最大字段和问题 动态规划法

淮海工学院计算机工程学院实验报告书

课程名：《算法分析与设计》

题目：实验2 动态规划算法

最大子段和问题

班级：软件081班

学号：110831116

姓名：陈点点

实验2 动态规划算法

实验目的和要求

（1）深刻掌握动态规划法的设计思想并能熟练运用；

（2）理解这样一个观点：同样的问题可以用不同的方法解决，一个好的算法是反复努力和重新修正的结果。

（3）分别用蛮力法、分治法和动态规划法设计最大子段和问题的算法；

（4）比较不同算法的时间性能；

（5）给出测试数据，写出程序文档

实验内容

给定由n 个整数组成的序列(a1, a2, …, an)，求该序列形如 的子段和的最大值，当所有整数均为负整数时，其最大子段和为0。 实验环境

Turbo C 或VC++

实验学时

2学时，必做实验

数据结构与算法

数据结构: 程序中所用的数据都是储存在数组当中

算法: 蛮力法函数MaxSum(int a[],int n,int &besti,int &bestj)

分治法函数MaxSum(int a[],int left,int right)

动态规划法函数 MaxSum(int n,int a[])

核心源代码

1， 蛮力法

T(n)=O(n2)。

#include

int MaxSum(int a[],int n,int &besti,int &bestj)

{

int sum=0;

int i,j,k;

for(i=1;i<=n;i++)

{

int asum=0;

for(j=i;j<=n;j++)

{

asum+=a[j];

∑=j i

k k

a

if(asum>sum)

{

sum=asum;

besti=i;

bestj=j;

}

}

}

return sum;

}

void main()

{

int n,a[100],m,i,j,maxsum;

cout<<"请输入整数序列的元素个数n:"<

cin>>n;

cout<<"请输入各元素的值(一共"<

cin>>a[m];

maxsum=MaxSum(a,n,i,j);

cout<<"整数序列的最大子段和是："<

2，分治法

T(n)=O(nlog(n))。

#include

int MaxSum(int a[],int left,int right)

{

int sum=0;

if (left==right)

{ //如果序列长度为1，直接求解

if (a[left]>0)

sum=a[left];

else

sum=0;

}

else{

int center=(left+right)/2;

int leftsum=MaxSum(a,left,center);

int rightsum=MaxSum(a,center+1,right);

int s1=0;

int lefts=0;

for(int i=center;i>=left;i--)

{

lefts+=a[i];

if(lefts>s1)

s1=lefts;

}

int s2=0;

int rights=0;

for(int j=center+1;j<=right;j++)

{

rights+=a[j];

if(rights>s2)

s2=rights;

}

sum=s1+s2;

if(sum

}

return sum;

}

void main()

{

int n,a[100],m,maxsum;

cout<<"请输入整数序列的元素个数n:"<

cin>>n;

cout<<"请输入各元素的值(一共"<

for(m=1;m<=n;m++)

cin>>a[m];

maxsum=MaxSum(a,1,n);

cout<<"整数序列的最大子段和是："<

}

3，动态规划法

T(n)=O(n)。

#include

void MaxSum(int n,int a[])

{

int sum=0;

int b=0;

for(int i=1;i<=n;i++)

{

if(b>0)

b+=a[i];

else

b=a[i];

if(b>sum)

sum=b;

}

cout<<"整数序列的最大子段和是："<

}

void main()

{

int n,a[100],m,maxsum;

cout<<"请输入整数序列的元素个数n:"<

cin>>n;

cout<<"请输入各元素的值(一共"<

for(m=1;m<=n;m++)

cin>>a[m];

MaxSum(n,a);

}

实验结果

1，蛮力法：

2，分治法：

3，动态规划法：

实验体会

同样的问题可以用不同的方法解决，一个好的算法是反复努力和重新修正的结果。虽然蛮力法，分治法，动态规划法都可以解决最大子段和这个问题，但是这些方法的时间复杂度各不相同，时间复杂度越低，代表这个方法更优越。通过这次实验，我对动态规划法有了深刻的理解，同时也对前面所学的蛮力法和分治法进行了复习，体会到算法设计技术的思想方法。

(数学建模教材)4第四章动态规划

第四章动态规划 §1 引言 1.1 动态规划的发展及研究内容 动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法。20 世纪50 年代初R. E. Bellman 等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。1957 年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。 例1 最短路线问题 图1 是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。试寻求一条由A 到G距离最短（或费用最省）的路线。 图1 最短路线问题 例2 生产计划问题 工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3 （千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。如果工厂在第一、二季度将全年的需求都生产出来，自然可以降低成本（少付固定成本费），但是对于第三、四季度才能上市的产品需付存储费，每季每千件的存储费为0.5（千元）。还规定年初和年末这种产品均无库存。试制定一个生产计划，即安排每个季度的产量，使一年的总费用（生产成本和存储费）最少。 1.2 决策过程的分类根据过程的时间变量是离散的还是连续的，分为离散时间 决策过程（discrete-time -56-

