>m N n m a (2)()01
>=
-n a a n
n
（2）对数的定义：设0>a 且1≠a ,对于数0>N ,若能找到实数b ,使得N a b
=,那么数b 称为以a 为
底的N 的对数,记作N b a log =,其中a 叫做对数的底数, N 叫做真数
注：（1）负数和零没有对数（因为0>=b
a N ） （2）1log ,01log ==a a a （0>a 且1≠a ）
（3）将N b a
l o g
=代回N a b =得到一个常用公式log a N
a
N = （4）x N N a a x =?=log
（3）幂函数的定义：一般地，我们把形如a
x y =函数称为幂函数．其中x 是自变量,α是常数 2、（1）①()Q s r a a a a s r s r ∈>=+,,0 ②()
()Q s r a a a rs s
r ∈>=,,0
③()()Q r b a b a ab r r r
∈>>=,0,0 （2）当0,0,1,0>>≠>N M a a 时：
①()N M MN a a a log log log += ②N M N M a a a log log log -=??
? ?? ③M n M a n
a log log = ④换底公式：a
b
b c c a log log log =
()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a ，利用换底公式推导下面的结论： （1）b m n
b a n a m
log log = （2）a
b b a log 1log =
3、（1）指数函数的定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 叫做指数函数.函数的定义域是实数集R
（2）对数函数的定义：一般把函数()10log ≠>=a a x y a 且叫做对数函数,它的自变量为x ,其定义域
是()+∞,0，底数a 为常数 表1
指数函数
()0,1x
y a a a =>≠ 对数数函数
()log 0,1a y x a a =>≠
定义域 x R ∈
()0,x ∈+∞
值域
()0,y ∈+∞
y R ∈
图象
性质
过定点(0,1)
过定点(1,0)
减函数
增函数 减函数 增函数
(,0)(1,)(0,)(0,1)
x y x y ∈-∞∈+∞∈+∞∈时，时，
(,0)(0,1)(0,)(1,)x y x y ∈-∞∈∈+∞∈+∞时，时，
(0,1)(0,)(1,)(,0)x y x y ∈∈+∞∈+∞∈-∞时，时， (0,1)(,0)
(1,)(0,)x y x y ∈∈-∞∈+∞∈+∞时，时，
a b <
a b >
a b <
a b >
零点、二分法：
1、（1）函数的零点：
①对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数叫做函数)(x f y =的零点
方程0)(=x f 有实根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点
②如果函数0)(==x f y 在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(
0)(=x f 的根
（2）函数零点的求法：
①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点
2、二分法：
定义：对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法
表2
幂函数()y x R αα=∈
p q
α=
0α< 01α<< 1α> 1α=
p q 为奇数为奇数
奇函数
p q 为奇数为偶数
p q 为偶数为奇数
偶函数
第一象限性
质
减函数
增函数
过定点01（，）
高中数学必修2知识点
立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等
表示：用各顶点字母,如五棱柱'
'
'
'
'E
D
C
B
A
ABCDE-或用对角线的端点字母,如五棱柱'
AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形
（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥'
'
'
'
'E
D
C
B
A
P-
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台'
'
'
'
'E
D
C
B
A
P-
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆②母线与轴平行③轴与底面圆的半径垂直
④侧面展开图是一个矩形
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆②母线交于圆锥的顶点③侧面展开图是一个扇形
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆②侧面母线交于原圆锥的顶点③侧面展开图是一个弓形（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆②球面上任意一点到球心的距离等于半径
2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和
（2）特殊几何体表面积公式（C 为底面周长，h 为高，h '为斜高，l 为母线）： ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2
1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积
')(2
1
21h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表
()l r r S +=π圆锥表 ()
22R Rl rl r S +++=π圆台表
（3）柱体、锥体、台体的体积公式：
V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 1
3V Sh =锥 h r V 23
1π=圆锥
''1()3
V S S S S h =++台 ''22
11()()33V S S S S h r rR R h π=++=++圆台
（4）球体的表面积和体积公式：3
R 3
4π=球V 2R 4S π=球面
5、空间点、直线、平面的位置关系 （1）平面
① 平面的概念：、A 描述性说明 、B 平面是无限伸展的
② 平面的表示：通常用希腊字母γβα、、表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC
③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α? 点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：l A ∈；点A 在直线l 外，记作l A ?
