β=－１１
n
a
则0>β.由
???
? ??-+=+≥+=1111)1(1
n
n a n n a ββ 得()()a
n a n a a n a a n
111
111.1111
11-+<-+-=-+-≤--- （6） 任给0>ε，由（6）式可见，当N a n =-+
>-ε
1
1１时，就有ε<-n a 11，即|1|1-n
a ε<.所以1lim =∞
→n n a .
关于数列极限的ε—N 定义，应着重注意下面几点：
1．ε的任意性 定义1中正数ε的作用在于衡量数列通项n a 与定数a 的接近程度，ε愈小，表示接近得愈好；而正数ε可以任意地小，说明n a 与a 可以接近到任何程度．然而，尽管ε有其任意性，但一经给出，
就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N ，又ε既时任意小的正数，那么23,2
εεε
或等等同样也是任意小
的正数，因此定义1中不等式ε<-||a a n 中的ε可用
或εε3,2
2ε等来代替．同时，正由于ε是任意小正数，
我们可限定ε小于一个确定的正数(如在例4的注给出的证明方法中限定ε<1)．另外，定义1中的
ε｜＜a a n -|也可改写成.||ε≤-a a n
2．N 的相应性 一般说，N 随ε的变小而变大，由此常把N 写作N(ε)，来强调N 是依赖于ε的；但这
并不意味着N 是由ε所唯一确定的，因为对给定的ε，比如当N=100时，能使得当?
n >N 时有ε<-||a a n ，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是N 的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1
中的，n >N 也可改写成n ≥N ．
3．从几何意义上看，“当n >N 时有ε<-||a a n
”意味着：所有下标大于N 的项ｎa 都落在邻域U(ε;a )内；而在U(a;ε)之外，数列{n a }中的项至多只有N 个(有限个)．反之，任给ε>0，若在U(ε;a )之外数列}{n a 中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为N ，则当n >N 时有),(εa U a n ∈，即当n >N 时有
||a a n -<ε．由此，我们可写出数列极限的一种等价定义如下：
定义'
1 任给ε>0，若在U(ε,a )之外数列{}n a 中的项至多只有有限个，则称数列{}n a 收敛于极限a ．
由定义1，可知，若存在某0>０ε，使得数列}{n a 中有无穷多个项落在U(0,εa )之外，则n a {}一定不以a 为极限．
例6 证明2
{n }和{n
)1(-}都是发散数列．
证 对任何∈a R ，取10=ε，则数列{2
n }中所有满足1+>a n 的项(有无穷多个)显然都落在U(0;εa )
之外，故知}{2n 不以任何数a 为极限，即}{2
n 为发散数列.
至于数列{})1(n
-，当1=a 时取10=ε，则在U );(0εa 之外有})1{(n
-中的所有奇数项；当≠a 1时取
|,1|2
10-=
a ε则在U
（);0εa 之外有{})1(n -中的所有偶数项．所以{})1(n -不以任何数a 为极限，即{n
)1(-}为发散数列．
例7 设a y x n n n n ==∞
→∞
→lim lim ，做数列}{n z 如下：
.,,,,,,,:}{2211ΛΛn n n y x y x y x z 证明.lim a z n n =∞
→
证， 因,lim lim a y x n n n n ==∞
→∞
→故对任给的0>ε，数列}{n x 和{}n y 中落在);(εa U 之外的项都至少只有
有限个.所以数列}{n z 中落在);(εa U 之外的项也至多只有有限个．故由定义'1，证得a z n n =∞
→lim ．
例8 设}{n a 为给定的数列，}{n b 为对}{n a 增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列}
{n b
与}{n a 同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．
证 设}{n a 为收敛数列，且a a n n =∞
→lim ．按定义'1，对任给的ε>0，数列}{n a 中落在U(ε;a )之外的项
至多只有有限个．而数列}{n b 是对}{n a 增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始，}{n b 中的每一项都是}{n a 中确定的一项，所以}{n b 中落在U();εa 之外的项也至多只有有限个．这就证得a b n n =∞
→lim ．
现设}{n a 发散．倘若}{n b 收敛，则因{}n a 可看成是对}{n b 增加、减少或改变有限项之后得到的数列，
故由刚才所证，}{n a 收敛，矛盾．所以当}{n a 发散时，}{n b 也发散． 在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义2 若0lim =∞
→n n a ，则称}{n a 为无穷小数列．
由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：
定理1.2 数列}{n a 收敛于a 的充要条件是：}{a a n -为无穷小数列．
Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出a a n n ≠∞
→lim 和n n a ∞
→lim 不存在的“ε—N ”定义.
Ⅴ 课外作业: ２７P 2、3、4、6、7、8.
§２ 收敛数列的性质
教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。 教学要求：（１）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；
（２）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极
限。
教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。 教学难点：数列极限的计算。 学时安排: 3学时
教学方法：讲练结合。 教学程序：
引 言
上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞
=的方法，这是极限较基本的内容，要
求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。
一、收敛数列的性质
性质１（极限唯一性） 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限。 性质２（有界性）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。
注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列{}
(1)n -有界，但它不收敛。 性质３（保号性） 若lim 0n n a a →∞
=>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，
使得当n N >时有n a a '>（或n a a '<）。
性质４（保不等式性）设数列{}n a 与{}n b 均收敛，若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则
lim lim n n n n a b →∞
→∞
≤。
思考：如果把条件“n n a b ≤”换成“n n a b <”，那么能否把结论换成lim lim n n n n a b →∞
→∞
<？
保不等式性的一个应用：
例1 设0(1,2,3,)n a n ≥=L ，证明：若lim n n a a →∞
=
，则n =
思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？
性质５（迫敛性） 设收敛数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞
=.
注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。
下面是其应用一例： 例2
求数列
的极限。
性质６（极限的四则运算法则） 若{}n a 、{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-?也都收敛，且有
lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞
→∞
→∞
±=±=±;
lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞
→∞
→∞
?=?=?.