分治、贪心、动态规划算法要点复习

分治法 1 分割成独立的子问题 2 递归解决子问题 3 合并求得初始问题的解 动态规划算法 1.描述最优解的结构特征 2.定义最优解决方案的递归形式 3.以自底向上的方式计算最优解决方案的值 4.从计算信息构造出最优解决方案 贪婪算法步骤 1.确定问题的优化结构 2.得到递归解 3.证明某个最优选择是贪婪选择 4.贪婪选择将产生唯一一个非空子问题 5.用递归算法实现贪婪策略 6.将递归算法转换为迭代算法 贪婪算法设计 1. 通过作出某种贪婪选择，将初始优化问题转换为唯一的一个子问题来求解 2. GREEDY CHOICE（证明贪婪选择） 作出该贪婪选择后，可以保证初始优化问题存在最优解3.OPTIMAL SUBSTRUCTURE（证明优化基础） 贪婪选择+唯一子问题=最优解 贪婪算法正确性 1. 贪婪选择特性（局部最优导致全局最优） 2. 优化基础的特性（贪婪选择+唯一子问题的最优解?初始问题的最优解） 作业选择 ?贪婪选择特性 存在最优解包含贪婪选择，即Sij在选择最先完成的作业am ?优化基础 If an optimal solution to subproblem Sij includes activity ak ? it must contain optimal solutions to Sik and Skj Solution to Sij=(Solution to Sik)∪{ak}∪(Solution to Skj)动态规划解） Similarly, am + optimal solution to Smj ? optimal sol. Solution to Sij = {am} ∪(Solution to Smj) （贪婪选择解） 动态规划与贪婪算法比较 ?Dynamic programming –每步选择–选择与子问题解相关 –自底向上，即从规模下的子问题逐步求解规模大的子问题?Greedy algorithm –首先作出贪婪选择–求解贪婪选择后产生的唯一子问题–后续贪婪选择与前面的选择有关，但与子问题的解无关 –自顶向下，问题规模逐步缩小 动态规划和分治法 ?子问题非独立 –子问题求解依赖其子问题的解 –分治法通过递归方式解决性质相同的子问题 –动态规划每次解决一个子问题，并将结果存储在表格中4 ?适合优化问题 –通过适当的选择来获得问题的最优解 –找到具有最优解决方案及其最优值：装配线排程方案以及该方案的生产时间 –导致最优的解决方案可能不止一个 ? （允许负权值边） –如果从源顶点s没有可抵达的负权值回路，返回‘真’）（其余的返回‘假’，无解 –遍历所有的边|V–1|次，每次对每条边执行一次缩短运算–对图进行拓扑排序)(依据拓扑排序对边进行缩短操作 于每一个顶点, 对始于该顶点的每条边进行缩短操作) (DGA中没有负权值回路, 因此存在最短路径) – (不存在负权值边界) – (S: 集合中顶点的最短路径已经确定) (Q: V – S, 极小优先队列) ? (d[v]) (Q中的值是最短路径的估计) ?重复的从Q中选择具有最短估计距离的顶点进行处理 The Ford-Fulkerson Method(不断的增大流, 直到达到流的极大值)(通过剩余流和剩余流图实现) 增量算法（An Incremental Algorithm） Alg.: GREEDY-ACTIVITY-SELECTOR(s, f, n) 1. A ← {a1} 2. i ← 1 3. for m ← 2 to n 4. do if sm ≥ fi ? activity am is compatible with ai 5. then A ← A ∪ {am} 6. i ← m ? ai is most recent addition to A 7. return A 动态规划： 装配线排程 e1 + a1,1 if j = 1 f1[j] = min(f1[j - 1] + a1,j ,f2[j -1] + t2,j-1 + a1,j) if j ≥ 2 矩阵链相乘 m[i,j]=0 if i = j min{m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1pkpj} if i < j Matrix-Chain-Order(p) 1. n ←length[p]-1; 2. for i ←1 to n 3. m[i, i] ←0; 4. for l ←2 to n 5. for i ←1 to n –l +1 6. j ←i + l -1; 7. m[i, j] ←∞; 8. for k ←i to j -1 9. q ←m[i, k] + m[k+1, j] + pI-1pkpj; 10. if q < m[i, j] 11. m[i, j] ←q; 12. s[i, j] ←k; 13. return m and s 最长共同子序列 LCS-Length(X,Y) 1. m ←length[X]; 2. n ←length[Y]; 3. for i ←1 to m 4. c[i, 0] ←0; 5. for j ←0 to n 6. c[0, j] ←0;

动态规划算法原理与的应用

动态规划算法原理及其应用研究 系别：x x x 姓名：x x x 指导教员： x x x 2012年5月20日

摘要：动态规划是解决最优化问题的基本方法，本文介绍了动态规划的基本思想和基本步骤，并通过几个实例的分析，研究了利用动态规划设计算法的具体途径。关键词：动态规划多阶段决策 1.引言 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数

