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高中数学必修1课后习题答案第一章集合与函数概念

1．1集合

1．1．1集合的含义与表示

练习（第5页）

1．用符号“ ”或“ ”填空：

（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A，美国_______A，

印度_______A，英国_______A；（2）若A {x|x x}，则1_______A；（3）若B {x|x x 6 0}，则3_______B；

（4）若C {x N|1 x 10}，则8_______C，9.1_______C．1．（1）中国A，美国A，印度A，英国A；

中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．

} {0,．1} （2）1 A A {x|x x

,2 （3）3 B B {x|x x 6 0} { 3．}

（4）8 C，9.1 C 9.1 N．

2．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）由方程x 9 0的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；

（3）一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点组成的集合；（4）不等式4x 5 3的解集．

2．解：（1）因为方程x 9 0的实数根为x1 3,x2 3，

所以由方程x 9 0的所有实数根组成的集合为{ 3,3}；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，

所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；

y x 3 x 1 （3）由，得，

y 2x 6y 4

即一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点为(1,4)，

所以一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；

（4）由4x 5 3，得x 2，

所以不等式4x 5 3的解集为{x|x 2}．

1．1．2集合间的基本关系

练习（第7页）

1．写出集合{a,b,c}的所有子集．

1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得；

取一个元素，得{a},{b},{c}；取两个元素，得{a,b},{a,c},{b,c}；取三个元素，得{a,b,c}，

即集合{a,b,c}的所有子集为,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}．

2．用适当的符号填空：

（1）a______{a,b,c}；（2）0______{x|x 0}；（3）______{x R|x 1 0}；（4）{0,1}______N；

（5）{0}______{x|x x}；（6）{2,1}______{x|x 3x 2 0}．2．（1）a {a,b,c} a是集合{a,b,c}中的一个元素；

} （2）0 {x|x 0} {x|x 0

{；0}

（3）{x R|x 1 0} 方程x 1 0无实数根，{x R|x 1 0} ；（4）{0,1 }（5）

{0}

是自然数集合N的子集，也是真子集；N （或{0,1} N）{0,1} {x|x2 x} （或{0} {x|x2 x}）{x|x2 x} {0,；1}

（6）{2,1} {x|x 3x 2 0} 方程x 3x 2 0两根为x1 1,x2 2．

3．判断下列两个集合之间的关系：

（1）A {1,2,4}，B {x|x是8的约数}；

（2）A {x|x 3k,k N}，B {x|x 6z,z N}；

（3）A {x|x是4与10的公倍数,x N }，B {x|x 20m,m N }．

3．解：（1）因为B {x|x是8的约数} {1,2,4,8}，所以

B；

（2）当k 2z时，3k 6z；当k 2z 1时，3k 6z 3，即B是A的真子集，

A；

（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B．

1．1．3集合的基本运算

练习（第11页）

1．设A {3,5,6,8},B {4,5,7,8}，求A B,A B．1．解：A B {3,5,6,8} {4,5,7,8} {5,8}，A B {3,5,6,8} {4,5,7,8} {3,4,5,6,7,8}．