若再做假设0n b ≠及lim 0n n b →∞
≠，则数列n n a b ??
?
???
也收敛，且有 lim lim lim n
n n n n n
n a a a b b b →∞→∞→∞
==. 特别地，若n b c =，则lim()lim n n n n a c a c →∞
→∞
+=+，lim lim n n n n ca c a →∞
→∞
=.
在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。下举几例；
例3 求1110
1110
lim m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++L L ，其中,0,0m k m k a b ≤≠≠.
例4 求lim
1n
n n
a a →∞+，其中1a ≠-.
例5
求n .
例6 求222111lim (1)(2)n n n n →∞??
+++
?+?
?L . 二 数列的子列
１． 引言
极限是个有效的分析工具。但当数列{}n a 的极限不存在时，这个工具随之失效。这能说明什么呢？难道{}n a 没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究。那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推
断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”。 ２． 子列的定义
定义１ 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且123k n n n n <<<<12,,,,k n n n a a a L L
称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}
k n a .
注1 由定义可见，{}n a 的子列{}
k n a 的各项都来自{}n a 且保持这些项在{}n a 中的的先后次序。简单地讲，从{}n a 中取出无限多项，按照其在{}n a 中的顺序排成一个数列，就是{}n a 的一个子列（或子列就是从{}n a 中顺次取出无穷多项组成的数列）
。 注2 子列{}
k n a 中的k n 表示k n a 是{}n a 中的第k n 项，k 表示 k n a 是{}k n a 中的第k 项，即{}
k n a 中的第k 项就是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k >. 特别地，若k n k =，则k n n a a =，即{}
{}k n n a a =.
注 3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项以后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列。
如{}{}221,k k a a -都是{}n a 的非平凡子列。由上节例知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。
那么数列{}n a 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果： 定理 数列{}n a 收敛?{}n a 的任何非平凡子列都收敛。
由此定理可见，若数列{}n a 的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列必收敛于同一个极限。于是，若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n a 一定发散。这是判断数列发散的一个很方便的方法。
§3 数列极限存在的条件
教学目的与要求
掌握数列极限存在的单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则，并会利用它们求极限、证明相关命题 教学重点: 单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则.
教学难点: 单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则的证明及应用. 学时安排: 4学时
教学方法：讲练结合。 教学程序：
极限理论的两个基本问题: 极限的存在性问题, 极限的计算问题．本节将重点讨论极限的存在性问题． 为了确定某个数列是否存在极限，当然不可能将每个实数依定义一一验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断．
首先讨论单调数列，其定义与单调函数相仿．若数列{}n a 的各项满足关系式
()11++≥≤n n n n a a a a ，
则称{}n a 为递增（递减）数列．递增数列和递减数列统称为单调数列．如??????n 1为递减数列，?
????
?+1n n 为{}2
n 递增数列，而()?
??
???-n n 1则不是单调数列.
定理2．9(单调有界定理) 在实数系中，有界的单调数列必有极限．
证 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记{}n a a sup =．下面证明a 就是{}n a 的极限．事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得n a a <-ε．又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有
n N a a a <<-ε．
另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时有
εε+<<-a a a n ，
即a a n n =∞
→lim ．
同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．
例1 设
,,2,1,131211K K =++++
=n n
a a a a n 其中实数2≥a ．证明数列{}n a 收敛．
证 显然{}n a 是递增的，下证{}n a 有上界．事实上，
()n n n a n 1132121111312112
22-++?+?+≤++++
≤K K
??
? ??--++??? ??-+??? ??-+=n n 111
31212111K
21
2<-
=n
，1=,2,K . 于是由单调有界定理，{}n a 收敛．
例2 证明数列
Λ
4443
44421Λ,222,22,2个根号
n ++++
收敛，并求其极限． 证 记222+++=
Λn a ，易见数列{}n a 是递增的．现用数学归纳法
来证明{}n a 有上界． 显然221<=a ．假设2n a 有上界．
由单调有界定理，数列{}n a 有极限，记为a ．由于
n n a a +=+22
1，
对上式两边取极限得a a +=22
，即有
()()021=-+a a ，解得1-=a 或2=a ．
由数列极限的保不等式性，1-=a 是不可能的，故有：∞
←n lim
2222=+++Λ．
例3 设S 为有界数集．证明：若S a S __
sup ∈=，则存在严格递增数列{}n x S ?，使得a x n n =∞
?lim ．
证 因a 是S 的上确界，故对任给的,0>ε存在ε->∈a x S x 使得,．又因S a __
∈，故a x <，从而有a x a <<-ε．
现取11=ε，则存在S x ∈1，使得
a x a <<-11ε
再取0,21
min 12>?
?????-=x a ε，则存在S x ∈2，使得
a x a <<-22ε，
且有()1122x x a a a x =--≥->ε．
一般地，按上述步骤得到S x n ∈-1之后，取?
?????-=-1,1min n n x a n ε，则存在S x n ∈，使得
a x a n n <<-ε，
且有.11)(--=--≥->n n n n x x a a a x ε
上述过程无限地进行下去，得到数列}{n x ?S ，它是严格递增数列，且满足 .,2,1,1
||Λ=≤
<-?+<<<-n n
a x a a x a n n n n n εεε 这就证明了a x n n =∞
→lim . 例4 证明n
n n
)11(lim +
∞
→存在. 证先建立一个不等式．设0>>a b ，对任一正整数n 有 )()1(11
a b b n a b n n n -+<-++,
整理后得不等式.
])1[(1nb a n b a n n -+>+. （1）
以n
b n a 1
1,111+=++=代入(1)式.由于 1)1
1()111)(1()1(=+-+++=-+n n n n nb a n ,
故有 n n n
n )1
1()111(1+>+++.
这就证明了})11{(n
n
+为递增数列.
