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相似三角形复习学案
复习目标:
相似是解决数学中图形问题的重要的工具,也是初中数学的重点内容，因此也是中考的重要考查内容。
1.会运用三角形相似的性质与判定进行有关的计算和推理。
2.能运用三角形相似的知识解决相关的实际问题。
3.能探索解决一些与三角形相似有关的综合性题型。
一．知识要点：
1、比例、第四比例项、比例中项、比例线段； ２、比例性质：
(1)基本性质：
bc ad d c b a =?= ac b c b b a =?=2 （2)合比定理:d d
c b b a
d c b a ±=
±?= （3)等比定理：)0.(≠+++=++++++?==n d b b
a
n d b m c a n m d c b a
3、相似三角形定义:_______________＿________＿___＿___．
4、判定方法:＿＿_＿＿＿______＿_＿__＿＿_＿＿＿＿___＿__＿_＿_________＿_＿_＿＿＿_____＿____＿_＿_＿______
5、相似三角形性质：
(1)对应角相等，对应边成比例；
(2）对应线段之比等于 ；（对应线段包括哪几种主要线段？） (3)周长之比等于 ； （４)面积之比等于 ． 6、相似三角形中的基本图形. (1)平行型：（A 型,X 型） （2）交错型:
（3）旋转型：
(４)母子三角形:
二、练习:
（一）、自我
训练 训练1:判断 1.两个等边三
角形一定相似。
（ )
2．两个相似三角形的面积之比为1∶4,则它们的周长之比为1∶2。（ ） 3．两个等腰三角形一定相似。（ ）
４．若一个三角形的两个角分别是４０°、70°，而另一个三角形的两个角分别是70°、７0°,则这两个三角形不相似。( ）
训练2:填空
1.如果3=a ,12=c ，则a 与c 的比例中项是 . 2．已知,
542c b a ==,则=-+-+b
c a b
c a 22 . 3．如图，在△AB Ｃ中,DE ∥BC,A Ｄ=3，BD ＝2，E Ｃ=1，则AC= . 4．下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是 ．
A
B C D
E A B C D E A B C D A
B C D E D
A
B
C
E
--
５．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中ABC △相似的是 ．
6．在同一时刻，身高１.６米的小强在阳光下的影长为0．８米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为 ． 7.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点Ｐ处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙ＣD 的顶端C 处，已知ＡB ⊥B Ｄ，C Ｄ⊥BD ，且测得AB=1.2米，ＢＰ=1.８米,P Ｄ＝１2米, 那么该古城墙的高度是 ．
（二)、大展身手: １． 已知21=b a ，则
b
a a
+的值为___＿＿＿____
2．如图,平行四边形ＡB ＣD 中，ＡE ∶EB=1∶2，若S △AEF =6,
则S △ＣDF ＝ ．
3.如图，在平行四边形ＡＢCD 中,E 是BC 延长线上一点,AE 交C Ｄ于点F ，若AB ＝
7cm,CF=3ｃm ，则AD ∶CE ＝ .
4.如图，矩形ＡBCD 中,Ｅ是B Ｃ上的点,ＡE ⊥DE ，BE=4，ＥＣ
=1,则ＡB 的长为 ．
５．如图,已知D 、E 分别是ABC ?的ＡＢ、 A Ｃ边上的点,,DE BC //并
且三角形ADE 与四边形ＤBCE 的面积比为4:5,那么AE:AC 等于 ．
６.如图，D Ｅ是三角形A ＢＣ的中位线,△ADE 的面积为3cm 2,则梯形DBCE 的面积为 ．
7．如图，已知△A ＢC 的面积为4 cm 2,
它的三条中位线组成△D ＥＦ，
△ＤEF 的三条中位线组成△MN Ｐ，则△ＭN Ｐ的面积等于 .
8．E 是矩形ＡBC Ｄ的边CD 上的点，BE 交ＡC 于点O,已知△ＣOE 与△BO Ｃ的面积分别为2和8,则四边形AOE Ｄ的面积为 .
