第6章非正弦周期电流电路
6.1 非正弦周期量及其分解
6.2 非正弦周期电流电路中的有效值、平均值和平均功率
6.3 非正弦周期电流电路的计算
6.1 非正弦周期量及其分解
O t
(a)
u
O t
(b)
u
O t
(c)
i
图 6.1 几种常见的非正弦波
设周期函数f (t )的周期为T , 角频率ω=2π/T, 则其分解为傅里叶级数为
∑∞
=++=???+++???+++++=1022110)
sin()sin()2sin()sin()(k k km k km m m t k A A t k A t A t A A t f θωθωθωθω)
sin cos ()
sin cos cos sin (1
01
0)(∑∑∞
=∞
=++=++=k k k k k km k km t t k b t k a a t k A t k A A f ωωωθωθ
第6章 非正弦周期电流电路
第6章 非正弦周期电流电路
k
km k k km k k
k
k k
k
km A b A a A a b a b a A θθθcos sin tan ,0
022====
+=)
(sin )(1sin )(2)
(cos )(1cos )(2)()(21)(120
020020
00t d t k t f dt t k t f T b t d t k t f dt t k t f T a t d t f dt t f T a T k T k T ωωπωωωπωωππ
π
π
??????======
例6.1求图6.2所示矩形波的傅里叶级数。
f (t)
U m
－U
m T
2T
t
O
图 6.2 例 6.1 图
)
2
()()
20()(T t T
U t f T
t U t f m m ≤≤-=≤≤=解 图示周期函数在一个周期内的表达式为
根据前述有关知识得
)
cos 1(2)(sin )(1
)(sin 1
)(cos )(1)(cos 10)()(21)(210
20
2020t k k U t d t k U t d t k U b t d t k U t d t k U a t d U t d U a m
m m k m m k m m ωπ
ωωπωωπ
ωωπ
ωωπ
ωπωππ
π
π
ππ
π
ππ
π
-=-+
=
=-+==-+=??????
π
πk U b k m
k 4,1cos =
-=当k 为奇数时, .0,1cos ==k b k π当k 为偶数时, 由此可知该函数的傅里叶级数表达式为
)
5sin 5
1
3sin 31(sin 4)(???+++=t t t U t f m
ωωωπ
第6章非正弦周期电流电路
第6章非正弦周期电流电路
表 6.1 几种周期函数
名称波形傅里叶级数有效值平均值
正弦波
梯形波
f (t)
T t
0T
2
A
m
f (t)
T t
A
m T2
a－a
T
2
t
A
t
f
m
ω
sin
)(=
)
sin
sin
1
5
sin
5
sin
25
1
)
3
sin
3
sin
9
1
sin
(sin
4
)(
2
???+
+
???+
+
+
=
t
k
ka
k
t
a
t
a
t
a
a
A
t
f m
ω
ω
ω
ω
π
(k为奇数)
2
m
A
π
m
A
2
π3
4
1
a
A
m
-)
1(
π
a
A
m
-
第6章非正弦周期电流电路
第6章非正弦周期电流电路
名称波形傅里叶级数有效值平均值
三角波
矩形波
f (t)
T t
A
m
T
2
)
sin
)1
(
5
sin
25
1
3
sin
9
1
(sin
8
)(
2
2
1
2
???+
-
+???+
+
-
=
-
t
k
k
t
t
t
A
t
f
k
m
ω
ω
ω
ω
π
(k为奇数)
f (t)
T t
A
m
T
2)
sin
1
5
sin
5
1
3
sin
3
1
(sin
4
)(
???+
+???
+
+
+
=
t
k
k
t
t
t
A
t
f m
ω
ω
ω
ω
π
(k为奇数)
3
m
A
2
m
A
m
A
m
A
第6章非正弦周期电流电路
第6章非正弦周期电流电路
名称波形傅里叶级数有效值平均值
半波整流波
全波整流波
f (t)
T t
A
m
T
4
f (t)
T t
A
m
T
4
...)
6,4,2
(
...)
cos
1
2
cos
6
cos
7
5
1
4
cos
5
3
1
2
cos
3
1
1
cos
4
2
1
(
2
)(
2
=
+
-
-
???+???-
?
+
?
-
?
+
+
=
k
t
k
k
k
t
t
t
t
A
t
f m
ω
π
ω
ω
ω
ω
π
π
...)
6,4,2
(
...)
cos
1
2
cos
4
cos
5
3
1
2
cos
3
1
1
2
1
(
2
)(
2
=
+
-
-
???+
?
-
?
+
=
k
t
k
k
k
t
t
A
t
f m
ω
π
ω
ω
π
2
m
A
π
m
A
2
2
m
A
π
m
A
名称波形傅里叶级数有效值平均值
锯齿波
3
m
A
2
m
A
f (t)
2T t
A
m
T
...)
3,2,1
(
...)
sin
1
...
3
sin
3
1
2
sin
2
1
(sin
2
)(
=
+
+
+
+
+
-
=
k
t
k
k
t
t
t
A
A
t
f m
m
ω
ω
ω
ω
π
1． 周期函数为奇函数
,00==k a a ∑∞
==1
sin )(k k t
k b t f ω
2．周期函数为偶函数
偶函数的傅里叶级数中b k=0, 所以偶函数的傅里叶级数中不含正弦项。
3． 奇谐波函数
T 2
T
t
O
f (t )
图 6.3 奇谐波函数
∑∞
=+=1
)
sin cos ()(k k k t k b t k a t f ωω(k 为奇数)
...)