第四章 数学规划模型

第四章 数学规划模型 【教学目的】：深刻理解线性规划，非线性规划，动态规划方法建模的基本特点，并能熟练建立一些实际问题的数学规划模型；熟练掌握用数学软件（Matlab ，Lindo ，Lingo 等）求解优化问题的方法。 【教学重点难点】： 教学重点：线性规划和非线性规划的基本概念和算法，解决数学规划问题的一般思路和 方法，线性规划模型、整数规划模型、非线性规划模型的构建及其Matlab 与Lingo 实现。 教学难点：区分线性规划模型和非线性模型适用的实际问题，以及何时采用线性模型， 何时采用非线性模型，线性模型与非线性模型的转化。 【课时安排】：10学时 【教学方法】：采用多媒体教学手段，配合实例教学法，通过对典型例题的讲解启发学生思维，并给与学生适当的课后思考讨论的时间，加深知识掌握的程度。安排一定课时的上机操作。 【教学内容】： 在众多实际问题中，常常要求决策（确定）一些可控制量的值，使得相关的量（目标）达到最佳（最大或最小）。这些问题就叫优化问题，通常需要建立规划模型进行求解。称这些可控制量为决策变量，相关的目标量为目标函数；一般情况下，决策变量x 的取值是受限制的，不妨记为x ∈Ω，Ω称为可行域，优化问题的数学模型可表示为 Max(或Min)f(x), x ∈Ω 一般情况下，x 是一个多元变量，f(x)为多元函数，可行域比较复杂，一般可用一组不等式组来表示，这样规划问题的一般形式为 () x Min f x . ()0,1,2,,i st g x i m ≤= 虽然，该问题属于多元函数极值问题，但变量个数和约束条件比较多，一般不能用微分法进行解决，而通过规划方法来求解；这里讨论的不是规划问题的具体算法，主要是讨论如何将一个实际问题建立优化模型，并利用优化软件包进行求解。 根据目标函数和约束函数是否为线性，将规划模型分为线性规划和非线性规划。 4.1线性规划 线性规划(LP)研究的实际问题多种多样的，它在工农业生产、经济管理、优化设计与控

第13讲 第四章《城乡规划法》配套行政法规与规章(五)及第五章城市规划技术标准与规范(一)(2011年新版)

8、《近期建设规划工作暂行办法》 2002年建设部制定了《近期建设规划工作暂行办法》和《城市规划强制性内容暂行规定》（建规[2002]218号），要求各地依据《办法》和《规定》，切实抓紧组织制定近期建设规划和明确城市规划强制性内容工作。 （1）近期建设规划的基本任务（第四条） （2）编制近期建设规划遵循原则（第五、六条） （3）近期建设规划的强制性内容（第七条） （4）近期建设规划的指导性内容（第八、九条） （5）近期建设规划的审批（第十条） 9、《城市规划强制性内容暂行规定》 （1）城市规划强制性内容的定义（第二条） （2）城市规划强制性内容的基本要求（第三、四条） （3）省域城镇体系规划的强制性内容（第五条） （4）城市总体规划的强制性内容（第六条） （5）城市详细规划的强制性内容（第七条） （6）有关规划强制性内容的调整（第九至十一条） 10、《城市紫线管理办法》 建设部制定的《城市紫线管理办法》，2003年11月15日建设部第22次常务会议审议通过，自2004年2月1日起施行。 （1）城市紫线定义 本办法所称城市紫线，是指国家历史文化名城内的历史文化街区和省、自治区、直辖市人民政府公布的历史文化街区的保护范围界线，以及历史文化街区外经县级以上人民政府公布保护的历史建筑的保护范围界线。本办法所称紫线管理是划定城市紫线和对城市紫线范围内的建设活动实施监督、管理。 （2）主管部门（第四条） （3）划定紫线应当遵循的原则（第六条） （4）城市紫线的调整与撤销（第八、十一条）。 （5）城市紫线范围内禁止进行下列活动（第十三条）。 （6）紫线范围内建设的要求（第十二、十四至十七条）。 11、《城市绿线管理办法》 建设部制定的《城市绿线管理办法》，2002年9月9日建设部第63次常务会议审议通过，随后发布，

