项目二 一元函数积分学与空间图形的画法
实验1 一元函数积分学(基础实验)
实验目的 掌握用Mathematica 计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解 定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用 定积分解决各种问题的能力.
基本命令
1.计算不定积分与定积分的命令Integrate 求不定积分时, 其基本格式为
Integrate[f[x],x]
如输入 Integrate[x^2+a,x]
则输出 3
x ax 3
+
其中a 是常数. 注意积分常数C 被省略.
求定积分时, 其基本格式为
Integrate[f[x],{x,a,b}]
其中a 是积分下限, b 是积分上限.
如输入 Integrate[Sin[x],{x,0,Pi/2}] 则输出 1
注:Mathematica 有很多的命令可以用相应的运算符号来代替. 例如,命令Integrate 可用积分号 ?代替, 命令Sum 可以用连加号∑代替, 命令Product 可用连乘号∏代替. 因此只要调出这些运 算符号, 就可以代替通过键盘输入命令. 调用这些命令,只要打开左上角的File 菜单,点击Palettes 中的BasicCalculations, 再点击Calculus 就可以得到不定积分号、定积分号、求和号、求偏导数 号等等. 为了行文方便, 下面仍然使用键盘输入命令, 但读者也可以尝试用这些数学符号直接计算.
2.数值积分命令NIntegrate
用于求定积分的近似值. 其基本格式为
NIntegrate[f[x],{x,a,b}]
如输入 NIntegrate[Sin[x^2],{x,0,1}] 则输出 0.310268
3.循环语句For
循环语句的基本形式是
For[循环变量的起始值, 测试条件, 增量, 运算对象]
运行此命令时, 将多次对后面的对象进行运算, 直到循环变量不满足测试条件时为止. 这里必须 用三个逗号分开这四个部分. 如果运算对象由多个命令组成, 命令之间用分号隔开.
例如, 输入
t=0;
For[j=1,j<=10,j++,t=t+j]; t
则循环变量j 从取值1开始, 到10结束. 每次增加1. 执行结果, 输出变量t 的最终值1+2+… +10=55.
注:For 语句中的 j++ 实际表示j=j+1.
实验举例
用定义计算定积分
当)(x f 在],[b a 上连续时, 有
∑∑
?
=∞→-=∞→??
?
?
?
-+-=??? ?
?
-+-=n
k n n k n b a
n a b k a f n a b n a b k a f n
a
b dx x f 1
1
)(lim
)(lim
)( 因此可将
∑
-=??? ?
?
-+-1
)(n k n a b k a f n
a b 与
∑=??
?
?
?
-+-n
k n a b k a f n a b 1
)( 作为?
b a
dx x f )(的近似值. 为了下面计算的方便, 在例1.1中定义这两个近似值为b a f ,,和n 的函
数.
例1.1 (教材 例1.1) 计算?
10
2dx x 的近似值.
输入
s1[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,0,n-1}]]; s2[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,1,n}]];
再输入
Clear[f];f[x_]=x^2;
js1=Table[{2^n,s1[f,{0,1},2^n],s2[f,{0,1},2^n]},{n,1,10}]; TableForm[js1,TableHeadings->{None,{ "n", "s1", "s2"}}]
则输出
n s1 s2 2 0.125 0.625 4 0.21875 0.46875 8 0.273438 0.398438 16 0.302734 0.365234 32 0.317871 0.349121 64 0.325562 0.341187 128 0.329437 0.33725 256 0.331383 0.335289 512 0.332357 0.334311 1024
0.332845
0.333822
这是
?
10
2dx x 的一系列近似值. 且有.2110
2s dx x s <<
?
例1.2 计算?
10
sin dx x
x 的近似值.
输入
Clear[g];
g[x_]=Sin[x]/x;
js2=Table[{n,s2[g,{0,1},n]},{n,3,50}]
则得到定积分的一系列近似值:
{{3,0.91687},{4,0.924697},{5,0.929226},…, {48,0.944421},{49,0.944455},{50,0.944488}}
注：用这种方法(矩形法)得到的定积分的近似值随n 收敛很慢. 可以用梯形法或抛
物线法改进收敛速度(见教材中的有关章节). 如果用Nintegrate 命令可以得到本题的比较精确的近似值为0.946083.
例1.3 用定义求定积分?
b a
dx x 2的动画演示.
输入
Clear[f,x,a,b];
f[x_]=x^2;a=0;b=1.5;m=0;
g1=Plot[f[x],{x,a,b},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]},
DisplayFunction->Identity];
For[j=3,j<=50,j+=2,m=j;tt1={ };tt2={ };
For[i=0,i Rectangle[{x1,0},{x2,f[x2]}]}]]; tt2=Append[tt2,Graphics[{RGBColor[0,0,1], Rectangle[{x1,f[x1]},{x2,0}]}]]]; Show[tt1,tt2,g1,DisplayFunction->$DisplayFunction, PlotLabel->m ''intervals '']] 执行以上命令, 可得到一系列图形(共24幅), 如果观察动画, 只要选中24幅图形中的任一幅图形, 双击以后即可以形成动画. 当分割越来越细时, 观察小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的关系, 有助于理解定积分的概念及其几何意义. 不定积分计算 例1.4 (教材 例1.2) 求.)1(532? -dx x x 输入 Integrate[x^2*(1-x^3)^5,x] 则输出 18 x 3x 6x 59x 106x 53x 18 1512963- +-+- 例1.5 求.3sin 2? -xdx e x 输入 Integrate[Exp[-2 x]*Sin[3 x],x] 则输出 ])3[2]3[3(13 12x Sin x Cos e x +- - 例1.6 (教材 例1.3) 求.arctan 2? xdx x 输入 Integrate[x^2*ArcTan[x],x] 则输出 ]x 1[Log 6 1]x [ArcTan x 316x 232+++- 例1.7 求.sin ? dx x x 输入 Integrate[Sin[x]/x,x] 则输出 SinIntegrate[x] 它已不是初等函数. 定积分计算 例1.8 求.)(10 2? -dx x x 输入 Integrate[x-x^2,{x,0,1}] 则输出 6 1 例1.9 (教材 例1.4) 求.|2|40 ? -dx x 输入 Integrate[Abs[x-2],{x,0,4}] 则输出 4 例1.10 (教材 例1.5) 求.421 2? -dx x 输入 Integrate[Sqrt[4-x^2],{x,1,2}] 则输出 ππ+--)233(6 1 例1.11 (教材 例1.6) 求.10 2 ? -dx e x 输入 Integrate[Exp[-x^2],{x,0,1}] 则输出 ]1[2 1 Erf π 其中Erf 是误差函数, 它不是初等函数. 改为求数值积分, 输入 NIntegrate[Exp[-x^2],{x,0,1}] 则有结果 0.746824. 变上限积分 例1.12 (教材 例1.7) 求.)(2 cos 0 ? x dx x w dx d 输入 D[Integrate[w[x],{x,0,Cos[x]^2}],x] 则输出 -2 Cos[x] Sin[x]w[Cos[x]2] 注意这里使用了复合函数求导公式. 例1.13 (教材 例1.8) 画出变上限函数 ? x dt t t 0 2sin 及其导函数的图形. 