5sin 5
1
3sin 31(sin 4)(++++=t t t U U t u m
m ωωωπu (t )2U m
T
2
T
t
O
(a )u 1(t )
U m
t
O
(b )u 2(t )
U m
T 2
T
t
O
－U m
(c )
图 6.4 波形的分解
实验报告六 非正弦周期电流电路辅助分析 1.电路课程设计目的 熟悉掌握谐波分析法，并对给定给正弦周期电流电路进行定量分析。 2.设计电路原理与说明 谐波分析法用于分析计算非正弦周期激励下的线性电路的相应。其步骤为： （1）将给定的周期性激励分解为恒定分量和各次谐波分量之和，一般以分解好的形式给出。 （2）分别计算电路在恒定分量及各次谐波分量单独作用下的响应。恒定分量作用下的响应，求解方法同直流电路；各次谐波分量作用下的响应可用向量法求解，应注意L,C 对不同谐波的阻抗随频率变化。 （3）根据叠加定理，将非正弦电源的各次谐波分量单独作用时的响应的瞬时值相加起来，其结果就是电路在非正弦电源激励下的稳态响应。 电路图如下 图一 已知：V t t U s )902sin(100sin 150100?-++=ωω，Ω=10R ，Ω==901C X c ω， Ω==10L X L ω 求各电表示数。 （1）直流分量作用于电路时，电感相当于短路，电容相当于开路。 0,0,0000===P U I （2）一次谐波作用于电路时 V U s ?∠=02150 1 A j X X j R U I C L s ?∠=-+?∠=-+=9.8232.1) 9010(1002150)(1111 u s
V j U ?∠=+?∠=9.1275.18)1010(9.8231.11 （3）二次谐波作用于电路时 A j X X j R U I C L s ?-∠=-+?-∠=-+=8.2163.2)4520(10902100 )(2222 V j U ?∠=+?-∠=6.418.58)2010(8.2163.22 电流表和电压表测的分别是电流、电压的有效值，功率表测量的是电路的有功功率。 W P V U A I 6.861063.21032.17.618.585.18094.263.232.1022222222=?+?==++===++= 3.电路课程设计仿真内容与步骤及结果 （1）按照电路图在Multisim 中接好电路，取ω=10，则L=1H ，C=0.00111F 。观察各表读数，是否与计算值相符。 （2）接入示波器，观察非正弦周期电流电路的电压波形及电流波形。 图二
第9章非正弦交流电路 学习指导与题解 一、基本要求 1．建立几个频率为整数倍的正弦波可以合成为一非正弦周期的概念。明确一个非正弦周期波可以分解为一系列频率为整数倍正弦波之和的概念（即谐波分析）、谐波中的基波与高次谐波的含义。了解谐波分析中傅里叶级数的应用。 2．掌握波形对称性与所含谐波分量的关系。能根据波形的特点判断所含谐波的情况。了解波形原点选择对所含谐波的影响。 3．掌握非正弦周期电压和电流的平均值（即直流分量）和有效值的计算。能根据给定波形计算出直流分量。能根据非正弦周期波的直流分量和各次谐波分量，计算出它的有效值。 4．掌握运用叠加定理和谐波分析计算非正弦交流电路中的电压和电流的方法。 5．建立同频率的正弦电压和电流才能形成平均功率的概念。掌握运用叠加定理和谐波分量计算非正弦交流电路中和平均功率。 二、学习指导 在电工技术中，电路除了激励和响应是直流和正弦交流电和情况外，也还遇到有非正弦周期函数电量的情况。如当电路中有几个不同频率的正弦量激励时，响应是非正弦周期函数；含有非线性元件的电路中，正弦激励下的响应也是非线性的；在电子、计算机等电路中应用的脉冲信号波形，都是非正弦周期函数。因此，研究非正弦交流电路的分析，具有重要和理论和实际意义。 本章的教学内容可分为如下三部分： 1．非正弦周期波由谐波合成的概念； 2．非正弦周期波的谐波分析； 3．非正弦交流电路的计算。 着重讨论非正弦周期波谐波分析的概念，非正弦周期量的有效值和运用叠加定理计算非正弦交流电路的方法。 现就教学内容中的几个问题分述如下。 （一）关于非正弦周期波的谐波的概念 非正弦周期波是随时间作周期性变化的非正弦函数。如周期性变化的方波、三角波等。这类波形，与正弦波相比，都有变化的周期T和频率f，不同的是波形而已。 f t，可 几个频率为整数倍的正弦波，合成是一个非正弦波。反之，一个非正弦周期波()
第十二章(非正弦周期电流电路)习题解答 一、选择题 1． 在图12—1所示电路中，已知)]cos(2512[1t u s ω+=V ， )240cos(2502+ω=t u s V 。设电压表指示有效值，则电压表的读数为 B V 。 A ．12； B ．13； Ｃ．13.93 解：设u 如图12—1所示，根据KVL 得 )240cos(25)cos(2512021+ω+ω+=+=t t u u u s s 即 )120cos(25)cos(25120-ω+ω+=t t u =)60cos(25120-ω+t 根据 2 )1(2 )0(U U U += 得1351222=+=U A 2．在图12—2所示的电路中，已知)100cos(2t u s = V ， )]60100cos(243[0-+=t i s A ，则s u 发出的平均功率为 A W 。 A ．2； B ．4； C ．5 解：由平均功率的计算公式得 )600cos(0 )1()1()0()0(++=I U I U P =2)60cos(41300 =?+?W 3．欲测一周期性非正弦量的有效值，应用 A 仪表。 A ．电磁系； B ．整流系； C ．磁电系 4．在图12—3所示的电路中，Ω=20R ，Ω=ω5L ， Ω=ω451 C ， )]3cos(100)cos(276100[t t u s ω+ω+=V ，现欲使电流i 中含有尽可大的基波分量，Z 应 是 C 元件。 A ．电阻； B ．电感； C ．电容