解0-1背包问题的动态规划算法

关于求解0/1背包问题的动态规划算法 摘要：本文通过研究动态规划原理，提出了根据该原理解决０／１背包问题的方法与算法实现， 并对算法的正确性作了验证．观察程序运行结果，发现基于动态规划的算法能够得到正确的决策方案且比穷举法有效． 关键字：动态规划；０／１背包；约束条件；序偶；决策序列；支配规则 1、引 言 科学研究与工程实践中，常常会遇到许多优化问题，而有这么一类问题，它们的活动过程可以分为若干个阶段，但整个过程受到某一条件的限制。这若干个阶段的不同决策的组合就构成一个完整的决策。0/1背包问题就是一个典型的在资源有限的条件下，追求总的收益最大的资源有效分配的优化问题。 对于0/1背包问题，我们可以这样描述：设有一确定容量为C 的包及两个向量C ’=（S 1，S 2，……，S n ）和P=（P 1，P 2，……，P N ），再设X 为一整数集合，即X=1，2，3，……，N ，X 为SI 、PI 的下标集，T 为X 的子集，那么问题就是找出满足约束条件∑S i 〈=C ，使∑PI 获得最大的子集T 。在实际运用中，S 的元素可以是N 个经营项目各自所消耗的资源，C 可以是所能提供的资源总量，P 的元素可是人们从各项项目中得到的利润。 0/1背包问题是工程问题的典型概括，怎么样高效求出最优决策，是人们关心的问题。 2、求解问题的动态规划原理与算法 2．1动态规划原理的描述 求解问题的动态规划有向前处理法向后处理法两种，这里使用向前处理法求解0/1背包问题。对于0/1背包问题，可以通过作出变量X 1，X 2，……，X N 的一个决策序列来得到它的解。而对于变量X 的决策就是决定它是取0值还是取1值。假定决策这些X 的次序为X n ，X N-1，……，X 0。在对X 0做出决策之后，问题处于下列两种状态之一：包的剩余容量是M ，没任何效益；剩余容量是M-w ，效益值增长了P 。显然，之后对X n-1，Xn-2，……，X 1的决策相对于决策X 所产生的问题状态应该是最优的，否则X n ，……，X 1就不可能是最优决策序列。如果设F j （X ）是KNAP （1，j ，X ）最优解的值，那么F n （M ）就可表示为 F N （M ）=max(f n (M),f n-1(M-w n )+p n )} （1） 对于任意的f i (X),这里i>0，则有 f i (X)=max{f i-1(X),f i-1(X-w i )+p i } （2） 为了能由前向后推而最后求解出F N （M ），需从F 0（X ）开始。对于所有的X>=0,有F 0（X ）=0，当X<0时，有F 0（X ）等于负无穷。根据（2），可求出0〈X 〈W 1和X 〉=W 1情况下F 1（X ）的值。接着由（2）不断求出F 2，F 3，……，F N 在X 相应取值范围内的值。 2．2 0/1背包问题算法的抽象描述 (1)初始化各个元素的重量W[i]、效益值P[i]、包的最大容量M ； (2)初始化Ｓ0； (3)生成S i ；

贪心算法与动态规划的比较

贪心算法与动态规划的比较 【摘要】介绍了计算机算法设计的两种常用算法思想：贪心算法与动态规划算法。通过介绍两种算法思想的基本原理，比较两种算法的联系和区别。通过背包问题对比了两种算法的使用特点和使用范围。 【关键字】动态规划；贪心算法；背包问题 1、引言 为了满足人们对大数据量信息处理的渴望，为解决各种实际问题，计算机算法学得到了飞速的发展，线性规划、动态规划、贪心策略等一系列运筹学模型纷纷运用到计算机算法学中，产生了解决各种现实问题的有效算法。虽然设计一个好的求解算法更像是一门艺术而不像是技术，但仍然存在一些行之有效的、能够用于解决许多问题的算法设计方法，你可以使用这些方法来设计算法，并观察这些算法是如何工作的。一般情况下，为了获得较好的性能，必须对算法进行细致的调整。但是在某些情况下，算法经过调整之后性能仍无法达到要求，这时就必须寻求另外的方法来求解该问题。本文针对部分背包问题和0/ 1 背包问题进行分析，介绍贪心算法和动态规划算法的区别。 2、背包问题的提出 给定n种物品( 每种物品仅有一件) 和一个背包。物品i的重量是w i，其价值为p i，背包的容量为M。问应如何选择物品装入背包，使得装入背包中的物品的总价值最大,每件物品i的装入情况为x i，得到的效益是p i*x i。 ⑴部分背包问题。在选择物品时，可以将物品分割为部分装入背包，即0≤x i≤1 ( 贪心算法)。 ⑵0/ 1背包问题。和部分背包问题相似，但是在选择物品装入时要么不装，要么全装入，即x i = 1或0。( 动态规划算法) 。 3、贪心算法 3.1 贪心算法的基本要素 能够使用贪心算法的许多例子都是最优化问题，每个最优化问题都包含一组限制条件和一个优化函数，符合限制条件的问题求解方案称为可行解；使优化函数取得最佳值的可行解称为最优解。此类所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到(这是贪心算法与动态规划的主要区别) 。 3.2贪心策略的定义 贪心策略是指从问题的初始状态出发，通过若干次的贪心选择而得出最优值( 或较优解) 的一种解题方法。贪心策略总是做出在当前看来是最优的选择，也就是说贪心策略并不是从整体上加以考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优解，而许多问题自身的特性决定了该问题运用贪心策略可以得到最优解或较优解。(注：贪心算法不是对所有问题都能