直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作α?l ；直线l 不在平面α内，记作α?l （2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
（即直线在平面内，或者平面经过直线）
应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? （3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
推论：一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面 公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 （4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：平面α和β相交，交线是a ，记作a =βα 符号语言：,P A B A B l P l ∈?=∈ 公理3的作用： ①它是判定两个平面相交的方法
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据
（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 （6）空间直线与直线之间的位置关系
① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交 ③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
④ 异面直线所成角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a a //'
b b //'，则把直线a '和b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。两条异面直线所
成角的范围是(]
090,0，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直
说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义 ②异面直线的判定定理 （2）在异面直线所成角定义中，空间一点O 是任取的，而和点O 的位置无关 （3）求异面直线所成角步骤：
A 、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在
特殊的位置上
B 、证明作出的角即为所求角
C 、利用三角形来求角
（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补 （8）空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点
三种位置关系的符号表示：ααα//a A a a =? （9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点：βα// 相交——有一条公共直线：b =βα 6、空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行
线线平行?线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行。线面平行?线线平行
（2）平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
(线面平行?面面平行）
（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行 （线线平行?面面平行）
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行 两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行（面面平行?线面平行） （2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行?线线平行） 7、空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直 ③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直 （2）垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 ②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另 一个平面 8、空间角问题
（1）直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为 0
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角 ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线b a ,平行的直线 b a '',，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直 角的角叫做两条异面直线所成的角 （2）直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角：规定为
0 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为
90
③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这
个平面所成的角
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”
在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线
（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面
角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内．．分别作垂直于．．．
棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角两相交平面如果所组成的
二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射
线得到平面角
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个
面的交线所成的角为二面角的平面角
直线与方程
1、直线的倾斜角
定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平 行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0
01800<≤α 2、直线的斜率
①定义：倾斜角不是0
90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率 常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度
当[)
90,0∈α时，0≥k 当()
180,90∈α时，0 90=α时，k 不存在 ②过两点的直线的斜率公式：)(211 21 2x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90° (2)k 与21,P P 的顺序无关 (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得 (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到 3、直线方程 ①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为o 0时，0=k ，直线的方程是1y y = 当直线的斜率为o 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示。但因l 上每一点的横坐标都等于1x ，所以它的方程是1x x = ②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：11 2121 y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式： 1x y a b +=，其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b ⑤一般式：0=++C By Ax （B A ,不全为0） 注意：①各式的适用范围 ②特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）；平行 于y 轴的直线：a x =（a 为常数） 4、两直线平行与垂直 当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，212121,//b b k k l l ≠=?；12121-=?⊥k k l l 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否 5、两条直线的交点：0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交 交点坐标即方程组?? ?=++=++0 222111C y B x A C y B x A 的一组解 方程组无解21//l l ? 方程组有无数解?1l 与2l 重合 6、两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（） 是平面直角坐标系中的两个点， 则222121||()()AB x x y y =-+- 7、点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2 2 00B A C By Ax d +++= 8、两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解 圆的方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径 2、圆的方程 （1）标准方程()()22 2 r b y a x =-+-，圆心 ()b a ,，半径为r （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x 当042 2 >-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为)2,2(E D -- ，半径为F E D r 42 122-+= 当042 2 =-+F E D 时，表示一个点；当042 2 <-+F E D 时，方程不表示任何图形 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求 出r b a 、、；若利用一般方程，需要求出F E D 、、，另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断： （1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为 2 2B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ?>；相切与C l r d ?=；相交与C l r d ?< （2）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()22 2 :r b y a x C =-+-，先将方程联立消元，得到一个 一元二次方程之后，令其中的判别式为?，则有相离与C l ??0 注：如果圆心的位置在原点，可使用公式200r yy xx =+去解直线与圆相切的问题，其中()00,y x 表示切点坐标，r 表示半径 (3)过圆上一点的切线方程： ①圆2 2 2 r y x =+，圆上一点为),(00y x ，则过此点的切线方程为2 00r yy xx =+ ②圆2 2 2 )()(r b y a x =-+-，圆上一点为),(00y x ，则过此点的切线方程为 200))(())((r b y b y a x a x =--+-- 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定 设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定 当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条 当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线 当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线 当r R d -<时，两圆内含 当0=d 时，为同心圆 高一数学必修3 算法初步 1、秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个n 次多项式，只要作n 次乘 法和n 次加法即可。表达式如下： ()()()()1221111......a x a x x a x a x a a x a x a n n n n n n n +++++=+++---- 2、理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的 含义 （1）描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码） （2）算法的特征： ①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去 ②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是一个 或多个。没有输出的算法是无意义的 ③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间 内可以完成，在时间上有一个合理的限度 （3）算法含有两大要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等 ②控制结构:顺序结构，选择结构，循环结构 3、流程图：（flow chart ）: 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图 形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改 注意：（1） 画流程图的时候一定要清晰,用铅笔和直尺画,要养成有开始和结束的好习惯 （2）拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇到判断框时 往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这 个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了 (3)在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结到结 束框 4、 算法结构： 顺序结构、选择结构、循环结构 （1）顺序结构（sequence structure ）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重 复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的 （2）选择结构（selection structure ）：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要是注意临界条 件的确定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的A,B 两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句 （3）循环结构（cycle structure ）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until ）和当型 N Y A p Y N p A Y N A B p A B 直到型循环 当型循环 (while )两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当型循环 5、基本算法语句：本书中指的是伪代码（pseudo code ），且是使用 BASIC 语言编写的,是介于自然语言 和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用y x = ，也可以用 y x ← ; 表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“?” （1）赋值语句（assignment statement ）：用 ← 表示， 如：y x ← ，表示将y 的值赋给x ，其中x 是一个变量，y 是一个与x 同类型的变量或者表达式 一般格式：“表达式变量←” ，有时在伪代码的书写时也可以用 “y x =”，但此时的 “ = ”不是数学运算中的等号，而应理解为一个赋值号 注： 1）赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式 “ = ”具有计算功能。如：a b a =+=6,3,都是错误的，而153-*=a ,32+=a a 都是正确的 2）一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 如：2===c b a , 2,,=c b a 都是错误的，而 3=a 是正确的 （2）输入语句（input statement ）: Read b a ,表示输入的数一次送给b a , 输出语句（out statement ） ：Print y x , 表示一次输出 运算结果y x , 注：1）支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！ 2）ad Re 语句输入的只能是变量而不是表达式 3）int Pr 语句不能起赋值语句，意旨不能在int Pr 语句中用 “ = ” 4）int Pr 语句可以输出常量和表达式的值 5）有多个语句在一行书写时用 “；”隔开 例题：当x 等于5时，Print “=x ”； x 在屏幕上输出的结果是5=x （3）条件语句（conditional statement ）： 1）行If 语句: If A Then B 注：没有 End If 2）块If 语句： 注：①不要忘记结束语句End If ，当有If 语句嵌套使用时，有几个If ， 就必须要有几个End If ②Else If 是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外Else If 后面也要有End If ③注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件 ④为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下： （4）循环语句（ cycle statement ）： 1）当事先知道循环次数时用 For 循环 ，即使是 N 次也是已知次数的循环 2）当循环次数不确定时用While 循环 3）Do 循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应. If A Then B Else C End If If A Then B Else If C Then D End If While A … End While While 循环 For I From 初值 to 终值 Step 步长 … End For For 循环 Do … Loop Until p 直到型Do 循环 Do While p … Loop 当型Do 循环 P x y A O M T 说明：1）while 循环是前测试型的，即满足什么条件才进入循环，其实质是当型循环，一般在解决 有关问题时，可以写成while 循环，较为简单，因为它的条件相对好判断 2）凡是能用while 循环书写的循环都能用For 循环书写 3）While 循环和Do 循环可以相互转化 4）Do 循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化 5）注意临界条件的判定 高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?< 第二象限角的集合为{} 36090360180,k k k α?+ 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α= 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π= 1180π = 180157.3π?? =≈ ??? 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则 l r α=，2C r l =+，2 1122 S lr r α== 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是 () 220r r x y =+>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠ 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限 正切为正，第四象限余弦为正 11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=() 2222 sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=- () sin 2tan cos α αα =sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ?? ? 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+= ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=- ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=- ()5sin cos 2παα??-= ???，cos sin 2παα??-= ??? ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? 