再以n
b a 21
1,1+==代人(1)式，得
=+-+=-+)211()1()1(n n n nb a n 2
1
.
故有
42112121112
?
? ??
+???? ??+>n
n n n .
上式对一切正整数n 都成立,即对一切偶数n 有411
?
??+n
n .联系到该数列的单调性，可知对一切正整数n
都有411
??+n
n ，即数列??
??????????? ??+n n 11有上界．于是由单调有界定理推知数列{n n )11(+}是收敛的.
通常用拉丁字母e 代表该数列的极限，即 e n
n
n =+
∞
→)11(lim , 它是一个无理数(待证)，其前十三位数字是 . 597182818284.2≈e . 以e 为底的对数称为自然对数，通常记
x x e log ln = 单调有界定理只是数列收敛的充分条件．
定理2．10(柯西(Cauchy)收敛准则) 数列}{n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数N ，使得当N m n >,时有
ε<-m n a a ．
这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题，它的证明将在第七章给出．柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数．或者形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起．另外，柯西收敛准则把N -ε定义中n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其好处在于无需借助数列以外的数
a ，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其(收)敛(发)散性．
例5 证明：任一无限十进小数ΛΛn b b b 21.0=α的n 位不足近似(1=n Λ,2)所组成的数列
ΛΛΛ,10
1010,,1010,102212211n n b b
b b b b ++++ )2( 满足柯西条件(从而必收敛)，其中k b 为9,,2,1,0Λ中的一个数，.,2,1Λ=k
证 记+=
101b a n .10
1022n n b b
++Λ不妨设,m n >则有 |m n a a -|=n n m m m m b b b 1010102111+++++++Λ )10
1
1011(1091
1--++++≤m n m Λ m m
m n m 1
10
1)1011(101<<-=
- 对任给的,0>ε，取ε
1
=N ，则对一切N m n >>.有
<-||m n a a ε
这就证明了数列(2)满足柯西条件．
Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限、证明极限的存在性. Ⅴ 课外作业: 8３P 3、4、6、7、9、11、12.
数列极限的概念(经典课件)
第二章 数列极限 引言: 在第一章中我们已经指出，数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢？从本质上来说，这个方法就是极限。极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终，几乎所有的概念都离不开极限，是我们数学分析课程的基础。 §１ 数列极限的概念 教学内容：数列极限的概念，应用定义证明简单数列的极限，无穷小数列。 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小 数列等有关概念。会应用数列极限的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：数列极限的概念。 教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学学时：2学时。 一、数列概念： １．数列的定义： 简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。 若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→或+∈N n n f ),(为数列。 若记()n f n a =，则数列n n n f ,2,1),(=就可写作为：12,,,, n a a a ，简记为{}n a ，其中n a 称为 该数列的通项。 ２．数列的例子： （1）(1)111:1,,,, 234n n ??---???? ； （2）11111:2,1,1,1,435 n ? ?+ +++???? （3）{}2 :1,4,9,16,25, n ； （4）{}1 1(1) :2,0,2,0,2, n ++- 二、数列极限的概念： １．引言： 对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）： 第１天截下 12，第２天截下2111222?=，第３天截下23111222?=，…，第n 天截下1111 222 n n -?=，… 得到一个数列：? ?? ?? ?n 21： 231111 ,,,,,2222n 不难看出，数列12n ?? ? ??? 的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零。 一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。
心理学---意识与注意
第二章意识与注意 一、意识：是人类独有的一种高水平的心理活动，指个人运用感觉，知觉，思维，记忆等心理活动，对自己内在的身心状态，和环境中外在的人，事，物变化的觉知。 内容：1.对外部事物的觉知。2.对内部刺激的觉知。3.对自身的觉知。 意识的状态： 1.可控制的意识状态：行为过程中，知道自己在做什么，并可以控制自己的行为。最能集中注意。 2.自动化意识状态：按一定目的完成任务，意识参与少，变为自动化。注意要求少，并不妨碍同时进行的其他活动。 3.白日梦状态：包含很低水平意识，努力的意识状态。介于，主动意识与睡眠做梦之间。醒着做梦。不需要集中注意。意识处于迷糊状态。 4.睡眠状态：虽然有意识活动，但自身并没意识到。 无意识：个体不能察觉到心理活动和过程。按照弗洛伊德似的说法，无意识中包括了大量的观念、想法、欲望、冲动等。这些观念和想法。因为与社会理论道德相冲突而被个体压抑在无意识中，个体无法察觉到。 二、注意：心理活动或意识在某一时刻所处状态，表现为对一定对象的指向与集中。 特点： 注意的指向性：人在每一瞬间的心理活动或意识选择了某个对象，而忽略了其余对象。 注意的集中性：当心理活动或意识指向某个对象的时候，它们会在这个对象上集中起来，即精神贯注，兴奋性提高。 注意的指向性是指心理活动或意识朝向哪个对象，集中性就是指心理活动或意识在一定方向上活动的强度或紧张程序。 注意的功能 1.选择功能：从大量信息中，选择有用的给以反应，排除无用的干扰。 2.维持功能：保持，持续的紧张状态。 3.调节功能：注意转变，实现活动转变，适应环境。
注意与意识既有联系又有区别。 1.注意不等同于意识：注意是心理活动或心理动作，而意识主要是一种心理内容或体验。注意决定意识的内容。 2.密不可分： 可控制意识状态，注意集中； 自动化状态，本身要求很少的注意，相应意识的参与较少； 白日梦状态，意识变化注意极少，紧张性低； 睡眠状态，无意识，注意停止。 注意的种类： 1.不随意注意：无目的，不需要意志努力的注意。由刺激物本身特点和人自身状态引起。 2.随意注意：有预定目的，需要一定意志努力的注意。个人意志。 3.随意后注意：指向一个对象后期出现的一种形式。类似随意，但不需要意志的努力。即服从当前的任务要求，又可以节省意志的努力。 生物节律：有机体生理功能周期性变化的结果。它们的存在表明有机体内部有一个生物钟。随时监视着时间的进程。 日节律：人和动物都存在，主要是睡和醒周期性循环。还有一些生理方面节律变化。血压，排尿，荷尔蒙分泌等。 四、睡眠阶段及脑电波特点！ 睡眠作用：1.恢复机能2.保护自己 正常清醒状态时脑电波为β波，13-20cps，频率快，振幅小。 第一阶段：过渡期，α8-12，频率慢，振幅大 第二阶段：轻睡期，θ4-7，频率更慢 第三四阶段：沉睡期，δ2-4，振幅极大，梦游，呓，尿床 第五阶段：快速眼动睡眠（REM）呼吸心跳不规则，难唤醒，做梦。