经典算法——动态规划教程

动态规划是对最优化问题的一种新的算法设计方法。由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的没计法对不同的问题，有各具特色的表示方式。不存在一种万能的动态规划算法。但是可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行讨论，学会这一设计方法。 多阶段决策过程最优化问题 ——动态规划的基本模型 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。这种把一个问题看做是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策最优化问题。 【例题1】最短路径问题。图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少? 【分析】把从A到E的全过程分成四个阶段，用k表示阶段变量，第1阶段有一个初始状态A，两条可供选择的支路ABl、AB2；第2阶段有两个初始状态B1、 B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。用dk(x k，x k+1)表示在第k阶段由初始状态x k到下阶段的初始状态x k+1的路径距离，Fk(x k)表示从第k阶段的x k到终点E的最短距离，利用倒推方法求解A到E的最短距离。具体计算过程如下： S1：K=4，有：F4(D1)=3，F4(D2)=4，F4(D3)=3 S2: K=3，有： F3(C1)=min{d3(C1,D1)+F4(D1),d3(C1,D2)+F4(d2)}=min{8,10}=8 F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=5+3=8 F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=8+3=11 F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=3+3=6

动态规划算法和贪心算法的比较与分析

动态规划算法和贪心算法的比较与分析 1、最优化原理 根据一类多阶段问题的特点,把多阶段决策问题变换为一系列互相联系的单阶段问题,然后逐个加以解决。解决这类问题的最优化原理:一个过程的最优决策具有这样的性质,即无论其初始状态和初始决策如何,其今后诸策略对以第一个决策所形成的状态作为初始状态的过程而言,必须构成最优策略。简而言之,一个最优策略的子策略,对于它的初态和终态而言也必是最优的。 2、动态规划 2.1 动态规划算法 动态规划是运筹学的一个分支，与其说它是一种算法，不如说它是一种思维方法更贴切。因为动态规划没有固定的框架，即便是应用到同一道题上，也可以建立多种形式的求解算法。许多隐式图上的算法，例如求单源最短路径的Dijkstra算法、广度优先搜索算法，都渗透着动态规划的思想。还有许多数学问题，表面上看起来与动态规划风马牛不相及，但是其求解思想与动态规划是完全一致的。因此，动态规划不像深度或广度优先那样可以提供一套模式，需要的时候，取来就可以使用。它必须对具体问题进行具体分析、处理，需要丰富的想象力去建立模型，需要创造性的思想去求解。 动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。值得注意的是，用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的。 最优化原理是动态规划的基础。任何一个问题，如果失去了这个最优化原理的支持，就不可能用动态规划方法计算。能采用动态规划求解的问题都要满足两个条件:①问题中的状态必须满足最优化原理;②问题中的状态必须满足无后效性。 所谓无后效性是指下一时刻的状态只与当前状态有关，而和当前状态之前的状态无关，当前的状态是对以往决策的总结。 2.2 动态规划算法的基本要素

实验项目三 用蛮力法、动态规划法和贪心法求解背包问题

实验项目三 用蛮力法、动态规划法和贪心法求解0/1 背包问题 实验目的 1、学会背包的数据结构的设计，针对不同的问题涉及到的对象的数据结构的设计也不同； 2、对0-1背包问题的算法设计策略对比与分析。 实验内容： 0/1背包问题是给定n 个重量为{w 1, w 2, … ,wn }、价值为{v 1, v 2, … ,vn }的物品和一个容量为C 的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中。 在0/1背包问题中，物品i 或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi 表示物品i 装入背包的情况，则当xi =0时，表示物品i 没有被装入背包，xi =1时，表示物品i 被装入背包。根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数： 于是，问题归结为寻找一个满足约束条件式1，并使目标函数式2达到最大的解向量X =(x 1, x 2, …, xn )。 背包的数据结构的设计： typedef struct object { int n;//物品的编号 int w;//物品的重量 int v;//物品的价值 }wup; wup wp[N];//物品的数组，N 为物品的个数 int c;//背包的总重量 1、蛮力法 蛮力法是一种简单直接的解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。蛮力法的关键是依次处理所有的元素。 用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价值，然后在他们中找到价值最大的子集。 所以蛮力法解0/1背包问题的关键是如何求n 个物品集合的所有子集，n 个物品的子集有2的n 次方个，用一个2的n 次方行n 列的数组保存生成的子集，以下是生成子集的算法： ?????≤≤∈≤∑=)1(}1,0{1n i x C x w i n i i i （式1） ∑=n i i i x v 1max （式2）

背包问题-贪心法和动态规划法求解

实验四“0-1”背包问题 一、实验目的与要求 熟悉C/C++语言的集成开发环境； 通过本实验加深对贪心算法、动态规划算法的理解。 二、实验内容: 掌握贪心算法、动态规划算法的概念和基本思想，分析并掌握“0-1”背包问题的求解方法，并分析其优缺点。 三、实验题 1.“0-1”背包问题的贪心算法 2.“0-1”背包问题的动态规划算法 说明：背包实例采用教材P132习题六的6-1中的描述。要求每种的算法都给出最大收益和最优解。 设有背包问题实例n=7，M=15,，(w0,w1,。。。w6)=（2,3,5,7,1,4,1），物品装入背包的收益为：（p0，p1，。。。，p6）=（10,5,15,7,6,18,3）。求这一实例的最优解和最大收益。 四、实验步骤 理解算法思想和问题要求； 编程实现题目要求； 上机输入和调试自己所编的程序； 验证分析实验结果； 整理出实验报告。 五、实验程序

