利用导数求函数的极值

利用导数求函数的极值

例 求下列函数的极值：

1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21

2)(2-+=

x x

x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．

解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ，得2±=x ． 当2>x 或2-'x f ， ∴函数在()2,-∞-和()+∞,2上是增函数； 当22<<-x 时，0)(<'x f ， ∴函数在（－2，2）上是减函数．

∴当2-=x 时，函数有极大值16)2(=-f ， 当2=x 时，函数有极小值.16)2(-=f 2．函数定义域为R ．x x x

e x x e x xe

x f ----=-=')2(2)(2

令0)(='x f ，得0=x 或2=x ． 当0x 时，0)(<'x f ，

∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是减函数； 当20<'x f ， ∴函数)(x f 在（0，2）上是增函数． ∴当0=x 时，函数取得极小值0)0(=f ， 当2=x 时，函数取得极大值2

4)2(-=e f ． 3．函数的定义域为R ．

.)

1()

1)(1(2)1(22)1(2)(2

2222++-=+?-+='x x x x x x x x f

令0)(='x f ，得1±=x ． 当1-x 时，0)(<'x f ，

∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是减函数； 当11<<-x 时，0)(>'x f ，

∴函数)(x f 在（－1，1）上是增函数． ∴当1-=x 时，函数取得极小值3)1(-=-f ， 当1=x 时，函数取得极大值.1)1(-=f

说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意0)(0='x f 只是函数

)(x f 在0x 处有极值的必要条件，如果再加之0x 附近导数的符号相反，才能断定函数在0x 处

取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．

复杂函数的极值

例 求下列函数的极值：

1．)5()(32-=x x x f ；2．.6)(2

--=x x x f

分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数)(x f 的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数)(x f 在定义内可能取到极值的全部“可疑点”．

解：1．.3)

2(533)5(2)5(32)(33323x

x x x x x x x

x f -=+-=

+-=

'

令0)(='x f ，解得2=x ，但0=x 也可能是极值点． 当0x 时，0)(>'x f ，

∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是增函数； 当20<

∴当0=x 时，函数取得极大值0)0(=f ， 当2=x 时，函数取得极小值343)2(-=f ．

2．?????<<-++-≥-≤--),

32(,6),

32(,6)(22x x x x x x x x f 或

∴??

?

??=-=<<-+->-<-').32(,),32(,12),32(,12)(x x x x x x x x f 或不存在或

令0)(='x f ，得2

1=x ． 当2-

32

1

<

? ??3,21上是减函数； 当3>x 或2

1

2<

<-x 时，0)(>'x f ， ∴函数)(x f 在()+∞,3和??

? ??-21,2上是增函数． ∴当2-=x 和3=x 时，函数)(x f 有极小值0， 当21=

x 时，函数有极大值4

25． 说明：在确定极值时，只讨论满足0)(0='x f 的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值．本题1中0=x 处，2中

2-=x 及3=x 处函数都不可导，但)(x f '在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，

函数)(x f 在这些点处仍取得极值．从定义分析，极值与可导无关．

根据函数的极值确定参数的值

例 已知)0()(2

3≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．

1．试求常数a 、b 、c 的值；

2．试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由．

分析：考察函数)(x f 是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为0)(='x f 的根建立起由极值点1±=x 所确定的相关等

式，运用待定系数法求出参数a 、b 、c 的值．

解：1．解法一：c bx ax x f ++='23)(2．

1±=x 是函数)(x f 的极值点，

∴1±=x 是方程0)(='x f ，即0232

=++c bx ax 的两根，

由根与系数的关系，得

??????

?-==-）（）（2 ,131 ,032a

c a

b 又1)1(-=f ，∴1-=++

c b a ， （3） 由（1）、（2）、（3）解得2

3

,0,21-===

c b a ． 解法二：由0)1()1(='=-'f f 得

023=++c b a ， （1）

023=+-c b a （2）

又1)1(-=f ，∴1-=++c b a ， （3）

解（1）、（2）、（3）得2

3,0,21-===

c b a ． 2．x x x f 2321)(3-=，∴).1)(1(2

3

2323)(2+-=-='x x x x f

当1-x 时，0)(>'x f ，当11<<-x 时，.0)(<'x f

∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是增函数，在（－1，1）上是减函数． ∴当1-=x 时，函数取得极大值1)1(=-f ， 当1=x 时，函数取得极小值1)1(-=f ．

说明：解题的成功要靠正确思路的选择．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构

进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．可见出路在于“思想认识”．在求导之后，不会应用

0)1(=±'f 的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍．

当2>x 或2-'x f ， ∴函数在()2,-∞-和()+∞,2上是增函数；

当22<<-x 时，0)(<'x f ， ∴函数在（－2，2）上是减函数．

∴当2-=x 时，函数有极大值16)2(=-f ， 当2=x 时，函数有极小值.16)2(-=f

2．函数定义域为R ．x x x e x x e x xe x f ----=-=')2(2)(2 令0)(='x f ，得0=x 或2=x ． 当0x 时，0)(<'x f ，

∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是减函数； 当20<'x f ， ∴函数)(x f 在（0，2）上是增函数． ∴当0=x 时，函数取得极小值0)0(=f ， 当2=x 时，函数取得极大值24)2(-=e f ． 3．函数的定义域为R ．

.)

