05数学分析中_实数完备性

第七章 实数的完备性

第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 教学目的与要求： 1）进一步加深对实数集上下确界、数列的子列以及函数在一区间上一致连续等重要概念的理解，为掌握本章有关内容做好准备； 2）掌握区间套、聚点等重要概念； 3）熟练掌握确界原理、单调有界定理、柯西准则和区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理，明确定理的条件和结论，准确地加以表述，并深刻理解其实质意 4）能应用聚点定理和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用聚点定理和有限覆盖定理进行分析论证的方法，显著提高学生的分析论证能力。 教学重点，难点： 熟练掌握确界原理、单调有界定理、柯西准则和区间套定理，明确定理的条件和结论，准确地加以表述，并深刻理解和掌握其证明思想；应用聚点定理和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用聚点定理和有限覆盖定理进行分析论证的方法, 提高学生的分析论证能力 教学内容： 一 区间套定理与柯西收敛准则 定义1 设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质： （i ）;,2,1],,[],[11 =?++n b a b a n n n n (ii)0)(lim =-∞ →n n n a b , 则称[]{},,n n b a 为闭区间套，或简称区间套． 这里的性质（i ）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式： 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ (1) 定理7.1（区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得.,2,1],,[ =∈n b a n n ξ即 .,2,1, =≤≤n b a n n ξ （２） 分析 即要证明闭区间列 ,2,1],,[=n b a n n 有唯一的公共点，所以首先我们要至少找到一个公共点，由（1）式和单调有界定理可以知道数列{}n a 和{}n b 都存在极限，我们只要

关于实数完备性的基本定理

第七章 实数的完备性 §1 关于实数完备性的基本定理 1. 验证数集? ?? ? ??+-n n 1) 1(有且只有两个聚点11 -=ξ 和12 =ξ. 分析:根据聚点定义2'',分别找各项互异的收敛数列 {}n x ,{}n y ?? ?? ? ??+-n n 1) 1(,使其极限分别为-1和1.再由聚点定义2,用反证法，对1,±≠∈?a R a ,关键在找存在ε,使U(ε,a )内含有? ????? + -n n 1)1(中有限多个点. 解：记()()() 2,11 211,2111 22=-= -=+ -=-n n y n x n n n n 则 {}n x ,{} n y ? ? ?? ? ??+-n n 1)1(,且1lim ,1lim -==∞ →∞→n n n n y x .由定义2''知， 1,121=-=ξξ为???? ?? +-n n 1)1(的两个聚点. 对1,±≠∈?a R a ，则取{}1 ,1min 2 1 0+-=a a ε， ? ?? ??? + -n n 1)1(落在U(0,εa )内部至多只有有限点, 则α不是其聚点. 2．证明 任何有限数集都没有聚点. 分析：由聚点定义2即可证明.

证明：由定义2知，聚点的任何邻域内都含有数集的无穷多个点，而对于有限数集，不可能满足此定义，因此，任何有限数集都没有聚点。 3．设{}),(n n b a 是一个严格开区间套，即满足 ,1221b b b a a a n n <<<<<<< 且0)(lim =-∞ →n n n a b .证明：存在唯一的一点 ξ，使),2,1( =<

实数的完备性

第七章实数的完备性 教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。 教学时数：12学时 § 1 关于实数集完备性的基本定理（3学时）教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。 一．确界存在定理：回顾确界概念． Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 . 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三.Cantor闭区间套定理 : 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 1.

ⅰ> 对 , 有 , 即 , 亦即后一个闭区间 包含在前一个闭区间中 ; ⅱ> . 即当 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减. 例如 和 都是区间套. 但 、 和 都不是. 2. Cantor 区间套定理: Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 : 1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为Cauchy 列 : ⑴ . ⑵ .

