2013高三理科数学第一轮复习 不等式的证明讲义 (有答案)
班级__________姓名______________
不等式证明的重要方法:
1.比较法(差值比较和商值比较)
2.放缩法
3.利用均值不等式及柯西不等式等
4.利用函数的单调性
5.数学中的常用方法:数形结合法,换元法,分类讨论,数学归纳法. 例1.设a ≥b ＞0,求证：3332a b +≥2232a b ab +. 例2.已知,0,0>>b a 求证：a b b a b a b a ≥.
例3. (1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3；
(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明； 例4.已知,,,+
∈R c b a 求证：c b a a
c
c
b
b
a
++≥+
+
2
2
2
例5.已知,,,+∈R c b a 证明：
b
a a
c c
b c
b
a
+++++≥++111212121
例6.已知非零向量b a ,，且b a ⊥，求证：
2≤
++b
a b
a
例7.（1）已知42
2=+y
x ，求证：2222≤+≤-y x
（2）已知1≤x 2＋y 2≤2，求证：12≤x 2－xy ＋y 2
≤3.
例8.设S 1223(1),n n n =?+?+++ 求证：不等式
2
(1)(1)2
2
n n n n S ++<<
例9.设,0>a 求证：22112
2
-≤+
-+a
a a
a
例10.若c b a ,,都是小于1的正数，求证：()()()a c c b b a ---1,1,1不可能同时大于4
1．
例11.已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 求证 (a +
a
1)(b +
b
1)≥
4
25。
例12.已知a ＞1，n ≥2，n ∈N *
.求证：n a －1＜
n
a 1-.
例13.求使y x +≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值。
例14.三个同学对问题“关于x 的不等式2
x ＋25＋|3
x －52
x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路。
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”； 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”； 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”；
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 。
例15.在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a 。
（Ⅰ）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （Ⅱ）令n
n n n n
a a a a
b 11
+++=
，证明32221+<++ 例16.已知a ＞0，函数f （x ）＝ax －bx 2。 （1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f （x ）≤1，证明a ≤2b ； （2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ； （3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件。 参考答案 1.解题思路 两边都是多项式，考虑比较法，作差后因式分解. 解题过程 证明： 3 3 2 2 2 2 2 2 32(32)3()2()(32)().a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=-- 因为a ≥b ＞0,所以a b -≥0，2232a b -＞0，从而22(32)()a b a b --≥0， 即3332a b +≥2232a b ab +. 2.解题思路 幂指数比较大小通常采用比商法. 解题过程 证明：()a b a b b a a b b a a b a a b a b b ---=?=，当0>>b a 时，0,1>->b a b a ，()1a b a b -> 当0>=b a ，() 1a b a b -=，当b a <<0时，10< a ，0<- b a ，() 1a b a b ->， 所以1≥a b b a b a b a ， 又0>a b b a ， 所以a b b a b a b a ≥ 3解题思路 （1）左边是三个因式的乘积，右边只有一项，考虑综合法，用均值不等式. （2）只需证0x ≤时不等式成立，直接证左边≥0，右边≤0 解题过程 (1)证明：x 是正实数，由基本不等式知 x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3， 故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3 (当且仅当x ＝1时等号成立)． (2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立． 由(1)知，当x ＞0时，不等式成立； 当x ≤0时，8x 3≤0， 而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1) ＝(x ＋1)2(x 2＋1)[ (x －12)2＋3 4 ]≥0， 此时不等式仍然成立． 易错点拨 运用均值不等式时注意“正”的条件，（2）问证明过程中用了立方和公式： ()( )1 x -x 1x 1x 2 3 ++=+ 4.点拨 由不等式两边的结构特点，左边含有分母，而右边没有，联想重要不等式a b b a 22 ≥+，问题迎 刃而解 答案 a b a 2b 2 ≥+， , 22 b c c b ≥+c a a c 22 ≥+， 三个不等式相加： + +b 2 b a + +c c b 2≥+a a c 2 c b a 222++ 即 c b a a c c b b a ++≥+ + 2 2 2 5.点拨 左右两边都是和的形式，两次运用均值不等式，可证 答案 b a ab ab b a +≥ = ≥+21212 2121， 同理 c b bc c b +≥ ≥+22122121， c a ac ac c a +≥ = ≥+ 21212 2121， 三式相加：c a c b b a c b a +++++≥ ??? ??+ +2 222121212， 即b a a c c b c b a ++ ++ +≥++111212121 6.解题思路 0=??⊥b a b a ，同时注意2 2a a =，采用分析法，从要证的不等式入手，两边平方可证. 解题过程 要证 2 a b a b +≤+ ，b a b a +≤+?2 2 2 ()2a b a b ?+≤+ ?2 2 2 2 22(2)a a b b a a b b +?+≤+?+ 2 2 22 22()a a b b a b ?+?+≤+ ?022 2 ≥+?-b b a a 2 ()0a b ?-≥ .上式显然成立，故原不等式成立. 易错点拨 分析法是中学数学证明问题的常见方法，其主要过程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件.用分析法证题时，一定要按格式书写，否则容易出错. 7.解题思路 已知条件是平方和为常数，证明和的范围，这种题型常用三角换元. 解题过程 （1）令???