1()

1)(1(2)1(22)1(2)(2

2222++-=+?-+='x x x x x x x x f 令0)(='x f ，得1±=x ． 当1-x 时，0)(<'x f ，

∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是减函数； 当11<<-x 时，0)(>'x f ，

∴函数)(x f 在（－1，1）上是增函数． ∴当1-=x 时，函数取得极小值3)1(-=-f ， 当1=x 时，函数取得极大值.1)1(-=f

说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意0)(0='x f 只是函数

)(x f 在0x 处有极值的必要条件，

如果再加之0x 附近导数的符号相反，才能断定函数在0x 处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．

利用导数求函数的单调区间

例 求下列函数的单调区间： 1．32)(24+-=x x x f ； 2．22)(x x x f -=； 3．).0()(>+

=b x

b

x x f 分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．

解：1．函数)(x f 的定义域为R ，x x x x x x f )1)(1(44)(4+-=-=' 令0)(>'x f ，得01<<-x 或1>x ．

∴函数)(x f 的单调递增区间为（－1，0）和),1(+∞； 令0)(<'x f ，得1-

∴函数)(x f 的单调递减区间为)1,(--∞和（0，1）． 2．函数定义域为.20≤≤x

.2122)2()(2

2

2x

x x x

x x x x f --=

-'-=

'

令0)(>'x f ，得10<

∴函数)(x f 的单调递减区间为（1，2）． 3．函数定义域为).)((1

1)(,022b x b x x

x b x f x +-=-

='≠ 令0)(>'x f ，得b x >或b x -<．

∴函数)(x f 的单调递增区间为),(b --∞和),(+∞b ； 令0)(<'x f ，得b x b <<-且0≠x ，

∴函数)(x f 的单调递减区间是)0,(b -和),0(b ．

说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数)(x f 的单调递增区间和递减区间分别写成),1()0,1(+∞- 和

)1,0()1,( --∞ 的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之

外，还要注意转化的思想方法的应用．

求解析式并根据单调性确定参数

例 已知c x x f +=2)(，且).1()]([2+=x f x f f 1．设)]([)(x f f x g =，求)(x g 的解析式；

2．设)()()(x f x g x λ?-=，试问：是否存在实数λ，使)(x ?在()1,-∞-内为减函数，且在（－1，0）内是增函数．

分析：根据题设条件可以求出)(x ?的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数)(x ?是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数λ的取值范围，使问题获解．

解：1．由题意得c c x c x f x f f ++=+=2

2

2

)()()]([，

)1()]([.)1()1(2222+=++=+x f x f f c x x f ，

∴.1,1,)1()(2

2

2

2

2

2

=∴+=+∴++=++c x c x c x c c x ∴.1)1()1()]([)(,1)(2

2

2

2

++=+==+=x x f x f f x g x x f 2．)2()2()()()(2

4

λλλ?-+-+=-=x x x f x g x ． 若满足条件的λ存在，则.)2(24)(3

x x x λ?-+='

∵函数)(x ?在()1,-∞-内是减函数，∴当1-

<-+x x λ对于)1,(--∞∈x 恒成立． ∴.44,1,4)2(22

2

-<-∴-<∴->-x x x λ

∴4)2(2-≥-λ，解得4≤λ．

又函数)(x ?在（－1，0）上是增函数，∴当01<<-x 时，0)(>'x ? 即0)2(243>-+x x λ对于)0,1(-∈x 恒成立， ∴.044,01,4)2(222<<-∴<<--<-x x x λ ∴4)2(2-≤-λ，解得4≥λ．

故当4=λ时，)(x ?在()1,-∞-上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的λ存在．

说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用a x f <)(恒成立a x f )(恒成立a x f >?min )]([，究其原因是对函数的思想方法理解不深．

利用导数比较大小

例 已知a 、b 为实数，且e a b >>，其中e 为自然对数的底，求证：a

b

b a >． 分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明),(),()(b a x x g x f ∈>，可以等价转化为证明0)()()(>-=x g x f x F ，如果

0)(>'x F ，则函数)(x F 在),(b a 上是增函数，如果0)(≥a F ，由增函数的定义可知，当),(b a x ∈时，有0)(>x F ，即)()(x g x f >．

解：证法一：

e a b >> ，∴要证a b b a >，只要证b a a b ln ln >，

设)(ln ln )(e b b a a b b f >-=，则b

a

a b f -

='ln )(． e a b >> ，∴1ln >a ，且

1

a

，∴.0)(>'b f ∴函数b a a b b f ln ln )(-?=在),(+∞e 上是增函数． ∴0ln ln )()(=-=>a a a a a f b f ，即0ln ln >-b a a b ，

∴.,ln ln a b b a b a a b >∴>

证法二：要证a

b

b a >，只要证)(ln ln b a e b a a b <<>?， 即证

b b a a ln ln >，设)(ln )(e x x x x f >=，则0ln 1)(2

<-='x x

x f ， ∴函数)(x f 在),(+∞e 上是减函数． 又)()(,b f a f b a e >∴<< ，即

.,ln ln a b b a b

b

a a >∴> 说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有

明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出

)()()()(x g x f x g x f >?'>'的错误结论．

判断函数在给定区间上的单调性

例 函数??

?

??+

=x y 11log 21在区间),0(+∞上是（ ） A ．增函数，且0>y B ．减函数，且0>y C ．增函数，且0

分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y 的大小；二是要判断此函数的单调性． 解：解法一：令x

u 1

1+

=，且1),,0(>∴+∞∈u x ， 则0log 2

1<=u y ，排除A 、B ．

由复合函数的性质可知，u 在 ),0(+∞上为减函数．

又u y 2

1log =亦为减函数，故??

?

??

+

=x y 11log 21在 ),0(+∞ 上为增函数，

排除D ，选C ． 解法二：利用导数法

0log )1(11log 111

2221>+=???