A ．
B ．
C ．
D ．
A
B
C
A ．
B ．
C ．
D ．
O
E D
C
B
A A
E D C
B F
B
P N
M
F
E
D
A
E D B
A
C
B C
E D
A A
B
C
D
E
F
E
D
C
B
A
--
(三)、更上层楼:
1、过三角形边AB 上的一点,E 为△AB Ｃ边上任一点，且以A ＰＥ为顶点的三角形与△A ＢＣ相似,在图中找出点Ｅ的位置(你能找出几个?)。
2、已知:CD ⊥D Ｂ，ＡB 垂直ＤB,DC ＝4，AB=8，DB ＝18,点P 在DB 上,且以点D 、C 、P 为顶点的三角形与以点A 、B 、Ｐ为顶点的三角形相似,求D Ｐ的长。
３、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===,60ABC ∠=,点E F ，分别在线段AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合),且120BEF ∠=,设AE x =，DF y =.
⑴ 求y 与x 的函数表达式; ⑵ 当x 为何值时，y 有最大值,最大值是多少？
Ａ Ｅ Ｄ Ｆ Ｃ
Ｂ
初三数学相似三角形知 识点归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的 比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-≈， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， n m b a =
2 初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一， 在中考试题中时常与四边形、 圆的知识相结合 构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 a b c (a ： bc ：d )中， a 、 d 叫外项， d b 、 c 叫内项， a 、c 叫前项， b 、 d 叫后项， d 叫第四比例项，如果 b=c ，那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，使 AC=AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割， C 叫做线段 AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a c b d ②合比性质： a c b d ad bc a b c d b d ③等比性质： a c ? b d m (b d ? n n ≠ 0) a c ? m a b d ? n b 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： l 1∥ l 2∥ l 3 。 AB 则 BC DE ， AB EF AC DE ， BC DF AC EF ，? DF
相似三角形的判定练习 例题分析： 例1：已知如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，连结CD ，∠ACD=∠B,求证：2 AE AD AC = 例2：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， (1)求证：△ACD ∽△ABC ∽△CBD (2)求证：222(1) (2) (3)AC AD AB CD AD DB BC BD AB === 例3：已知如图，点D 是AB 上的一点，CA ⊥AB,EB ⊥AB,CD ⊥DE,求证：△ACD ∽△BDE 例4：在△ABC 中，AB=6，AC=9，D 为AC 上的一点，AD=3，在AB 上找一点E ，使得△ADE 与△ABC 相似？并求出AE 的长。
两个三角形相似的六种图形： 1. 如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于点E，EC交AD于点F． 求证：△ABC∽△FCD； A E F B D C 2、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF 3. 如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． 4.如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PE·PF。
5.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB 6.如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F． 求证：AB DF AC AF ． 7.已知如图，在平行四边形ABCD中，,求证：△AOB∽△ABC 8. 已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:(1)△AEC∽△AFB (2) △AEF∽△ACB
经典练习题相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD 的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．
求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
相似三角形 一、知识概述 (一)相似三角形 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． 温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似． 温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（2）； ③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
相似三角形的判定(基础） 一、选择题 1. 下列判断中正确的是( ) A. 全等三角形不一定是相似三角形 B. 不全等的三角形一定不是相似三角形 C. 不相似的三角形一定不全等 D. 相似三角形一定不是全等三角形 2．已知△ABC的三边长分别为、、2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC 与△A′B′C′相似, 那么△A′B′C′的第三边长应该是( ) A. B. C. D. 3．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）． ①②③④ A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④ 4. 在△ABC和△DEF中，①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=3cm，BC=5cm，∠B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件( ) A. 只有① B. 只有② C. ①和②分别都是 D. ①和②都不是 5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（） A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF∽ΔABF 6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ) A. B. 8 C. 10 D. 16 二、填空题 7. 如图所示，D、E两点分别在AB、AC上且DE和BC不平行，请你填上一个你认为合适的条件___使△ADE∽△ACB.