解：由图12—3可见，此电路对基波的阻抗为 j 45j545520j 1 j j 1 j -?++=ω+ωω?ω++=Z C L C L Z R Z i =8 45 j 20++Z 欲使电流i 中含有尽可大的基波分量就是要使i Z 的模最小，因此Z 应为电容。 二、填空题 1．图12—4所示电路处于稳态。已知Ω=50R ，Ω=ω5L ， Ω=ω451 C ，)]3cos(100200[t u s ω+=V ，则电压表的读数为 70.7 V ，电流表的读数为 4 A 。 解：由题目所给的条件可知，L 、C 并联电路对三次谐波谐振，L 对直流相当于短路。 因此，电压表的读数为 7.702 100=V ，而电流表的读数为 450 200 =A 。 2． 图12—5所示电路中，当)cos(2200?+ω=t u V 时，测得10=I A ；当 )]3cos(2)cos(2[2211?+ω+?+ω=t U t U u V 时，测得200=U V ，6=I A 。则83.1051=U V ，71.1692=U V 。 解：由题意得 2010200==ωL ， 22 221200=+U U 及22 22 163=?? ? ??ω+??? ??ωL U L U
正弦交流电路的功率 电类设备及其负载都要提供或吸收一定的功率。如某台变压器提供的容量为250kV A ，某台电动机的额定功率为2.5kW ，一盏白炽灯的功率为60W 等等。由于电路中负载性质的不同，它们的功率性质及大小也各自不一样。前面所提到的感性负载就不一定全部都吸收或消耗能量。所以我们要对电路中的不同功率进行分析。 3.8.1瞬时功率 如图 3.21所示，若通过负载的电流为)sin(2i t I i ?ω+=，负载两端的电压为)sin(2u t U u ?ω+=，其参考方向如图。在电流、电压关联参考方向下，瞬时功率为 ()()i u t I t U ui p ψωψω++==sin 2sin 2 ()()i u i u t t UI t t UI ψωψωψωψω+++---+=cos cos ()()i u i u t UI UI ψψωψψ++--=2cos cos 设i u ψψ?-=，且为了简化，设0=i ψ，上式可写成 )2cos(cos ?ω?+-=t UI UI p （3-45） 可见，正弦交流电路的瞬时功率由恒定分量和正弦分量两部分构成，其中，正弦分量的频率是电压、电流频率的两倍，波形如图3.22所示
图3.21 复阻抗 图3.22 瞬时功率 由图可以看出，当i u ,瞬时值同号时0>p ，从外电路吸收功率，当i u ,瞬时值异号时0
p 的部分大于0
第９章非正弦交流电路 学习指导与题解 一、基本要求 １.建立几个频率为整数倍的正弦波可以合成为一非正弦周期的概念。明确一个非正弦周期波可以分解为一系列频率为整数倍正弦波之和的概念(即谐波分析）、谐波中的基波与高次谐波的含义。了解谐波分析中傅里叶级数的应用。 2.掌握波形对称性与所含谐波分量的关系。能根据波形的特点判断所含谐波的情况。了解波形原点选择对所含谐波的影响。 ３．掌握非正弦周期电压和电流的平均值（即直流分量）和有效值的计算。能根据给定波形计算出直流分量。能根据非正弦周期波的直流分量和各次谐波分量,计算出它的有效值。 ４.掌握运用叠加定理和谐波分析计算非正弦交流电路中的电压和电流的方法。 5.建立同频率的正弦电压和电流才能形成平均功率的概念。掌握运用叠加定理和谐波分量计算非正弦交流电路中和平均功率。 二、学习指导 在电工技术中,电路除了激励和响应是直流和正弦交流电和情况外,也还遇到有非正弦周期函数电量的情况。如当电路中有几个不同频率的正弦量激励时，响应是非正弦周期函数；含有非线性元件的电路中，正弦激励下的响应也是非线性的;在电子、计算机等电路中应用的脉冲信号波形,都是非正弦周期函数。因此,研究非正弦交流电路的分析，具有重要和理论和实际意义。 本章的教学内容可分为如下三部分： 1.非正弦周期波由谐波合成的概念； 2．非正弦周期波的谐波分析； ３．非正弦交流电路的计算。 着重讨论非正弦周期波谐波分析的概念,非正弦周期量的有效值和运用叠加定理计算非正弦交流电路的方法。 现就教学内容中的几个问题分述如下。 （一)关于非正弦周期波的谐波的概念 非正弦周期波是随时间作周期性变化的非正弦函数。如周期性变化的方波、三角波等。这类波形，与正弦波相比,都有变化的周期T和频率f,不同的是波形而已。
第九章 正弦稳态电路的分析 本章重点： 1.阻抗，导纳及的概念 2.正弦电路的分析方法 3.正弦电路功率的计算 4.谐振的概念及谐振的特点 本章难点：如何求电路的参数 主要内容 §9-1阻抗和导纳 1．阻抗 (1)复阻抗：u i Z U U Z Z R jX I I ψψ?==-=∠=+&& 式中22U Z R X I ==+为阻抗的模； Z u i X arctg R ?ψψ=-=为阻抗角(辐角)； R=Re[Z]cos z Z ?=称为电阻； X=Im[Z]=sin z Z ?称电抗。 (2)RLC 串联电路的阻抗： 1 U Z R j L I j c ωω==++ =&& 1 ()()L C Z R j L c R j X X R jX Z ωω?+- = ++=+=∠ 式中L X L ω=称为感抗；1C X c ω=- 称为容抗；1L C X X X L c ωω=+=- 可见，当X.>0，即1L c ωω>时，Z 是感性； 当X<0，即1L c ωω<时，Z 呈容性。 (3)阻抗三角形： 2．导纳 Z ?Z Ｒ Ｘ Z &U &+ — I &U &+ — C L