实数基本定理

Ch 8 实数基本定理 计划课时：8 时 § 0 连续统假设简介（2 时） 一．数的发展简史：参阅《数学分析》选讲讲稿P66—76（1997. 8.10 ）. 1.自然数的产生: 十九世纪数学家Leopold Kronecker说: 上帝创造了整数, 其余则是我们人类的事了. 2.从自然数系到有理数系: 3.算术连续统假设的建立及其破灭: 不可公度性的发现及其深远影响. Pythagoras（约在纪元前六世纪），Hippasus，Leonardo da Vinci 称为“无理的数”. Eudoxus , Euclid. 4.微积分的建立: Newton , Leibniz ; Euler , Lagrange , D′Alembert , Laplace ; Voltaire , B. Berkeley . 十九世纪分析学理论的重建工作: B.Bolzano , A.Cauchy , Abel , Dirichlet, Weierstrass . Archimedes数域. 5.实数系的建立:

十九世纪后半叶由Weierstrass , Meray , Dedekind , Cantor 等完成. 二. 连续统假设: 1.连续统假设: 以Cantor实数为例做简介. Cauchy ( 1789—1857, 法 ), Bolzano (1781—1845 ), Cantor ( 1829—1920 ). 在他们的著作中表现了实数连续性的观点. 1900年, 哥庭根大学教授Hilbert ( 1862—1943, 德 )在巴黎国际数学家代表大会上的致辞中 , 提出了二十三个研究课题 , 其中的第一题就是所谓连续统假设.首当其冲的是关于连续统观点的算术陈述. ( 参阅 D.J.斯特洛伊克著《数学简史》P160—161 ). 连续统假设的研究现况. 2.实数基本定理: 连续统假设的等价命题. 共有九个定理, 我们介绍其中的七个. 另外还有 上、下极限定理和实数完备性定理. § 1 实数基本定理的陈述（ 4 时） 一．确界存在定理：回顾确界概念． Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界. 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念. Th 2 单调有界数列必收敛.

实数完备性定理的证明及应用

. .. . 实数完备性定理的证明及应用 学生：xxx 学号： 数学与信息科学学院数学与应用数学专业 指导老师：xxx 职称：副教授 摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，他是微积分学的坚实的理论基础，从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，六个完备性定理是对实数完备性基本定理等价性的系统论述，让我们获得对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解. 并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质．关键词：完备性；基本定理；等价性 Testification and application about Real Number Completeness Abstract: Completeness of the set of reel numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, To prove the equivalence of the six principle theorem is systematic discussion about it and make us acquire more recognition and understanding. At the same time, the theorem of completeness of real numbers testpfyies the several qualities of the continuous function in closed interval. Key Words: sigmacompleteness; fundamental theorem; equivalence 引言 在数学分析学习中，我们知道，实数完备性定理是极限的理论基础，是数学分析理论的基石，对实数完备性表达通常有六个定理．在此，我们以实数连续性为公理，顺序证明其余六个基本定理，最后达到循环，从而证明等价性，并用实

第七章 实数完备性

第七章实数的完备性 §1 关于实数完备性的基本定理 一、问题提出 定理1.1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界. 确界存在定理(定理 1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题,这就是以下的定理1.2至定理1.6． 定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛． 定理1.3 (区间套定理）设为一区间套： ． 则存在唯一一点 定理1.4 (有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖,即 中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间,它们构成 的一个有限开覆盖． 定理1.5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）． 定理1.6 (柯西准则)数列收敛的充要条件是：,只要恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列．） 这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义,更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性,使大家熟悉使用这些理论工具．下图中有三种不同的箭头,其含义如下： ：(1)～(3) 基本要求类 ：(4)～(7) 阅读参考类 ：(8)～(10) 习题作业类

二、回顾确界原理的证明 我们曾引入有界数集的确界概念,今证明它的存在性（记号a 、b 、c 表示实数） Dedekind 定理 设A/B 是R 的一个切割,则比存在实数R ε∈使得(,]A ε=-∞,(,)B ε=+∞或 (,)A ε=-∞,[,)B ε=+∞无其它可能. 1 非空有上界的数集E 必存在上确界. 证明 设}{x E =非空,有上界b ： E x ∈?,b x ≤. （1） 若E 中有最大数0x ,则0x 即为上确界； （2） 若E 中无最大数,用下述方法产生实数的一个分划；取E 的一切上界归入上类 B ,其余的实数归入下类A ,则)|(B A 是实数的一个分划. ο 1 A 、B 不空.首先B b ∈.其次E x ∈?,由于x 不是E 的最大数,所以它不是E 的上界,即 A x ∈.这说明E 中任一元素都属于下类A ； ο 2 A 、B 不漏性由A 、B 定义即可看出； ο 3 A 、B 不乱.设A a ∈,B b ∈.因a 不是E 的上界,E x ∈?,使得x a <,而E 内每一元素属于 A ,所以b x a <<. ο 4 由ο 3的证明可见A 无最大数. 所以)|(B A 是实数的一个分划.由戴德金定理,知上类B 必有最小数,记作c . E x ∈?,由ο1知A x ∈,即得c x <.这表明c 是E 的一个上界.若b 是E 的一个上界,则B b ∈,由此得b c ≤,所以c 是上界中最小的,由上确界定义,c 为集合E 的上确界,记作 E c sup =.