==θ θsin 2cos 2y x ，则2cos 2sin 22sin()4x y π θθθ+=+=+ 故：2222≤+≤-y x （2） ∵1≤x 2＋y 2≤2， ∴可设x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，其中1≤r ≤2，0≤θ<2π. ∴x 2－xy ＋y 2＝r 2－r 2sin θ cos θ＝r 2????1－ 12sin 2θ ∵12≤1－12sin2θ≤32， ∴12r 2≤r 2????1－12sin2θ ≤32r 2. 而12≤12r 2≤1，32≤3 2 r 2≤3 ∴12 ≤x 2－xy ＋y 2 ≤3. 易错点拨 三角换元是换元法中常见方法，一般变量y x ,满足圆，椭圆的方程求有关的最值问题常考虑此种方法 8.点拨 由要证明的结论联想到 (1) 1232 n n n +=++++ ， 2 1()1(1352121)2 2 n n n += ++++-++ ，因此对n S 每一项进行适当的放缩即可. 答案 ()2 2 2 2 113221S n n n n +++ > ++ +?+?= ()2 1321+=++++=n n n (),2 1 2 322 2113221S +++ +++ +< ++ +?+ ?= n n n n n ()()2 12 2121253212 2 +< += ++-+++=n n n n n 故：()2 12 ) 1(2 +< <+n S n n n 9.解题思路 由式子左边的特点，考虑换元法令,21≥=+t a a 再利用函数单调性可证 解题过程 令,21≥=+ t a a 则()2 222 2 -+ = -- =t t t t t f 在[)+∞,2上是减函数， ()()222- =≤∴f t f ，当且仅当1,2==a t 时取等号 易错点拨 问综合运用了换元法，函数单调性等方法证明不等式，不等式的证明方法灵活，要结合题目的特点，选择恰当的方法 10解题思路 证明中含有否定词，考虑用反证法 解题过程 假设()()()411,4 1 1,411>-> -> -a c c b b a ，则 ()()2112 1>-≥ +-b a b a ， ()(), 2112 1> -≥+-c b c b ()(),2 112 1> -≥ +-a c a c 三式相加： 2 32 111> +-++-++-a c c b b a ，即 2 32 3> ，矛盾 易错点拨 一般，问题中含有“至多，至少”等否定词时考虑用反证法. 11. 证法一： (分析综合法） 欲证原式，即证4(ab )2+4(a 2+b 2)－25ab +4≥0， 即证4(ab )2 －33(ab )+8≥0，即证ab ≤ 4 1或ab ≥8 ∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，∴ab ≥8不可能成立 ∵1=a +b ≥2ab ，∴ab ≤4 1，从而得证。 证法二： (均值代换法) 设a = 2 1+t 1，b = 2 1+t 2。 ∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴t 1+t 2=0，|t 1|＜ 2 1，|t 2|＜ 2 1， .425 4 116254 12 316 2541)4 5( 4 1) 14 1)( 14 1() 2 1)( 2 1( )141)( 14 1(211)2 1 (211)2 1(11)1)(1(2 2 4 2 2 22 2 2 22 2 22 2 2 222 11212 222 112 2 21 2 12 2 =≥-++=--+= -++++++= ++++++++= +++?+++= +? +=+ +∴t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t b b a a b b a a 显然当且仅当t =0，即a =b =2 1时，等号成立 证法三：(比较法) ∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤ 4 1， 4 25 )1)(1(0 4) 8)(41(4833442511425 )1 )(1 (2 2 2 2 ≥ ++∴≥--=++=-+?+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法四：(综合法) ∵a +b =1， a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤ 4 1， 2 22 25(1)1139(1)1251611(1)1441644 ab ab ab ab ab ab ?-+≥?-+?∴-≥-=?-≥??≥ ??≥?? 425)1)(1(≥++b b a a 即。 证法五：(三角代换法) ∵ a ＞0，b ＞0，a +b =1，故令a =sin 2 α，b =c os 2 α，α∈(0， 2 π )， . 425)1)(1(4252sin 4)2sin 4(412sin 125162sin 24. 3142sin 4,12sin 2sin 416 )sin 4(2sin 42 cos sin 2cos sin ) cos 1)(cos sin 1(sin )1)(1(2 2 22 2 22 22 22 22 4 4 2 2 2 2 ≥ + + ≥-??????≥≥+-=-≥-∴≤+-= +-+= + + =+ +b b a a b b a a 即得ααααααα αα ααααα αα α 点评：比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证 12. 证法一：要证n a －1＜n a 1-， 即证a ＜（ n a 1-+1）n . 令a －1=t ＞0，则a =t +1. 也就是证t +1＜（1+n t ）n . ∵（1+ n t ）n =1+C 1n n t +…+C n n （ n t ）n ＞1+t ， 即n a －1＜n a 1-成立. 证法二：设a =x n ，x ＞1. 于是只要证n x n 1-＞x －1， 即证 1 1 --x x n ＞n .联想到等比数列前n 项和1+x +…+x n －1 = 1 1 --x x n ， ① 倒序x n －1 +x n －2 + (1) 1 1 --x x n . ② ①+②得2· 1 1 --x x n =（1+x n －1）+（x +x n －2）+…+（x n －1+1） ＞21-n x +21-n x +…+21-n x ＞2n . ∴1 1 --x x n ＞n . 13. 分析：本题解法三利用三角换元后确定a 的取值范围，此时我们习惯是将x 、y 与c os θ、sin θ来对应进行换元，即令x =c os θ，y =sin θ(0＜θ＜ 2 π ＝，这样也得a ≥sin θ+c os θ，但是这种换元是 错误的 其原因是：(1)缩小了x 、y 的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x 、y =1”这样一个条件，显然这是不对的。 除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a 满足不等关系，a ≥f (x )，则 a min =f (x )m a x 若 a ≤f (x )，则a m a x =f (x )min ，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题。还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化。 解法一：由于a 的值为正数，将已知不等式两边平方， 得：x +y +2xy ≤a 2(x +y )，即2xy ≤(a 2－1)(x +y )， ① ∴x ，y ＞0，∴x +y ≥2 xy ， ② 当且仅当x =y 时，②中有等号成立。 