(1)复导纳：1i u Y I I Y Y G jB Z U U ψψ?===∠-=∠=+&& 式中I Y U = =称为导纳的模；arctan Y B G ψ=称为导纳角； Re[]cos Y G Y Y ψ==称为电导； Im[]sin Y B Y Y ψ==称为电纳。 (2)RLC 并联电路的导纳： 1111 ()I Y j c j c U R j L R L ωωωω==++=+-=&& ()C L Y G j B B G jB Y ψ++=+=∠ 式中1L B L ω=- 称为感纳；C B C ω=称为容纳；1C L B B B c L ωω=+=-；1 G R =。 可见，当0,B >即1c L ωω>时，Y 呈容性；当0,B <即1 ,c L ωω 第7章 非正弦周期交流电路 7.1非正弦周期交流电路习题 一、填空题 1．非正弦周期信号可以分解成________________________________________________，用数学中的——————————————————级数表示。 2．非正弦周期信号的谐波成分可能有直流分量（零次谐波）、奇次谐波及——————谐波。 3．电话中使用的电信号是——————（填正弦或非正弦）周期信号。 4．非正弦周期信号频谱的含义是——————————————————————————。 5．非正弦周期信号的频谱有————————————————————————————等特点。 6．频谱知识在——————————————————————领域中要用到频谱可以用仪器来测量，该仪器的名称叫———————————————————————。 7．请画出半波整流波形的频谱————————————————————————————。 8、非正弦周期交流电的有效值与它的各次谐波有效值之间的关系是——————————。 9、非正弦周期交流电的平均值指的是——————————（填写数学平均值还是绝对平均值）。 10、非正弦周期交流电的有效值和平均值————————（填写是或不）相同的。 11、非正弦周期交流电的最大值指的是——————————————，最大值与有效值之间——————（填写有或者没有）√2 倍关系。 12、线性非正弦周期电路的分析计算方法叫————————，它的依据是————————。 13．用谐波分析法求出电路中的各次谐波的电流分量后，应将电流分量的——————值（填写瞬时、有效或者相量）进行叠加求电路的非正弦电流。 14．若三次谐波的3L X ＝9Ω、3C X ＝6Ω，则一次谐波的1L X ——————，1C X ——————。 15．非正弦周期交流电的平均功率的公式是————————，同次谐波的电流、电压之间——————（填写：能或不能）产生平均功率。 16、若流过R=10Ω电阻的电流 它的依据是——————————。 17．有一负载线圈 =(2十如时）A ，则电阻R 两端电压的有效 其对五次谐波的复阻抗乙 ，其对基波的复阻抗Zl=30+j20n ，则其对三次谐波的复 为O XLI 18．已知某非正弦周期交流电压作甭石几 第十二章(非正弦周期电流电路)习题解答 一、选择题 1． 在图12—1所示电路中，已知)]cos(2512[1t u s ω+=V ， )240cos(2502+ω=t u s V 。设电压表指示有效值，则电压表的读数为 B V 。 A ．12； B ．13； Ｃ． 解：设u 如图12—1所示，根据KVL 得 )240cos(25)cos(2512021+ω+ω+=+=t t u u u s s } 即 )120cos(25)cos(25120 -ω+ω+=t t u =)60cos(25120 -ω+t 根据 2 )1(2 )0(U U U += 得1351222=+=U A 2．在图12—2所示的电路中，已知)100cos(2t u s = V ， )]60100cos(243[0-+=t i s A ，则s u 发出的平均功率为 A W 。 A ．2； B ．4； C ．5 解：由平均功率的计算公式得 ~ )600cos(0 )1()1()0()0(++=I U I U P =2)60cos(41300 =?+?W 3．欲测一周期性非正弦量的有效值，应用 A 仪表。 A ．电磁系； B ．整流系； C ．磁电系 4．在图12—3所示的电路中，Ω=20R ，Ω=ω5L ， Ω=ω451 C ， )]3cos(100)cos(276100[t t u s ω+ω+=V ，现欲使电流i 中含有尽可大的基波分量，Z 应 是 C 元件。 A ．电阻； B ．电感； C ．电容 解：由图12—3可见，此电路对基波的阻抗为~ j45 j5 45 5 20 j 1 j j 1 j - ? + + = ω + ω ω ? ω + + =Z C L C L Z R Z i = 8 45 j 20+ +Z 欲使电流i中含有尽可大的基波分量就是要使i Z的模最小，因此Z应为电容。 二、填空题 1．图12—4所示电路处于稳态。已知Ω =50 R，Ω = ω5 L，Ω = ω 45 1 C ， )] 3 cos( 100 200 [t u s ω + =V，则电压表的读数为V，电流表的读数为4 A 。 解：由题目所给的条件可知，L、C并联电路对三次谐波谐振，L对直流相当于短路。因此，电压表的读数为7. 70 2 100 =V，而电流表的读数为4 50 200 =A。 2．图12—5所示电路中，当) cos( 2 200? + ω =t u V时，测得10 = I A；当 )] 3 cos( 2 ) cos( 2 [ 2 2 1 1 ? + ω + ? + ω =t U t U u V时，测得200 = U V，6 = I A。则 83 . 105 1 = U V，71 . 169 2 = U V。 ； 解：由题意得 课题：正弦交流电路中的功率及功率因数的提高 教学目标： 1．掌握有功功率、无功功率、视在功率和功率因数 教学重点： 功率的计算 教学难点： 功率的计算 教学过程： 正弦交流电路中的功率及功率因数的提高 在中分析了电阻、电感及电容单一元件的功率，本节将分析正弦交流电路中功率的一般情况。 3.7.1 有功功率、无功功率、视在功率和功率因数 设有一个二端网络，取电压、电流参考方向如图所示， 则网络在任一瞬间时吸收的功率即瞬时功率为 )()(t i t u p ?= 设 )sin(2)(?+ω=t U t u t I t i ω=sin 2)( 图 其中?为电压与电流的相位差。 )()()(t i t u t p ?= t I t U ω??+ω=sin 2)sin(2 )2cos(cos ?