输入命令 f1[x_]:=Integrate[t*Sin[t^2],{t,0,x}]; f2[x_]:=Evaluate[D[f1[x],x]]; g1=Plot[f1[x],{x,0,3},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; g2=Plot[f2[x],{x,0,3},PlotStyle->RGBColor[0,0,1]]; Show[g1,g2]; 则输出图1.1. 图1.1 求平面图形的面积 例1.14 (教材 例1.9) 设x x e x f πcos ) 2(2 )(--=和).2cos(4)(-=x x g 计算区间]4,0[上两曲线所 围成的平面的面 积. 输入命令 Clear[f,g];f[x_]=Exp[-(x-2)^2 Cos[Pi x]];g[x_]=4 Cos[x-2]; Plot[{f[x],g[x]},{x,0,4},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0], RGBColor[0,0,1]}]; FindRoot[f[x]==g[x],{x,1.06}] FindRoot[f[x]==g[x],{x,2.93}] NIntegrate[g[x]-f[x],{x,1.06258,2.93742}] 则输出两函数的图形（图1.2）及所求面积.17413.4=s 图1.2 求平面曲线的弧长 例1.15 (教材 例1.10) ),sin sin()(x x x x f +=计算))0(,0(f 与))2(,2(ππf 两点间曲线的弧长. 输入命令 Clear[f];f[x_]=Sin[x+x*Sin[x]]; Plot[f[x],{x,0,2Pi},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; NIntegrate[Sqrt[1+f'[x]^2],{x,0,2Pi}] 则输出曲线的图形（图1.3）及所求曲线的弧长 12.0564. 图1.3 注: 曲线)(x f y =在区间]2,0[π上的弧长? '+=π20 2))((1dx x f s . 求旋转体的体积 例1.16 (教材 例1.11) 求曲线)0(sin )(2π≤≤=x x x x g 与x 轴所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转所成的旋 转体体积. 输入 Clear[g]; g[x_]=x*Sin[x]^2; Plot[g[x],{x,0,Pi}] 则输出图1.4. 观察)(x g 的图形. 再输入 Integrate[Pi*g[x]^2,{x,0,Pi}] 得到输出 ??? ? ??+-864153πππ 又输入 Integrate[2 Pi*x*g[x],{x,0,Pi}] 得到输出 ??? ? ??+-323πππ 若输入 NIntegrate[2 Pi*x*g[x],{x,0,Pi}] 则得到体积的近似值为 27.5349. 注: 图1-4绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.)(20 ? = π πdx x xg V 此外,我们还可用ParametricPlot3D 命令(详见本项目实验2的基本命令)作出这两个旋转体的 图形. 输入 Clear[x,y,z,r,t]; x[r_,t_]=r; y[r_,t_]=g[r]*Cos[t]; z[r_,t_]=g[r]*Sin[t]; ParametricPlot3D[{x[r,t],y[r,t],z[r,t]},{r,0,Pi},{t,-Pi,Pi}] 则得到绕x 轴旋转所得旋转体的图形（图1.5）. 又输入 Clear[x,y,z]; x[r_,t_]=r*Cos[t]; y[r_,t_]=r*Sin[t]; z[r_,t_]=g[r]; ParametricPlot3D[{x[r,t],y[r,t],z[r,t]},{r,0,Pi},{t,-Pi,Pi}] 则得到绕y轴旋转所得旋转体的图形（图1.6）. 图1.6 实验习题 1. 求下列不定积分: (1) ?+dx x a x 22sin cos ; (2) ? -dx x e x 2 sin 2; (3) ?---dx x x x x 3242 2; (4) .ln 23 ?xdx x ; (5) ?++-25 124)72(2 x x dx x ; (6) ? ---dx x x x 2 2121. 2. 求下列定积分: (1) ?-202sin )cos 1(π θθθd ; (2) ? -10 122)2(dx x x ; (3) ? ++a x a x dx 2 2(a >0); (4) ? +31 2 5x x x dx ; (5) .2sin 222?-ππ xdx e x ; (6) dx x x ? -10 4 3 294. 3. 求 ? -π 3)cos(2 dx x e x 的近似值. 4. 设,)()(,sin )(1 .0? == x dt t g x h x x x g 作出)(),(x h x g 的图形, 并求 ).(2x h dx d 5. 画出变上限函数 ? ?x t dt e t 0 2 及函数2 )(2x xe x f =的图形. 6.设,51),3(4cos )(2 )3(≤≤-=--x x e x f x 求),(x f y =x 轴, 5,1==x x 所围曲边梯形绕x 轴旋转 所成旋转体的体积V , 并作出该旋转体的图形. 实验2 空间图形的画法(基础实验) 实验目的 掌握用Mathematica 绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面 的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形. 基本命令 1.空间直角坐标系中作三维图形的命令Plot3D 命令Plot3D 主要用于绘制二元函数),(y x f z =的图形. 该命令的基本格式为 Plot3D[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2},选项] 其中f[x,y]是y x ,的二元函数, x1,x2表示x 的作图范围, y1,y2表示y 的作图范围. 例如,输入 Plot3D[x^2+y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}] 则输出函数22y x z +=在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上的图形(图2.1) 与Plot 命令类似, Plot3D 有许多选项. 其中常用的如PlotPoints 和ViewPoint. PlotPoints 的用 法与以前相同. 由于其默认值为PlotPoints->15, 常常需要增加一些点以使曲面更加精致, 可能要 用更多的时间才能完成作图. 选项ViewPoint 用于选择图形的视点(视角), 其默认值为 ViewPoint->{1.3,-2.4,2.0},需要时可以改变视点. 2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令ParametricPlot3D 用于作曲面时, 该命令的基本格式为 ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,u1,u2},{v,v1,v2},选项] 其中x[u,v],y[u,v],z[u,v]是曲面的参数方程表示式. u1,u2是作图时参数u 的范围, v1,v2是参数v 的 范围. 例如，对前面的旋转抛物面, 输入 ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],u^2},{u,0,3},{v,0,2 Pi}] 同样得到曲面22y x z +=的图形(图2.2). 由于自变量的取值范围不同, 图形也不同. 不过, 后者比较好的反映了旋转曲面的特点, 因 而是常用的方法. 又如, 以原点为中心, 2为半径的球面. 它是多值函数, 不能用命令Plot3D 作图. 但是, 它的 参数方程为 ,20,0,cos 2,sin sin 2,cos sin 2πθπ??θ?θ?≤≤≤≤===z y x 因此,只要输入 ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi}] 便作出了方程为22222=++y x z 的球面(图2.3). .用于作空间曲线时,ParametricPlot3D 的基本格式为 ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,t1,t2},选项] 其中x[t],y[t],z[t]是曲线的参数方程表示式. t1,t2是作图时参数t 的范围. 