实数的基本定理

第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明 六个基本定理： 1实数戴德德公理 确界原理 2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理 5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理 定理(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界． 定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记{}n a a sup =．下面证明a 就是{}n a 的极限． 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a <<-ε． 另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时有 εε+<<-a a a n ， 即a a n n =∞ →lim ．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界． （区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,， ,2,1=n ，即 ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 .,2,1, =≤n a n ξ （3） 同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（??）有 ξ==∞ →∞ →n n n n a b lim lim ， （4） 且 .,2,1, =≥n b n ξ （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。 最后证明满足（2）的ξ是唯一的。设数ξ'也满足 ,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ

实数完备性基本定理相互证明

关于实数连续性的基本定理 关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理 柯西收敛定理 等价证明 以上的定理表述如下： 实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都?唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。 确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。 单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。 区间套定理:设｛ ,[n a ] n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含 在所有的区间里,即 ∞ =∈1 ] ,[n n n b a r 。 有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。 柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是： ε ε<->>?>?||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。 这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。 （二）实数基本定理的等价证明 一．用实数基本定理证明其它定理 1．实数基本定理→单调有界定理 证明：设数列}{n x 单调上升有上界。令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ?≤,}, 而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0 n ，使 a < 0n x ≤ b ，即A 、B 不乱。故A|B 是实数的一个分划。根据实数基本定理， A ，a R r ∈?∈?使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。

实数系基本定理等价性的完全互证

第38卷第24期2008年12月数学的实践与认识M AT HEM A TICS IN PRACTICE AND T HEORY V o l.38　No.24　 D ecem.,2008　 教学园地 实数系基本定理等价性的完全互证 刘利刚(浙江大学数学系,浙江杭州　310027) 摘要:　综合给出了实数系六个基本定理的等价性的完全互证方法,并归纳了各种证明方法的规律,旨在把抽象的证明转化为容易掌握的基本方法. 关键词:　实数系;连续性;等价;极限收稿日期:2005-06-10 实数系基本定理是数学分析中重要组成部分,是分析引论中极限理论的基础,也称为实数系的连续性定理.能够反映实数连续性的定理很多,它们是彼此等价的.现有的教材都是按照某一顺序将这些定理进行一次循环证明就验证了它们的等价性[1-2].虽然不同的教材对于循环证明的顺序有所不同,但每一次循环证明看起来都似乎没有关联,并没有综合归纳其中的方法技巧.这么多相互独立的证明使得不少学生都感到数学分析中这部分内容太抽象,难以理解.因而当遇到一个教材中没有给出的2个定理之间的等价性证明时就无从下手.为此,在讲述这些定理的时候,我们把这些定理的相互证明详细地整理出来,并且归纳给出了这些定理的完全互证方法与规律,使学生在学习这部分内容时不再感到无所适从. 我们使用的教材[1]中给出的实数系的六个基本定理及其描述为: 1)确界存在定理(pp .12):上(下)有界的非空数集必存在唯一上(下)确界. 2)递增(减)有界数列必有极限(pp.34). 3)闭区间套定理(pp.41):设I 1,I 2,…,I n ,…是一串有界闭区间,I 1 I 2 … I n …,且I n 的长度 I n →0,称{I n }为闭区间套.则闭区间套{I n }的交∩∞ n =1 I n 必不空且为单点集. 4)Bo lzano -Weierstrass 定理(pp.44):有界数列必有收敛子列. 5)Cauchy 收敛准则(pp.299):数列{x n }收敛 {x n }是基本数列. 6)有限开覆盖定理(pp.308):若开区间族{O }覆盖了有界闭区间[a ,b ],则从{O }中 必可挑出有限个开区间O 1,O 2,…,O n 同样覆盖了[a ,b ]:[a ,b ] O 1∪O 2∪…∪O n . 在证明之前,我们首先必须要理解这六个定理的每一个在说些什么,只要概念清楚了,并且理解其方法,证明并不难. 定理1)～5)属于同一类型,它们都指出,在某一条件下,便有某种“点”存在,这种点分别是确界(点)(定理1)),极限点(定理2)5)),公共点(定理3)),子列的极限点(定理4)).定理