??-??+=

'e x x x e x

y （),0(+∞∈x ），故y 在),0(+∞上是增函数． 由解法一知0

说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．

利用公式2求函数的导数

例 求下列函数的导数： 1．12x y =；2．41

x

y =

；3．53x y =． 分析：根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构施行调整．函数41

x

y =

和53x y =的形式，这样，在形式上它们都满足幂函数的结构特征，可直接应用幂函数的导数公式求导．

解：1．.1212)(1111212x x x y =='='- 2．.44)4()(5

51

44

x x x

x y -

=-=-='='---- 3．.53

5353)()(5252

153

5

35

3

x

x x x x y ==='='='--

说明：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本

函数的模式，以免求导过程中出现指数或系数的运算失误．运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨，步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且求对、求好的解题标准．

根据斜率求对应曲线的切线方程

例 求曲线122

-=x y 的斜率等于4的切线方程．

分析：导数反映了函数在某点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率，由于切线的斜率已知，只要确定切点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标，从而可求出切线方程．

解：设切点为),(00y x P ，则

x x y 4)12(2='-='，∴40='=x x y ，即440=x ，∴10=x

当10=x 时，10=y ，故切点P 的坐标为（1，1）． ∴所求切线方程为)1(41-=-x y

即.034=--y x

说明：数学问题的解决，要充分考虑题设条件，捕捉隐含的各种因素，确定条件与结论的相应关系，解答这类问题常见的错误是忽略切点既在曲线上也在切线上这一关键条件，或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大．

求直线方程

例 求过曲线x y cos =上点??

?

??21,3πP 且与过这点的切线垂直的直线方程． 分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切

线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P 处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程．

解：x y cos = ，∴.sin x y -='

曲线在点???

??21,3πP 处的切线斜率是.233sin 3

-=-='=ππx y

∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为

3

2

， ∴所求的直线方程为??? ?

?-=-

33221πx y ， 即02

33232=+-

-πy x ． 说明：已知曲线上某点的切线这一条件具有双重含义．在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y '是否为零，当0='y 时，切线平行于x 轴，过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在．

求曲线方程的交点处切线的夹角

例 设曲线2

1x y =

和曲线x

y 1

=在它们的交点处的两切线的夹角为α，求αta n 的值． 分析：要求两切线的夹角，关键是确定在两曲线交点处的切线的斜率．根据导数的几

何意义，只需先求出两曲线在交点处的导数，再应用两直线夹角公式求出夹角即可．

解：联立两曲线方程?????==--1

2

x

y x

y 解得两曲线交点为（1，1）．

设两曲线在交点处的切线斜率分别为21k k 、，则

.

111,

221121213121-=-='

??

?

??=-=-='

??

?

??=====x x x x x x k x x k

由两直线夹角公式

.3

1)1()2(1)1(21tan 2121=-?-+---=?+-=

k k k k α

说明：探求正确结论的过程需要灵巧的构思和严谨的推理运算．两曲线交点是一个关键条件，函数在交点处是否要导也是一个不能忽视的问题，而准确理解题设要求则是正确作出结论的前提．

求常函数的导数

例 设2π=y ，则y '等于（ ）

A ．π2

B ．2

π C ．0 D ．以上都不是 分析：本题是对函数的求导问题，直接利用公式即可 解：因为π是常数，常数的导数为零，所以选C ．

根据条件确定函数的参数是否存在

例 已知函数1

log )(223++++=cx x b

ax x x f ，是否存在实数a 、b 、c ，使)(x f 同时满足下

列三个条件：（1）定义域为R 的奇函数；（2）在[)+∞,1上是增函数；（3）最大值是1．若存在，求出a 、b 、c ；若不存在，说明理由．

分析：本题是解决存在性的问题，首先假设三个参数a 、b 、c 存在，然后用三个已给条件逐一确定a 、b 、c 的值．

解：)(x f 是奇函数.1,0log 0)0(3=∴=?=?b b f

又)()(x f x f -=- ，即1

1

log 11log 223223++++-=+-+-cx x ax x cx x ax x ，

∴22222222222

2)1()1(1111x c x x a x ax

x cx

x cx x ax x -+=-+?++++=-+-+． ∴c a c a =?=2

2

或c a -=，但c a =时，0)(=x f ，不合题意；故c a -=．这时

1

1

log )(223+++-=cx x cx x x f 在[)+∞,1上是增函数，且最大值是1．

设1

1

)(22+++-=cx x cx x x u 在[)+∞,1上是增函数，且最大值是3．

2

22222222)1()

1)(1(2)1()1(2)1()1)(2()1)(2()(++-+=

++-=+++-+-++-='cx x x x c cx x x c cx x cx x c x cx x c x x u ，当1>x 时0)(012>'?>-x u x ，故0>c ；又当1-'x u ；当)1,1(-∈x 时，

0)(<'x u ；

故0>c ，又当1-'x u ，当)1,1(-∈x 时，0)(<'x u ． 所以)(x u 在),1()1,(+∞--∞ 是增函数，在（－1，1）上是减函数． 又1>x 时，1,1)(,1122-=∴<++<+-x x u cx x cx x 时)(x u 最大值为3． ∴

.1,1,31

11

1-===+-++a c c c 经验证：1,1,1==-=c b a 时，)(x f 符合题设条件，所

以存在满足条件的a 、b 、c ，即.1,1,1==-=c b a

说明：此题是综合性较强的存在性问题，对于拓宽思路，开阔视野很有指导意义． 此题若用相等方法解决是十分繁杂的，甚至无技可施．若用求导数的方法解决就迎刃而解．

因此用导数法解决有关单调性和最值问题是很重要的数学方法．切不可忘记．

供水站建在何处使水管费最少

例 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？

分析：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C 的位置．

解：解法一：根据题意知，只有点C 在线段AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设C 点距D 点x km ，则