口诀：奇变偶不变，符号看象限 14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变），得到函数 ()sin y x ω?=+的图象； 再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有 点向左（右）平移 ? ω 个单位长度，得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象 函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质： ①振幅：A ②周期：2π ωT = ③频率：12f ω π = =T ④相位：x ω?+ ⑤初相：? 函数b x A y ++=)sin(?ω，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则 )(21min max y y A -=，)(21min max y y b +=，)(2 2112x x x x T <-= 14、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 函数 性 质 最值 当22 x k π π=+ ()k ∈Z 时，max 1y =；当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,222k k ππππ? ?- +? ?? ? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ? ?++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在 []() 2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ? ?-+ ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2 x k k π π=+ ∈Z 对 称 中 心 (),02k k ππ? ?+∈Z ??? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 16、向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量 有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为0的向量 单位向量：长度等于1个单位的向量 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连 ⑵平行四边形法则的特点：共起点 ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ②结合律：()() a b c a b c ++=++ ③00a a a +=+= ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++ b a C B A a b C C -=A -AB =B 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=-- 设B A 、两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则①),(1212y y x x AB --= ②线段AB 中点坐标为)2,2( 2 121y y x x ++ ③ABC ?的重心坐标为)3 ,3(321321y y y x x x ++++ 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ① a a λλ= ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当 0λ=时，0a λ= ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ②()a a a λμλμ+=+ ③() a b a b λλλ+=+ ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ== 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= 设()11,a x y =,()22,b x y =,其中0b ≠,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠共线 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向 量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点P 是线段21P P 上的一点，21P P 、的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当 221PP P P λ=时，点 P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++?? 23、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0 ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ②当a 与b 同向时，a b a b ?= 当a 与b 反向时，a b a b ?=- 2 2 a a a a ?==或a a a = ? ③a b a b ?≤ ⑶运算律：①a b b a ?=? ②()()() a b a b a b λλλ?=?=? ③() a b c a c b c +?=?+? ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ?=+ 若(),a x y =，则2 22 a x y =+，或22a x y = + 设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥?+= 设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则 121222221 1 22 cos x x y y a b a b x y x y θ+?= = ++ 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+） 错误！未找到引用源。()t a n t a n t a n 1t a n t a n αβαβαβ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-） 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα= ⑵2 222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+= ，2 1cos 2sin 2 αα-=） ⑶22tan tan 21tan α αα = - 26、)sin(cos sin 22?ααα++=+b a b a ，其中a b = ?tan 高中数学必修5知识点 1、正弦定理：在ABC ?中，a 、b 、c 分别为角C B A 、、的对边，R 为ABC ?的外接圆的半径，则 有 2sin sin sin a b c R C ===A B 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C = ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R = ③::sin :sin :sin a b c C =A B ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222C S bc ab C ac ?AB =A ==B 4、余弦定理：在ABC ?中，有2222cos a b c bc =+-A ，222 2cos b a c ac =+-B ， 222 2cos c a b ab C =+- 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A = 222cos 2a c b ac +-B = 222 cos 2a b c C ab +-= 6、设a 、b 、c 是ABC ?的角C B A 、、的对边，则：①若222 a b c +=，则90C = ②若222a b c +>，则90C < ③若222 a b c +<，则90C > 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数 8、数列的项：数列中的每一个数 9、有穷数列：项数有限的数列 10、无穷数列：项数无限的数列 11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列 13、常数列：各项相等的数列 14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 15、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式 16、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式 17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这 个常数称为等差数列的公差 18、由三个数b A a ,,组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若 2 a c b += ，则称b 为a 与c 的等差中项 19、若等差数列 {}n a 的首项是1 a ，公差是d ，则()11n a a n d =+- 20、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+- ②()11n a a n d =-- ③1 1 n a a d n -= - ④1 1n a a n d -=+ ⑤n m a a d n m -=- 21、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则q p n m a a a a +=+；若{}n a 是等 差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则q p n a a a +=2 22、等差数列的前n 项和的公式：①2 ) (1n n a a n S += ②()112n n n S na d -=+ 23、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()* 2n n ∈N ，则)(12++=n n n a a n S ，且 1 S , += =-n n a a S nd S S 偶 奇奇偶 ②若项数为() * 21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶， 1 S n S n = -奇偶（其中 n S na =奇，()1n S n a =-偶） 24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这 个常数称为等比数列的公比 25、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2 G ab = 则称G 为a 与b 的等比中项 26、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -= 27、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+- ②()11n a a n d =-- ③1 1 n a a d n -= - ④11n a a n d -= + ⑤n m a a d n m -=- 28、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、* q ∈N ），则m n p q a a a a ?