8. 如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________. 9. 如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)， 当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标). 10. 如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________. 11. 如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF 相似的三角形为____. 12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对. 三．解答题
初三数学-相似三角形 的判定
【本讲教育信息】 一. 教学内容：相似三角形的判定 二. 重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。 三. 知识回顾 （一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。 相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。 （二）判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③有两个角对应相等的两个三角形相似。 ④三条边对应成比例的两个三角形相似。 ⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 【典型例题】 例1. 如图，△ABC中，∠A= 60，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC。 例2. 如图，过△ABC的顶点B和C，分别作AB、AC的垂线BD、CD，使交于点D，过C作CE⊥AD交AB于E，交AD于F 求证：△ACE∽△ABC 例3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB 例4. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且AE：AB=1：4，F为边AD上一点，问：当F在AD上的什么位置时，△AEF∽△CDF。
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 判断下列各命题的真假（真命题打“T ”，否则打“F ”） （1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（ ） （2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（ ） （3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（ ） （4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（ ） （5）一个顶角为?40的等腰三角形和一个底角为?70的等腰三角形相似（ ） （6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（ ） （7）所有的菱形均相似（ ） （8）所有的正方形均相似（ ） 2. △ABC 中，∠ACB=?90，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则与△ABC 相似而不全等的三角形的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知△ABC ∽△'''C B A ，相似比为4，△'''C B A ∽△''''''C B A ，相似比为3，试问：△ ''''''C B A 与△ABC 是否相似？若它们相似，则相似比为多少？ 4. 如图，若∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB 求证：△ABC ∽△DBE 。 5. 过△ABC 三条角平分线的交点I ，作AI 的垂线与AB 、AC 分别交于D 、E ， 求证：△BID ∽△IEC 。 6. 如图，平行四边形ABCD 中，AD=10，DC=6，E 为AB 中点，F 有BC 上，则BF 长为多少时，使得△DCF ∽△DAE ？
相似三角形常见模型一 【知识清单】 【典例剖析】 知识点一：A 字型的相似三角形 A 字型、反A 字型（斜A 字型） B （平行） B （不平行） （1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△
（2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则ACB ADE ∽△△ 1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. 2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连 接 DE ，可得?=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21= ，AE AD 3 2 =，求AC AB 的值。 变式练习： 1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则 111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =， ::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN = 3、（2014?乌鲁木齐）如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 F E D C B A C B D E M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F
知识点二：8字型相似三角形 B C C （蝴蝶型） （平行）（不平行） （1）如图，若CD AB∥，则DOC AOB∽△ △ （2）如图，若C A∠ = ∠，则CDJ ABJ∽△ △ 1、已知，P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线与AD，BC，CD的延长线，AB的延长线分别相交于点E，F，G，H 求证： PE PH PF PG = 2、如图，设 AB BC CA AD DE EA ==，求证：12 ∠=∠ 变式练习： 1、（2010?威海）如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1． P H G F E D C B A E
相似三角形 一、知识概述 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． 温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 ．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC 的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广 泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“ 见平行，想比例” ，还要想到“ 见平行，想相似”． 1、相似三角形的判定： 判定定理（1）：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理（2）：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理（3）：三边对应成比例，两三角形相似． 温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等（包括隐含的公共角或对顶角）时，可考虑利用判定定理（1）或判 定定理（2）； ③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理 2 或判定定理 3 ．但是，在选择利用判定定理 2 时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
初三数学《相似三角形》知识提纲 (孟老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的 比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b= c ： d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 n m b a =
1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应 线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A 型 X 型 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 如上图：若 = . = ， = ，则AD∥BE∥CF 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. 4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．． 与原三角形三边．．．．．． 对应成比例.