2．设A {x|x 4x 5 0},B {x|x 1}，求A B,A B．

2．解：方程x 4x 5 0的两根为x1 1,x2 5，2

方程x 1 0的两根为x1 1,x2 1，

得A { 1,5},B { 1,1}，即A B { 1},A B { 1,1,5}．

3．已知A {x|x是等腰三角形}，B {x|x是直角三角形}，求A B,A B．3．解：A B {x|x是等腰直角三角形}，

A B {x|x是等腰三角形或直角三角形}．4．已知全集U {1,2,3,4,5,6,7}，A {2,4,5},B {1,3,5,7}，求A (痧UB),(

A) ( UB)．

4．解：显然UB {2,4,6}，UA {1,3,6,7}，

则A (UB) {2,4}，(痧UA) (

B) {6}．

1．1集合

习题1．1 （第11页）A组

1．用符号“ ”或“ ”填空：

（1）3

_______Q；（2）32______N；（3）_______Q；

（4

_______R；（5

Z；（6

）_______N．

1．（1）3

Q 3是有理数；（2）32 N 32 9是个自然数；77

是实数；

（3）Q 是个无理数，不是有理数；（4

（5

3是个整数；（6

）2 N

2) 5是个自然数．

2．已知A {x|x 3k 1,k Z}，用“ ”或“ ” 符号填空：（1）5_______A；（2）7_______A；（3）10_______A．

2．（1）5 A；（2）7 A；（3）10 A．

当k 2时，3k 1 5；当k 3时，3k 1 10；3．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数；

（2）A {x|(x 1)(x 2) 0}；（3）B {x Z| 3 2x 1 3}．

3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；

（2）方程(x 1)(x 2) 0的两个实根为x1 2,x2 1，即{ 2,1}为所求；（3）由不等式3 2x 1 3，得1 x 2，且x Z，即{0,1,2}为所求．4．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）二次函数y x 4的函数值组成的集合；（2）反比例函数y 2

（3）不等式3x 4 2x的解集．

的自变量的值组成的集合；

4．解：（1）显然有x 0，得x 4 4，即y 4，

得二次函数y x 4的函数值组成的集合为{y|y 4}；（2）显然有x

0，得反比例函数y （3）由不等式3x 4 2x，得x 5．选用适当的符号填空：

（1）已知集合A {x|2x 3 3x},B {x|x 2}，则有：

的自变量的值组成的集合为{x|x 0}；

，即不等式3x 4 2x的解集为{x|x ．

4_______B；3_______A；{2}_______B；B_______A；（2）已知集合A {x|x 1 0}，则有：

1_______A；{ 1}_______A；_______A；{1 _______A；,1}（3）{x|x 是菱形}_______{x|x是平行四边形}；{x|x是等腰三角形}_______{x|x是等边三角形}．5．（1）4 B；3 A；{2}B；

A；

2x 3 3x x 3，即A {x|x 3},B {x|x 2}；（2）1 A；{ 1}A；

=A；,1}A；{1

A {x|x 1 0} { 1,1}；（3）{x|x

是菱形}

{x|x是平行四边形}；

菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；

{x|x

是等边三角形}{x|x是等腰三角形}．

等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三

6．设集合A {x|2 x 4},B {x|3x 7 8 2x}，求A B,A B．6．解：3x 7 8 2x，即x 3，得A {x|2 x 4},B {x|x 3}，则A B {x|x 2}，A B {x|3 x 4}．7．设集合A {x|x是小于9的正整数}，B {1,2,3},C {3,4,5,6}，求A B，A C，A (B C)，A (B C)．

7．解：A {x|x是小于9的正整数} {1,2,3,4,5,6,7,8}，则A B {1,2,3}，A C {3,4,5,6}，

而B C {1,2,3,4,5,6}，B C {3}，则A (B C) {1,2,3,4,5,6}，

A (

B C) {1,2,3,4,5,6,7,8}．

8．学校里开运动会，设A {x|x是参加一百米跑的同学}，

B {x|x是参加二百米跑的同学}，

C {x|x是参加四百米跑的同学}，

学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B；（2）A C．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为(A B) C ．

（1）A B {x|x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学}；（2）A C {x|x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}．

9．设S {x|x是平行四边形或梯形}，A {x|x是平行四边形}，B {x|x 是菱形}，C {x|是矩形，求B C，AB，SA．x}

9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即B C {x|x是正方形}，

平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即AB {x|x是邻边不相等的平行四边形}，SA {x|x 是梯形}．