例如, 空间螺旋线的参数方程为 ).80(10/,sin ,cos π≤≤===t t z t y t x 输入 ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/10,RGBColor[1,0,0]},{t,0,8 Pi}] 则输出了一条红色的螺旋线(图2.4). 在这个例子中，请读者注意选项RGBColor[1,0,0]的位置. 用于作空间曲线时, ParametricPlot3D 的选项PlotPoints 的默认值是30, 选项ViewPoint 的默 认值没有改变. 3.作三维动画的命令MoviPlot3D: 无论在平面或空间, 先作出一系列的图形, 再连续不断地放映, 便得到动画. 例如, 输入调用作图软件包命令 < 执行后再输入 MoviePlot3D[Cos[t*x]*Sin[t*y],{x,-Pi,Pi},{y,-Pi,Pi},{t,1,2},Frames->12] 则作出了12幅曲面图, 选中任一幅图形, 双击它便可形成动画. 实验举例 一般二元函数作图 例2.1 (教材 例2.1) 作出平面y x z 326--=的图形,其中20,30≤≤≤≤y x . 输入 Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2}] 则输出所作平面的图形（图2.5）. 如果只要位于第一卦限的部分, 则输入 Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2},PlotRange->{0,6}] 观察图形. 其中作图范围选项为PlotRange->{0,6},而删除的部分显示为一块水平平面（图2.6）. 图2.6 例2.2 (教材 例2.2) 作出函数2 214y x z ++=的图形. 输入 k[x_,y_]:=4/(1+x^2+y^2) Plot3D[k[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->30, PlotRange->{0,4},BoxRatios->{1,1,1}] 则输出函数的图形2.7. 观察图形, 理解选项PlotRange->{0,4}和BoxRatios->{1,1,1}的含义. 选项 BoxRatios 的默认值是{1,1,0.4}. 例2.3 (教材 例2.3) 作出函数2 2 y x xye z ---=的图形. 输入命令 Plot3D[-x*y*Exp[-x^2-y^2],{x,-3,3},{y,-3,3}, PlotPoints->30,AspectRatio->Automatic]; 则输出所求图形（图2.8）. 图2.8 例2.4 (教材 例2.4) 作出函数)94cos(22y x z +=的图形. 输入 Plot3D[Cos[4x^2+9y^2],{x,-1,1},{y,-1,1},Boxed->False, Axes->Automatic,PlotPoints->30,Shading->False] 则输出网格形式的曲面图2.9, 这是选项Shading->False 起的作用, 同时注意选项Boxed->False 的作用. 二次曲面 例2.5 (教材 例2.5) 作出椭球面11 942 22=++z y x 的图形. 这是多值函数, 用参数方程作图的命令ParametricPlot3D. 该曲面的参数方程为 ,cos ,sin sin 3,cos sin 2u z v u y v u x === (ππ20,0≤≤≤≤v u ). 输入 ParametricPlot3D[{2*Sin[u]*Cos[v],3*Sin[u]*Sin[v], Cos[u]}, {u,0,Pi},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30] 则输出椭球面的图形（图2.10）. 其中选项PlotPoints->30是增加取点的数量, 可使图形更加光滑. 图2.10 例2.6 (教材 例2.6) 作出单叶双曲面19 412 22 =-+z y x 的图形. 曲面的参数方程为 ,tan 3,cos sec 2,sin sec u z v u y v u x === (.20,2/2/πππ≤≤<<-v u ) 输入 ParametricPlot3D[{Sec[u]*Sin[v],2*Sec[u]*Cos[v], 3*Tan[u]}, {u,-Pi/4,Pi/4},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30] 则输出单叶双曲面的图形（图2.11）. 图2.11 例2.7 作双叶双曲面13 .14.15.122 2222-=-+z y x 的图形. 曲面的参数方程是 ,csc 3.1,sin cot 4.1,cos cot 5.1u z v u y v u x === 其中参数πππ <<-≤ <<-<≤- v u ,02 时 对应双叶双曲面的另一叶. 输入 sh1=ParametricPlot3D[{1.5*Cot[u]*Cos[v],1.4* Cot[u]*Sin[v],1.3/Sin[u]},{u,Pi/1000,Pi/2},{v,-Pi,Pi}, DisplayFunction->Identity]; (*DisplayFunction->Identity 是使图形暂时不输出的选项*) sh2=ParametricPlot3D[{1.5*Cot[u]*Cos[v],1.4* Cot[u]*Sin[v],1.3/Sin[u]},{u,-Pi/2,-Pi/1000}, {v,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity]; Show[sh1,sh2,DisplayFunction->$DisplayFunction] (*命令Show[sh1,sh2]是把图形sh1,sh2放置在一起, DisplayFunction->$DisplayFunction 是恢复显示图形的选项*) 输出为图2.12. 例2.8 可以证明: 函数xy z =的图形是双曲抛物面. 在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上作出它的图形. 输入 Plot3D[x*y,{x,-2,2},{y,-2,2},BoxRatios->{1,1,2}, PlotPoints->30] 输出图形略. 也可以用ParametricPlot3命令作出这个图形, 输入 ParametricPlot3[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2*Cos[t] *Sin[t]},{r,0,2},{t,0,2 Pi},PlotPoints->30] 输出为图2.13比较这些图形的特点. 例2.9 (教材 例2.7) 作出圆环 v z u v y u v x sin 7,sin )cos 38(,cos )cos 38(=+=+=,(πππ22/,2/30≤≤≤≤v u ) 的图形. 输入 ParametricPlot3D[{(8+3*Cos[v])*Cos[u],(8+3*Cos[v])*Sin[u], 7*Sin[v]},{u,0,3*Pi/2},{v,Pi/2,2*Pi}]; 则输出所求圆环的图形（图2.14）. 图2.14 例2.10 画出参数曲面 ]2,001.0[],4,0[)5/2/ln(tan cos sin sin sin cos ∈∈?? ? ??++===v u u v v z v u y v u x π 的图形. 输入命令 ParametricPlot3D[{Cos[u]*Sin[v], Sin[u]Sin[v],Cos[v]+Log[Tan[v/2]+u/5]}, {u,0,4*Pi},{v,0.001,2}]; 则输出所求图形(图2.15). 曲面相交 例2.11 (教材 例2.8) 作出球面22222=++z y x 和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形. 输入 g1=ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]}, {u,0,Pi},{v,0,2 Pi},DisplayFunction->Identity]; g2=ParametricPlot3D[{2Cos[u]^2,Sin[2u],v}, {u,-Pi/2,Pi/2},{v,-3,3},DisplayFunction->Identity]; Show[g1,g2,DisplayFunction->$DisplayFunction] 则输出所求图形（图2.16）. 