=?；若{}n a 是 等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则q p n a a a ?=2 29、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：() ()()11111111n n n na q S a q a a q q q q =?? =-?-=≠? --? 30、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为()* 2n n ∈N ，则S q S =偶奇 ②m n n m n S q S S ?+=+ ③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列 31、求通项公式的方法：①套用公式法：适用于已知数列是等差或等比数列的题目 ②已知数列}{n a 前n 项和n S ，则???≥-==-2111 n S S n S a n n n （注意：不能忘记讨 论1=n ） ③累加法：适用于)(1n f a a n n +=- ④累乘法：)(1n f a a n n ?=- ⑤辅助数列法：（1）m a ma a n n n +=+1（两边同时取倒数） （2）),(1为常数q p q pa a n n +=+用待定系数法： )1 ,(1-=+=++p q a p a n n λλλλ且为系数）（ 数列求和的方法：（1）套用公式法：一般适用于直接求等差数列和等比数列的前n 项和 ①等差数列求和公式：()() 11122n n n a a n n S na d +-= =+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q ?=? =-?-=≠? --? （2）倒序相加法 （3）分组求和法：一般适用于通项n n n c b a +=，其中 为等差或等比数列） 为等差或等比数列，（n n c b （4）裂项相消法：一般适用于通项① ()1111n n k k n n k ?? =- ?++?? ②() 11 n k n k n k n =+-++ （5）错位相减法：一般适用于通项n n n c b a ?=，其中（n b 为等差数列,n c 为等比数列） 32、0a b a b ->?> 0a b a b -=?= 0a b a b - 33、不等式的性质： ①a b b a >?< ②,a b b c a c >>?> ③a b a c b c >?+>+ ④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+ ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?> ⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N > ⑧()0,1n n a b a b n n >>?>∈N > 34、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式 35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式 36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组 37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这 样的有序数对(),x y 构成的集合 38、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方 ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方 39、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： 判别式24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数2y ax bx c =++ ()0a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= ()0a >的根 有两个相异实数 根1,22b x a -±? = ()12x x < 有两个相等实数 根122b x x a ==- 没有实数根 一元二次不等式的解集 20ax bx c ++> ()0a > {} 1 2 x x x x x <>或 2b x x a ??≠-???? R 20ax bx c ++< ()0a > {}1 2x x x x << ? ? 39、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B += ①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示 直线0x y C A +B +=下方的区域 ②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示 直线0x y C A +B +=上方的区域 40、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题 可行解：满足线性约束条件的解(),x y 可行域：所有可行解组成的集合 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解 41、设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数 42、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即2 a b ab +≥ 43、常用的基本不等式：①()22 2,a b ab a b R +≥∈ ②()22,2 a b ab a b R +≤∈ ③()20,02a b ab a b +?? ≤>> ??? ④()2 22,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? 44、极值定理：设x 、y 都为正数，则有 ⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s ⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p 选修1－1、1-2数学知识点 简单逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论 3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?” 4、四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 5、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件） 利用集合间的包含关系： 例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若B A =，则A 是B 的充要条件 6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧ ⑵或（or ）：命题形式p q ∨ ⑶非（not ）：命题形式p ? p q p q ∧ p q ∨ p ? 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“?”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定p ?：)(,x p M x ?∈? ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示 特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定p ?：)(,x p M x ?∈? 圆锥曲线 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12 F F ）的点的轨迹称为椭圆 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+,这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<< 原命题若p 则q 逆命题 若q 则p 互为逆否 互 逆否互 为逆 否否 互 集合与简易逻辑 知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 3 ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.含绝对值不等式的解法 （1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论； 2 （三）简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真． 4、四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 函数 知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. （二）函数的性质 ⒈函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 . 2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念 1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设 高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 （答：，，）-? ?? ???1013 3. 注意下列性质： （3）德摩根定律： 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？ 义域是_____________。[] - a a （答：，） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x；②互换x、y；③注明定义域） 13. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性； 14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？ ∴……） 15. 如何利用导数判断函数的单调性？ 