10．已知集合A {x|3 x 7},B {x|2 x 10}，求R(A B)，R(A B)，

(RA) B，A (RB)．

10．解：A B {x|2 x 10}，A B {x|3 x 7}，RA {x|x 3,或x 7}，RB {x|x 2,或x 10}，得R(A B) {x|x 2,或x 10}，R(A B) {x|x 3,或x 7}，(RA) B {x|2 x 3,或7 x 10}，A (RB) {x|x 2,或3 x 7或x 10}．

1．已知集合A {1,2}，集合B满足A B {1,2}，则集合B有1．4 集合B满足A B A，则B A，即集合B是集合A的子集，得4个子集．2．在平面直角坐标系中，集合C {(x,y)|y x}表示直线y x，从这个角度看，

集合D (x,y)|

2x y 1

表示什么？集合C,D之间有什么关系？

x 4y 5

2x y 1

表示两条直线2x y 1,x 4y 5的交点的集合，

x 4y 5

2．解：集合D (x,y)|

即D (x,y)|

2x y 1

{(1,1)}，点D(1,1)显然在直线y x上，

x 4y 5

得

DC．

3．设集合A {x|(x 3)(x a) 0,a R}，B {x|(x 4)(x 1) 0}，求A B,A B．3．解：显然有集合B {x|(x 4)(x 1) 0} {1,4}，

当a 3时，集合A {3}，则A B {1,3,4},A B ；当a 1时，集合A {1,3}，则A B {1,3,4},A B {1}；当a 4时，集合A {3,4}，则A B {1,3,4},A B {4}；当a 1，且a 3，且a 4时，集合A {3,a}，

则A B {1,3,4,a},A B ．

4．已知全集U A B {x N|0 x 10}，A (UB) {1,3,5,7}，试求集合B．4．解：显然U {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，由U A B，

得UB A，即A (痧UB)

B，而A (UB) {1,3,5,7}，

得UB {1,3,5,7}，而B 痧U(即B {0,2,4,6,8.9,10}．

B)，

第一章集合与函数概念

1．2函数及其表示

1．2．1函数的概念

练习（第19页）

1．求下列函数的定义域：

（1）f(x)

14x 7

；（2

）f(x) 1．

1．解：（1）要使原式有意义，则4x 7 0，即x 得该函数的定义域为{x|x ；

，

1 x 0 （2）要使原式有意义，则，即3 x 1，

x 3 0

得该函数的定义域为{x| 3 x 1}．2．已知函数f(x) 3x 2x，

（1）求f(2),f( 2),f(2) f( 2)的值；（2）求f(a),f( a),f(a) f( a)的值．2．解：（1）由f(x) 3x 2x，得f(2) 3 2 2 2 18，同理得f( 2) 3 ( 2) 2 ( 2) 8，

则f(2) f( 2) 18 8 26，

即f(2) 18,f( 2) 8,f(2) f( 2) 26；

（2）由f(x) 3x 2x，得f(a) 3 a 2 a 3a 2a，同理得f( a) 3 ( a) 2 ( a) 3a 2a，则f(a) f( a) (3a 2a) (3a 2a) 6a，

即f(a) 3a 2a,f( a) 3a 2a,f(a) f( a) 6a．

3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：

（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h 130t 5t和二次函数y 130x 5x；（2）f(x) 1和g(x) x．

3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间t 0；（2）不相等，因为定义域不同，g(x) x(x 0)．

1．2．2函数的表示法

练习（第23页）

1．如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm，

面积为ycm，把y表示为x的函数．1

，

y ，且0 x 50，

即y (0 x 50)．

2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2

（A）

（B）

（C）

（D）

2．解：图象（A）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；

图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．3．画出函数y |x 2|的图象．

x 2,x 2

3．解：y |x 2| ，图象如下所示．

x 2,x 2

4．设与A

A {x|x是锐角},

B {0,1}，从A到B的映射是“求正弦”，

中元素60相对应

的么？

B中的元素是什么？与B

中的元素

相对应的A中元素是什

．解：因为sin60

，所以与A中元素60相对应的B

中的元素是

；

因为sin45

，所以与B

中的元素

相对应的A中元素是45．

1．2函数及其表示习题1．2（第23页）

1．求下列函数的定义域：（1）f(x)