实数完备性定理的证明及应用

实数完备性定理的证明及应用 学生姓名：xxx 学号：072 数学与信息科学学院数学与应用数学专业 指导老师：xxx 职称：副教授 摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，他是微积分学的坚实的理论基础，从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，六个完备性定理是对实数完备性基本定理等价性的系统论述，让我们获得对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解. 并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质．关键词：完备性；基本定理；等价性 Testification and application about Real Number Completeness Abstract: Completeness of the set of reel numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, To prove the equivalence of the six principle theorem is systematic discussion about it and make us acquire more recognition and understanding. At the same time, the theorem of completeness of real numbers testpfyies the several qualities of the continuous function in closed interval. Key Words: sigmacompleteness; fundamental theorem; equivalence 引言 在数学分析学习中，我们知道，实数完备性定理是极限的理论基础，是数学分析理论的基石，对实数完备性表达通常有六个定理．在此，我们以实数连续性为公理，顺序证明其余六个基本定理，最后达到循环，从而证明等价性，并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质. 1. 基本定义[1]

第七章 实数的完备性

第七章实数的完备性 § 1 关于实数集完备性的基本定理 一区间套定理与柯西收敛准则 定义1 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ）对, 有, 即, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ⅱ）. 即当时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 . 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和, 其中递增,递减. 例如和都是区间套. 但、和都不是. 区间套定理 定理7.1(区间套定理) 设是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点, 使对有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 二聚点定理与有限覆盖定理

定义设是无穷点集. 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的 一个聚点. 数集=有唯一聚点, 但; 开区间的全体聚点之集是闭区间; 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间. 定理 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 聚点原理 :Weierstrass 聚点原理. 定理7.3 每一个有界无穷点集必有聚点. 列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理. 四． Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 : 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为Cauchy列 : ⑴. ⑵. 解⑴ ;

对，为使，易见只要. 于是取. ⑵ . 当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 , 又 . 当为奇数时,

. 综上 , 对任何自然数, 有 . …… Cauchy 列的否定: 例2 . 验证数列不是Cauchy列. 证对, 取, 有 . 因此, 取,…… 三 Cauchy收敛原理: 定理数列收敛是Cauchy列. ( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原 则给出证明 )

第七章实数的完备性

第七章实数的完备性 §7.1 实数完备性的基本定理 一、问题提出 定理1.1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界. 确界存在定理(定理 1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题,这就是以下的定理1.2至定理1.6． 定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛． 定理1.3 (区间套定理）设为一区间套： ． 则存在唯一一点 定理1.4 (有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖,即 中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间,它们构成 的一个有限开覆盖． 定理1.5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）． 定理1.6 (柯西准则)数列收敛的充要条件是：,只要恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列．） 这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义,更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性,使大家熟悉使用这些理论工具．下图中有三种不同的箭头,其含义如下： ：(1)～(3) 基本要求类

： (4)～(7) 阅读参考类 ： (8)～(10) 习题作业类 二、回顾确界原理的证明 我们曾引入有界数集的确界概念,今证明它的存在性（记号a 、b 、c 表示实数） Dedekind 定理 设A/B 是R 的一个切割,则比存在实数R ε∈使得(,]A ε=-∞,(,)B ε=+∞或(,)A ε=-∞,[,)B ε=+∞无其它可能. 1 非空有上界的数集E 必存在上确界. 证明 设}{x E =非空,有上界b ： E x ∈?,b x ≤. （1） 若E 中有最大数0x ,则0x 即为上确界； （2） 若E 中无最大数,用下述方法产生实数的一个分划；取E 的一切上界归入上类 B ,其余的实数归入下类A ,则)|(B A 是实数的一个分划. 1 A 、B 不空.首先B b ∈.其次E x ∈?,由于x 不是E 的最大数,所以它不是E 的上界,即 A x ∈.这说明E 中任一元素都属于下类A ； 2 A 、B 不漏性由A 、B 定义即可看出； 3 A 、B 不乱.设A a ∈,B b ∈.因a 不是E 的上界,E x ∈?,使得x a <,而E 内每一元素属于 A ,所以b x a <<. 4 由 3的证明可见A 无最大数. 所以)|(B A 是实数的一个分划.由戴德金定理,知上类B 必有最小数,记作c .