例2.12 作出锥面2 22z y x =+和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形. 输入 g3=ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r}, {r,-3,3},{t,0,2 Pi}, DisplayFunction->Identity]; Show[g2,g3,DisplayFunction->$DisplayFunction] 输出为图2.17. 图2.17 例2.13 画出以平面曲线x y cos =为准线, 母线平等Z 轴的柱面的图形. 写出这一曲面的参数方程为 ??? ??=∈-∈==s z R s t t y t x ],,[,cos ππ 取参数s 的范围为[0, 8]. 输入命令 ParametricPlot3D[{t,Cos[t],s},{t,-Pi,Pi},{s,0,8}] 则输出所求图形(图2.18). 第三章 一元函数积分学 一．不定积分 例1：设2 ln )1(22 2 -=-x x x f ，且x x f ln )]([=?，求?dx x )(?（答案： C x x +-+1ln 2） 例2：已知 x x sin 是)(x f 的一个原函数，求?dx x f x )('3（答案： C x x x x x +--cos 6sin 4cos 2） 例3：设???>≤=0 ,sin ,)(2x x x x x f ，求?dx x f )( 例4：设)(x F 是)(x f 的一个原函数，π4 2 )1(= F ，若当0>x 时，有) 1(arctan )()(x x x x F x f += ，求)(x f 。（答案：) 1(21)(x x x f += ） 例5：求? dx x x )1,,max(23 例6：求?dx e e x x 2arctan 二．定积分 例1：求极限?? ? ??+++++∞→n n n n 212111lim 例 2：设)(x f 在]1,0[上连续，且 )(1 =?dx x f ，试证明存在 0)1()()1,0(=-+∈ξξξf f 使。 例3：已知)0()1ln()(1 >+= ?x dt t t x f x ，求??? ??+x f x f 1)(（答案：x 2ln 21） 例4：设函数)(x f 连续，且,arctan 21)2(2 0x dt t x tf x =-?已知1)1(=f ，求?2 1 )(dx x f 的 值。（答案： 4 3 ） 例5：已知22110,1,ln ,sin )(>≤<≤≤?? ? ??=x x x x x x x f 求?=x dt t f x I 0)()( 例6：求积分?≥-= x x dt t x g t f x I 0 )0()()()(，其中当0≥x 时x x f =)(，而 ?? ?? ? ≥ <≤=220,0,sin )(π πx x x x g 例7：设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，证明 ? b a dx x f )(2)() (1 a b dx x f b a -≥? 例8：设)('x f 在]1,0[上连续，求证 ? ??? ?? ? ??≤1 1 010)(,)('max )(dx x f dx x f dx x f 例9：设)(x f 在]1,0[上连续，且0)(≥x f ，0)1(=f ，求证： 存在?= ∈ξ ξξ0 )()()1,0(dx x f f 使 例10：设)(x f 是在),(+∞-∞内的周期函数，周期为T ，并满足 )),,(,()()()1(为常数其中L y x y x L y f x f +∞-∞∈?-≤-； 0)()2(0 =?T dx x f 求证：LT x f T x 2 1 )(max ] ,0[≤ ∈ 例11：设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数，证明在),(b a 内存在一点ξ，使得 )('')(24 12)()(3 ξf a b b a f a b dx x f b a -+??? ??+-=? 高等数学教案—一元函数微分学的应用 课 时 授 课 计 划 第一课时 教学过程及授课内容 教学过程 一、柯西中值定理 定理1（柯西中值定理）如果函数)(x f 与 )(x F 满足下列条件：(1)闭区间 ],[b a 上连续； (2)在开区间),(b a 内可导； (3))('x F 在),(b a 内的每一点均不为零，那么，在),(b a 内至少有一点ξ，使得 二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为00型或 ∞ ∞ 型不定式(也称为 0型或∞∞ 型未定型)的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的 极限方法． 定理2 (洛必达法则)若(1)0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x g x x ； (2))(x f 与)(x g 在0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)('≠x g ； (3)A x g x f x x =''→) () (lim 0(A 为有限数，也可为∞+或∞-)，则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→) () (lim )()(lim 00 证 由于我们要讨论的是函数在点0x 的极限，而极限与函数在点0x 的值无关，所以我们可补充)(x f 与)(x g 在0x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响。令0)()(00==x g x f ，则)(x f 与)(x g 在点0x 就连续了．在0x 附近任取一点x ，并应用柯西中值定理，得 .f(b)f(a)f ( )F(b)F(a)F () ξξ'-='- ) () ()()()()()()(00ξξg f x g x g x f x f x g x f ''=--= (ξ在x 与0x 之间) . 由于0x x →时，0x ξ→，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕． 注：上述定理对∞→x 时的0 未定型同样适用，对于0x x →或∞→x 时的未定型 ∞ ∞ ，也有相应的法则． 例1 求1 2 3lim 2331+--+-→x x x x x x ． 解 123lim 2331+--+-→x x x x x x =12333lim 221---→x x x x =266lim 1-→x x x =46=2 3． 例2求x x x tan cos 1lim π+→． 解 x x x tan cos 1lim π+→=x x x 2πcos 1sin lim -→=0． 例3 求 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π 解 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π =221 11 lim x x x -+- +∞ →=22 1lim x x x ++∞→=1． 除未定型 00与∞ ∞ 之外，还有00,1,0,,0∞∞-∞∞?∞等未定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就∞-∞未定型再举一例． 例5 求??? ? ?--→x x x x ln 11lim 1． 解 这是∞-∞未定型，通过“通分”将其化为 未定型． x x x x x x x x x x ln )1()1(ln lim ln 11lim 11---=??? ??--→→x x x x x x x 1ln 1 ln 1 lim 1-+ -+=→ Mathematica函数大全--运算符及特殊符号一、运算符及特殊符号 Line1;执行Line，不显示结果 Line1,line2顺次执行Line1，2，并显示结果 ?name关于系统变量name的信息 ??name关于系统变量name的全部信息 !command执行Dos命令 n! N的阶乘 !!filename显示文件内容 a-b减 a*b或a b 乘 a/b除 a^b 乘方 base^^num以base为进位的数 lhs&&rhs且 lhs||rhs或 !lha非 ++,-- 自加1，自减1 +=,-=,*=,/= 同C语言 >,<,>=,<=,==,!