数列与极限.doc
高中学生学科素质训练 高三数学同步测试（2）—《数列与极限》 一、选择题（本题每小题5分，共60分） 1．在等比数列}{n a 中，a 1+a 2=2，a 3+a 4=50，则公比q 的值为 （ ） A ．25 B ．5 C ．－5 D ．±5 2．已知等差数列{a n }中，a 6=a 3＋a 8=5，则a 9的值是 （ ） A ．5 B ． 15 C ．20 D ．25 3．给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次方 程bx 2－2ax+c=0 （ ） A ．无实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个同号的相异的实数根 D ．有两个异号的相异的实数根 4．等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若1062a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 （ ） A ．6S B ．11S C ．12S D ．13S 5．设数列{}n a 为等差数列，且6586742 4,20042a a a a a a a 则=++等于 （ ） A ．501 B ．±501 C ．2004 D ．±2004 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若m>1，且38,0122 11==-+-+-m m m m S a a a ，则m 等于 （ ）
7．设等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，若2:1:36=S S ，则=39:S S （ ） A ．1:2 B ．2:3 C ．3:4 D ．1:3 8．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄， 若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ） A ．7 )1(p a + B ．8 )1(p a + C ． )]1()1[(7p p p a +-+ D ． ()()[] p p p a +-+118 9．已知()1+=bx x f 为x 的一次函数，b 为不等于1的常量，且()=n g ?? ?≥-=) 1()],1([) 0(1n n g f n , 设()()()+∈--=N n n g n g a n 1，则数列{}n a 为 （ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．递增数列 D ．递减数列 10．已知02log 2log >>a b ,则n n n n n b a b a ++∞→lim 的值为 （ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．不存在 11．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出 租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61） （ ） A ．10% B ．16.4% C ．16.8% D ．20% 12．已知3 ) (32lim ,2)3(,2)3(3---='=→x x f x f f x 则的值为 （ ） A ．－4 B ．8 C ．0 D ．不存在 二、填空题（本题每小题4分，共16分） 13．已知等比数列}{n a 及等差数列}{n b ，其中01=b ，公差d ≠0．将这两个数列的对应项相 加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为_________________. 14．设数列{a n }满足a 1=6，a 2=4，a 3=3，且数列{a n+1－a n }（n ∈N *）是等差数列，求数列{a n } 的通项公式__________________.
(完整版)第二章自我意识与心理健康
第二章自我意识与心理健康 教学目的：认识自我，重视自我意识的养成。 教学要求：掌握自我意识的概念、结构、大学生自我意识发展的过程和特征、大学生自我意识发展的缺陷、大学生自我意识的培养，了解自我意识的形成。 重点难点：自我意识的概念、结构、大学生自我意识发展的过程和特征、大学生自我意识发展的缺陷、大学生自我意识的培养、自我意识的形成。 教学方法：联系实际，结合案例进行理论讲授；讨论。 课时：2学时 第一节自我意识概述 一、自我意识的概念 自我意识是人对自身以及自己同客观世界关系的意识。 自我意识是我们对自己的认识，具体来说，包括对自己三个方面的认识：生理状况（如身体状况和外貌特征）、心理特征（如性格、兴趣、能力、行为习惯等），以及人际关系状况（如自己与他人、与社会关系、自己的社会地位等）。自我意识包括本质的自我与自己的外表和行为的区别，我们以此确定自己，并在生活经历、反省体验和与他人的交往中加深对自己的了解。 对于任何青年人来说，自我意识的发展都非常重要，在这一年龄能够比较正确而客观地回答“我是谁”的问题，才可能在将来有一个成熟稳定的心态步入社会。 自我意识是心理健康的重要标志。 二、自我意识的形成 (一)自我意识萌生时期（8个月——3岁，主要是生理自我的发展） 在生命降生之初，婴儿是没有自我意识的，（例如，婴儿咬自己的手指、脚趾，咬到自己哭出来，不知道手、脚是自己身体的一部分）婴儿一般在8个月龄左右，生理自我开始萌生，这是自我意识的最初形态。到l岁左右，儿童开始能把自己的动作和动作对象区别开来，初步意识到自己是动作的主体。1周岁以后，儿童逐步认识自己的身体，也开始意识到自己身体的感觉。一般到2岁左右，儿童逐渐学会用代词“我”来代表自己。3岁左右的儿童，自我意识有了新的发展。 (二)自我意识形成时期（3岁——14岁，主要是社会自我的发展） 3岁到青春期这段时期，是个体接受社会化影响最深的时期，也是学习角色的重要时期。个体在家庭、幼儿园、学校中游戏、学习、劳动，通过模仿、认同、练习等方式，逐步形成各种角色观念，如性别角色、家庭角色、伙伴角色、学生角色等。这一时期，也是获得社会自我的时期，他们开始能意识到自己在人际关系、社会关系中的作用和地位，能意识到自己所承担的社会义务和享有的社会权利等。 (三)自我意识的发展时期（14岁——23、24岁，主要是心理自我的发展） 从青春发育期到青春后期大约十年时间，是心理自我的发展时期，自我观念渐趋成熟。这一时期，个人的自我意识具有以下特点：
2.1数列极限答案(1)