数学分析之实数的完备性

数学分析之实数的完备性 《数学分析》教案 第七章实数的完备性 教学目的: 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义; 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点:本章的重点是实数完备性的基本定理的证明;难点是基本定理的应用。 教学时数:14学时 ? 1 关于实数集完备性的基本定理(4学时) 教学目的: 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义; 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点:实数完备性的基本定理的证明。 一(确界存在定理:回顾确界概念( Th 1 非空有上界数集必有上确界 ;非空有下界数集必有下确界 . 二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . - 1 - 《数学分析》教案 三. Cantor闭区间套定理 : 1. 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件

?> 对, 有 , 即 , 亦即后 一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; ?> . 即当时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个“闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增, 递减. 例如和都是区间套. 但、 和都不是. 2. Cantor区间套定理: Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四( Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 : - 2 - 《数学分析》教案

实数系基本定理

关于实数连续性的基本定理 这七个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相 互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。它们在证明过程中相互联系。对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法。即使方法相同，还可以有不同的细节。作为工具，它们又各具特点。而这些都是值得我们去注意与发现。 (一)实数基本定理的出现 关于实数的这些基本定理，总结起来就是一句话，实数系在分析上是完备的，直观来看 就是没有“洞”的。有人也许会说，中学时我就知道实数就是直线，直线当然是没有“洞”的，还用得着这么啰嗦吗？实际上，这里有一个逻辑循环，只有先肯定实数没有“洞”，才能够把它等同于直线，初等数学就这样默认了直观的前提，但是在分析学中就得往前研究，讨论一下这里的没有“洞”到底是怎么回事。 以上的定理表述如下： 实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都?唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。（论证实数系的完备性和局部紧致性） 确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。 单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。 区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的 区间里,即 ∞ =∈1 ],[n n n b a r 。 有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。 柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是： εε<->>?>?||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。 这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。 上确界的数学定义：有界集合S ，如果β满足以下条件 （1）对一切x ∈S ，有x≤β，即β是S 的上界； （2）对任意a ＜β，存在x ∈S ，使得x ＞a ，即β又是S 的最小上界， 则称β为集合S 的上确界，记作β=supS （同理可知下确界的定义）

第七章 实数的完备性

第七章 实数的完备性 (6学时) §1 关于实数完备性的基本定理 教学目的要求： 掌握实数完备性的基本定理的内容，知道其证明方法. 教学重点、难点：重点实数完备性的基本定理. 难点是定理的证明,特别是柯西收敛准则和充分性的证明.. 学时安排: 4学时 教学方法: 讲授法. 教学过程如下: 一、区间套定理与柯西收敛准则 定义1 设闭区间列{[,]}n n a b 具有如下性质： （1）11[,][,],1,2,;n n n n a b a b n ++?=L （2）lim()0n n n b a →∞ -= 则称{[,]}n n a b 为闭区间套，或简称区间套. 定理7.1(区间套定理) 若{[,]}n n a b 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ使得 [,],1,2,n n a b n ξ∈=L ,即 ,1,2,.n n a b n ξ≤≤=L 证: 先证存在性 Q {[,]}n n a b 是一个区间套, 所以 1221,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤L L L ∴可设 lim n n a ξ→∞ = 且由条件2有 lim lim()lim n n n n n n n n b b a b a ξ→∞ →∞ →∞ =-+== 由单调有界定理的证明过程有,1,2,.n n a b n ξ≤≤=L 再证唯一性 设ξ'也满足,1,2,.n n a b n ξ'≤≤=L 那么,,1,2,.n n b a n ξξ'-≤-=L 由区间套的条件2得 lim()0n n n b a ξξ→∞ '-≤-=故有ξξ'= 推论 若[,](1,2,)n n a b n ξ∈=L 是区间套{[,]}n n a b 所确定的点,则对任给的0ε>,存在0N >,使得当 n N >时有 [,](,)n n a b U ξε? 柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是: 对任给的0ε>,存在0N >,使得对,m n N >有