比较①、②得a 的最小值满足a 2 －1=1， ∴a 2=2，a =2 (因a ＞0)，∴a 的最小值是2。 解法二：设y x xy y x xy y x y x y x y x y x u ++ =+++= ++ =++= 212) (2 ∵x ＞0，y ＞0，∴x +y ≥2 xy (当x =y 时“=”成立)， ∴ y x xy +2 ≤1， y x xy +2 的最大值是1。 从而可知，u 的最大值为211=+， 又由已知，得a ≥u ，∴a 的最小值为2， 解法三：∵y ＞0， ∴原不等式可化为 y x +1≤a 1+y x ， 设 y x =t a n θ，θ∈(0， 2 π )。 ∴t a n θ+1≤a 1tan 2 +θ，即t a n θ+1≤a se c θ ∴a ≥sin θ+c os θ=2sin(θ+4 π )， ③ 又∵sin(θ+ 4 π )的最大值为1(此时θ= 4 π )。 由③式可知a 的最小值为2。 点评：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力。该题实质是给定条件求最值的题目，所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值 题型4：不等式证明的应用 14. 答案：a ≤10。 点评：该题通过设置情景，将不等式知识蕴含在一个对话情景里面，考查学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力。 15.解 （Ⅰ）由已知得15,1054==a a ，2 )1(12)1(+= +++-+=n n n n a n 。 （Ⅱ）因为 ,2,1,222 2 22 11 ==+? +>+++=+= ++n n n n n n n n n a a a a b n n n n n ， 所以n b b b n 221>+++ . 又因为 ,2,1,2 22222 =+- + =+++= n n n n n n n b n ， 所以)]2 1 1()4121()3111[(2221 +-++-+-+=+++n n n b b b n =3 22 21 232+<+- +-+n n n n 。 综上， ,2,1,32221=+<++ 点评：该题创意新，知识复合到位，能很好的反映当前的高考趋势 16. （Ⅰ x ∈R ，都有f （x ）≤1， ∵f （x ）＝b a b a x b 4)2(2 2 + - -， ∴b a b a f 4)2( 2 = ≤1，∵a ＞0，b ＞0，∴a ≤2b ． （Ⅱ）证明：必要性：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1?－1≤f （x ），据此可以推出－1≤f （1）， 即a －b ≥－1，∴a ≥b －1； 对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1?f （x ）≤1，因为b ＞1，可以推出f （ b 1）≤1，即a · b 1－1 ≤1，∴a ≤2b ； ∴b －1≤a ≤2b ． 充分性：因为b ＞1，a ≥b －1，对任意x ∈［0，1］， 可以推出：ax －bx 2≥b （x －x 2）－x ≥－x ≥－1，即ax －bx 2≥－1； 因为b ＞1，a ≤2b ，对任意x ∈［0，1］， 可以推出ax －bx 2≤2b x －bx 2 ≤1， 即ax －bx 2≤1。 ∴－1≤f （x ）≤1。 综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ． （Ⅲ）解：因为a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0，1］： f （x ）＝ax －bx 2 ≥－b ≥－1，即f （x ）≥－1； f （x ）≤1?f （1）≤1?a －b ≤1，即a ≤b ＋1， a≤b＋1?f（x）≤（b＋1）x－bx2≤1，即f（x）≤1。 所以，当a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是a≤b＋1． 22.解：原式?（x－a）（x－a2）＜0，∴x1＝a，x2＝a2。 当a=a2时，a=0或a=1，x∈?，当a＜a2时，a＞1或a＜0，a＜x＜a2， 当a＞a2时0＜a＜1，a2＜x＜a， ∴当a＜0时a＜x＜a2，当0＜a＜1时，a2＜x＜a，当a＞1时，a＜x＜a2，当a=0或a=1时，x∈?。点评：此题考查不等式的证明及分类讨论思想 2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科）试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．设函数2 , 0,()()4,0. x x f x f x x α-≤?==?>?若,则实数α= A ．-4或-2 B ．-4或2 C ．-2或4 D ．-2或2 2．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1,(1)z i z z =++?则= A ．3 B ．3 C ．1+3i D ．3 3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 4．下列命题中错误．．的是 A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ?，那么l γ⊥平面 D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 5．设实数,x y 满足不等式组250 270,0x y x y x +-?? +-??? ＞＞≥，y ≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是 A ．14 B ．16 C ．17 D ．19 6．若02 π α＜＜ ，02π β- ＜＜，1cos()43πα+=，3cos()423πβ-= ，则cos()2 β α+= A ． 3 3 B ．3 3 - C ． 53 9 D ．69 - 7．若,a b 为实数，则“01m ab ＜＜ ”是1 1a b b a ＜或＞的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线22 1:14 y C x - =有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 A ．2132 a = B ．213a = C ．212 b = D ．22b = 9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架 的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率 A ． 1 5 B ． 2 5 C ． 35 D 45 10．设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（）2 2 (),()(1)(1)x bx c g x ax ax bx ++=+++．记集合 ()0,,()0,,x f x x R T x g x x R =∈==∈若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数， 则下列结论不可能．．．的是 A ．S =1且T =0 B ．1T =1S =且 C ．S =2且T =2 D ． S =2且T =3 非选择题部分（共100分） 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分 11．若函数2 ()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = = 。 