222240,50,40+=+=∴-==x CD BD BC x AC BD 又设总的水管费用为y

元，依题意有

).500(405)50(322<<++-=x x a x a y

2

2

40

53++

-='x ax a y ．令0='y ，解得.30=x

在（0，50）上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，

函数在30=x （km ）处取得最小值，此时2050=-=x AC （km ）． ∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20km 处，可使水管费用最省． 解法二：设θ=∠BCD ，则).2

0(,cot 40,sin 40π

θθθ<

设总的水管费用为)(θf ，依题意，有

θ

θθθθsin cos 3540150sin 405)cot 4050(3)(-?+=?

+?-=a a a a f ∴θ

θθθθθ2sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(40)('

?--?'-?='a f

θ

θ

2

sin cos 5340-?=a 令0)(='θf ，得5

3

cos =θ．

根据问题的实际意义，当5

3

cos =θ时，函数取得最小值，此时

20cot 4050,4

3

cot ,54sin =-=∴=∴=θθθAC （km ），即供水站建在A 、D 之间距甲厂

20km 处，可使水管费用最省．

说明：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数．把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．

运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此正需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有

利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择．

利用导数求函数的最值

例 求下列函数的最值：

1．)33(,3)(3≤≤--=x x x x f ； 2．)2

2

(,2sin )(π

π

≤

≤-

-=x x x x f ；

3．)0,0,10(,1)(2

2>><<-+=

b a x x

b x a x f 4．21)(x x x f -+=．

分析：函数)(x f 在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，因此，在求闭区间[]b a ,上函数的最值时，只需求出函数)(x f 在开区间),(b a 内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可．

解：1．233)(x x f -='，令0)(='x f ，得1±=x ， ∴2)1(,2)1(-=-=f f ．又.18)3(,0)3(-==-f f ∴.18)]([,2)]([min max -==x f x f

2．12cos 2)(-='x x f ，令0)(='x f ，得6

π

±

=x ，

∴6236,6236ππππ+-=??

? ??--=

???

??f f ， 又22,22ππππ=??? ??--=??

?

??f f ．

∴.2

)]([,2)]([min max π

π

-==

x f x f 3．2

22

2222222)

1()1()1()(x x x a x b x b x a x f ---=-+-='． 令0)(='x f ，即0)1(2

222=--x a x b ，解得.b

a a x +=

当b a a x +<

<0时，0)(<'x f ，当

1<<+x b

a a

时，0)(>'x f ． ∴函数)(x f 在点b

a a

x +=处取得极小值，也是最小值为

.)(2b a b a a f +=??

? ??+即2min )()]([b a x f +=． 4．函数定义域为11≤≤-x ，当)1,1(-∈x 时，

.11)(2

x

x x f --

='

令0)(='x f ，解得22=

x ，∴222=???

? ??f ， 又1)1(,1)1(=-=-f f ，∴.1)]([,2)]([min max -==x f x f

说明：对于闭区间[]b a ,上的连续函数，如果在相应开区间),(b a 内可导，求[]b a ,上最值可简化过程，即直接将极值点与端点的函数值比较，即可判定最大（或最小）的函数值，

就是最大（或最小）值．解决这类问题，运算欠准确是普遍存在的一个突出问题，反映出运算能力上的差距．运算的准确要依靠运算方法的合理与简捷，需要有效的检验手段，只有全方位的“综合治理”才能在坚实的基础上形成运算能力，解决运算不准确的弊病．

求两变量乘积的最大值

例 已知y x 、为正实数，且满足关系式04222=+-y x x ，求y x ?的最大值． 分析：题中有两个变量x 和y ，首先应选择一个主要变量，将y x 、表示为某一变量（x 或y 或其它变量）的函数关系，实现问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值范围，再利用导数（或均值不等式等）求函数的最大值．

解：解法一：22

2

22

1

,0,24x x y y x x y -=∴>-= ， ∴222

1

x x x y x -=

?． 由?

??≥->0202

x x x 解得20≤

1

)(2≤<-=

=x x x x xy x f 当20<

????--+-=

'22

2)1(221)(x x x x x x x f 2

22)23(x

x x x --=

．

令0)(='x f ，得2

3

=

x 或0=x （舍）．

∴8

3

323=

??

? ??f ，又0)2(=f ，∴函数)(x f 的最大值为833．

即y x ?的最大值为

8

3

3． 解法二：由04222=+-y x x 得)0,0(14)1(22>>=+-y x y x ，

设)0(sin 2

1

,cos 1πααα<<=

=-y x ， ∴)cos 1(sin 21αα+=?y x ，设)cos 1(sin 21

)(ααα+=f ，

则[]

ααααcos )cos 1(sin 2

1)(2

?++-='f

.21cos )1(cos )1cos cos 2(212??? ?

?

-+=-+=

αααα 令0)(='αf ，得1cos -=α或2

1

cos =

α． 3

,0π

απα=

∴<< ，此时.4

3,23==

y x ∴.8333,8333max

=???

?????? ??∴=???