+ω-?=t UI UI (2-49) 其波形图如图所示。 瞬时功率有时为正值，有时为负值，表示网络有时从 图 瞬时功率波形图 外部接受能量，有时向外部发出能量。如果所考虑的二端网络内不含有独立源，这种能量交换的现象就是网络内储能元件所引起的。二端网络所吸收的平均功率P 为瞬时功率)(t p 在一个周期内的平均值， ?=T pdt T P 01 将式（2-49）代入上式得 ()[]??+ω-?=T t UI UI T P 0cos cos 1dt ?=cos UI （3-50） 可见，正弦交流电路的有功功率等于电压、电流的有效值和电压、电流相位差角余弦的乘积。 ?cos 称为二端网络的功率因数，用λ表示，即?=λcos ，?称为功率因数角。在二端网络为纯电阻情况下，0=?，功率因数1cos =?，网络吸收的有功功率 UI P R =；当二端网络为纯电抗情况下，?±=?90，功率因数0cos =?，则网络吸收的有功功率 0=X P ，这与前面2．3节的结果完全一致。 在一般情况下，二端网络的jX R Z +=，R X arctg =?，0cos ≠?，即?=cos UI P 。 二端网络两端的电压U 和电流I 的乘积UI 也是功率的量纲，因此，把乘积UI 称为该网络的视在功率，用符号S 来表示，即 UI S = （3-51） 为与有功功率区别，视在功率的单位用伏安（VA ）。视在功率也称容量，例如一台变压器的容量为kV A 4000，而此变压器能输出多少有功功率，要视负载的功率因数而定。 在正弦交流电路中，除了有功功率和视在功率外，无功功率也是一个重要的量。即 Q I U x = 而 ?=sin U U X 所以无功功率?=sin UI Q （3-52） 当?=0时，二端网络为一等效电阻，电阻总是从电源获得能量，没有能量的交换； 当0≠?时，说明二端网络中必有储能元件，因此，二端网络与电源间有能量的交换。 对于感性负载，电压超前电流，0>?，Q 0>；对于容性负载，电压滞后电流，0 最全的功率计算公式 概述 功率包括电功率、机械功率。电功率又包括直流电功率、交流电功率和射频功率；交流功率又包括正弦电路功率和非正弦电路功率；机械功率又包括线位移功率和角位移功率，角位移功率常见于电机输出功率；电功率还可分为瞬时功率、平均功率（有功功率）、无功功率、视在功率。在电学中，不加特殊声明时，功率均指有功功率。在非正弦电路中，无功功率又可分为位移无功功率，畸变无功功率，两者的方和根称为广义无功功率。 本文列出了上述所有功率计算公式，文中p(t)指瞬时功率。u(t)、i(t)指瞬时电压和瞬时电流。U、I指电压、电流有效值，P指平均功率。 1普遍适用的功率计算公式 在电学中，下述瞬时功率计算公式普遍适用 在力学中，下述瞬时功率计算公式普遍适用 在电学和力学中，下述平均功率计算公式普遍适用 W为时间T内做的功。 在电学中，上述平均功率P也称有功功率，P=W/T作为有功功率计算公式普遍适用。 在电学中，公式（3）还可用下述积分方式表示 其中，T为周期交流电信号的周期、或直流电的任意一段时间、或非周期交流电的任意一段时间。电学中，公式（3）和（4）的物理意义完全相同。 电学中，对于二端元件或二端电路，下述视在功率计算公式普遍适用： 2直流电功率计算公式 已知电压、电流时采用上述计算公式。 已知电压、电阻时采用上述计算公式。 已知电流、电阻时采用上述计算公式。 针对直流电路，下图分别列出了电压、电流、功率、电阻之间相互换算关系。 3正弦交流电功率计算公式 正弦交流电无功功率计算公式： 正弦交流电有功功率计算公式： 正弦电流电路中的有功功率、无功功率、和视在功率三者之间是一个直角三角形的关系： 当负载为纯电阻时，下式成立： 此时，直流电功率计算公式同样适用于正弦交流电路。 第6章 非正弦周期电流电路分析 主要内容 1. 信号的基本概念和分类。 2. 信号的基本运算。 3. 常用非正弦周期信号。 4. 非正弦周期信号的傅里叶级数分解。 5. 周期信号的频谱。 6. 非正弦周期电流电路分析。 6.1信号 6.1.1 信号的基本概念 宇宙万物都处在不停的运动中，物质的一切运动或状态的变化，从广义上讲都是信号（Signal ），即信号是物质运动的表现形式。例如，钟鼓楼的报时钟声和轮船的汽笛声是声信号；烽火台的烽火和交通路口的红绿灯信号是光信号；电路中的电流和无线电基站发射的电磁波是电信号。在社会活动和日常生活中，人们总要使用语言、文字、数据、图像等多种媒体来传递消息（Message ），消息是这些语言、文字、数据、图像等信号所代表的具体内容。通信的目的在于通过各种消息的传递，使人们获取不同的信息（Information ），信息就是指具有新内容、新知识的消息。为了有效地传输和利用消息，通常需要将消息转换成各种便于传输和处理的信号。可见，信号是消息的载体，消息是信号的具体内容。 信号通常表现为某种随时间变化的物理量，在各种信号中，电信号最便于传输、控制和处理。因此，在实际应用中通常将各种非电信号（如声音、图像、温度、压力、位移、转矩、流量等）通过适当的传感器转换成电信号。 6.1.2 信号的描述和分类 电信号通常表现为电压信号和电流信号，它们都是时间的函数，可分别用u （t ）和i （t ）表示，或一般地表示为f （t ）、y （t ）等。信号的描述方法通常包括函数表达式法、波形图法、频谱图法和数据列表法。信号的变化规律是多种多样的，可以从不同的研究角度进行分类。 1.确定信号与随机信号 若信号随时间的变化表现为某种确定的规律，能用确定的函数表达式来描述，或者说对于任意一个确定的时刻，信号都有确定的函数值，这种信号称为确定信号。例如，正弦信号就是典型的确定信号。相反，如果信号的取值在不同时刻随机变化，事先无法预知它的变化规律，不能用确定的函数表达式来描述，这种信号称为不确定信号或随机信号。例如，噪声信号就是典型的随机信号。图6-1所示为几种常用信号的波形图，其中（a ）～（e ）是确定信号，（f ）是随机信号。 由于信号在传输过程中不可避免地要受到各种噪声和干扰的影响，所以在实际应用中，理想的确定信号并不存在。