对实数基本定理的认识

对实数基本定理的认识 数学与应用数学 白海蛟 最初,在引入实数时,传统的方法一个是戴德金（Dedekind ）用分划定义实数,另一个是康托（Cantor ）用有理数的基本序列之等价类来定义. 分划 定义:若把一个有序的数系S 分成A,B 两类,满足 Ⅰ.A,B 均非空;Ⅱ.S 中的任意数或在A 中,或在B 中;Ⅲ.A 中任一数均小于B 中任一数; 则A,B 为数系S 的一个分划,记为A ｜B. ① 戴德金实数连续性定理 实数系R 按戴氏连续性准则是连续的,即对R 的任一分划A ｜ B,都存在唯一实数r ,它大于或等于下类A 的每一个实数,小于或等于上类B 的每一个实数. 基本序列 定义 数系S 中,如果有数列{}n x 满足下列性质:0ε?>,N ?,使得只要 ,n N m N >>,有 n m x x ε-<,则称{}n x 为S 的基本序列,或柯西列. 在数系S 中,两个基本序列是等价的,如果lim()0n n n x x →∞ '-=,将相互等价的基本序列作为一类,称为等价类.显然,每一个有理数,对应了一个等价类,可以说这个等价类唯一的刻画了这一有理数.类似地,可以认为每一个有理数的基本序列的等价类对应了一个实数. 当对应的不再是有理数时,它就对应了一个新数,即为无理数.实质就是让每一个有理数的基本序列有极限,当极限值不为有理数,就定义了一个无理数. 显然,戴德金分划法较之康托的方法,更为直观. 关于实数系R ,我们得到了7 个等价命题: ① 戴德金实数连续性定理; ② （确性定理）非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界; ③ （单调收敛定理）任何单调有界的数集必有极限; ④ （区间套定理）设{[,]}n n a b 是一个区间套,则必存在唯一的实数r ,使得包含r 在所有的 区间里,即1 ,n n n r a b ∞ =??∈ ?? ; ⑤ （有限覆盖定理）实数闭区间[a,b ]的任一个覆盖E,必存在有限的子覆盖; ⑥ （紧致性定理）有界数列必有收敛子数列; ⑦ （柯西收敛原理）实数系R 中,数列{}n x 有极限存在的充分必要条件是:0ε?>,N ?,当 ,n N m N >>时,有 n m x x ε-<. 其中,①②③刻画了实数系的连续性,④⑤⑥刻画了实数闭区间的紧性,⑦刻画了实数系的完备性.以上七个命题在实数系R 是等价的. 需要说明的是,实数系R 的得到,是以有理数系Q 为材料,构造出的一个新数的有序域.它满足阿基米德性,同时使确性定理成立,并以有理数系作为其一个子集,实数系R 仍构成阿基米德有序域.但上述7个命题,在复数域C ,有理数域Q 并不是全部成立的. 以下证明7个命题的等价性. ⑦→③:

第5讲实数的完备性

第五讲实数的完备性 I 基本概念与主要结果 实数空间 1 无理数的定义 人类最先只知道自然数，由于减法使人类认识了负整数，又由除法认识了有理数，最后 由于开方与不可公度问题①发现了无理数，可惜的是无理数不能用有理数的开方形式主义来定 义.事实上，有理数开方所得到的无理数只占无理数中很小的一部分.为了让实数与数轴上 的点 对应起来，充满全数轴，必须用别的方法. 方法之一是用无限小数，我们知道任何有理数都可表为无限循环小数，这样可以把无限 不循环小数定义为无理数. 一个无限不循环小数 x ，取其n 位小数的不足近似值 a n 与过剩近似值 久，a n 与P n 均 为有理数，且P n -叫0 （ n T 处），x j 比，（\】.可见以无限不循环小数定义 10n 无理数等价于承认：以有理数为端点的闭区间套，必有且仅有唯一的公共点，此乃区间套定 理，即承认它是正确的. 历史上引进无理数的传统方法有两种： 理数列的基本序列法. 戴德金分割法具有很强的直观性， 假如在数轴上任意一点处将数轴截成两段， 果折断处是有理点，那么它不在左子集， 最大数或B 的最小数.如果 A 中没有最大数， 的一个“空隙”，称之为无理数，显然它是有序的， 系沈燮昌编写的《数学分析》，高等教育出版社， 康托用有理数基本序列的等价类来定义实数，其方法虽没有分割法直观，但其思想在近 毕达哥拉斯（公元前约 580~约500）:古希腊数学家、唯心主义哲学家，其招收 300门徒组织了一个 “联盟”，后称之为“毕达哥拉斯学派”，宣扬神秘宗教和唯心主义.在西方首次提出勾股定理，并把数的概 念神秘化，认为“万物皆数”，即数是万物的原型，也构成宇宙的“秩序” ，这里的数指的是自然然及自然数 戴德金（ Dedekind ）分割法和康托（Cantor ）的有 其思想是：每个有理数在数轴上已有一个确定的位置, 那么全体有理数被分为左、右两个子集 就在右子集，这样分割就确定了一个有理数， A,B .如 即A 的 B 中也没有最小数，这个分割就确定了直线上 可定义其四则运算（可参见北京大学数学 1986 年）.