初三数学相似三角形典型例题(含答案)
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初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0
初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===
相似三角形(初中数学九年级) 学情分析: 学生对八年级所学习的三角形的全等，大部分学生掌握较好，故此，利用三角形的全等来对比相似，易懂。 教学内容分析: 相似三角形的知识是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展，相似三角形承接全等三角形，从特殊的相等到一般的成比例予以深化，学好相似三角形的知识，为今后进一步学习三角函数及与固有关的比例线段等知识打下良好的基础。本节课是为学习相似三角形的判定定理做准备的，因此学好本节内容对今后的学习至关重要 教学目标: 1．知识目标：理解相似三角形的概念，掌握判定三角形相似的预备定理。2．能力目标：培养学生探究新知识，提高分析问题和解决问题的能力，增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。 3．情感目标：加强学生对斩知识探究的兴趣，渗透几何中理性思维的思想。 教学难点分析：1．重点：相似三角形和相似比约概念及判定三角形相似的预备定理。2．难点：相似三角形约定义和判定三角形相似的预备定理。 教学课时：1课时 教学过程： 一、引入 1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？我们如何用符号表示全等？（目的：让学生通过全等三角形，知识迁移，对比马上要学习的新内容，相似三角形，它在形状上、大小上有何特征？） 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？（目的：让学生对比马上要学习的两个相似三角形的对应边和对应角有什么关系？） 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形） 本节学习相似三角形的定义及相关判定定理.（意在让学生在学习相似三角形的时候，加深学生理解边成比例的事实） 二、学习新课 新授1：为加深学生对相似三角形概念的本质的认识给出几组相似三角形，让学生用尺子量出他们边与变的关系，在学生得出数据之后，询问学生，它们的形状如何，大小如何，是不是类似于一个全等呢？只不过大小不同，并将相似三角形的定义，相似比的概念给出来。 相似三角形的概念：我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一. （相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别。） 相似比的概念：相似三角形对应边的比，叫做相似比（或相似系数）． 指出：两个相似三角形的相似比具有顺序性．全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形．且类比证明全等三角形，在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上．
初三数学相似三角形测试题及答案 1、若b m m a 2,3==，则_____:=b a 。 2、已知653 z y x = =，且623+=z y ，则__________,==y x 。 3、在等腰Rt △ABC 中，斜边长为c ，斜边上的中线长为m ，则______:=c m 。 4、反向延长线段AB 至C ，使2AC ＝AB ，那么BC ：AB ＝ 。 5、△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3：2，它们周长的差为40厘米，则△A ′B ′C ′的周长为 厘米。 7、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若∠A ＝30°，则BD ：BC ＝ 。若BC ＝6，AB ＝10，则BD ＝ ，CD ＝ 。 8、如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝2cm ，AB ＝3.5cm ，且MN ∥PQ ∥AB ， DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝ ，PQ ＝ 。 9、如图，四边形ADEF 为菱形，且AB ＝14，BC ＝12，AC ＝10，那BE ＝ 。 10、梯形的上底长1.2厘米，下底长1.8厘米，高1厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高为 厘米。 11、下面四组线段中，不能成比例的是（ ） A 、4,2,6,3====d c b a B 、3,6,2,1====d c b a C 、10,5,6,4====d c b a D 、32,15,5,2=== =d c b a 12、等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ） A 、1:3 B 、2:3 C 、23: 21 D 、1：3 C B D A D C N P N Q A B
课时30．相似三角形 【课前热身】 1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________． 2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________． 3．如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠B ，则下列等式成立的是（ ） A ．AD AE A B A C = B ．AE A D BC BD = C ．DE AE BC AB = D ．DE AD BC AC = 4．在△ABC 与△A′B ′C ′中，有下列条件： （1）''''AB BC A B B C =；（2）'''' BC AC B C A C =；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′． 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A′B ′C ′的共有多少组（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【考点链接】 一、相似三角形的定义 三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的判定方法 1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________． 2. 射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形） 则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ____． E A D C B E A D C B A D C B 3. 两个角对应相等的两个三角形__________． 4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 5. 三边对应成比例的两个三角形___________． 三、相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应边_________，对应角________． 2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示． 3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______?线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．