值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ∴a的最大值为3） 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 高一数学集合知识点归纳及典型例题 一、知识点： 本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。 本章知识结构 1、集合的概念 教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。 对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。 整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。 确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。 不同的――集合元素的互异性。 2、有限集、无限集、空集的意义 有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。 我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}” 的关系。 几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。 3、集合的表示方法 （1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合： ①元素不太多的有限集，如{0，1，8} ②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3， (100) ③呈现一定规律的无限集，如{1，2，3，…，n，…} ●注意a与{a}的区别 ●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。 （2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。 另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y＝x2}，{y|y＝x2}，{（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。 4、集合之间的关系 ●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。 “包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。 ●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。 5、集合的运算 集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。 一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集， 它有2 2n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ （1）A A A = （2）A?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体，化成||x a<， ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = （其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B = 高考数学集合专项知识点总结为了帮助大家能够对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇数学集合专项知识点，希望可以帮助到大家! 一．知识归纳： 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B); 2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且) 3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B} 4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B} 5)补集：CUA={x| x A但x∈U} 注意：①? A，若A≠?，则? A ; ②若，，则; ③若且，则A=B(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB; ④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A; ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n 个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二．例题讲解： 【例1】已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系 A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m ),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称； c.求)(x f -； d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征： 例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 例：下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系：∈?或 集合与集合的关系=?或 例：下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{}φφ∈ 3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集） 例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< （1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B 例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围 例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5：方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5- 高一数学必修1知识网络 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=??????? [全国通用]高中数学高考知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-?????? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?50352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335305555015392522∈-- 高中数学必修1知识点 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=??????? 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 整理全面《高中数学知识点归纳总结》 教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 高一数学集合知识点总结归纳 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，b?a，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：n，z，q，r，n* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈a都有x∈b，则a b(或a b); 2)真子集：a b且存在x0∈b但x0 a;记为a b(或，且 ) 3)交集：a∩b={x| x∈a且x∈b} 4)并集：a∪b={x| x∈a或x∈b} 5)补集：cua={x| x a但x∈u} 注意：①? a，若a≠?，则? a ; ②若，，则 ; ③若且，则a=b(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub; ④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。 5.交、并集运算的性质 ①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a; ③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub; 6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 【例1】已知集合m={x|x=m+ ,m∈z},n={x|x= ,n∈z},p={x|x= ,p∈z}，则m,n,p满足关系 a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 解答一：对于集合m：{x|x= ,m∈z};对于集合n：{x|x= ,n ∈z} 对于集合p：{x|x= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都 高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?= 2020高考数学知识点归纳分享 高三数学是一个新的起点，高三一轮复习从零开始，完整涵盖高中所有的知识点，第一轮复习是高考复习的关键，是基础复习阶段。下面就是给大家带来的数学高考知识点总结，希望能帮助到大家! 数学高考知识点总结1 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a 为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于 0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 数学高考知识点总结2 1.等差数列的定义 高中数学必修一 第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法：(&&&&&) 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 课时二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 （1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系， A?（或B?Ａ） 称集合A是集合B的子集。记作：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，； 注意：B （2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A高考文科数学知识点总结
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