??ππf f 即当43,23==

y x 时，[].8

33max =?y x 说明：进行一题多解训练，是一种打开思路，激发思维，巩固基础，沟通联系的重要

途径，但要明确解决问题的策略、指向和思考方法，需要抓住问题的本质，领悟真谛，巧施转化，方可快捷地与熟悉的问题接轨，在实现转化的过程中，关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件，以免解题陷于困境，功亏一篑．

直接利用导数的运算法则求导

例 求下列函数的导数：

1．6532

4

+--=x x x y ； 2．x x y tan ?= 3．)3)(2)(1(+++=x x x y ； 4．.1

1

+-=

x x y 分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成．

解：1．)653(2

4

'+--='x x x y

.564)6(5)(3)(324--='+'-'-'=x x x x x

2．x x x x x x x x x x x x y 2

cos )(cos sin cos )sin (cos sin )tan ('

?-?'='

??

? ???='?=' x

x x x x x x x x x x x x 2

2

222c o s )

s i n (c o s c o s s i n c o s s i n c o s )c o s (s i n ?+?=+?+= .c o s 222s i n c o s s i n c o s 2s i n 212

22

2x

x x x x

x x x x +=++= 3．解法一：)3)(2)(1()3(])2)(1[('+++++'++='x x x x x x y )2)(1()3]()2)(1()2()1[(++++'++++'+=x x x x x x x )2)(1()3)(12(+++++++=x x x x x )2)(1()3)(32(+++++=x x x x .111232

++=x x 解法二：611623+++=x x x y ， ∴ .111232

++='x x y

4．解法一：2)1()1)(1()1()1(11+'

+--+'-=

'

??

? ??+-='x x x x x x x y .)1(2)1()1()1(2

2+=+--+=

x x x x

解法二：1

2

1+-=x y ， 2

)1()1(2)1()2()12(121+'+-+'-='+-='??

? ??

+-='x x x x x y .)1(2

2

+=

x

说明：理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件，运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法同．求导过程中符号判断不清，也是导致错误的因素．从本题可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的积极性，在解决新问题时举一反三，触类旁通，得心应手．

化简函数解析式在求解

例 求下列函数的导数．

1．x

x x x y 975++=；2．4cos 4sin

44x x y +=； 3．x

x x x y +-+

-+=

1111；4．).4cos 21(2sin 2x x y --= 分析：对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使问题求解过程繁琐冗长，

且易出错．可先对函数解析式进行合理的恒等变换，转化为易求导的结构形式再求导数．

解：1．4329

75x x x x

x x x y ++=++=，

∴.43232x x x y ++='

2．4cos 4sin 24cos 4sin 222

22x x x x y ?-??? ?

?

+=

x x x c o s 4

1

432c o s 12112s i n 212

+=-?-=-= ∴ .sin 41cos 4143x x y -=??

?

??+='

3．.214

1)1(21)1(1)1(22--=-+=--+-+=

x

x x x x x x y ∴.)1(4)1()1(4)1()4()214(

2

2x x x x x y -=-'---'='--=' 4．x x x y sin 2

1

2cos 2sin

-=?-=， ∴.cos 21sin 21x x y -='

??

?

??-='

说明：对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视

求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．

根据点和切线确定抛物线的系数

例 已知抛物线c bx ax y ++=2通过点)1,1(P ，且在点)1,2(-Q 处与直线3-=x y 相切，求实数a 、b 、c 的值．

分析：解决问题，关键在于理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者统一起来．题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此，通过解方程组来确定参数a 、b 、c 的值是可行的途径．

解：∵曲线c bx ax y ++=2过)1,1(P 点， ∴1=++c b a ①

b ax y +='2 ，∴b a y x +='=42

∴14=+b a ②

又曲线过)1,2(-Q 点，∴124-=++c b a ③．

联立解①、②、③得.9,11

,3=-==c b a 说明：利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点)1,2(-Q 在曲线上这一关键的隐含条件．

利用导数求和

例 利用导数求和．

1．)N ,0(,321*12∈≠++++=-n x nx x x S n n

2．)N (,32*321∈++++=n nC C C C S n

n n n n n

分析：问题分别可通过错位相减的方法及构造二项式定理的方法来解决．转换思维角度，由求导公式1

)(-='n n

nx

x ，可联想到它们是另外一个和式的导数，因此可转化求和，利

用导数运算可使问题解法更加简洁明快． 解：1．当1=x 时，

)1(2

1

321+=

++++=n n n S n 当1≠x 时，

x

x x x x x x n n

--=+++++11

3

2

，

两边都是关于x 的函数，求导得

'???

? ??--='+++++x x

x x x x x n n 1)(132 ，

高中数学 利用导数研究函数的极值和最值

专题4 利用导数研究函数的极值和最值 专题知识梳理 1.函数的极值 （1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y 极大值=,是极大值点。如果对附近的所有的点，都 有.就说是函数的一个极小值，记作y 极小值=，是极小值点。极大值与极 小值统称为极值. (2)判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. (3)求可导函数f (x )的极值的步骤: ①确定函数的定义区间，求导数 ; ①求出方程的定义域内的所有实数根； ①用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。 ①根据表格下结论并求出需要的极值。 2. 函数的最值 （1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作; （2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． （3）求函数在上的最大值与最小值的步骤： ①求在内的极值； ①将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。 考点探究 )(x f x 0x 0f (x )f (x 0)f (x 0))(x f f (x 0)x 00x 0)(0='x f 0x )(x f 0x )(x f )(0x f )(x f '0x 0x )(x f )(0x f )(x f '0x 0x )(x f )(0x f )(x f '￠f (x )=00)(x f ')(x f I x 0x ?I f (x )￡f (x 0))(0x f y max =f (x 0))(x f I x 0x ?I f (x )3f (x 0))(0x f y min =f (x 0)[]b a ,)(x f []b a ,)(x f []b a ,)(x f (,)a b )(x f f (a ),f (b ))(x f []b a ,