=逻辑判断（同c） lhs=rhs立即赋值 lhs:=rhs建立动态赋值 lhs:>rhs建立替换规则 expr//funname相当于filename[expr] expr/.rule将规则rule应用于expr expr//.rule 将规则rule不断应用于expr知道不变为止param_ 名为param的一个任意表达式（形式变量）param__名为param的任意多个任意表达式（形式变量） 二、系统常数 Pi 3.1415....的无限精度数值 E 2.17828...的无限精度数值 Catalan 0.915966..卡塔兰常数 EulerGamma 0.5772....高斯常数 GoldenRatio 1.61803...黄金分割数 Degree Pi/180角度弧度换算 I复数单位 Infinity无穷大 Mathematica函数及使用方法 (来源：北峰数模) --------------------------------------------------------------------- 注：为了对Mathematica有一定了解的同学系统掌握Mathematica的强大功能，我们把它的一些资料性的东西整理了一下，希望能对大家有所帮助。 --------------------------------------------------------------------- 一、运算符及特殊符号 Line1; 执行Line，不显示结果 Line1,line2 顺次执行Line1，2，并显示结果 ?name 关于系统变量name的信息 ??name 关于系统变量name的全部信息 !command 执行Dos命令 n! N的阶乘 !!filename 显示文件内容 < Expr>> filename 打开文件写 Expr>>>filename 打开文件从文件末写 () 结合率 [] 函数 {} 一个表 <*Math Fun*> 在c语言中使用math的函数 (*Note*) 程序的注释 #n 第n个参数 ## 所有参数 rule& 把rule作用于后面的式子 % 前一次的输出 %% 倒数第二次的输出 %n 第n个输出 var::note 变量var的注释"Astring " 字符串 Context ` 上下文 a+b 加 a-b 减 a*b或a b 乘 a/b 除 a^b 乘方 base^^num 以base为进位的数 lhs&&rhs 且 lhs||rhs 或 !lha 非 ++,-- 自加1，自减1 +=,-=,*=,/= 同C语言 >,<,>=,<=,==,!= 逻辑判断（同c） 第四章 一元函数积分学 不定积分部分 一．原函数的概念 例1.下列等式成立色是（ ） ()()().;A f x dx f x '=? ()()().;B df x dx f x =? ()()(). ;d C f x dx f x dx =? ()()()..D d f x dx f x =? 例2．下列写法是否有误，为什么？ ()1 .ln c dx e e x x +=?（c 为任意正常数） ()2 ).0(1 3 3 2 ≠+=?c c dx x x ()3 .arccos arcsin 12 c x c x dx dx x +-=+=-? 例3.下列积分结果正确吗？ ()211sin .cos sin ;2x xdx x C =+?√ ()21 2sin .cos cos ;2x xdx x C =-+?√ ()1 3sin .cos cos 2.2 x xdx x C =-+?√ 例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。 二.直接积分法 利用不定积分的性质及基本积分表，我们就可以计算较简单的函数的积分，这种方法称做直接积分法. 例4．求().arctan 3 1111113 2 2 24 2 4 c x x dx dx dx dx x x x x x x x ++-= + +-= ++-= +???? 例5．求.sin 21 2cos 212cos 12sin 2 c x x xdx dx dx x dx x +-=-=-=???? 例6．求.tan 44422csc sin cos sin 2 222c x c xdx x dx x x dx +-===??? 例7．已知某个函数的导数是x x cos sin +，又知当2 π=x 时，这函数值为2，求 此函数. 解：因为() .sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+?， 所以，可设().sin cos c x x x f ++-= mathematica 运算符及特殊符号 一、运算符及特殊符号 Line1; 执行Line,不显示结果 Line1,line2 顺次执行Line1,2,并显示结果name 关于系统变量name 的信息 name 关于系统变量name 的全部信息 在c 语言中使用math 的函数 (*Note*) 程序的注释 #n 第n 个参数 ## 所有参数 rule& 把rule 作用于后面的式子 % 前一次的输出 %% 倒数第二次的输出 %n 第n 个输出 a+b 加 a-b 减 a*b 或a b 乘 a/b 除 a^b 乘方 base^^num 以base 为进位的数 lhs&&rhs 且 lhs||rhs 或 !lha 非 ++,-- 自加1,自减1 +=,-=,*=,/= 同C 语言 二、系统常数 Pi 3.1415....的无限精度数值 E 2.17828...的无限精度数值 Catalan 0.915966..卡塔兰常数EulerGamma 0.5772....高斯常数GoldenRatio 1.61803...黄金分割数 Degree Pi/180 角度弧度换算 I 复数单位 Infinity 无穷大 -Infinity 负无穷大 ComplexInfinity 复无穷大 Indeterminate 不定式 三、代数计算 Expand[expr] 展开表达式 Factor[expr] 展开表达式 Simplify[expr] 化简表达式 FullSimplify[expr] 将特殊函数等也进行化简PowerExpand[expr] 展开所有的幂次形式 ComplexExpand[expr,{x1,x2...}] 按复数实部虚部展开FunctionExpand[expr] 化简expr 中的特殊函数 Collect[expr, x] 合并同次项 Collect[expr, {x1,x2,...}] 合并x1,x2,...的同次项Together[expr] 通分 Apart[expr] 部分分式展开 Apart[expr, var] 对var 的部分分式展开 Cancel[expr] 约分 ExpandAll[expr] 展开表达式 ExpandAll[expr, patt] 展开表达式 FactorTerms[poly] 提出共有的数字因子 FactorTerms[poly, x] 提出与x 无关的数字因子FactorTerms[poly, {x1,x2...}] 提出与xi 无关的数字因子Coefficient[expr, form] 多项式expr 中form 的系数Coefficient[expr, form, n] 多项式expr 中form^n 的系数Exponent[expr, form] 表达式expr 中form 的最高指数Numerator[expr] 表达式expr 的分子 Denominator[expr] 表达式expr 的分母ExpandNumerator[expr] 展开expr 的分子部分ExpandDenominator[expr] 展开expr 的分母部分TrigExpand[expr] 展开表达式中的三角函数 TrigFactor[expr] 给出表达式中的三角函数因子 一元函数积分学的应用 一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态，一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。 一元积分主要分为不定积分 ?dx x f )(和定积分? b a dx x f )(。化为函数 图像具体来说，不定积分是已知导数求原函数，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C 的导数也是f(x)（C 是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积，可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间，所以本文主要研究定积分的各种应用。 积分的应用十分巧妙便捷，能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。 微元法建立积分表达式 在应用微积分于实际问题时，首先要建立积分表达式，一般情况下，只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述（以下的讨论都是建立在这两个条件下，因此不再提示此条件）。 