3xx 4

；（2

）f(x)

（3）f(x)

6x 3x 2

；（4

）f(x)

x 1

1．解：（1）要使原式有意义，则x 4 0，即x 4，得该函数的定义域为{x|x 4}；（2）x

R，f(x)

即该函数的定义域为R；

（3）要使原式有意义，则x 3x 2 0，即x 1且x 2，得该函数的定义域为{x|x 1且x 2}；

4 x 0

（4）要使原式有意义，则，即x 4且x 1，

x 1 0

得该函数的定义域为{x|x 4且x 1}．2．下列哪一组中的函数f(x)与g(x)相等？

（1）f(x) x 1,g(x)

x2x

1；（2

）f(x) x2,g(x) 4；

（3

）f(x) x,g(x)

2．

2．解：（1）f(x) x 1的定义域为R，而g(x)

x2x

1的定义域为{x|x 0}，

即两函数的定义域不同，得函数f(x)与g(x)不相等；

（2）f(x) x的定义域为R

，而g(x) 的定义域为{x|x 0}，

即两函数的定义域不同，得函数f(x)与g(x)不相等；

（3

x，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，

得函数f(x)与g(x)相等．

3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．（1）y 3x；（2）y 3．解：（1）

定义域是( , )，值域是( , )；（2）

定义域是( ,0) (0, )，值域是( ,0) (0, )；

（3）

；（3）y 4x 5；（4）y x 6x 7．

定义域是( , )，值域是( , )；

（4）

定义域是( , )，值域是[ 2, )．

4．已知函数f(x) 3x 5x

2，求f(，f( a)，f(a 3)，f(a) f(3)．4．解：因为f(x) 3x 5x

2，所以f( 3 ( 5 ( 2 8

即f( 8

同理，f( a) 3 ( a) 5 ( a) 2 3a 5a 2，即f( a) 3a 5a 2；

f(a 3) 3 (a 3) 5 (a 3) 2 3a 13a 14，即f(a 3) 3a 13a 14；

f(a) f(3) 3a 5a 2 f(3) 3a 5a 16，即f(a) f(3) 3a 5a 16．5．已知函数f(x)

x 2x 6

，

（1）点(3,14)在f(x)的图象上吗？（2）当x 4时，求f(x)的值；

（3）当f(x) 2时，求x的值．5．解：（1）当x 3时，f(3)

3 23 6

14，

即点(3,14)不在f(x)的图象上；（2）当x 4时，f(4)

4 24 6

3，

即当x 4时，求f(x)的值为3；（3）f(x)

x 2

x 6 即x 14．

2，得x 2 2(x 6)，

6．若f(x) x bx c，且f(1) 0,f(3) 0，求f( 1)的值．6．解：由f(1) 0,f(3) 0，

得1,3是方程x bx c 0的两个实数根，即1 3 b,1 3 c，得b 4,c 3，

即f(x) x 4x 3，得f( 1) ( 1) 4 ( 1) 3 8，即f( 1)的值为8．

7．画出下列函数的图象：

0,x 0

（1）F(x) ；（2）G(n) 3n 1,n {1,2,3}．

1,x 0

7．图象如下：

8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，那么你能获得关于这些量的哪些函数？

8．解：由矩形的面积为10，即xy 10，得y

10x

(x 0)，x

10y

(y 0)，

由对角线为d

，即d

d x 0)，

由周长为l，即l 2x 2y，得l 2x

20x

(x 0)，

另外l 2(x y)，而xy 10,d x y，

得l (d 0)，

即l (d 0)．

9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm，高是hcm，现在以vcm/s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶

液内溶液的高度xcm关于注入溶液的时间ts的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．9．解：依题意，有()x vt，即x 3

t，

h d24v

显然0 x h，即0

t h，得0 t ，

得函数的定义域为[0,

h d24v

]和值域为[0,h]．

10．设集合A {a,b,c},B {0,1}，试问：从A到B的映射共有几个？并将它们分别表示出来．

10．解：从A到B的映射共有8个．

f(b) 0，f(b) 0，f(b) 1，f(b) 0，

f(c) 0 f(c) 1 f(c) 0 f(c) 1 f(a) 1 f(a) 1 f(a) 1 f(a) 1

f(b) 0，f(b) 0，f(b) 1，f(b) 0．

f(c) 0 f(c) 1 f(c) 0 f(c) 1

Ｂ组

1．函数r f(p)的图象如图所示．（1）函数r f(p)的定义域是什么？（2）函数r f(p)的值域是什么？

（3）r取何值时，只有唯一的p值与之对应？1．解：（1）函数r f(p)的定义域是[ 5,0] [2,6)；（2）函数r f(p)的值域是[0, )；

（3）当r 5，或0 r 2时，只有唯一的p值与之对应．

2．画出定义域为{x| 3 x 8,且x 5}，值域为{y| 1 y 2,y 0}的一个函数的图象．

（1）如果平面直角坐标系中点P(x,y)的坐标满足3 x 8，1 y 2，那么其中哪些点不能在图象

上？

（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？

2．解：图象如下，（1）点(x,0)和点(5,y)不能在图象上；（2）省略．3．函数f(x) [x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[ 3.5] 4，[2.1] 2．当x ( 2.5,3]时，写出函数f(x)的解析式，并作出函数的图象．

3, 2.5 x 2 2, 2 x 1

1, 1 x 0

3．解：f(x) [x] 0,0 x 1

1,1 x 2

2,2 x 3

3,x 3

图象如下

4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东12km 处有一个城镇．

（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h，步行的速度是5km/h，t（单位：h）表示他从小岛

到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离．请将t表示为x的函数．（2）如果将船停在距点P4km处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h）？4．解：（112 x，得t

12 x5

，(0 x 12)，

即t 12 x5

，(0 x 12)．

（2）当x 4时，t

12 45

3(h)．

第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值

练习（第32页）

1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间

的关系．

1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率

达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．整个上午(8:00 12:00)天气越来越暖，中午时分(12:00 13:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:00 20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. 2．解：图象如下

[8,12是递增区间，][12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．

3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.

3．解：该函数在[ 1,0]上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，

在[4,5]上是增函数．

4．证明函数f(x) 2x 1在R上是减函数. 4．证明：设x1,x2 R，且x1 x2，

因为f(x1) f(x2) 2(x1 x2) 2(x2 x1) 0，即f(x1) f(x2)，

所以函数f(x) 2x 1在R上是减函数.

5．设f(x)是定义在区间[ 6,11]上的函数.如果f(x)在区间[ 6, 2]上递减，在区间[ 2,11]上递增，画出f(x)的一个大致的图象，从图象上可以发现f( 2)是函数f(x)的一个 . 5．最小值．

1．3．2单调性与最大（小）值

练习（第36页）

1．判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x) 2x 3x；（2）f(x) x 2x

（3）f(x)

x2 1x

；（4）f(x) x 1.

1．解：（1）对于函数f(x) 2x 3x，其定义域为( , )，因为对定义域内

每一个x都有f( x) 2( x) 3( x) 2x 3x f(x)，所以函数f(x) 2x 3x为偶函数；

（2）对于函数f(x) x 2x，其定义域为( , )，因为对定义域内

每一个x都有f( x) ( x) 2( x) (x 2x) f(x)，所以函数f(x) x 2x为奇函数；

（3）对于函数f(x)

x2 1x

，其定义域为( ,0) (0, )，因为对定义域内

每一个x都有f( x)

( x)2 1 x

x2 1x