12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 。 13．设二项式（ x ）6（a>0）的展开式中X 的系数为A,常数项为B ， 若4A ，则a 的值是 。 14．若平面向量α，β满足|α1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ，则α与β的夹角θ的取值范围是 。 15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到 甲公司面试的概率为 2 3 ，得到乙丙公司面试的概率为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X 为该毕业生得到面试得公司个数。若1 (0)12 P X ==，则随机变量X 的数学期望 ()E X = 第一讲 坐标系 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.点M 的直角坐标为 ),则它的球坐标为( ) 5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ???? ? ????? ???? ? ????? 解析 :2,1,tan 0,tan 02,x 0. 4 11,,1 5.4 r y x ??θ?θπθππ θ=== === <-=-= <= =由≤≤得又≤所以 答案:B 2.在平面直角坐标系中,以(1,1)为圆心 为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 ( ) () B.. C. D.44A ρθρθππρθρθ? ?=- ? ? ?? ?- ?? =- =?=- 解析:由题意知圆的直角坐标方程为 (x-1)2 +(y-1)2 =2. 化为极坐标方程为(ρcos θ-1)2 +(ρsin θ-1)2 =2. ∴0.40 4,04044 . . ρρθρθρρππππθρθρπθ? ? ??-- = ???? ?? ? ? ?-= ?? ??? ? -∴-∴?-- = ???? ??? ? ?-= ?? ?? ?- ?? ?= 也过极点与等价对应的极坐标方程为 答案:A 3.在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置关系为( ) A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线θ= 2 π (ρ∈R)对称 解析:点(ρ,θ)也可以表示为(-ρ,π+θ),而(-ρ,π+θ)与(-ρ,π-θ)关于极轴所在直线对称,故选A. 答案:A 4.在柱坐标系中,两点24,,04,,333M N π π???? ? ?? ??? 与的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.8 解析:解法一:由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为 N |MN |4,24,,0MN 5.3. , C π'∴'===?? ??? 再由勾股定理得故选 解法二:可将M ?N 化为直角坐标 ,N(MN 5.. C =-∴=故选 答案:C 高中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 高中数学 / 高三数学教案 编订：XX文讯教育机构 高三数学第一轮复习讲义(教学设计) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于高中高三数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标：1．深化理解倾斜角、斜率的概念，熟练掌握斜率公式； 2．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能熟练写出直线方程． 二．知识要点：1．过两点、的直线斜率公式：． 2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：； 两点式：；截距式：；一般式：． 三．课前预习： 1．设，则直线的倾斜角为（） 2．已知，则过不同三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的顶点 , ，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是 .4．若直线的方向向量是 ,则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围为 . 四．例题分析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程. 例2．⑴已知，试求被直线所分成的比λ；⑵已知，，若直线与直线相交于点，不与重合，求证：点分的比 .例3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程. 例4．的一个顶点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程． 五．课后作业：班级学号姓名 1．若，则过点与的直线的倾斜角的取值范围是（） 2．以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为的正方形的四条边的方程为（） 3．已知三点，，在同一直线上，则的值为．4．过点的直线与轴、轴分别交于、两点，点分有向线段所成的比为，则直线的斜率为，直线的倾斜角为 .5．设，，则直线的倾斜角为．6．不论为何实数，直线恒过定点．7．设过点作直线l交x轴的正半轴、y轴的正半轴于a、b两点，（1）当取得最小值时，求直线l的方程．（2）当取得最小值时，求直线l的方程． 8．对直线上任意一点，点也在直线上，求直线的方程．9．求过点p(0，1)的直线l，使它包含在两已知直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0间的线段被点p所平分． 10．设同在一个平面上的动点、的坐标分别是、，并且坐标间存在关系，，当动点在不平行于坐 2015艺考生高考数学总复习讲义 第一章、集合基本运算 一、基础知识： 1.元素与集合的关系:用∈或?表示； 2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 3.集合的分类： ①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； 4.集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显着规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}； ②描述法：一般格式：{}()x A p x ∈，如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，…； 描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}是不同的两个集合 ③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R; 5．集合与集合的关系:用?，≠?，=表示;A 是B 的子集记为A ?B ；A 是B 的真子集记为A ≠?B 。 常用结论：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ；如果A B ?，B C ?， A C ?那么. ④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个. 6．