而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。其分为两个步骤：（1）任意分割区间[]b a ,为若干子区间，任取一个子区间[]dx x x +,，求Q 在该区间上局部量的Q ?的近似值dx x f dQ )(=；（2）以dx x f )(为被积式，在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值 ??==b a b a dx x f dQ Q )(。（分割，近似，求和，取极限） 在实际应用中，通过在子区间],[dx x x +上以“匀”代“非匀”或者把子区间],[dx x x +近似看成一点，用乘法所求得的近似值就可以作为Q ?所需要的近似值，即为所寻求的积分微元dx x f dQ )(= 。 定积分在几何中的应用 在几何中，定积分主要应用于平面图形的面积、平面曲线的弧长、已知平行截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积。下面我们来分类讨论： 一、 平面图形的面积 求图形面积是定积分最基本的应用，因为定积分的几何意义就是在给定区间内函数曲线与x 轴所围成图形的面积。而求面积时会出现两种情况：直角坐标情形和极坐标情形。 1、直角坐标情形 在求简单曲边图形（能让函数图像与之重合）的面时只要建立合适的直角坐标系，再使用微元法建立积分表达式，运用微积分基本公式计算定积分，便可求出平面图形的面积。如设曲 y O 一元函数积分相关问题 前言： 考虑到学习的效率问题，我在本文献中常常会让一个知识点在分隔比较远的地方出现两次。这种方法可以让你在第二次遇到同样的知识点时顺便复习下这个知识点，同时第二次出现这个知识点时问题会稍微升华点，不做无用的重复。 一．考查原函数与不定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握原函数与不定积分的定义、原函数与不定积分的关系，知道求不定积分与求微分是互逆的关系，理解不定积分的线性性质。 问题1： 若)(x f 的导函数是x sin ，则所有可能成为)(x f 的原函数的函数是_______。 二．考查定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握定积分的定义与几何意义，了解可积的充分条件和必要条件，掌握定积分的基本性质。 定积分的基本性质有如下七点： 1、线性性质 2、对区间的可加性 3、改变有限个点的函数值不会改变定积分的可积性与积分值 4、比较定理（及其三个推论） 5、积分中值定理 6、连续非负函数的积分性质 7、设)(x f 在],[b a 上连续，若在],[b a 的任意子区间],[d c 上总是有 ? =d c dx x f 0)(，则当 ],[b a x ∈时，0)(≡x f 问题2： 设? = 2 )sin(sin π dx x M ，?=20 )cos(cos π dx x N ，则有（） （A ）N M <<1 （B ）1< 分的关系，了解初等函数在定义域内一定存在原函数但不一定能积出来，需要重点掌握牛顿—莱布尼兹公式及其推广。 其中变限积分的求导方法为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x ?和)(x ψ在],[βα上可导，当],[βα∈x 时， b x x a ≤≤)(),(ψ?，则? =) () ()(x x dt t f y ?ψ在],[βα上可以对x 求导，且 )('))(()('))((x x f x x f dx dy ψψ??-= 牛顿—莱布尼兹定理为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则 )()()(a F b F dx x f b a -=? 问题3： 已知 ? +=) 1ln(2)(x x t dt e t x f ，求)('x f )0(≥x 四．考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。 问题4： 设)(x f 在]1,0[上连续， A dx x f =? 2 )cos (π ，则==? π 20 )cos (dx x f I _______。 五．利用定积分的定义求某些数列极限 讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有： ∑? =∞ →--+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑? =∞ →---+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1 )))(1((lim )( 问题5： 求∑ =∞ →+=n i n i n n i n w 1 2tan lim 六．考察基本积分表 讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。 七．考察分项积分方法 最新版的Mathematica 9.0 三个种子中的Mathematica 9的安装文件都是来自Wolfram官网，填入算号器算出来的Activation Key和Password之后就是正式版了。 请注意：这个算号器（for_windows和for_Linux这2个种子中那个）是针对Mathematica 8的，且是个Windows程序（必须在Windows中算号），但是其算出来的Activation Key和Password在三大平台中的Mathematica 9中也能正确注册。 在for_mac的种子中还有一个算号器（Mathematica 7-8-9 keygen.exe.zip）其实是个Mathematica 7的算号器，我使用了之后无用，请忽略。其他两个种子中带的那个算号器（Mathematica_8_kg.exe）是可以用的，如果算出来的号不能用，请多算几次！目前网上还没有能一次性算出正确的号的算号器！ 算号及激活方法（以Windows平台为例）： 1、安装并运行对应平台的Mathematica 9，启动后会提示激活产品 2、点“Other ways to activate”，并点“Manual Activation” 3、右键“MathID"后面的数字，并选择”Copy“复制下来备用 4、运行Mathematica_8_kg.exe（如果你不下载Windows和Linux版本，请单独下载附件中的算号器，因为for mac种子里面的那个算号器不能用），在第一行粘贴刚才复制的MathID，然后下面的”Computer Name“等等随便填，最后点”Save mathpass“，并点击成功生成提示框的”确定“按钮 5、复制算出来的”Activation Key“和”Password“，粘贴到Mathematica 9产品激活窗口中对应的框中，并点击”activate“按钮完成注册 Mathematica的内部常数 Pi , 或π(从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“p”+“Esc”）圆周率π E (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ee”+“Esc”）自然对数的底数e I (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ii”+“Esc”）虚数单位i Infinity, 或∞(从基本输入工具栏输入 , 或“Esc”+“inf”+“Esc”）无穷大∞ Degree 或°(从基本输入工具栏输入,或“Esc”+“deg”+“Esc”）度 Mathematica的常用内部数学函数 指数函数Exp[x]以e为底数 对数函数Log[x]自然对数，即以e为底数的对数 Log[a，x]以a为底数的x的对数 开方函数Sqrt[x]表示x的算术平方根 绝对值函数Abs[x]表示x的绝对值 三角函数 （自变量的单位为弧度）Sin[x]正弦函数 Cos[x]余弦函数 Tan[x]正切函数 Cot[x]余切函数 Sec[x]正割函数 Csc[x]余割函数 反三角函数ArcSin[x]反正弦函数 ArcCos[x]反余弦函数 ArcTan[x]反正切函数 ArcCot[x]反余切函数 ArcSec[x]反正割函数 ArcCsc[x]反余割函数 双曲函数Sinh[x]双曲正弦函数 Cosh[x]双曲余弦函数 Tanh[x]双曲正切函数 Coth[x]双曲余切函数 Sech[x]双曲正割函数 Csch[x]双曲余割函数 反双曲函数ArcSinh[x]反双曲正弦函数 ArcCosh[x]反双曲余弦函数 ArcTanh[x]反双曲正切函数 ArcCoth[x]反双曲余切函数 ArcSech[x]反双曲正割函数 ArcCsch[x]反双曲余割函数 求角度函数ArcTan[x，y]以坐标原点为顶点，x轴正半轴为始边，从原点到点（x，y）的射线为终边的角，其单位为弧度 数论函数GCD[a,b,c,．．．]