// 贪心法求解 #include #include"iomanip" using namespace std; //按照单位物品收益排序，传入参数单位物品收益，物品收益和物品重量的数组，运用冒泡排序 void AvgBenefitsSort(float *arry_avgp,float *arry_p,float *arry_w ); //获取最优解方法，传入参数为物品收益数组，物品重量数组，最后装载物品最优解的数组和还可以装载物品的重量 float GetBestBenifit(float*arry_p,float*arry_w,float*arry_x,float u); int main(){ float w[7]={2,3,5,7,1,4,1}; //物品重量数组 float p[7]={10,5,15,7,6,18,3}; //物品收益数组 float avgp[7]={0}; //单位毒品的收益数组 float x[7]={0}; //最后装载物品的最优解数组 const float M=15; //背包所能的载重 float ben=0; //最后的收益 AvgBenefitsSort(avgp,p,w); ben=GetBestBenifit(p,w,x,M); cout<

第7讲 城乡规划法(一)(2011年新版)

第三章城乡规划法 大纲要求 3.《中华人民共和国城乡规划法》 3.1了解《中华人民共和国城乡规划法》立法背景 3.2熟悉《中华人民共和国城乡规划法》的重要意义与作用 3.3掌握《中华人民共和国城乡规划法》内容与说明 新版教材的变动 第三节《<城乡规划法>主要内容》中“城乡规划的实施原则”新增在城乡规划确定的建设用地以外不得作出规划许可的原则。“城乡规划实施管理制度”新增临时建设和临时用地规划管理。“规划修改的报审程序”新增城市、县、镇人民政府修改近期建设规划的情形。“城乡规划的法律责任”新增违反《城乡规划法》构成犯罪行为的处理办法。 授课时间 本章大约需要一讲的时间。 《中华人民共和国城乡规划法》是我国社会主义现代化建设新时期，适应新形势需要，为加强城乡规划管理，协调城乡空间布局，改善人居环境，涉及城乡建设和发展全局，促进城乡经济社会全面、协调、可持续发展而制定的一部基本法。该法经2007年10月28日第十届全国人民代表大会常务委员会第三十次会议通过并颁布，自2008年1月1日起施行。 一、立法指导思想、背景和重要意义 1、立法指导思想 制定《城乡规划法》的指导思想是：按照贯彻落实科学发展观和构建社会主义和谐社会的要求，统筹城乡建设和发展，确立科学的规划体系和严格的规划实施制度，正确处理近期建设与长远发展、局部利益与整体利益、经济发展与环境保护、现代化建设与历史文化保护等关系，促进合理布局，节约资源，保护环境，体现特色，充分发挥城乡规划在引导城镇化健康发展、促进城乡经济社会可持续发展中的统筹协调和综合调控作用。 2、立法背景 《城乡规划法》是由建设部起草的。它总结了1990年4月1日起施行的《城市规划法》和1993年11月1日起施行的《村庄和集镇规划建设管理条例》的实施经验，结合我国城镇化发展战略实行以来城市经

中华人民共和国城乡规划法 解读

中华人民共和国城乡规划法解读对比旧版《城市规划法》～《城乡规划法》有哪些变化, 对比旧版《城市规划法》～最大的不同是强调城乡统筹～最显著的进展是强化监督职能～最明确的要求是落实政府责任。 《城乡规划法》共七章七十条～与《城市规划法》比较～取消 了“城市新区开发和旧区改造”这一章～新增加了“城乡规划的 修改”和“监督检查”两个章节。 中华人民共和国城乡规划法 ,2007年10月28日第十届全国人民代表大会常务委员会第三十次会议通过, 目录 第一章总则 第二章城乡规划的制定 第三章城乡规划的实施 第四章城乡规划的修改 第五章监督检查 第六章法律责任 第七章附则 第一章总则 《城乡规划法》的重要内容可概括为十个方面: 第一～突出城乡规划的公共政策属性。《城乡规划法》明确提 出:为了加强城乡规划管理～协调城乡空间布局～改善人居环境～ 促进城乡经济社会全面、协调、可持续发展～制定本法。从内容上看～重视资源节约、环境保护、文化与自然遗产保护,促进公共财政首先投到基础设施、公共