交集A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ?A ｝，集合U 表示全集. 7.集合运算中常用结论: 注：本章节五个定义 1.子集 定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合 2013高考数学一轮复习试题 10-3 理 A级基础达标演练 (时间：40分钟满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是( )． A．正方体的棱长与体积 B．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量 C．日照时间与水稻的亩产量 D．电压一定时，电流与电阻 解析A、B、D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系；C中的两个变量间是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产量，故选C. 答案 C 2．(2012·石家庄调研)下列结论正确的是( )． ①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系； ③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 解析由回归分析的方法及概念判断． 答案 C 3．(2011·莱芜二模)在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )． A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌 C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 解析统计的结果只是说明事件发生可能性的大小，具体到一个个体不一定发生． 答案 D 4．(2011·陕西)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是( )． 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．12i 12i +=- A ．43i 55-- B ．43i 55-+ C ．34i 55-- D ．34i 55 -+ 2．已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z}，则A 中元素的个数为 A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数2 e e ()x x f x x --=的图象大致为 4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．双曲线 2 2 22 1(0,0)x y a b a b -=>>3 A ．2y x = B ．3y x =± C ．2y = D ．3y = 6．在ABC △中，5 cos 2C = 1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30C 29D ．5 9.4两个平面平行 ●知识梳理 1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行. ●点击双基 1.（2005年春季，3）下列命题中，正确的是 A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 答案：C 2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾. 答案：C 3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是 A.α、β都平行于直线a、b B.α有三个不共线点到β的距离相等 C.a 、b 是α两条直线，且a ∥β，b ∥β D.a 、b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β 解析：A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； B 错，若A 、B 、 C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β； C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； D 正确. 答案：D 4.a 、b 、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面，给出六个命题： .????;????????????????????αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥① a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上） 答案：①④⑤⑥ ●典例剖析 【例1】设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β，求证：MN ∥平面α. 剖析：因为AB 与CD 是异面直线，故MN 与AC 、BD 不平行.在平面α、β中不易找到与MN 平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN 且与α平行的平面.根据M 、N 是异面直 集合 1、集合的含义 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)． 2、集合中元素的三个特征 (1)确定性：给定集合A ，对于某个对象x ，“x ∈A ”或“x ?A ”这两者必居其一且仅居其一． (2)互异性：集合中的元素互不相同． (3)无序性：在一个给定的集合中，元素之间无先后次序之分． 3、集合的表示 (1)把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法． (2)把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法称为描述法．常 用形式是：{x |p }，竖线前面的x 叫做集合的代表元素，p 表示元素x 所具有的公共属性． (3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn 图．用Venn 图、数 轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法． 4、元素与集合的关系 如果x 是集合A 中的元素，则说x 属于集合A ，记作x ∈A ；若x 不是集合A 中的元素，就说x 不属于集合A ，记作x ?A ． 5、常用数集的符号表示 6、有限集与无限集 含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集． 例1：若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B ．98 C ．0 D ．0或 9 8 例2：说出下列三个集合的含义：①{x |y ＝x 2}；②{y |y ＝x 2}；③{(x ，y )|y ＝x 2}． 1．子集 例如：A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，则A、B的关系是A?B或B?A． 2．真子集 A B(或 B A) 例如：A＝{1,2}, B＝{1,2,3}，则A、B的关系是A B(或B A) 3．