但作为科学的抽象，研究确定信号仍然十分重要，它是研究随机信号的基础。 2.周期信号与非周期信号 周期信号是按某一固定周期重复出现的信号，它可以表示为 f （t ）= f （t+nT ） n =0，±1，±2，… （6-1） 式中，T 称为信号的周期。周期信号的特点在于只要给定任意一个周期内信号的变化规律，就可以确定它在其他时间内的变化规律，如图6-1（c ）所示。 非周期信号不具有周期性，它通常有两种表现方式：一种是仅在某些时间区间存在的信号，如图 6-1（a ）、（b ）、（d ）、（e ）、（f ） 所示；另一种是拟周期信号（概周期信号），例如)2sin(sin )(t t t f +=，它的两个正弦分量频率之比为无理数。另外，通常也可以将非周期信号看作是周期为无穷大的周期信号。 第六章非正弦周期性电路 学习目标： 1 ．了解非正弦周期量的产生 2 ．熟悉掌握非正弦周期交流信号的分解方法 3 ．掌握非正弦周期交流信号的平均值、有效值、平均功率的计算 4 ．熟悉非正弦周期交流电路的分析和计算 重点：非正弦周期交流信号的平均值、有效值、平均功率的计算 难点：非正弦周期交流信号的分解方法 一、非正弦周期量的产生 1 ．基本概念：若电路中的电压电流不按正弦规律变化，但还是按照周期性变化的电路称为非正弦周 期性电路。 2 ．常见的非正弦周期性波形，如图 6-1 所示。 图 6-1 常见的非正弦周期性波形 3 ．非正弦周期量的产生： （ 1 ）实验室的信号发生器产生非正弦信号； （ 2 ）电子技术中的非线性元件的作用； （ 3 ）非电量电测技术中的非正弦信号； （ 4 ）各种语音、图象信号等。 二、非正弦周期交流信号的分解 图 6-2 1 ．按照傅里叶级数展开法，任何一个满足狄里赫利 (Dirichlet) 条件的非正弦周期信号( 函数 ) 都可以分解为一个恒定分量与无穷多个频率为非正弦周期信号频率的整数倍、不同幅值的正弦分量的和，如图 6- 2 所示，即周期函数 ，称为直流分量 ， ，称为第 K 次谐波分量的振幅。，称为第 K 次谐波分量的初相角。例 6-1 ：周期性方波的分解：，分解波形如图 6-3 所示。 图 6-3 方波波形的分解 例 6-2 ：锯齿波信号的分解 例 6-3 ：三角波信号的分解 三、有效值、平均值、功率 1 ．有效值： （ 1 ）周期量有效值的定义： 注意：对于非正弦周期信号，其最大值与有效值之间并无关系。 （ 2 ）非正弦周期量： 函数 则有效值为： 利用三角函数的正交性得： 同理非正弦周期电流的有效值为： 结论：周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。 2 ．平均值： 非正弦周期性函数的平均值为直流分量： 显然正弦周期性函数的平均值为 0 3 ．功率： 如图 6-4 所示，所示一端口 N 的端口电压u ( t ) 和电流i ( t ) 的关联参考方向下，一端 口电路吸收的瞬时功率和平均功率为 图 6-4 一轮复习（二） 一、填空题 1.正弦交流电的三要素为_______、________和________。 2.已知一正弦交流电流的最大值是50A，频率为50HZ,初相位为120°，则其解 析式为_______________________。 3.一个1000Ω的纯电阻负载，接在u=311sin（314t+30°）V的电源上， 负载中电流I=_____A，i=____________________A。 4. 已知一个电感L=5H的线圈，接到电压 u=500 2 sin （100t+ π/6 ） V 的电源 上，则电感的感抗为__________，电流的瞬时表达式为 ________________________。 5. 图2-1所示为两个正弦交流电的向量图，已知u1=311sin（5πt+π/3） V,u2的有 效值为220V，则两者的相位关系为_______________，其瞬时值的表达式为____________________。 6.已知某交流电路，电源电压u=100 2 sin（ωt-30°）V，电路中通过的电流 i= 2 sin（ωt-90°） A，则电压和电流之间的相位差是 _____，电路的功率因 数cosφ=_______,电路消耗的有功功率P=_______，电路的无功功率Q=_______，电源输出的视在功率 S=_______。 7.在电感性负载两端并联一只适当的电容器后，电路的功率因数_______，线路 中的总电流_______，但电路的有功功率_______，无功功率和视在功率都_______。 8.如图2-2所示的电路中，电流表的读数为______，电压表的读数为 ______。 2—1 图2—2 图 9. 一个电感线圈接到电压为120V 的直流电源上，测得电流为 20A；接到频率 为50HZ、电压为220V 的交流电源上，测得电流为28.2A，则线圈的电阻R=_______Ω , 电感 L=_____mH。 10. 在RLC串联电路中，总电压与各部分电压的向量关系为________________， 总阻抗为____________________；当电路满足_____________条件时，电路呈感性，总电压_______(超前或滞后或同相)电流；当电路满足_______条件时，电路呈容性，总电压_______(超前或滞后或同相)电流；当电路满足_______ 条件时，电路呈阻性，总电压_______(超前或滞后或同相)电流，并称电路的这种状态为______________。 二、选择题 1.已知某交流电流， t=0 时的瞬时值 i O=10A，初相位为φO=30°，则这个交流电的有效值为（） 正弦交流电路的功率 1)．基本概念 在一个二端网络上加正弦交流电压u(t)和电流i(t)若 根据功率的计算公式可求瞬时功率： 设，则上式可写作 可见，瞬时功率是随时间变化的，有时为正，有时可能是负。瞬时功率为正时表示此时电路消耗功率；为负时表示此时电路向电源输送功率。