高等数学II 练习题 第二章 极限与连续 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ 习题2.1 数列极限 一．选择题 1．下列数列}{n x 中收敛的是 （ B ） （A ）n n x n n 1)1(+-= （B ）1n 1(1)n x n +=- （C ）(1)2n n x -= （D ）1(1)10 n n n x =-+ 2．下列数列}{n x 中收敛的是 （ C ） （A ）11n n n x n =-+() (B) 11,11,n n n x n n ?+??=??-??为奇数为偶数 （C ）1,1,1n n n x n n ???=???+?为奇数为偶数 (D) 12,212,2n n n n n n x n ?+??=?-???为奇数为偶数 3．数列11111 1 0,,,,,,,234567---的极限为 （ A ） （A ）0 （B ）不存在 （C ）1 （D ）难以确定 4．若数列{}n x 有极限a ，则在a 的(0)εε>邻域之外，数列中的点 （ D ） （A ）有无穷多个 （B ）可以有有限个，也可以有无穷多个 （C ）必不存在 （D ）至多有有限个 二．填空题 1．数列1111 0,,0,,0,,0,,2 468 L 的通项n a =______________及lim n n a →∞= 。 2．若数列2,1-1,2n n n n a n n n ???-=????为奇数为偶数，则该数列的极限是 。 3．若lim 2n n a →∞=，则21lim 2n n a +→∞= ；若lim n n a A →∞=，则lim ||n n a →∞= 。 4．2 2324lim 261n n n n n →∞+-=-+ 。 三．将给定数列与其相应的特性用线连接起来． (1) 111111:1,1,1,1,1,1,1,223344 n x -+-+-+L （a ）有界 1(1)2n n +-0不存在1||A 32
05.2017年上海高三数学二模分类汇编：数列与极限
1（2017普陀二模）. 计算：3 1lim(1)n n →∞ += 3（2017虹口二模）. 已知首项为1公差为2的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则 2()lim n n n a S →∞= 3（2017奉贤二模）. 已知{}n a 为等差数列，若16a =，350a a +=，则数列{}n a 的通项公式为 4（2017嘉定二模）. 11 23lim 23n n n n n ++→∞+=+ 4（2017徐汇二模）. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213 n n S a =-* ()n N ∈，则lim n n S →∞= 6（2017嘉定二模）. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 3535=a a ，则=3 5S S 7（2017静安二模）. 各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈， 11(,2)n n n n m a a a ++=-都是直线y kx =的法向量，若lim n n S →∞ 存在，则实数k 的取值范围是 8（2017崇明二模）. {}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，若122a a +=，251a a +=-，则 lim n n S →∞ = 9（2017浦东二模）. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1 lim n n n n S a a →∞+= 10（2017奉贤二模）. 已知数列{}n a 是无穷等比数列，它的前n 项的和为n S ，该数列的首项是二项式7 1 ()x x +展开式中的x 的系数，公比是复数z =的模（i 是虚数单位）， 则lim n n S →∞ = 11（2017浦东二模）. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0 n n n n a a a a ++--=*()n N ∈，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为 11（2017嘉定二模）. 设等差数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d ，若数 列也是公差为d 的等差数列，则{}n a 的通项公式为=n a 11（2017静安二模）. 已知1()1x f x x -= +，数列{}n a 满足11 2 a =，对于任意*n N ∈都满足2 ()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20162017a a += 12（2017虹口二模）. 无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n 都有 {}12310,,,,n S k k k k ∈，则10a 的可能取值最多有 个 12（2017闵行/松江二模）. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，
数列求和及极限
数列求和及极限 【知识及方法归纳】 1、 数列求和主要有以下几种常见方法：（1）公式法；（2）通项转移法；（3）倒序相加法； （4）裂项相消法；（5）错项消法；（6）猜想、证明（数学归纳法）。 2、 能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限；求无穷等比数列各项的和。 【学法指导】 1、 在公式法求和中，除等差、等比的求和公式外，还应掌握自然数方幂数列的求和公式，如：+++…+= 6 ) 12)(1(++n n n ；2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列，可通 过对数列通项结构特点的分析研究，将2其分解为若干个易求和的新数列的和、差；3、将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易求和，这样的数列常用倒序相加，如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到；4、利用裂项变换改写数列的通项公式，通过消去中间项达到求和的目的；5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列，其求和的方法类似于推导等比数列前n 项和公式的方法，通过乘于等比数列的公比，在错位相减，转化为等比数列的求和问题；6、通过对、、…进行归纳，分析，寻求规律，猜想出，然后再用数学归纳法给予证明。 【典型例题】 例1 求和：+++…+2)12(-n 【分析】这是一个通项为2)12(-n 的数列求前 n 项和，对通项公式展开可得：=1442++n n ， 所以对原数列求和分解为3个新数列求和，可用方法2求和。 【简解】+++…+2)12(-n =（114142+?-?）+（124242+?-?）+…+（1442+-n n ）=4（+++… +）–4·（1+2+3+…+n ）+n =4。 3) 12)(12(2)1(46)12)(1(+-= ++?-++n n n n n n n n n 。 例2 求和：12510257541+++…+1 523-- n n 【分析】这是一个通项为1 5 23--n n 的数列求前n 项和，观察通项，不难发现它是一个等差数列与一个等比数列的积，可用方法5求和。 【简解】设=12510257541+++…+1523-- n n ，则n S 51=25451++…+n n n n 5235531-+--，所以n S )511(-=1+2 5353++…+ n n n 523531 ---=1++++251511(53 (2) 51 -+n ） –n n 523-=1+5 1 1)51(1531 --?-n –n n 523-=n n 5471247?+-，所以=151********-?+-n n 。
第二章自我意识与心理健康教案
