微纳悬臂梁力学传感器弯曲振动模式的光学测量微纳悬臂梁机械振子体积小质量低是检测微小环境变化的良好传感器,是包括原子力显微镜和磁力显微镜在内很多扫描探针显微镜的核心器件。自从原子力显微镜发明以来,微纳悬臂梁机械振子在基础研究和应用方面都取得了巨大的进展。在磁共振力显微镜的研究中,微纳悬臂梁也是一个重要的组成部分,用于跨学科的研究,如有关分子吸附和纳米机电系统的生物物理学。最近的一些发展表明利用微纳悬臂梁弯曲的多个振动模式参与传感过程,可以获得更多环境检测能力和灵敏度,如质量谱成像和两维矢量力场的实验探测。 其中关于微纳悬臂梁测量的一个挑战是测量和确定其弯曲振动模式。在弯曲振动模式的参数中,振动方向,即机械振子振动方向相对光轴或测量方向的角度,是影响整个测量系统后续分析的重要因素之一。矢量力显微是一种特别适合表征样品形貌以及微小探针-样品间力信号的普适技术,通过监测在扫描样品表面时振动模式的频率改变和振动方向可以得到二维矢量力场图以此提供更多的信息。针对研制的微透镜光纤干涉仪,分析了微纳悬臂梁机械振子光学测量中光干涉和光散射两种物理效应。 研究分为以下三个部分:1.我们发现,结合光在光纤端面和悬臂梁上两个反射所形成干涉效应和光在微纳悬臂梁上的背向散射效应,可以实现对微纳悬臂梁在聚焦光平面内和聚焦光平面外的位移测量。特别的,对于微纳悬臂梁聚焦光平面内的位移测量,我们研制的微透镜光纤干涉仪与传统的光散射仪器相比,不需要四象限光电探测器,极大的降低了光路复杂性,需要准直的光学器件由3个降为2个,便于其应用于极低温系统中。2.理论分析了使用微透镜光纤干涉仪测量机械振子任意方向振动最佳工作点的优化,并通过实验测量沿不同方向振动的悬臂梁,证实了我们的分析。基于以上研究结果,我们测量了两个微米线悬臂梁的热振动,分析其振动方向。 我们的研究结果为机械振子弯曲振动模式提供了新的实验研究手段,为其在矢量力测量中的应用夯实了基础。3.提出了一个实验确定微纳悬臂梁弯曲振动模式振动方向的方法。该方法不需要对微纳悬臂梁有先验知识,也不需要同时测量一对近简并的弯曲振动模式。利用我们的微透镜光纤干涉仪,通过选择不同的工作点,即选择两个不同的振动投影方向,我们实验确定了一个微米线悬臂梁前3
固体力学作业 薄板的振动的固有频率与振型 1、 问题 矩形薄板的参数如下 33150,100,5,210,0.3,7.9310/a mm b mm h mm E GPa v kg m ρ======? 求矩形薄板在 （1） 四边简支（2）四边固支 条件下的固有频率和振型 2、薄板振动微分方程 薄板是满足一定假设的理想力学模型，一般根据实际的尺寸和受力特点来将某个实际问题简化为薄板模型，如厚度要比长、宽的尺寸小得的结构就可以采用薄板模型。薄板在上下表面之间存在一个对称平面，此平面称为中面，且假定： （1）板的材料由各向同性弹性材料组成； （2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小； （3）自由面上的应力为零； （4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。 为了建立应力、应变和位移之间的关系，取空间直角坐标Oxyz ，且坐标原点及xOy 坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如图 1所示。设板上任意一点a 的位置，将由变形前的坐标x 、y 、z 来确定。 图 1 薄板模型 根据假定（2），板的横向变形和面内变形u 、v 是相互独立的。为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移(,,)w x y t 所决定。根据假定（4），剪切应变分量为零。由薄板经典理论，可以求得板上任意一点(,,)a x y z 沿,,x y z 三个方向的位移分量,,a a a u v w 的表达式分别为