为了表征电路实际消耗的平均功率，一般用在一个周期内消耗功率的平均值来表示，称为有功功率，用P表示，即 有功功率的单位为瓦（W）。 电路的有功功率为电压和电流有效值的积乘以cosφ。 cosφ称为功率因数，φ称为功率因数角。一般功率因数用λ表示，即 λ=cosφ 从瞬时功率表达式中可以看出，第一项表示电路的功率消耗，第二项表示电路与电源能量交换，其交换的最大速率为UIsinΦ,一般称它为无功功率，用Q表示，即 Q=UIsinΦ 无功功率的单位为乏（var）。 为了便于求解有功功率和无功功率的表示式，引入了复功率的概念。所谓复功率就是电压的相量与电流相量的共扼复数的乘积，一般用表示，即 可见，复功率是一个复数，表示出了有功功率（实部）和无功功率（虚部），一般将复功率的模用S表示，称作视在功率，它等于电压和电流有效值的的积，即 视在功率的单位为伏安（VA）。 不难看出，如果是纯电阻电路，它只消耗功率，视在功率与有功功率相等。如果是由R、L、C组成的电路，电路不仅有消耗功率还有能量交换，则视在功率要大于有功功率。同时，由视在功率和有功功率可以求出功率因数，即 可见功率因数表示了电路实际消耗功率（有功功率）所占视在功率的比例。功率因数愈大，电路实际消耗功率的比例愈大。 以上概念和公式要孰记。 2)．例题分析 已知电压分别加在电阻、电感和电容两端，又知，f=50Hz，R=1KW, L=10mH, C=100mF。试求:各元件上的功率及其物理意义? 解: （1）电阻中电流为 电阻吸收有功功率p=100mW, 无功功率Q=0, 功率因数为1。 （2）电感中电流为： 电感吸收有功功率p=0, 吸收无功功率Q=31.8var, 功率因数为cos90°=0, 所以不消耗有功功率,只消耗无功功率。 （3）电容中电流为 电容吸收有功功率p=0, 无功功率Q=-3.14var,所以它产生无功功率, 功率因数为cos(-90°)=0 。 第5章 非正弦周期电流电路分析 学习要点 ●了解非正弦周期信号的基本概念 ●了解非正弦周期信号的平均值和有效值的概念及其计算方法 ●了解非正弦周期信号线性电路的分析方法 5.1 非正弦周期信号的谐波分析 5.2 非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率 5.3 非正弦周期电流电路的计算 5.1 非正弦周期信号的谐波分析 5.1.1 非正弦周期信号的产生 作用于电路的电源是非正弦的。 几个不同频率的电源作用于同一电路。 电路中存在非线性元件。 5.1.2 非正弦周期信号的分解 电工和电子技术中非正弦周期信号一般都满足狄里赫利条件，可分解成收敛的三角级数，称为傅里叶级数。 01m 12m 2()sin()sin(2)f t A A t A t ωθωθ=++++ + 0A 直流分量 1m 1sin()A t ωθ+基波 2m 2sin(2)A t ωθ+二次谐波 5.1.3 非正弦周期信号的频谱 幅频谱：用长度与直流分量和各次谐波分量幅值大小相对应的线段按频率的高低依次排列起来得到的图形。 相频谱：把非正弦周期函数各次谐波的初相用相应的线段按频率的高低依次排列起来得到的图形。 幅频谱和相频谱统称为频谱。如无特别说明，一般所说的频谱是专指幅频谱而言的。 5.2 非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率 5.2.1 非正弦周期信号的有效值 如果已经知道非正弦周期信号在一个周期内的表达式，有效值的计算公式为： I = U = 如果已经知道非正弦周期信号的傅里叶级数分解结果，有效值的计算公式为： I == U == 5.2.2 非正弦周期信号的平均值 如果已经知道非正弦周期信号在一个周期内的表达式，平均值的计算公式为： 001d T I i t T = ? 001d T U u t T =? 如果已经知道非正弦周期信号的傅里叶级数分解结果，平均值就等于其直流分量。 例：已知非正弦周期电流的波形如图所示，试求其有效值和平均值。 解：本题中给出了非正弦周期电流的波形。由电流波形可以写出其在一个周期内的表达式，为： 所以有效值为：5A I === 电流平均值为：4 4 000 11 d 10d 2.5A T T I i t t T T ===?? 例：已知非正弦周期电流： 120) 50) i t t ωω=+-?++? 试求其有效值和平均值。 解：本题中给定的非正弦周期电流包括直流分量和两个不同频率的正弦量，并且已知各正弦量的有效值，所以其有效值为： 1.16A I === 平均值就等于其直流分量，为： 01A I = 5.2.3 非正弦周期信号的平均功率 如果电压u 和电流i 同频率的非正弦周期量，并且已知电压u 和电流i 的函数表达式，则平均功率为： 00 11d d T T P p t ui t T T ==?? 第三节正弦交流电路的功率与功率因数 一、正弦交流电路的功率 设有一无源二端网络如图2-19，其电压、电流分别为 u=Umsinωt i=Imsin（ωt - φ） 其中φ为电压与电流I之间的相位差。 经分析电路所消耗的平均功率即有功功率 （2-45） 可以看出，正弦电路的有功功率与直流电路相比多一个乘数cosφ。即正弦电路的有功功率不仅与电压、电流的有效值有关，还与它们的相位差φ有关。cosφ称为功率因数，φ又称功率因数角。 正弦电路中电压与电流有效值的乘积称为视在功率，用S表示，单位伏安（V A）。 S=UI （2-46） 仿照电压三角形，以S为斜边、P为直角边、φ为夹角做功率三角形如图2-20，则另一直角边为无功功率Q（证明从略）。 Q=UI sin φ （2-47） 无功功率是储能元件（电感和电容）与电源能量交换而产生的，可用下式表示 Q=QL – QC （2-48） 例2-11某电路中，已知电压u=311 sin（314t+150）V，电流i=14.1 sin（314t+750）A。计算该电路的视在功率S，平均功率P，无功功率Q及功率因数。 