最大公约数函数 LCM[a,b,c,．．．]最小公倍数函数 Mod[m,n]求余函数(表示m除以n的余数) Quotient[m，n]求商函数（表示m除以n的商） 第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞∞或00型，) ()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算： 基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法 一元函数积分学 【知识要点】 1、理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质。 2、熟练掌握不定积分的基本公式。 3、熟练掌握不定积分第一换元法,掌握第二换元法(仅限三角代换与简单的根式代换。 4、熟练掌握不定积分的分部积分法。 5、掌握简单有理函数不定积分的计算。 6、理解定积分的概念及其几何意义,了解函数可积的条件 7、掌握定积分的基本性质 8、理解变上限积分是变上限的函数,掌握对变上限积分求导数的方法。 9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 11、 . 理解无穷区间的广义积分的概念,掌握其计算方法。 12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 1不定积分 定义函数 (x f 的全体原函数称为函数 (x f 的不定积分 , 记作?dx x f (, 并称?微积分号, 函数 (x f 为被积函数, dx x f (为被积表达式, x 为积分变量。因此 ? +=C x F dx x f ( (, 其中 (x F 是 (x f 的一个原函数, C 为任意常数(积分常数。基本积分公式(要求熟练记忆 (1 ?=C dx 0 (2 1(1 11 -≠++=+?a C x a dx x a a . (3 C x dx x +=? ln 1. (4 C a a dx a x x += ?ln 1 1, 0(≠>a a (5 C e dx e x x +=? (6 ?+-=C x xdx cos sin (7 ?+=C x xdx sin cos (8 C x x +=?tan cos 1 2 . (9 C x x +-=?cot sin 1 第8章Mathematica中的常用函数8.1 运算符及特殊符号 Linel 执行Line，不显示结果 Linel,line2 顺次执行Line1，Line2，并显示结果 ?name 关于系统变量name的信息 ??name 关于系统变量name的全部信息 !command 执行Dos命令 N! N的阶乘 !!filename 显示文件内容 < -Infinity 负无穷大 Complexlnfinity 复无穷大 Indeterminate 不定式 8.3 代数计算 Expand[expr] 展开表达式 Factor[expr] 展开表达式 Simplify[expr] 化简表达式 FullSimplify[expr] 将特殊函数也进行化简PowerExpand[expr] 展开所有的幂次形式ComplexExpand[expr,{x1，x2…}] 按复数实部虚部展开FunctionExpand[expr] 化简表达式中的特殊函数 Collect[expr,x] 合并同次项 Collect[expr,{x1，x2，…}] 合并x1，x2,...的同次项 Together[expr] 通分 Apart[expr] 部分分式展开 Apart[expr,var] 对var的部分分式展开 Cancel[expr] 约分 ExpandAll[expr] 展开表达式 ExpandAll[expr,patt] 展开表达式 FactorTermsrpoly] 提出共有的数字因子 FactorTerms[poly，x] 提出与x无关的数字因子 FactorTerms[poly,(x1,x2…)] 提出与xi无关的数字因子 Coefficient[expr,form] 多项式expr中form的系数 Coefficient[expr,form，n] 多项式expr中form^n的系数 Exponent[expr,form] 表达式expr中form的最高指数 Numerator[expr] 表达式expr的分子 Denominator[expr] 表达式expr的分母 ExpandNumerator[expr] 展开expr的分子部分 8.4 解方程 Solve[eqns,vats] 从方程组eqns中解出Vats Solve[eqns,vats,elims] 从方程组eqns中削去变量elims，解出vats DSolve[eqn,y,x] 解微分方程，其中、y是x的函数 DSolve[{eqnl,eqn2,…}，{y1，y2…},] 解微分方程组，其中yi是x的函数DSolve[eqn,y,{x1,x2…}]解偏微分方程 Eliminate[eqns，Vats] 把方程组eqns中变量vars约去SolveAlways[eqns，vars] 给出等式成立的所有参数满足的条件Reduce[eqns，Vats] 化简并给出所有可能解的条件LogicalExpand[expr] 用&&和，，将逻辑表达式展开InverseFunction[f] 求函数f的反函数 Root[f,k] 求多项式函数的第k个根 一元函数积分学在经济中的应用 一、导数在经济分析中的应用 （一）边际成本 总成本函数的导数称为边际成本。 边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数，用以判断增减产量在经济上是否合算。它是在管理会计和经营决策中常用的名词。当产量未达到一定限度时，边际成本随产量的扩大而递减，但当产量超越一定限度时，就转而递增。因此，当增加一个单位产量所增加的收入高于边际成本时，是合算的；反之，是不合算的。因此计算边际成本等于边际收入时，为企业获得其最大利润的产量。通过确定边际成本来提供经营决策所需资料的成本决策，称为边际成本计算。在实际工作中，边际成本计算常只按变动成本计算。 （二）边际收益 总收益函数的导数称为边际收益。 它表示销售一个单位产品后，再销售一个单位的产品所增加的收益。它可以是正值或负值。边际收益是厂商分析中的重要概念。利润最大化的一个必要条件是边际收益等于边际成本。在完全竞争条件下，任何厂商的产量变化都不会影响价格水平，需求弹性对个别厂商来说是无限的，总收益随销售量增加同比例增加，边际收益等于平均收益，等于价格。在非完全竞争）条件下，厂商的销售量同价格成反比。如果需求弹性大于1，即售量的增加的百分比，快于价格降低的百分比，总收益随销售量增加而增加，尽管不是同比例增加，平均收益下降，边际收益为零；如果需求弹性小于1，这时总收益随销售量增加而减少，平均收益更快下降，边际收益为负数。 （三）边际利润 总利润函数的导数称为边际利润。它表示：若已经生产了x个单位的产品，再生产多一个单位的产品总利润的增加量。 边际利润是反映增加产品的销售量能为企业增加的收益。销售单价扣除边际成本即为边际利润，边际利润是指增加单位产量所增加的利润。企业的经营收益减去会计成本，所得到的就是会计利润。按照我国的财会制度，有销售利润、利润总额及税后利润等概念。销售利润是销售收入扣除成本、费用和各种流转税及附加费后的余额；利润总额是企业在一定时期内实现盈亏的总额；税后利润是企业利润总额扣除应缴所得税后的利润。 一般情况下，总利润函数等于总收益函数与总成本函数之差，则边际利润是边际收益与边际成本之差。 二、函数在经济学中的应用。 需求函数。在经济管理中，需求函数是用来表示一种商品的需求数量和影响该需求数量的各种因素之间的相互关系的。也就是说，影响需求数量的各种因素是自变量，需求数量是因变量。需求函数是单调减少函数。 供给函数。供给函数表示一种商品的供给量和该商品的价格之间存在着一一对应的关系。 均衡价格。均衡价格是指一种商品的需求价格和供给价格相一致时的价格，也就是这种商品的市场需求曲线与市场供给曲线相交时的价格。 第四章 不定积分 一、是非题： １．已知()211 arcsin x x -='π+，则?π+=-x dx x arcsin 112． 错 2. 连续函数的原函数一定存在． 对 3. ()()?? =dx x f d dx x f dx d ． 错 4. ax y ln =和x y ln =是同一函数的原函数． 