设施项目,强调城乡规划制定、实施全过程的公众参与,保证公平～明确了有关赔偿或补偿责任。第二～强调城乡规划综合调控的地位和作用。《城乡规划法》指出:“任何单位和个人都应当遵守依法批准并公布的城乡规划～服从规划管理”。这就从法律上明确～城乡规划是政府引导和调控城乡建设和发展的一项重要公共政策～是具有法定地位的发展蓝图。同时～法律适用范围扩大～强调城乡统筹、区域统筹,确立先规划后建设的原则,“三规合一”是规划未来发展的必然趋势。第三～新的城乡规划体系的建立。体现了一级政府、一级规划、一级事权的规划编制要求,明确规划的强制性内容,突出近期建设规划的地位,强调规划编制责任。 第四～严格城乡规划修改程序。对城乡规划评估～修改省域城镇体系规划、城市体规划、镇总体规划～修改详细规划等～都做出了详细的规定。 第五～城乡规划行政许可制度的完善。建立完善了针对土地有偿使用制度和投资体制改革的建设用地规划管理制度,规定了各项城乡规划的行政许可。 第六～对行政权力的监督制约。明确了上级行政部门的监督～人民代表大会的监督～以及全社会的公众监督。 第七～对城乡规划编制单位提出了新的要求。对城乡规划编制单 位的资质管理～对规划师职业的管理～都有明确规定。第八～加强人民代表大会的监督作用。省域城镇体系规划、城市和县城关镇总体规划由本级人大常委会审议～镇总体规划由人大审议。城市控制性详细规划报本级人大常委会备案～县城关镇控制性详细规划报县人大常委会备案。省域城镇体系规划、城市和镇总体规划定期评估须向人大报告。 第九～强化法律责任。追究政府和行政人员的责任,追究城乡规划编制单位的责任,追究违法建设行为的责任,明确对违法行为给予罚款的范围和数额,授予市政府强制拆除权。 第十～法律授权～建立完善的城乡规划法律体系。

动态规划和贪心的区别

动态规划和贪心算法的区别 动态规划法的基本思路： 动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推的方式去解决。此算法常用于求解某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案，消除递归过程中产生的大量重叠子问题。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。 贪心算法的基本思想： 在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，贪心算法所得出的解是一系列局部最优的选择。 把求解的问题分成若干个子问题，对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解，把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解。为了解决问题，需要寻找一个构成解的候选对象集合，起初，算法选出的候选对象的集合为空。接下来的每一步中，根据选择函数，算法从剩余候选对象中选出最有希望构成解的对象。如果集合中加上该对象后不可行，那么该对象就被丢弃并不再考虑；否则就加到集合里。每一次都扩充集合，并检查该集合是否构成解。 由以上可知：在贪心算法中，作出的每步贪心决策都无法改变，因为贪心策略是由上一步的最优解推导下一步的最优解，而上一部之前的最优解则不作保留。并且，每一步的最优解一定包含上一步的最优解。 而在动态规划算法中，全局最优解中一定包含某个局部最优解，但不一定包含前一个局部最优解，因此需要记录之前的所有最优解。动态规划的关键是状态

动态规划算法举例分析

动态规划算法 1. 动态规划算法介绍 基本思想是将待求解问题分解成若干子问题，先求解子问题，最后用这些子问题带到原问题，与分治算法的不同是，经分解得到的子问题往往是不是相互独立，若用分治则子问题太多。 2. 适用动态规划算法问题的特征 （1）最优子结构 设计动态规划算法的第一步骤通常是要刻画最优解的结构。当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质提供了该问题可用动态规划算法求解的重要线索。 在动态规划算法中，问题的最优子结构性质使我们能够以自底向下的方式递归地从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。同时，它也使我们能在相对小的子问题空间中考虑问题。 （2）重叠子问题 可用动态规划算法求解的问题应具备的另一基本要素是子问题的重叠性质。在用递归算法自顶向下解此问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次需要解此子问题时，只有简单地用常数时间查看一下结果。通常，不同的子问题个数随输入问题的大小呈多项式增长。因此，用动态规划算法通常只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率。 （3）备忘录方法

动态规划算法的一个变形是备忘录方法。备忘录方法也是一个表格来保存已解决的子问题的答案，在下次需要解此子问题时，只要简单地查看该子问题的解答，而不必重新计算。与动态规划算法不同的是，备忘录方法的递归方式是自顶向下的，而动态规划算法则是自底向上递归的。因此，备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同，区别在于备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同子问题的重复求解。 备忘录方法为每个子问题建立一个记录项，初始化时，该记录项存入一个特殊的值，表示该子问题尚未求解。在求解过程中，对每个待求的子问题，首先查看其相应的记录项。若记录项中存储的是初始化时存入的特殊值，则表示该子问题是第一次遇到，则此时计算出该子问题的解，并保存在其相应的记录项中。若记录项中存储的已不是初始化时存入的特殊值，则表示该子问题已被计算过，其相应的记录项中存储的是该子问题的解答。此时，只要从记录项中取出该子问题的解答即可。 3. 基本步骤 a 、找出最优解的性质，并刻画其结构特征。 b 、递归地定义最优值。 c 、以自底向上的方式计算出最优值。 d 、根据计算最优值时得到的信息构造一个最优解。（可省） 例1-1 [0/1背包问题] [问题描述] 用贪心算法不能保证求出最优解。在0/1背包问题中，需要对容量为c 的背包进行装载。从n 个物品中选取装入背包的物品，每件物品i 的重量为i w ，价 值为 i v 。对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最佳 装载是指所装入的物品价值最高，即∑=n i i i x v 1 取得最大值。约束条件为 c x w n i i i ≤∑=1 ， {}() n i x i ≤≤∈11,0。