利用导数研究函数的极值、最值

利用导数研究函数的极值、最值 【例1－1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 角度2已知函数求极值 【例1－2】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝1 2 时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 【训练1】 (1)(角度1)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(角度2) 设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数. ①若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值； ②若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值. 考点二已知函数的极值求参数

【例2】设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围. 【训练2】 已知函数f (x )＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx －17(a ，b ，c ∈R)的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－98，则a 的值是( ) A.－8122 B.1 3 C.2 D.5 考点三 利用导数求函数的最值 【例3】 已知函数f (x )＝2x 3 －ax 2＋2. (1)讨论f (x )的单调性； (2)(经典母题)当0

利用导数求函数的单调区间、极值和最值

精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号____________________ 学员编号： 年 级： 课时数及课时进度：3（3/60） 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 学科组长/带头人签名及日期 课 题 利用导数学求函数单调区间、极值和最值 授课时间： 备课时间： 教学目标 1、能熟练运用导数求函数单调区间、判定函数单调性； 2、能用导数求函数的极值和最值。 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 一、利用导数判定函数的单调性并求函数的单调区间 1.定义：一般地，设函数)(x f y =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0)(' >x f ，那么函数)(x f y = 在 为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 0)(' x f 解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令 0)('

二、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地，设函数)(x f 在点x 附近有定义，如果对 x 附近的所有的点，都有)( )(0 x f x f <，就说)(0 x f 是函数的一 个极大值，记作()x y f 0=极大值 ，x 0是极大值点 2、极小值 一般地，设函数)(x f 在x 附近有定义，如果对 x 附近的所有的点，都有)( )(0 x f x f >就说)(0 x f 是函数) (x f 的一个极小值，记作 ()x y f 0=极小值 ，x 0是极小值点 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， x 1 是极大值点， x 4 是极小值点，而)()( 1 4 x x f f >. （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 f(x 2)f(x 4) f(x 5) f(x 3) f(x 1) f(b) f(a) x 5 x 4x 3x 2 x 1b a x O y 4、判别()x f 0 是极大、极小值的方法: 若 x 满足 0)(0' =x f ，且在x 0的两侧)(x f 的导数异号，则x 0是)(x f 的极值点，()x f 0是极值，并且如果 )(' x f 在 x 两侧满足“左正右负”，则x 是)(x f 的极大值点，()x f 0 是极大值；如果)(' x f 在x 0两侧满足“左负右正” ，则x 0是)(x f 的极小值点，()x f 是极小值 5、求可导函数)(x f 的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数 )(' x f

函数极值与导数解析

函数的极值与导数练习 基础篇 1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图1-3-10所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有() 图1-3-10 A．1个B．2个 C．3个D．4个 【答案】B[依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.] 2．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有() A．极大值5，极小值－27 B．极大值5，极小值－11 C．极大值5，无极小值 D．极小值－27，无极大值 【答案】C[由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3. 当x＜－1或x＞3时，y′＞0；由－1＜x＜3时，y′＜0. ∴当x＝－1时，函数有极大值5；3?(－2,2)，故无极小值．] 3．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝() A．－4 B．－2 C．4 D．2

【答案】D [∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2.] 4．当x ＝1时，三次函数有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( ) 过（1,4）f ′(1)=0 过（3,0）f ′(3)=0 A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x B ．y ＝x 3－6x 2＋9x C ．y ＝x 3－6x 2－9x D ．y ＝x 3＋6x 2－9x 【答案】B [∵三次函数过原点，故可设为 y ＝a x 3＋bx 2＋cx ， ∴y ′＝3x 2＋2bx ＋c . 又x ＝1,3是y ′＝0的两个根， ∴????? 1＋3＝－2b 31×3＝c 3 ，即????? b ＝－6， c ＝9 ∴y ＝x 3－6x 2＋9x ， 又y ′＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3) ∴当x ＝1时，f (x )极大值＝4 ， 当x ＝3时，f (x )极小值＝0，满足条件，故选B.] 5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1) ) A ．00 D ．b <1 2 【答案】A [f ′(x )＝3x 2 －3b ，要使f (x )在(0,1)内有极小值，则? ?? ?? f ′(0)＜0， f ′(1)＞0，

(完整版)导数与函数的极值、最值问题(解析版)

【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】

试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为

高中数学选修2-2精品教案 3.2 函数的极值与导数

§1．3．2函数的极值与导数（1课时） 【学情分析】： 在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。 【教学目标】： （1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤 【教学重点】： 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】： 极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤 教学 环节 教学活动设计意图 创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数() h t在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大t a =附近函数() h t的图像，如图3.3-9．可以看出() h a '；在t a =，当t a <时，函数() h t单调递增，()0 h t'>；当t a >时，函数() h t单调递减，()0 h t'<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0 h t'>）后减（t a >，()0 h t'<）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，() h t'先正后负，且() h t'连续变化，于是有()0 h a '=． 对于一般的函数() y f x =，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号

6函数的极值与导数讲义

函数的极值与导数讲义 :点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值. (2)极大值点与极大值:点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y x 0)＝0时： (1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是. f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是. 一点附近的大小情况． (2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点． (3)极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大(1)可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是函数的极值点． 如y ＝x 3，y ′(0)＝0，x ＝0不是极值点． 问题1如图观察，函数y ＝f (x )在d 、e 、f 、g 、h 、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什 么关系？y ＝f (x )在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y ＝f (x )的导数的符号有什么规律？ 思考函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有________个极小值点. 【例1】求下列函数的极值． (1)f (x )＝3x ＋3ln x ； (2)f (x )＝2x x 2＋1 －2. 【例2】已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值． 【变式】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且知当x ＝－1时取得极大值7，当x ＝3时取得极小值，试求函数f (x )的极小值，并求a 、b 、c 的值． 【例3】 (12分)设a 为实数，函数f (x ) ＝－x 3＋3x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)是否存在实数a ，使得方程f (x )＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．