第二章自我意识与心理健康 教案目的及要求 让学生了解自我意识与心理健康的关系，并对自我意识中常见的问题进行分析，使学生能正确、全面的认识自己，接纳自己。 教案内容 1．自我意识含义、发展及特点 2．大学生自我意识的常见问题 3．大学生健全自我意识的培养途径及方法 教案课时：2学时 教案重点：大学生自我意识发展缺陷及调适；大学生健全自我意识的培养途径及方法。 教案难点：大学生自我意识的发展及特点；大学生自我意识发展缺陷及调适。 教案内容及过程 [导学案例] 教材案例2-1 “到底是谁打碎了我的梦想？” 思考：看完这个案例后有什么样的想法、感受和启发？如果你是案中主角的好朋友，你会如何帮助他？ 第一节自我意识概述 课堂练习：p34 专栏2-9请你完成以下句子，然后大家分享。你有什么独特的感受？ ?假如我是一种花，我希望是。因为 ?假如我是一种动物，我希望是。因为 ?假如我是一种乐器，我希望是。因为 ?假如我是一种食物，我希望是。因为 ?假如我是一种颜色，我希望是。因为 一、自我意识的含义 自我意识是人对自己以及自己与周围环境关系的认识，这种认识是个体通过社会比较、观察、分析外部活动与情景等途径获得的，是一个多维度、多层次的心理系统。 影响个体自我意识的因素除了与人的自我态度、成长经历、生活环境有关以外，他人对我们评价，特别是生命中重要人物，例如父母、家人、老师、朋友、同学等对待我们的态度，会对我们的自我意识起着重要的作用。 自我意识的种类： （一）生理自我 指对自己身高、体重、容貌、身材、性别等的认识以及对生理病痛、温饱饥饿、劳累疲乏等的感受等。这是自我意识的原始形态，主要是个体对自己躯体的认知，包括占有感、支配感和爱护感，它可以使个体认识到自己的存在，大概在3岁时开始成熟。人初生时，物我不分；七八个月时出现自我意识的萌芽，两岁左右的儿童，掌握第一人称“我”的使用，三岁左右的儿童，开始出现羞耻感、占有心。 （二）心理自我 指对自己知识、能力、情绪、兴趣、爱好、性格、气质等的认识和体验。这阶段大约需要十年左右的时间才能完成，即从青春期一直到成年。自我意识经过这个阶段的分化、矛盾、统一而趋于成熟，个体开始清晰地意识到自己的内心世界，开始有明确的价值探索和追求，强烈要求独立，产生了自我塑造、自我教育的紧迫感和实现自我目标的驱力。
数学分析(1)第二章 数列极限复习自测题
数学分析（1）第二章 数列极限复习自测题 一、仔细体会并熟练掌握lim n n a A →∞ =的N ε-定义（注意体会并正确理解ε和N 在定义中 的作用和含义，掌握用定义验证数列极限的基本思想【对任意给定的正数ε，寻找在n →∞的过程中，使得n a a ε-<实现的标准N 】和实现基本思想的具体实施方法【对任意给定的正数ε，求解关于n 的不等式“n a a ε-<”，得出“n >某常数”的这种形式的解】），并用此定义证明下列极限： （1）21(1)lim 0n n n n →∞+-=，0n →∞=； （2）2233lim 212 n n n n →∞+=-； （3）1n =； （4）1n =； （5）若0n a ≥，lim n n a a →∞ =，则对于任意给定的正整数k ，lim n = 称为极限 的开方法则）。 二、正确理解并掌握lim n n a A →∞ =和lim n n a A →∞ ≠的几何意义，并用此几何意义解决下面的问题： （1）若221lim lim n n n n a a A +→∞ →∞ ==，则lim n n a A →∞ =； （2）若lim n n a A →∞ =，则lim n k n a A +→∞ =，k 为固定的正整数； （3）数列{}n a 收敛（也称lim n n a →∞ 存在）是指：存在数A ，使得lim n n a A →∞ =；数列{} n a 发散（也称lim n n a →∞ 不存在）是指：对任意的数A ，lim n n a A →∞ ≠。 证明：对任意的数A ，lim(1)n n A →∞ -≠，即{} (1)n -发散。 （4）试写出lim n n a A →∞ =的对偶命题（称为lim n n a A →∞ =的否定形式），即lim n n a A →∞ ≠的精 确的不等式表示。 三、仔细体会并熟练掌握数列极限的常用性质【极限的惟一性，有界性，保号性，保不等式性，运算性（包括四则运算性，迫敛性或夹逼性），子列性】以及常用性质的证明方法（注意体会定义在讨论数列极限问题中的作用），并用这些性质解决下面的问题： 1、用四则运算性计算下列极限（注意体会四则运算法则使用的前提条件）：
数学分析-数列极限
第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得：
对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，a n 能无限接近常数a ，则称 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对? ?? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε= 10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11π n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．
数列的极限及运算法则
数列的极限及其运算法则 学习要求： 1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向 于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项 n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近 于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）lim 0n n a →∞ = (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1n n a →∞ =；当1a =-或1a >时，lim n n a →∞ 不存在。 3. 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞ →∞ ==g g 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则 n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim
第二章 意识与注意--学习辅导
第二章意识和注意――学习辅导 第一节意识 一、什么是意识 意识在心理学的概念系统中占据着非常重要的地位。由于意识概念本身很复杂。可以从以下角度来理解“意识”的概念： 1．意识是一种觉知。 意识意味着“观察者”觉察到了某种“现象”或“事物”，既可以觉察到外部事物的存在，如阳光的温暖，夜晚的寂静；也可以觉察到某些内部状态，如疲劳、眩晕、焦虑、舒服或饥饿等等）；还可以觉察到时间的延续性和空间布局……。 2．意识是一种高级的心理机能。 从这个意义上，意识对个体的身心系统起统合、管理和调控的作用。这种控制和调节可以保证自身系统的正常运行，这就像在机器人或人工智能这样复杂的信息加工系统，通常需要一些特定的功能对系统进行控制和调节。这种控制和调节对系统的正常运行与保持一定的功效有重要作用。此外意识不只是对信息的被动觉察和感知，也可以规范个体本身的言行举止，它具有能动性和调节作用。 3．意识是一种心理状态。 意识可以分为不同的层次或水平。从无意识到意识再到注意，是一个连续体。另外，意识还存在一般性变化。如觉醒、惊奇、警觉等。 二、什么是无意识 如果把人的心理比作一座冰山的话，那么人的意识便是露出水面的冰山的顶端，它只占人的心理很小的一部分，大部分的心理活动或过程是无意识的。 无意识是相对意识而言的，是个体不曾觉察到的心理活动和过程。 三、常见的无意识现象 常见的无意识现象包括： 1．