2013初中相似三角形难题易错题 一．填空题（共2小题） 1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 2．如图，?ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________． 二．解答题（共17小题） 3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：． 4．如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求 证：．
5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：． 6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．
8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：． 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN． 10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）． 求证：．
11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB． 12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F． 求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2． 13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．
初三数学总复习 －相似三角形部分 一、填空题： 1、若b m m a 2,3==，则_____:=b a 。 2、已知 6 53z y x ==，且623+=z y ，则__________,==y x 。 3、在Rt △ABC 中，斜边长为c ，斜边上的中线长为m ，则______:=c m 。 4、反向延长线段AB 至C ，使AC ＝2 1 AB ，那么BC ：AB ＝ 。 5、如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3：2，若它们的周长的差为40厘米，则 △A ′B ′C ′的周长为 厘米。 6、如图，△AED ∽△ABC ，其中∠1＝∠B ，则()()() AB BC AD _________= =。 第6题图 第7题图 7、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若∠A ＝30°，则BD ：BC ＝ 。 若BC ＝6，AB ＝10，则BD ＝ ，CD ＝ 。 8、如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝2cm ，AB ＝3.5cm ，且MN ∥PQ ∥AB ， DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝ ，PQ ＝ 。 第8题图 第9题图 9、如图，四边形ADEF 为菱形，且AB ＝14厘米，BC ＝12厘米，AC ＝10厘米，那BE ＝ 厘米。 10、梯形的上底长1.2厘米，下底长1.8厘米，高1厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高为 厘米。 二、选择题： 11、下面四组线段中，不能成比例的是（ ） E A D B C 1 C B D A D C M P N Q A B
A 、4,2,6,3====d c b a B 、3,6,2,1====d c b a C 、10,5,6,4====d c b a D 、32,15,5,2====d c b a 12、等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ） A 、1:3 B 、2:3 C 、2 3 :21 D 、1：3 13、已知 7 54z y x ==，则下列等式成立的是（ ） A 、 91=+-y x y x B 、167=++z z y x C 、3 8 =-+++z y x z y x D 、x z y 3=+ 14、已知直角三角形三边分别为b a b a a 2,,++，()0,0>>b a ，则=b a :（ ） A 、1：3 B 、1：4 C 、2：1 D 、3：1 15、△ABC 中，AB ＝12，BC ＝18，CA ＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ） A 、27 B 、12 C 、18 D 、20 16、已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为c b a h h h ,,，且6:5:4::=c b a ，那么c b a h h h ::等于（ ） A 、4：5：6 B 、6：5：4 C 、15：12：10 D 、10：12：15 17、一个三角形三边长之比为4：5：6，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm ，则原三角形最大边长为（ ） A 、44厘米 B 、40厘米 C 、36厘米 D 、24厘米 18、下列判断正确的是（ ） A 、不全等的三角形一定不是相似三角形 B 、不相似的三角形一定不是全等三角形 C 、相似三角形一定不是全等三角形 D 、全等三角形不一定是相似三角形 19、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，EF ∥BC ，则图中与△ADC 相似的三角形共有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、多于3个 第19题图 第20题图 20、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的点，若BE ：EC ＝4：5，AE 交BD A E F G B D C
初中数学相似三角形的性质与应用经典试题 一、知识体系： 1．相似三角形的性质 ① 相似三角形的对应角相等； ② 相似三角形的对应边成比例； ③ 相似三角形对应边上的高之比，对应边上的中线之比，对应角的角平分线之比都等于相似比； ④ 相似三角形的周长之比等于相似比。 ⑤ 相似三角形的面积之比等于相似比的平方（ k 2 ）。 、典型例题： 针对练习： 针对练习： 4．如图，在四边形 ABCD 中， E 是 AD 上的一点， EC ∥AB ，EB ∥DC ，若△ABE 的面积为 3，△ ECD 的面积为 1，则△ BCE 的面积为 ▲ 。 AB 例 1：若△ABC ∽△A ′B ′C ′，且 A ,B , A ,B , 15 4 A ． 18 B ．20 C 3 ，△ ABC 的周长为 15cm ，则△ A ′ B ′ C ′的周长为（ ） 4 80 3 1． 已知△ ABC ∽△ DEF ， 且△ABC 的三边长为 3、4、5，若△ DEF 的周长为 6，那么下列不可能是△ DEF 一边长的是 A ． 1.5 B ． 2 C ．2.5 D ．3 2． 一直角三角形的两条边长分别是 6 和 8， 另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3、4 及 x ，那么 x 的值为 A ． 7 B ．5 C ． 7 或5 ．无数个 例 2：（ 2014 江苏南京， 3）若△ ABC ∽△ A ′ B ′C ′ ，相似比为 1:2 ， 则△ ABC 与△ A ′B ′C ′的面积的比为（ A ． 1:2 B ．2:1 ．1:4 ．4:1 1．两相似三角形的最短边分别是 5cm 和 3cm ，它们的面积之差为 32cm 2 ，那么小三角形的面积为（ 2 A ． 10 cm B ．14cm 2 C ．16cm 2 D ．18 cm 2．如图， DE ∥BC ，若 AD ＝ 1， 四边形 ABCD 的面积为 ▲ 用 a 的代数式表示） 。 BD ＝2，则△ ADE 与四边形 DBCE 面积之比是 ▲ 。