导数与函数的极值、最值问题(解析版)

【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18

D ．17或18 【答案】C 【解析】 试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当? ??-==114b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值．

函数的极值与导数教学设计一等奖

函数的极值与导数 作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话： 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七．教学过程 1．引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题． 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么．

核心素养提升练 利用导数研究函数的极值、最值

核心素养提升练 利用导数研究函数的极值、最值 (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.已知函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值,则c的取值范围为( ) A.c< B.c≤ C.c≥ D.c> 【解析】选A.因为f(x)=x3-x2+cx+d, 所以f′(x)=x2-x+c,要使f(x)有极值,则方程f′(x)=x2-x+c=0有两个实数解, 从而Δ=1-4c>0,所以c<. 2.已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则f(x) ( ) A.既有极小值,也有极大值 B.有极小值,但无极大值 C.有极大值,但无极小值 D.既无极小值,也无极大值

【解析】选B.由导函数图象可知,y=f′(x)在(-∞,x0)上为负,y=f′(x)在 (x0,+∞)上非负,所以y=f(x)在(-∞,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,所以y=f(x)在x=x0处有极小值,无极大值. 3.设动直线x=m与函数f(x)=x3,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则|MN|的最小值为( ) A.(1+ln 3) B.ln 3 C.1+ln 3 D.ln 3-1 【解析】选A.设F(x)=f(x)-g(x)=x3-ln x,求导得:F′(x)=3x2-. 令F′(x)>0得x>; 令F′(x)<0得00时,x<1,故y=g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞) 上单调递减,g(x)max=g(1)=,当x→+∞时,g(x)>0,所以t∈.

(完整word版)函数的极值与导数导学案

§1.3.2函数的极值与导数 教学目标： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．复习与思考 已知函数 3 2 ()267f x x x =-+ (1)求f(x)的单调区间,并画出其图象; (2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系? 二．新课讲授 1、极值点与极值 (1)极小值点与极小值： 若函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝ ，而且在点x ＝a 附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数y ＝f (x )的极小值点， 叫做函数y ＝f (x )的极小值． (2)极大值点与极大值： 若函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝ ， 而且在点x ＝b 附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数y ＝f (x )的极大值点， 叫做函数y ＝f (x )的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为 ；极大值、极小值统称为 2.关于极值概念的几点说明 (1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况; (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值 （3）函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值; (4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。 （5）函数y=f(x)在一点的导数为0是函数在这点取极值的 条件。 3.函数的极值与单调性有什么联系？ 【提示】 极值点两侧单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函数的单调性． 函数极值的求法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时： (1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值. 求下列函数的极值． （1）3 1()443 f x x x =-+

用导数求函数的极值..

用导数来求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21 2)(2-+= x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值． 解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ，得2±=x ． 当2>x 或2-'x f ， ∴函数在()2,-∞-和()+∞,2上是增函数； 当22<<-x 时，0)(<'x f ， ∴函数在（－2，2）上是减函数． ∴当2-=x 时，函数有极大值16)2(=-f ， 当2=x 时，函数有极小值.16)2(-=f 2．函数定义域为R ．x x x e x x e x xe x f ----=-=')2(2)(2 令0)(='x f ，得0=x 或2=x ． 当0x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是减函数； 当20<'x f ， ∴函数)(x f 在（0，2）上是增函数． ∴当0=x 时，函数取得极小值0)0(=f ， 当2=x 时，函数取得极大值2 4)2(-=e f ． 3．函数的定义域为R ． .) 1() 1)(1(2)1(22)1(2)(2 2222++-=+?-+='x x x x x x x x f

令0)(='x f ，得1±=x ． 当1-x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是减函数； 当11<<-x 时，0)(>'x f ， ∴函数)(x f 在（－1，1）上是增函数． ∴当1-=x 时，函数取得极小值3)1(-=-f ， 当1=x 时，函数取得极大值.1)1(-=f 说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意0)(0='x f 只是函数 )(x f 在0x 处有极值的必要条件，如果再加之0x 附近导数的符号相反，才能断定函数在0x 处 取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误． 复杂函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．)5()(32-=x x x f ；2．.6)(2 --=x x x f 分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数)(x f 的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数)(x f 在定义内可能取到极值的全部“可疑点”． 解：1．.3) 2(533)5(2)5(32)(33323x x x x x x x x x f -=+-= +-= ' 令0)(='x f ，解得2=x ，但0=x 也可能是极值点． 当0x 时，0)(>'x f ， ∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是增函数； 当20<

导数与函数的极值、最值

导数与函数的极值、最值 【题型突破】 利用导数解决函数的极值问题 ?考法1根据函数图象判断函数极值的情况 【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是() A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) D ?考法2求已知函数的极值 【例2】已知函数f(x)＝(x－2)(e x－ax)，当a＞0时，讨论f(x)的极值情况．[解]∵f′(x)＝(e x－ax)＋(x－2)(e x－a) ＝(x－1)(e x－2a)， ∵a＞0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln 2a. ①当a＝e 2时，f′(x)＝(x－1)(e x－e)≥0，∴f(x)单调递增，故f(x)无极值． ②当0＜a＜e 2时，ln 2a＜1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，ln 2a)ln 2a (ln 2a,1)1(1，＋∞) f′(x)＋0－0＋ f(x)极大值极小值 ③当a＞e 2时，ln 2a＞1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，1)1(1，ln 2a)ln 2a (ln 2a，＋∞) f′(x)＋0－0＋ f(x)极大值极小值