无意识行为（下意识行为）。有时人的行为，特别是那些已经自动化了的行为，不受意识的控制。例如熟练打字时不必注意每个字母键的位置；又如打毛衣熟练的人可以专注看电视，而不耽误手头正在编织的毛衣。 2．对刺激的无意识。人在活动时，有时没有觉察到对他们的行为产生了影响的事件，而实际上，这些事件对他们的行为产生了或大或小的影响。比如,一个正在专心读书的人，有人喊他的名字，他没有听到；一个专心关注足球比赛的人，即便有人在的旁边对着他吹气，他也没有感觉到。声音虽然传入他的耳朵，气也吹到他的肌肤，可就是因为太专注而察觉不到。又如小时候家长送孩子上学,总会耐心地教他如何记住家里往返学校的路,记住沿途的一些标志性的东西,如电线杆,商店,招牌,十字路口的样子等.可是等到你稍大一点的时候,不论是去学校还是回家,你再也不会边走边用心去记沿途的标志,两条腿仿佛长上了眼睛似的,到了该拐弯时便拐弯,不知不觉就到了学校或家里。电线杆,商店,招牌,十字路口等刺激物还是原来的，只是孩子已对刺激无意识了。 3．盲视。还有一部分对刺激的无意识是由于脑损伤引起的。韦斯克朗兹曾报道一个这样的案例：一个大脑视觉皮层（17区）受损的病人，其视野的绝大部分变成了一个大的黑点。他无法觉察到，也报告不出呈现于这个大黑点的刺激。但他可以对呈现于这个黑点内的不同刺激进行区分，超过几率水平。这说明，尽管病人“看”不到刺激，却可以对刺激进行一定程度的信息加工。
高考数学专题三 数列与极限
专题三数列与极限 【考点聚焦】 考点1：数列的有关概念，简单的递推公式给出的数列； 考点2：等差、等比数列的概念，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式，并运用它们解决一些问题； 考点3：数列极限的意义，极限的四则运算，公比的绝对值小于1的无穷等比数列的前n 项和的极限； 考点4：数学归纳法 【自我检测】 1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做数列。 3、无穷等比数列公比｜q|＜1，则各项和S＝＿＿＿＿＿＿。 4、求数列前n项和的方法：（1）直接法；（2）倒序相加法；（3）错位相减法；（4） 分组转化法；（5）裂项相消法. 【重点?难点?热点】 问题1：等差、等比数列的综合问题 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 例1：设等比数列{a n}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n}的前多少项和最大？(取lg2=03,lg3=04) 思路分析突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n是n的二次函数，也可由函数解析式求最值
解法一 设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有 ??? ? ?+=?--?=--?)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m ，化简得?????==?????+==+10831 , ),1(9114121 a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则 S n =lg a 1+lg （a 1q 2）+…+lg （a 1q n －1）=lg （a 1n ·q 1+2+…+(n － 1)） =n lg a 1+ 21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21 n (n －1)lg3 =(－23lg )·n 2+(2lg2+2 7lg3)·n 可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大 而4 .024.073.043lg 3 lg 272lg 2??+?= +=5, 故{lg a n }的前5项和最大 解法二 接前，3 1,1081= =q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31, ∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 3 1 为公差的等差数列， 令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0， ∴n ≤4 .04 .043.023lg 3lg 42lg 2?+?=+=5 5 由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大 点评 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力 演变1 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它前3m 项的和为_______ 点拨与提示：本题可以回到数列的基本量，列出关于d 1和a 的方程组，然后求解；或运用等差数列的性质求解. 问题2：函数与数列的综合题 数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点. 例2：已知函数f (x )= 4 12 -x (x <－2) (1) 求f (x )的反函数f -－ 1(x )； (2) 设a 1=1, 1 1+n a =－f －-1 (a n )(n ∈N *),求a n ; (3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有
《数学分析》第二章 数列极限word资料14页
第二章 数列极限 （计划课时：1 2 时）P23—41 §1 数列极限的定义 （ 4时 ） 一、数列： 1.数列定义 —— 整标函数.数列给出方法: 通项, 递推公式.数 列的几何意义. 2.特殊数列: 常驻列,有界列,单调列和往后单调列. 二、数列极限: 以 n a n n ) 1 (1-+=为例. 定义 (a a n n =∞ →lim 的 “N -ε”定义) 三、用定义验证数列极限： 思路与方法. 例1 .01 lim =∞→n n 证明格式：0>?ε（不妨设 <<ε0□）（不妨设>n □） 要使-a a n ε， 只须>n □. 于是0>?ε,=?N □，当N n >时，有 ε＜ □ - □. 根据数列极限的“N -ε”定义知∞ →n lim □ = □. 例2 .1 ,0lim <=∞ →q q n n
例3 .32 142332lim 2 2=+-+-∞→n n n n n 例4 .04 lim 2 =∞→n n n 证 >++?--+?-+ ?+=+=n n n n n n n n n 33! 3)2)(1(3!2)1(31)31(43 2Λ .3 ,3! 3)2)(1(3 ≥?-->n n n n 注意到对任何正整数k n k 2 ,>时有 ,2 n k n >- 就有 )2)(1(276)2)(1(27640422><--=--<?ε 取 }. 1 , 4 max {?? ? ???=εN .ΛΛ 例5 .1 ,1lim >=∞ →a a n n 证法一 令 ,1n n a α=- 有 .0>n α 用Bernoulli 不等式，有 ),1(11)1(1 -+=+≥+=n n n n a n n a αα 或 Λ .1101n a n a a n <-≤-< 证法二 （用均值不等式） { n n n a a 个 11110-?=-<ΛΛ .1111n a n a n n a <-=--+≤- 例6 .1lim =∞ →n n n 证 2≥n 时，.2 2212211 102n n n n n n n n n n n n <-=--+≤-=-<- Ex [1]P34 1； 2.