相等 若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. 例如：若A＝{0,1,2}，B＝{x,1,2}，且A＝B，则x＝0. 4．空集 没有任何元素的集合叫空集，记为?. 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第36讲空间向量及其应用 一．课标要求： （1）空间向量及其运算 ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量； ②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二．命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 三．要点精讲 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、 速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 加法交换率： 加法结合率： 数乘分配率： 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的 高考数学复习资料精选推荐 复习是高考数学教学的关键部分，它不仅是对数学知识系统全面的整合与巩固，下面是查字典数学网编辑的高考数学复习资料，供参考，祝大家高考大捷~ 高考数学复习资料精选推荐： (一) 任一x∈A x∈B，记作A B A B， B A A=B A B={x|x∈A，且x∈B} A B={x|x∈A，或x∈B} card(A B)=card(A)+card(B)-card(A B) (1)命题 原命题若p则q 逆命题若q则p 否命题若p则q 逆否命题若q，则p (2)四种命题的关系 (3)A B，A是B成立的充分条件 B A，A是B成立的必要条件 A B，A是B成立的充要条件 1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性 2.集合表示方法①列举法②描述法 ③韦恩图④数轴法 3.集合的运算 ⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB Cu(A∪B)=CuA∩CuB 4.集合的性质 ⑴n元集合的子集数：2n 真子集数：2n-1;非空真子集数：2n-2 (二) 圆的切线方程 (1)已知圆. ①若已知切点在圆上，则切线只有一条，利用垂直关系求斜率 ②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线. ③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线. 线线平行常用方法总结： (1)定义：在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。 (2)公理：在空间中平行于同一条直线的两只直线互相平行。 (3)初中所学平面几何中判断直线平行的方法 (4)线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这 高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(12) 一、选择题（每小题5分，共50分） 1.（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则?UA=（） A.? B.{2} C.{5} D.{2，5} 3.（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（） A.90cm2 B.129cm2 C.132cm2 D.138cm2 4.（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（） A.向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向左平移个单位 5.（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（） A.45 B.60 C.120 D.210 6.（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c.且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（） A.c≤3 B.3＜c≤6 C.6＜c≤9 D.c＞9 7.（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的图象可能是（） A. B. C. D. 8.（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（） A.min{|+|，|﹣|}≤min{||，||} B.min{|+|，|﹣|}≥min{||，||} C.max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2 D.max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2 9.（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中. （a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）； （b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）. 则（） A.p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2） B.p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2） C.p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2） D.p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2） 10.（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99.记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk （a98）|，k=1，2，3，则（） A.I1＜I2＜I3 B.I2＜I1＜I3 C.I1＜I3＜I2 D.I3＜I2＜I1 二、填空题 11.（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是. 选修4经典回顾 主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师 开篇语 选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容．围绕着三部分内容的试题，既有选择题和填空题，又有解答题．因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点，选择相关的问题进行求解训练，提高解决不等式问题能力 开心自测 题一：不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________． 题二：如图，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23a PD = ，30OAP ∠=?，则CP ＝_________． 考点梳理 选修4—1几何证明选讲部分： 1．垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． D 2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角． 4．圆内接四边形的判定定理： 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 5．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 7．相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 8．切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 选修4—4中的坐标系与参数方程部分： 1. 极坐标与直角坐标的关系 设点M的直角坐标为(x，)y，极坐标为(ρ，)θ， 则 cos, sin. x y ρθ ρθ = ? ? = ? 或 222, tan(0). x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ?? 2013高考数学二轮复习精品资料专题集合与常用逻辑用语名 校组合测试题 1．设集合M＝{m∈Z|m≤－3或m≥2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则(?Z M)∩N＝() A．{0,1}B．{－1,0,1} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2} 2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，且m＝ta＋b，n＝a－kb(t、k∈R)，则m⊥n的充要条件是() A．t＋k＝1 B．t－k＝1 C．t·k＝1 D．t－k＝0 【试题出处】2012·银川一中模拟 【解析】∵a＝(2,1)，b＝(－1,2)，∴a·b＝0，|a|＝|b|＝5，∴m⊥n?m·n＝0?(ta＋b)(a －kb)＝0?ta2－kta·b＋a·b－kb2＝0?5t－5k＝0，即t－k＝0. 【答案】D 【考点定位】充要条件 3．设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－1 i |＜2，i为虚数单位，x∈R}， 则M∩N为() A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1] 4．设集合I是全集，A?I，B?I，则“A∪B＝I”是“B＝?I A”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【试题出处】2012·厦门一中模拟 【解析】由B＝?I A?A∪B＝I，而A∪B＝I?/B＝?I A，故“A∪B＝I”是“B＝?I A”的必要不充分条件． 【答案】B 【考点定位】充要条件 5．已知命题p ：?x ∈R,9x 2－6x ＋1>0；命题q ：?x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2，则( ) A ．綈p 是假命题 B ．綈q 是真命题 C ．p ∨q 是真命题 D ．綈p ∧綈q 是真命题 6．已知全集U ，集合A ，B 如图所示，则(?U A )∩B ＝( ) A ．{5,6} B ．{3,5,6} C ．{3} D ．{0,4,5,6,7,8} 【试题出处】2012·邯郸一中模拟 【解析】由图可知，U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,2,3}，B ＝{3,5,6}，∴?U A ＝{0,4,5,6,7,8)，(?U A )∩B ＝{5,6}． 【答案】A 【考点定位】集合 7．下列命题中是假命题的是( ) A ．?x ∈????0，π2，x >sin x B ．?x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 C ．?x ∈R,3x >0 D ．?x 0∈R ，lg x 0＝0 8．已知全集U ＝R ，若函数f (x )＝x 2－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩?U N 最新整理高三数学高三数学第一轮复习讲义 高三数学第一轮复习讲义直线的方程 一．复习目标： 1．深化理解倾斜角、斜率的概念，熟练掌握斜率公式； 2．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能熟练写出直线方程．二．知识要点： 1．过两点、的直线斜率公式：． 2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：； 两点式：；截距式：；一般式：．三．课前预习： 1．设，则直线的倾斜角为（） 2．已知，则过不同三点，，的直线的条数为（） 多于 3．已知的顶点 , ，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是 ；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是 . 4．若直线的方向向量是 ,则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围为 . 四．例题分析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程. 例2．⑴已知，试求被直线所分成的比λ；⑵已知，，若直线与直 线相交于点，不与重合，求证：点分的比 . 例3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程. 例4．的一个顶点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．五．课后作业：班级学号姓名1．若，则过点与的直线的倾斜角的取值范围是（） 2．以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为的正方形的四条边的方程为（） 3．已知三点，，在同一直线上，则的值为． 4．过点的直线与轴、轴分别交于、两点，点分有向线段所成的比为，则直线的斜率为，直线的倾斜角为 . 5．设，，则直线的倾斜角为． 6．不论为何实数，直线恒过定点． 7．设过点作直线l交x轴的正半轴、y轴的正半轴于A、B两点，（1）当取得最小值时，求直线l的方程．（2）当取得最小值时，求直线l的方程．8．对直线上任意一点，点也在直线上，求直线的方程． 9．求过点P(0，1)的直线l，使它包含在两已知直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0间的线段被点P所平分． 10．设同在一个平面上的动点、的坐标分别是、，并且坐标间存在关系，，当动点在不平行于坐标轴的直线上移动时，动点在与直线垂直且通过的直线上移动，求直线的方程． 第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础知识部分】 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表 示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. B {x A A = ?=? B A ? B B ? B {x A A = A ?= B A ? B B ? ()U A =e 2()U A A U =e 【范例解析】 例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 【基础练习】 1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示 ． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?= ． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为_______． 【反馈演练】 1．设集合{ }2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A U ?=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合 P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是_______个． )()()U U B A B =?)()() U U B A B =? A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2012·荆州二检)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 答案 C 2．(2012·银川模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为( )． A.52 B.7 2 C ．2 D ．3 解析 由题知抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知：|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此M 到抛物线准线的距离为52＋1＝7 2. 答案 B 3．设双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )． A.54 B ．5 C.5 2 D. 5 解析 双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线为y ＝b a x ，由方程组?? ? y ＝b a x ，y ＝x 2＋1 消去y 得， x 2－b a x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝? ?? ??b a 2－4＝0，b a ＝2，e ＝ c a ＝a 2＋b 2 a ＝1＋? ?? ??b a 2 A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·陕西)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )． A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20 解析 T r ＋1＝C r 6(22x )6－r (－2－x )r ＝(－1)r C r 6· (2x )12－3r ，r ＝4时，12－3r ＝0，故第5项是常数项，T 5＝(－1)4C 46＝15. 答案 C 2．(2012·泰安月考)若二项式? ?? ??x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( )． A ．6 B ．10 C ．12 D ．15 解析 T r ＋1＝C r n (x )n －r ? ?? ??－2x r ＝(－2)r C r n x n －3r 2，当r ＝4时，n －3r 2＝0，又n ∈N *，∴n ＝12. 答案 C 3．(2011·天津)在? ????x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )． A ．－154 B.154 C ．－38 D.38 解析 在? ????x 2－2x 6的展开式中，第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 6? ????x 26－r ? ????－2x r ＝C r 6? ????126－r x 3－r (－2)r ，当r ＝1时，为含x 2的项，其系数是C 16? ?? ??125(－2)＝－38. 答案 C 4．(2012·临沂模拟)已知? ?? ??x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )． A ．28 B ．38 C ．1或38 D ．1或28 解析 由题意知C 48· (－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和 第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】 1. 集 合 {(, )0 2,02,,} x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{ ( , ) , ( 0,． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?=?． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8 或2___． 【范例解析】 例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 分析：先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题. 解：（1） {12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=， R A C A R ?=， 可得A B ?. {0,2} 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2 ＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α， l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2 的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3! 11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)， (0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时， 以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥?? +≤??≥(-)? 若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则 a ＝( )． A ．14 B ．1 2 C ．1 D ．2浙江高考理科数学试题及复习资料
2013届高考数学第一轮专题复习测试卷 第一讲 坐标系
高中：高三数学第一轮复习讲义(教学设计)
艺考生高考数学总复习讲义
2013高考数学一轮复习试题 10-3 理
高考全国卷理科数学带复习资料
2013届高考数学第一轮专项复习教案设计22.doc
全国卷一高三数学一轮复习讲义
2013届高考数学第一轮复习教案9.
高考数学复习资料精选推荐
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷理科附详细答案12497
高考理科数学第一轮复习辅导讲义
2013高考数学二轮复习精品资料专题 集合与常用逻辑用语名校组合测试题
最新整理高三数学高三数学第一轮复习讲义.docx
高考数学总复习全套讲义(学生)
高考理科数学第一轮复习测试题
2013届高考理科数学第一轮复习测试题08
2020高考数学第一轮复习全套讲义
2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
相关主题
文本预览