综上，当0＜a ＜e 2时，f (x )有极大值－a (ln 2a －2)2，极小值a －e ； 当a ＝e 2 时，f (x )无极值； 当a ＞e 2时，f (x )有极大值a －e ，极小值－a (ln 2a －2)2. ?考法3 已知函数极值求参数的值或范围 【例3】 (1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________. (2)若函数f (x )＝e x －a ln x ＋2ax －1在(0，＋∞)上恰有两个极值点，则a 的取值范围为( ) A ．(－e 2，－e) B .? ? ???－∞，－e 2 C .? ? ???－∞，－12 D ．(－∞，－e) (1)－7 (2)D [方法总结] 1.利用导数研究函数极值问题的一般流程 2．已知函数极值点和极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． A ．2或6 B ．2 C .23 D ．6 (2)(2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有极值，则实数a 的取值范围 是( )

利用导数研究函数的极值教案

利用导数研究函数的极值教案

任课教师陈雪艳授课班 级 高二（4） 班 授课 日期 2016．4．13 教学 课题 利用导数研究函数的极值 教学目标知识技能： （1）了解函数在某点取得极值的必要条件; （2）能利用导数求函数的极值及参数的值。 过程与方法：通过实例探究事件独立性的过程，学会判断事件相互独立性的方法。 培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、方 程的数学思想。 情感态度和价值观：1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结； 2、培养学生的探索精神， 渗透辩证唯物主义的方法论 和认识论教育。 教学 模式 探究模式、课堂讨论模式、合作学习模式 重点利用导数研究函数的极值 难点函数的极值正向或逆向问题的考察 教具学案 教师活动学生设计意

教学过程 一 知识回顾： （1）极值的定义 （2）求极值的一般步骤 二 随堂小练： （1）观察函数y= f(x)的图像，指出该函数的极值点与极值 （2）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f 在),(b a 内的图象如图所示，指出函数y= f(x)的极值点. 活动 学生思考回答 学生回答 图 复习基 本概念 培养学生视图能力，数形结合思想 )(1 x f ) (4x f ) (2x f ) (3x f

x ? a b x y) ( f y= O 三课堂讲授 例 1 已知函数1 () f x x x =+，求函数的极值 例２:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10, 求 a、b的值

四课堂练习 已知函数32 x处取得极 =++在点 () f x ax bx cx 大值5，其导函数'() =的图象经过点(1,0)， y f x (2,0)，如图所示.求： x的值； （Ⅰ） （Ⅱ）,, a b c的值.

《函数的极值与导数》教学设计

3.3.2 函数的极值与导数教学设计 一、教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 四、教学过程 〈一〉、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单 调性的关系是什么？ （提问学生回答）

2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题 （1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？ （2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： （1）函数y=f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少? （3）在a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢? a o h t

导数与函数的极值、最值

导数与函数的极值、最值 最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). 知识梳理 1.函数的极值与导数 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤： ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(×) (2)函数的极大值不一定比极小值大.(√) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(×) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(√) 2.函数f(x)＝－x3＋3x＋1有() A.极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3 C.极小值－2，极大值2 D.极小值－1，极大值3 解析因为f(x)＝－x3＋3x＋1，故有y′＝－3x2＋3，令y′＝－3x2＋3＝0，解得x ＝±1，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

导数与极值、最值练习题.doc

三、知识新授 （一）函数极值的概念 （二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x); （2）解方程f'(x)=0，得方程的根x 0(可能不止一个） （3）如果在x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x 0)是 极大值；反之，那么f(x 0）是极大值 题型一 图像问题 1、函数()f x 的导函数图象如下图所示，则函数()f x 在图示区间上（ ） （第二题图） A ．无极大值点，有四个极小值点 B ．有三个极大值点，两个极小值点 C ．有两个极大值点，两个极小值点 D ．有四个极大值点，无极小值点 2、函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，内的图象如图所示，则函数()f x 在 开区间()a b ，内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3、若函数2 ()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象可能为（ ） D. C. B. A. x y O x y O x y O O y x 4、设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图所示，则()y f x =的图象可能是（ ） -1 2 1O y x D. C. B. A. 12121 221x y O x y O x y O O y x b a O y x O y x

5、已知函数 () f x 的导函数 () f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ） -1 1 f '(x ) y x O 6、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ） 2y x O 222 2 D. C. B. A. O x y O x y y x O O x y 7、如果函数 () y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ） y y y x x x y x D C B A x y y=f(x)

导数与函数的极值、最值练习含答案

第2课时 导数与函数的极值、最值 一、选择题 1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 ( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －x D ．y ＝x ＋2 x 解析 由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)，D 选项中的函数既为奇函数又存在极值． 答案 D 2．(2017·石家庄质检)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6， 又a >0，b >0，则t ＝ab ≤? ????a ＋b 22 ＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 答案 D 3．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ? ???? a >12，当x ∈(－2,0)时， f (x )的最小值为1，则a 的值等于 ( ) A.14 B.13 C.1 2 D ．1 解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1 a ， 当00；当x >1 a 时，f ′(x )<0.

∴f (x )max ＝f ? ???? 1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1. 答案 D 4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0， ∴a >6或a <－3. 答案 B 5．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )图像的是 ( ) 解析 因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0. 答案 D 二、填空题 6．(2017·咸阳模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.