01背包问题(动态规划法)

0/1背包问题 1. 问题描述 给定一个载重量为m，n个物品，其重量为w i，价值为v i，1<=i<=n，要求:把物品装入背包，并使包内物品价值最大 2. 问题分析 在0/1背包问题中，物体或者被装入背包，或者不被装入背包，只有两种选择。 循环变量i，j意义：前i个物品能够装入载重量为j的背包中 (n+1)*(m+1)数组value意义：value[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值 若w[i]>j，第i个物品不装入背包 否则，若w[i]<=j且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j]，则记录当前最大价值（替换为第i个物品装入背包后的价值） 计算最大价值的动态规划算法如下： //计算 for(i=1;ij,第i个物品不装入背包 value[i][j]=value[i-1][j]; //w[i]<=j,且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j],则记录当前最大价值 int temp=value[i-1][j-w[i]]+v[i];

if(w[i]<=j && temp>value[i][j]) value[i][j]=temp; } } 即该段程序完成以下n个阶段： 1：只装入1个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值 2：装入2个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值 。。。 n：以此类推，装入n个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值3. 问题求解 确定装入背包的具体物品，从value[n][m]向前逆推： 若value[n][m]>value[n-1][m]，则第n个物品被装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m-w[n]的背包中 否则，第n个物品没有装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m的背包中以此类推，直到确定第一个物品是否被装入背包为止。逆推代码如下： //逆推求装入的物品 j=m; for(i=row-1;i>0;i--) { if(value[i][j]>value[i-1][j]) { c[i]=1; j-=w[i]; } } 4. 代码如下

用蛮力法、动态规划法和贪心法求解01背包问题

算法设计与分析 项目名称：用蛮力法、动态规划法和贪心法求解0/1背包问题 作者姓名：余武丹 李红波 刘红梅 完成日期：2013年9月20日

目录 第一章：简介（Introduction） 第二章：算法定义（Algorithm Specification） 第三章：测试结果（Testing Results） 第四章：分析和讨论

第一章：简介（Introduction ） 0/1背包问题是给定n 个重量为{w 1, w 2, … ,wn }、价值为{v 1, v 2, … ,vn }的物品和一个容量为C 的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中。 在0/1背包问题中，物品i 或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi 表示物品i 装入背包的情况，则当xi =0时，表示物品i 没有被装入背包，xi =1时，表示物品i 被装入背包。根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数： 于是，问题归结为寻找一个满足约束条件式1，并使目标函数式2达到最大的解向量X =(x 1, x 2, …, xn )。 背包的数据结构的设计： typedef struct object { int n;//物品的编号 int w;//物品的重量 int v;//物品的价值 }wup; wup wp[N];//物品的数组，N 为物品的个数 int c;//背包的总重量 第二章：算法定义（Algorithm Specification ） 1、蛮力法 蛮力法是一种简单直接的解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。蛮力法的关键是依次处理所有的元素。 用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价值，然后在他们中找到价值最大的子集。 所以蛮力法解0/1背包问题的关键是如何求n 个物品集合的所有子集，n 个物品的子集有2的n 次方个，用一个2的n 次方行n 列的数组保存生成的子集，以下是生成子集的算法： void force(int a[][4])//蛮力法产生4个物品的子集 { int i,j; int n=16; int m,t; for(i=0;i<16;i++) ????? ≤≤∈≤∑=) 1(}1,0{1 n i x C x w i n i i i （式1） ∑=n i i i x v 1 max （式2）

动态规划算法及其应用

湖州师范学院实验报告 课程名称：算法 实验二：动态规划方法及其应用 一、实验目的 1、掌握动态规划方法的基本思想和算法设计的基本步骤。 2、应用动态规划方法解决实际问题。 二、实验内容 1、问题描述 1 ）背包问题 给定 N 种物品和一个背包。物品 i 的重量是 C i ，价值为 W i ；背包的容量为 V。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？在选择装入背包的物品，对每种物品只有两个选择：装入或不装入，且不能重复装入。输入数据的第一行分别为：背包的容量 V，物品的个数 N。接下来的 N 行表示 N 个物品的重量和价值。输出为最大的总价值。 2）矩阵连乘问题 给定 n 个矩阵：A1,A2,...,An，其中 Ai 与 Ai+1 是可乘的，i=1 ， 2... ， n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。 3 ）LCS问题 给定两个序列，求最长的公共子序列及其长度。输出为最长公共子序列及其长度。 2、数据输入：文件输入或键盘输入。 3、要求： 1）完成上述两个问题，时间为 2 次课。 2）独立完成实验及实验报告。 三、实验步骤 1、理解方法思想和问题要求。 2、采用编程语言实现题目要求。 3、上机输入和调试自己所写的程序。 4、附程序主要代码： (1) #include int max(int a, int b) { return (a > b)? a : b; } int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n) { if (n == 0 || W == 0) return 0;