浅谈实数的完备性

本科毕业论文 题目浅谈实数的完备性 专业信息与计算科学 作者姓名唐星星 学号2013201334 单位数学科学学院 指导教师张冬梅 2017 年 5 月 教务处编

原创性声明 本人郑重声明：现提交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料.对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名：日期： 指导教师签名:日期：

目录 摘要 (3) Abstract (4) 前言 (1) 1．实数完备性定理在《数学分析》中所占的地位 (2) 2. 实数集的完备性 (2) 3．实数六个基本定理的描述和证明 (2) 3．1闭区间套定 (2) 3．2．确界的叙述 (3) 3．3有限开覆盖 (5) 定理3（有限覆盖定理） (6) 聚点的定义 (7) 定理4（聚点定理） (7) 3．5致密性定理 (8) 3．6柯西收敛准则 (8) 3．7单调有界定理 (9) 4．实数循环定理的证明 (10) 4．1确界定理?闭区间套定理 (10) 4．2区间套定理?有限覆盖定理 (10) 4．3有限覆盖定理?聚点定理 (11) 4．4聚点定理?致密性定理 (11) 4．5致密性定理?柯西收敛准则 (11) 4．7单调有界?确界定理 (12) 5.实数的完备性的发展状况 (12) 6．实数完备性定理过程中的一些注示 (13) 6．1关于实数完备性定理的循环证明过程 (13) 6．2关于实数完备性定理的起点 (13) 参考文献 (16) 致谢 (17)

实数的连续性公理证明确界存在定理

实数的连续性公理证明确界存在定理 定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。小于或等于上类B中的每一个实数。 定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。 定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。 定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。 定理五Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。 定理六Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。 定理七Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是： 任给>0，存在N，当n>N，m>N时，有。 定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描述，定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），它们都是等价的。下面给出其等价性的证明： 定理一定理二： 设数列单调上升有上界。令B是全体上界组成的集合，即 B=，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。事实上，由有上界知B不 空。又单调上升，故，即A不空。由A=R\B知 A、B不漏。又，

则，使，即 A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本定理， 存在唯一的使得对任意，任意，有。下证。事实上， 对，由于，知，使得。又单调上升。故当n>N时， 有。注意到，便有。故当n>N时有 ，于是。这就证明了。若单调下降有下界， 则令，则就单调上升有上界，从而有极限。设极限为r，则 。定理二证完。 定理二定理三： 只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集X 非空，且有上界。则，使得对，有。又R是全序集，对， 与有且只有一个成立。故,有与有且只有一个成 立。故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。X有上界，实数是X的上界。若不存在实数不是X的上界，则由上知，实数都是X的上界，这显然与X非空矛盾。故，使得不是X的上界，是X的上界。则使得。 用的中点二等分，如果是X的上界，则取 ；如果不是X的上界，则取。继续用 二等分，如果是X的上界，则取；如果 不是X的上界，则取。如此继续下去，便得到两串序列 。其中都不是X的上界且单调上升有上界（例如），都是X的上界且 单调下降有下界（例如）。并且（当时）。由单调上升 有上界知有存在，使得。下证。①事实上，对