() a a a w u z x w v z y w w ?=-??=-?=+ 高阶小量 (1.1) 根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为 22 22 22a x a y a a xy u w z x x v w z y y u v w z y x x y εεγ??==-????==-?????=+=-???? (1.2) 胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为： 2222 222222222()()11()()111x x y y y x xy xy E Ez w w x y E Ez w w y x Ez w G x y σεμεμμμσεμεμμμτγμ??=+=-+--????=+=-+--???==- +?? (1.3) 现画薄板微元的受力图如图 2所示。 图 2所示中x xy x y yx y M M Q M M Q 、和、、和分别为OB 面、OC 面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横切剪力。弯矩和扭矩都用沿其轴的双剪头表示。M x 、M y 是由正应力σx 、 σx 引起的合力矩。扭矩是由剪切力τxy 引起的合力矩。 图 2 薄板应力示意图 p (x ,y ,t )=P (x ,y )f (t )为具有变量分离形式的外载荷集度，沿z 轴方向。应用动静法计算时， 沿z 轴负方向有一虚加惯性力22w h dxdy t ρ??，根据0z F =∑，0y M =∑，0y M =∑则 有
振动与冲击 第２９卷第３期ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＶＩＢＲＡＴＩＯＮＡＮＤＳＨＯＣＫＶ０１．２９Ｎｏ．３２０１０轴向载荷周期结构梁的弯曲振动带隙特性 郁殿龙，温激鸿，陈圣兵，方剑宇，温熙森 （国防科技大学机电工程研究所，长沙４１００７３） 摘要：各种载荷广泛存在于结构振动中，影响结构的振动特性。利用传递矩阵法，建立了轴向载荷周期结构梁弯曲振动特性理论模型，能够计算轴向载荷周期结构梁弯曲振动的能带结构和传输特性。研究表明，轴向载荷周期结构梁弯曲振动存在带隙，并分析了轴向载荷对带隙频率范围和衰减的影响。通过调节载荷条件，可以实现了超低频带隙特性。通过调节轴向载荷的大小和方向可以提高带隙的适应性。 关键词：周期结构；声子晶体；轴向载荷 中图分类号：０３２１；ＴＨｌｌ３；０４８文献标识码：Ａ 轴向载荷广泛存在于各种结构振动中，它不仅在理论上有重要研究价值，而且有广泛的工程背景。比如在火箭导弹的飞行过程中，存在着很大的轴向压缩载荷，这个轴压载荷对导弹横向振动特性存在不同程度的影响…。 目前轴向载荷对结构振动特性的影响已经得到国内外高度关注，主要体现在轴向载荷对薄壁梁弯扭耦合动力响应【２１以及稳定性分析旧１；而Ｊ．Ｒ．Ｂａｎｅｒｊｅｅ等人Ｍ１利用动态刚度矩阵法研究了轴向载荷对复合材料梁弯扭耦合振动特性的影响。 研究发现当弹性波在周期性复合材料或结构中传播时，弹性波经过周期性调制，在特定的频率范围内不能传播。人们将该频率范嗣称为带隙，而这种具有弹性波带隙的周期性复合材料或结构则称为声子晶体［５山】。由于声子晶体的带隙特性可以有效控制弹性波的传播，并且带隙频率范围可人为设计，因而声子晶体在声学器件以及减振降噪方面具有广泛的应用前景。 本文作者等人将声子晶体周期性的思想引入到工程中常见的结构，得到了相应的周期结构，并分析了其振动带隙特性［７。】，进一步促进了声子晶体在减振降噪中的应用探索。但是研究仅陷于结构的自由振动，没有考虑载荷、边界等条件对带隙的影响。而且带隙频率与结构振动频率相比还是偏高，这在一定程度上也影响了带隙特性在工程中的应用。 本文利用传递矩阵法研究了轴向载荷对周期结构梁弯曲振动带隙特性，分析了轴向载荷对带隙特性的影响，特别是发现了一定压力载荷下可以实现超低频带隙。 基金项目：国家自然科学基金资助项目（５０８７５２５５） 收稿日期：２００９一Ｏｌ—１５修改稿收到日期：２００９一０２一ｌＯ 第一作者郁殿龙男，博士，讲师，１９７５年９月生１轴向载荷梁弯曲振动方程与传递矩阵法 体的基本特征是具有周期性，将声子晶体的思想引八到梁结构设计中，可以将梁设计成周期结构。图１所示为一维周期结构梁示意图，由梁Ａ及梁Ｂ沿戈轴交替排列而成。梁Ａ和梁Ｂ可以由不同的材料参数构成，也可以由不同的几何参数构成。设梁Ａ的长度为ａ，，梁Ｂ的长度为口：，则单个周期的梁长度（即晶格常数）为ａ＝ａ．＋口：。同时梁上施加轴向载荷Ｆ，如果Ｆ＞０，则表示为拉力，如果Ｆ＜０，则表示为压力。 ｝—ｊＬ—÷ｌ Ｌ生酗●ＢＵＪＢＩＩＡｌｌＢ 山Ｉｔ旦２，Ｉ 图ｌ轴向载荷周期结构梁示意图 假设在梁的两端施加力ｊ’后，梁作微幅振动且梁在振动过程中梁截面上的力，保持不变，此时梁弯曲振动的微分方程为［１０，１１］： 王ａｘｚｆＦ，幺ａｘ】一，雾＋ｐｓ雾＝。（１）其中Ｅ为弹性模量，，为截面二次矩，Ｐ为梁的密度，Ｓ为梁的截面面积，Ｙ表示梁的弯曲位移。 设位移ｙ（ｘ，ｔ）＝ｒ（ｘ）ｅｘｐ（／ｔｏｔ），则式（１）的解可以写成： Ｙ（ｘ）＝Ａｓｉｎ（Ａｌｚ）＋Ｂｃｏｓ（Ａ１戈）＋ Ｃｓｉｎｈ（Ａ２聋）＋Ｄｃｏｓｈ（Ａ２ｘ）（２）其中： Ａ。＝√－Ｔ“２＋，７ｄ４＋１尹 Ａ－＝√“，胁尹 厂■——Ｆ亍＝ 入２＝＿％＋ｑ％＋矽 这里ａ２面Ｆ，矿＝∞２笆Ｅ１。 万方数据