解： 功率因数cosφ=cos（15°-75°）=0.5 P=Scosφ=2200×0.5=1100（W） Q=Ssinφ=2200×sin（15°-75°）=--1905（var） 2．功率因数的提高 电源的额定容量一定即视在功率S=UI不变时，提供给负载的有功功率P=UIcosφ，cosφ越大，P越大、越接近S，越能充分利用电源能量。当电路是电阻性负载时，cosφ=1最大。另一方面，当负载有功功率P及电压U一定时，功率因数cosφ越大， 电路电流就越小，消耗在输电线及各设备绕组等上的功率就越小。因此提高功率因数，既可以充分利用发电设备的容量，又能够减少线路损失。 功率因数不高，主要是由于电感性负载的存在。电动机、工频炉、日光灯等电器设备都是感性负载，使功率因数大大降低。生产中常用的异步电动机在额定负载时功率因数只有0．7~0．9左右，轻载时更低。 感性负载功率因数小于1，其实质是负载本身占有了一定比例的无功功率QL。由式2-48和图2-20可知，我们可以在电路中增加一个大小适当的电容元件，使Q=QL-QC 变小。实质就是让电感元件尽量与电容元件进行能量交换，从而减少电感元件与电源之间的能量交换，而电源的能量更大比例地被负载所消耗、使用。为不改变负载电路的电压，电容器应与负载并联，如图2-21a，其相量图为图2-21b。 设感性负载电路原功率因数为cosφ1，要提高到cosφ2，则需并联电容器的 电容值 （2-49） 式中，ω为电路电流角频率，P为原有功功率，U为负载电压有效值（证明过程从略）。 例2-12某感性负载其功率P=80KW，功率因数cosφ1=0．5，接在U=220V，f=50HZ的电源上。若希望提高功率因数cosφ=0．95，试问应并联电容器的电容值是多少？ 解：cosφ1=0．5 ，φ1=60° cosφ2=0．95 ，φ2=18．2° 【正文】 1.前言 在电工和无线电技术等领域中存在着许多周期性的正弦、非正弦电压、电流（或信号）。对于非正弦电压、电流（或信号），可利用傅里叶变换，将周期性时间函数分解为许多不同频率和幅值的正弦时间函数之和。然后应用叠加定理对每一频率的正弦时间函数，用相量法计算它们的稳态响应，将所有这些响应叠加起来，就可以得到周期性时间函数激励下的稳态响应。对称的三相非正弦激励下的三相电路，也可以根据叠加定理，先分别计算各谐波电压单独作用时三相电路中的电压、电流谐波，然后叠加求出各电压、电流[1]。 电路的正弦稳态是电路在正弦电压（流）的激励作用下，电路最终所达到的稳定状态。实际上，当电路中的自由响应衰减到可以不计时，便可认为电路进入了稳态。在正弦稳态下，电路中所有电流、电压都依电源的频率按正弦方式变化。按正弦规律变化的物理量称为正弦量。分析正弦电路，就是要找出正弦电路的变化规律，这个规律就是描述正弦电路方程的解。在时域中，描述正弦电路的方程是常系数微分（或积分）方程，它的完全解由两部分组成：一部分是对应齐次方程的通解---这部分解与激励性质无关，它可通过一般解微分方程的方法而求得；另一部分是方程的特解----它取决于激励形式。以正弦电流为例，数学表达式。式中三个量、、为正弦量的三要素。称为正弦电流的振幅（又称最大值或峰值）。它表示正弦电流变化过程中所能达到的最大值。称为正弦电流的角频率，它表达了正弦量的相位角（）随时间变化的速度，或者说表示单位时间增加的相位角。描述交流电变化快慢除用角频率外，还用周期T来描述，周期T是指交流电变化一周所用的时间，即交流电从零开始变到最大，然后逐渐减小到零，接着反方向变到负的最大，最后又回到零所需时间。还可用频率f来描述交流电变化快慢。频率是指1S内交流电重复出现的次数。角频率和正弦量的周期T及频率f的关系为：。称为正弦电流的初相位（又称初相角），它是正弦量在t=0时刻的相角。两个同频率的正弦量之间的相位差与计时起点无关。当两个同频率正弦量的相位差为零时，称这两个正弦量同相；当相位差为180°时，称这两个正弦量为反相；当相位差为正时，称电压U领先电流I，领先角度为?，或称电流?落后电压?，落后角度为?[2]。 研究分析正弦稳态电路的方法为相量法。而相量法则是用复数来表示正弦量的有效值和初相位。运用这一方法使得正弦电流电路的稳态分析成为与线性电阻电路的分析在形式上相同的问题。将相量形式的欧姆定律和基尔霍夫定律应用于电路的相量模型，建立相量形式的电路方程并求解，即可得到电路的正弦稳态响应。在分析时，画出电路中各电压、电流的相量图，往往对分析电路问题会有所帮助。用相量法分析正弦稳态响应的步骤可以归纳如下： (1)画出和时域电路相对应的电路相量模型； (2)建立相量形式的电路方程，求出响应的相量； (3)将求得的相量变换成对应的时域的实函数[3]。 在电能、电信号的传输、处理和应用等技术领域中，有关功率计算问题是电路计算的一个非常重要的方面,因为任何电路都毫无例外地进行着由电源或信号源到负载的功率传输, 在交流电路中，由电源供给负载的电功率有两种：一种是有功功率，一种是无功功率。功率因数是供用电系统的一项重要技术经济指标。在供电系统中，希望是功率因数越大越好，即电路中的视在功率将大部分用来转化成有功功率，以减少无功功率。用电设备在消耗有功功率的同时，还需大量的无功功率由电源送往负荷，功率因数反映的是用电设备在消耗一定的有功功率的同时所需的无功功率。负载功率因数的高低，关系到输配电线路、设备的供电能力，也影响到功率损耗，对于电力系统供电设备的充分利用，有着显著的影响[4]。 提高功率因数常用的方法就是在保证负载功率不变的情况下，采用无功补偿来减小无功功率，从而提高功率因数。在日常生活中，一般的用电设备都是感性的，导致其功率因数都很非正弦周期交流电路
第十二章(非正弦周期电流电路)习题解答
正弦交流电路中的功率及功率因数的提高
最全的功率计算公式
第6节 非正弦周期电流电路分析
电工基础——非正弦周期性电路
正弦交流电路测试题(1)
正弦交流电路的功率
非正弦周期电流电路分析
第三节正弦交流电路的功率与功率因素
基于matlab的正弦稳态电路功率的分析
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