高考数学专题三数列与极限
专题三 数列与极限 问题1：等差、等比数列的综合问题 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 例1：设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n }的前多少项和最大？(取lg2=03,lg3=04) 思路分析 突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n 是n 的二次函数，也可由函数解析式求最值 解法一 设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有 ??? ? ?+=?--?=--?)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m ，化简得?????==?????+==+10831 , ),1(9114121 a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则 S n =lg a 1+lg （a 1q 2）+…+lg （a 1q n －1）=lg （a 1n ·q 1+2+…+(n － 1)） =n lg a 1+ 21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21 n (n －1)lg3 =(－23lg )·n 2+(2lg2+2 7lg3)·n 可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大 而4 .024.073.043lg 3 lg 272lg 2??+?= +=5, 故{lg a n }的前5项和最大 解法二 接前，3 1,1081= =q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31, ∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 3 1 为公差的等差数列， 令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0， ∴n ≤4 .04 .043.023lg 3lg 42lg 2?+?=+=5 5 由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大 点评 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力 演变1 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它前3m 项的和为_______ 点拨与提示：本题可以回到数列的基本量，列出关于d 1和a 的方程组，然后求解；或
第二章极限与数列
第二章 极限与连续 一、选择题 1、在数列极限“εN -”定义中ε是（ ） （A ）很小的正数 （B ）任意的数 （C ）任意给定的正数 （D ）以上都不对 答案：（C ） （半分钟） 2、在数列极限“εN -”定义中N 是（ ） （A ）实数 （B ）整数 （C ）正整数 （D ）以上都不对 答案：（C ） （半分钟） 3、若数列{x n }有极限a ，则在a 的ε邻域之外，数列中的点（ ） （A ）必不存在 （B ）至多只有有限多个 （C ）必定有无穷多个 （D ）可以有有限个，也可以有无限多个 答案：B （半分钟） 4、若数列{x n }在（a-ε,a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（ ） （A ） 数列{x n }必有极限，但不一定等于a （B ） 数列{x n }极限存在且一定等于a （C ） 数列{x n }的极限不一定存在 （D ） 数列{x n }一定不存在极限 答案：C （半分钟） 5、数列0,31,）是（, (6) 4 ,53,42 (A)以0为极限 （B ）以1为极限 (C)以 n n 2 -为极限 (D)不存在极限 答案：B （半分钟） 6、)().......21(lim 222=++∞ →n n n n n （A ）00....00lim ....2lim 1lim 2 22=++=++∞→?→∞→n n n n n n n (B)∞=+++∞→2 ......321lim n n n (C)2 1 2)1(lim 2=+∞→n n n (D)极限不存在 答案：C （1分钟） 7、数列{}n a 和{}n b 的极限分别为a 和b ，且b a ≠，则数列,,...,,...,,,22111n n b a b a b a …的极限是（ ） （A ）a （B ）b （C ）b a + （D ）一定不存在
第二章 大学生的自我意识与培养
第二章大学生的自我意识与培养 “不管我们是否意识到，我们每个人都有一幅自我的‘蓝图’或一幅自画像。我们意识里对此可能不够清晰、具体，也可能不了解，但它却是存在的，而且完整详细地摆在那里。自我意识是一个前提、一个根据、一个基础，由此而产生出个人的整个个性、行为，甚至环境。” ———马克斯韦尔 导语:自我意识的确立是青年心理发展的重要标志之一，对于青年人格的形成、心理的发展起着重要的作用。大学阶段的自我意识是大学以前的自我意识的继续与深化，同时又有其质的变化。这一时期，大学生自我意识从分化到矛盾，走向统一，对于人的一生都有特别重要的意义。 人的自我意识常常受到社会评价的影响，在每个人身边可以轻而易举地搜索出大量的事例佐证自己的观点。因此，帮助大学生形成正确的自我意识，对大学生心理健康的发展有着尤为重要的意义。个体心理健康最重要的标志之一是对自我的接受和认可，既有成熟的自我意识和健康的自我形象。早在古希腊时期“认识你自己‘这句刻在神庙上的名言就激励着人们不断探索自我、实践自我、超越自我。而对处在青年期的大学生来说，”自我“更是自己积极关注的课题。大学生自我认识、自我评价、自我控制如何，直接影响自己的社会适应和身心健康。如果一个人认识自己并接纳自己，对自己有合理的期望，而且知道自己为什么而活着，善于利用每个成长机会改进自己、完善自己，他的一生就会快乐就会有价值。 第一节自我意识概述 自我意识的确立是青年心理发展的重要标志之一，对于青年人格的形成、心理的发展起着重要的作用。大学阶段的自我意识是大学以前的自我意识的继续与深化，同时又有其质的变化。这一时期，大学生自我意识从分化到矛盾，走向统一，对于人的一生都有特别重要的意义。 一、自我意识的概念 自我意识（Self-consciousness）是意识的核心部分，就是对“自我的认知”，或者说是自己对自己的认知。它包含自我认知、自我评价和自我控制。如果再进一步简化，自我意识是对自己及自己与周围环境关系的认识，包括对