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 振!动!与!冲!击 第"#卷第$期 %&’()*+&,-./(*0.&)*)123&45 -678"#)68$"99:! 计及结构阻尼的等截面梁纯弯曲振动的非线性分析 基金项目!湖南省自然科研基金项目"项目编号!9=%%<99>9)湖南省杰出中青年基金项目"项目编号!9"%%n /99? 收稿日期!"99#;9<;"9!修改稿收到日期!"99#;9:;9:第一作者高永毅男"博士"教授">?=@年生高永毅>"!陈安华""!唐!果$ #>8湖南科技大学物理学院"湘潭!<>>"9>) "8湖南科技大学机电工程学院"湘潭!<>>"9>)$8湖南科技大学数学学院"湘潭!<>>"9>$ !!摘!要!针对考虑挠度微分方程中高阶项所引起的几何非线性及材料阻尼所引起的阻尼非线性的梁"建立了梁纯 弯曲振动时的非线性运动方程%利用非线性理论对该非线性问题进行了研究"得到了周期解稳定和不稳定区域的分界线方程和频率响应方程"得到忽略梁非线性因素的条件"得到了梁挠度微分方程中高阶项所引起的几何非线性项具有软特性效应等四点结论% 关键词!等截面梁"纯弯曲振动"几何非线性"结构阻尼中图分类号!&$""!!!!!!文献标识码!* !!梁是工程中一种常见和大量使用的结构构件"在 工程中得到广泛应用"在结构振动和机械振动中"梁的振动是最常见的工程振动"因而关于梁振动的研究引起了学者的广泛关注%0Q ]6F YM PV6等人&>’总结了梁的线性振动理论并给出了求解各种支承的梁的响应方法"目前"梁线性振动理论已比较成熟%然而"随着科学技术的飞速发展"高强度材料的使用"重大工程机械系统越来越复杂"精密仪器的防振要求等等"都使梁的非线性振动问题日益突出"因此"梁的非线性振动问题就成了非线性振动理论研究的前沿课题之一%许多学者对梁的非线性振动作了深入探讨与分析%c 6Q P6d F IR 5O Q M N M O 用椭圆积分法对不可移动边简支梁的问题作了 分析&"’ %g h M ]M P 用摄动法对不同边界条件下简支梁的几何非线性振动进行了求解&$’%2O Q PQ h L F L P 利用伽辽金法得到了不可移动简支梁和板的几何非线性自由 振动响应解&<’%28 (8(8W Q 77L Q 等人利用谐振子假设得到了时域解(伽辽金解和谐波平衡解&=’%g 83816d M 77等人对有关支承处具有摩擦的梁的非线性振动进行了研究&#;>9’%本文作者在参考文献&>>’中"对梁的挠度微分方程中高阶项所引起的几何非线性问题进行了研究%以上研究都是将梁在变形时对应的阻尼视为线性阻尼"但是在参考文献&>"’和&>$’指出!弹性材料的梁在变形时对应的阻尼是非线性材料阻尼"对于梁的非线性振动问题"材料阻尼所引起非线性振动问题也是一个值得认真研究和不可忽视的问题%本文试图对既考虑梁的挠度微分方程中的高阶项所引起的几何非线性"又考虑材料阻尼所引起的阻尼非线性的梁纯弯曲振动问题进行析% !"运动方程 图>!梁的挠度分析图!’!"梁的几何非线性 建立如图>所示的坐标"坐标轴S 沿梁的轴线%设!梁在纯弯曲振动时"挠曲线表示为! +8+#*", $#>$并假设梁为理想弹性体"振 动是微幅振动"梁的长度;与截面高度之比相当大#大 于>9$%梁上作用有均布简谐激扰动)A )9b 6F #),C ’ $%根据材料力学可知"梁的挠度微分方程为!!!$8W B #"+# *">:#+#()*[] "9$1"#"$ 因为在工程问题中梁的挠度一般都远小于跨度"挠曲线是一非常平坦的曲线"转角/也是一个非常小的角度"如图>所示%由此在参考文献&>>’中已给出梁的挠度微分方程为! !!$8W B #"+#*()">9$"#+#()*[]"#$$ !!$"8W "B "#"+# *()" ">9$#+#()*[] "#<$式中!W 是弹性模量"B 是截面惯量矩%图"!材料阻尼!’#"梁的阻尼非线性 参考文献&>"’和&>$’指出!弹性材料"特别是金属材料在弹性范围内变形时"因材料内部相互摩擦而耗散能量"力和变形之间产生相位滞后"在一次加载循环中形成滞后环"其力和变形之间的关系如图"所示%这种阻尼称为材料阻尼"是一种结构阻尼%所以"弹性 万方数据