对 ()2x x e e y -+=和()2x x e e y --=是同一函数的原函数． 对 5. ()()??=dx x f k dx x kf （k 是常数） 错 二、填空题： １．()()? ='dx x f x f （C x f +)(ln ）． ２．()?=''dx x f x （()C x f x f x x f xd +-'='? )()( ）． ３．知()()?+=C x F dx x f ，则()?=+dx b ax f （C b ax F a ++)(1），b a ,为常数． ４．已知 ()?+=C e dx x f x ，则()=??dx x x f sin cos （ C e x +-cos ）． ５．已知()[]x dx x f sin ='?，则()=x f （x sin ）． 6. 设()x f 、()x f '连续，则() ()[]=+'?dx x f x f 21（[]C x f +)(arctan ）． 7. 设()x f 的一个原函数为x e -，则()ln f x dx x =?（ 1C x + ）． 8. 函数（21ln(1)2x C ++）是2 1x x +的原函数． 9. 设()x f x e =，则()ln f x dx x '=?（x C +）． 三、选择填空： 1．已知()x F 是()x f 的一个原函数，C 为任意常数，下列等式能成立的是（ a ） a ．()()?+=C x F x dF b ．()()? ='x F dx x F 第三章 一元函数微分学的应用学习指导 一元函数微分学在经济等领域有着广泛的应用，微分中值定理给出了函数及其导数之间的联系，是微分学的基本定理．本章以导数为工具，以微分中值定理为理论基础，研究函数的单调性、极值、最值，函数的凹向及拐点，并应用导数解决经济中的边际、弹性及最优经济量等问题． 一、教学要求 1． 了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，并会应用拉格朗日中值定理证明不等式． 2． 熟练掌握洛必达法则求“00”、“∞∞ ”、“0?∞”、“∞-∞”、“1∞”、“0 0”、“0∞”七种未定式的极限方法． 3．掌握利用导数判定函数的单调性及函数单调区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式． 4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值的方法，并会求简单的几何应用问题． 5．会判定曲线的凹向，会求曲线的拐点及渐进线． 6．了解常用经济函数，掌握导数在经济分析中的应用(边际分析、弹性分析最优经济量的求法)． 重点: 利用洛必达法则求未定式的极限；利用导数判定函数的单调性与极值、凹向及拐点；导数的经济应用． 难点: 应用拉格朗日中值定理证明不等式；经济应用中的边际分析、弹性分析． 二、学习要求 1． 牢记中值定理成立的条件，并恰当引入辅助函数． 2．应用洛必达法则求极限时应注意使用的条件，每次运用洛必达法则之前一定要检验是否是未定式的极限，然后转化为 00或∞ ∞ 型再计算． 3．深刻理解驻点只是可导函数取得极值的必要条件，极值点可能是驻点也可能是导数不存在的点． 4．边际函数即经济函数的导数()f x '，反映的是当x 产生一个单位的改变时，()f x 改变()f x '个单位；弹性函数 Ey Ex 表示当x 产生1%的改变时，y 改变Ey Ex ％．在解决实际问题时，应注重结合经济实例，理解所求值的正负的含义． 三、典型例题分析 例1 设523)(2 ++=x x x f ，求)(x f 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的ξ值． 解 )(x f 为多项式函数，在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的条件，故有 ))((')()(a b f a f b f -=-ξ 第四章 微分学的应用 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理. 2.会用洛必达法则求未定式的极限. 3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法. 4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题. 5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形. 重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题. （二）内容提要 1. 三个微分中值定理 ⑴ 罗尔（Rolle ）定理 如果函数)(x f y =满足下列三个条件： ①在闭区间],[b a 上连续; ②在开区间),(b a 内可导; ③)()(b f a f =, 则至少存在一点),,(b a ∈ξ使0)(='ξf . ⑵ 拉格朗日（Lagrange ）中值定理 如果函数)(x f y =满足下列两个条件： ①在闭区间],[b a 上连续； ②在开区间),(b a 内可导, 则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得,) ()()(a b a f b f f --= 'ξ或))(()()(a b f a f b f -'=-ξ. ⑶ 柯西（Cauchy ）中值定理 如果函数)(x f 与)(x g 满足下列两个条件： ①在闭区间],[b a 上连续； ②在开区间),(b a 内可导，且),(,0)(b a x x g ∈≠', 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得 ) () ()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--. 2.洛必达法则 如果 ①,0)(lim 0 =→x f x x 0)(lim 0 =→x g x x ; ② 函数)(x f 与)(x g 在0x 某个邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； ③ ),,()() (lim 0 ∞-+∞∞=''→或也可为为有限数A A x g x f x x ,则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→)() (lim ) ()(lim 00 . 注意 上述定理对于∞→x 时的00型未定式同样适用,对于0x x →或∞→x 时的∞ ∞型未定式也有相应的法则. 3. 函数的单调性定理 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，则有 ①若在),(b a 内0)(>'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调增加； ②若在),(b a 内0)(<'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调减少. 4 . 函数的极值、极值点与驻点 ⑴ 极值的定义 设函数)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任一点 )(0x x x ≠，都有)()(0x f x f <，则称)(0x f 是函数)(x f 的极大值；如果对于该邻域内任 一点)(0x x x ≠，都有)()(0x f x f >，则称)(0x f 是函数)(x f 的极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点0x 称为函数)(x f 的极值点. ⑵ 驻点 使0)(='x f 的点x 称为函数)(x f 的驻点. ⑶ 极值的必要条件 设函数)(x f 在0x 处可导，且在点0x 处取得极值，那么 0)(0='x f . ⑷ 极值第一充分条件 设函数)(x f 在点0x 连续，在点0x 的某一去心邻域内的任一点x 处可导,当x 在该邻域第三章 一元函数积分学
高等数学教案--一元函数微分学的应用
Mathematica函数大全(内置)
Mathematica函数及使用方法
专升本-一元函数积分学
mathematica 运算符及特殊符号
一元函数积分学的应用
一元函数积分知识点完整版
Mathematica 9.0破解说明
Mathematica语句基本命令
一元函数微分学知识点
成人高考一元函数积分学整理.
Mathematica常用符号
一元函数积分学在经济中的应用(1)
高数一元函数积分学习题及答案
一元函数微分学的应用学习指导
一元函数微分学的应用
相关主题
文本预览