6时间序列的复杂度和熵
6时间序列的复杂度和熵 (1)
6.1引言 (2)
6.2时间序列符号化方法 (2)
6.3热力学熵－克劳修斯(Clausius)熵[5, 6] (4)
6.4统计熵－玻尔兹曼(Boltzmann)熵[5] (6)
6.5信息熵－先农(Shannon)熵[5, 7] (6)
6.6Kolmogrov熵和K2熵 (8)
6.7非广延熵-Tsallis熵 (9)
6.8近似熵－Approximate Entropy (10)
6.9样本熵－Sample Entropy (12)
6.10多尺度熵－Multiscale Entropy (14)
6.11Lempel-Ziv复杂度 (16)
6.12相似指数分析[24] (17)
6.13海杂波的复杂度和熵 (18)
6.14本章小结 (18)
6.15后记 (19)
6.1 引言
在对动力学结构进行动力学特性分析时，首先对结构进行非线性检测，并判断该系
统的非线性因素是否可以忽略非常重要。一个系统的熵和复杂度隐含着整个系统运动规
律,他们的物理意义直接和系统单一变量的性质相联系。在计算熵和复杂度时，一般同
近年来由符号动力学理论发展出来的符号时间序列分析方法相联系。符号时间序列分析
实质是结合混沌时间序列分析和信息理论的一种分析方法. 其实质是先对序列值的符
号化，符号化后编码，编码后计算熵或复杂度等特征。数据符号化的基本思想就是在几
个可能值上对时间序列进行离散化，把许多可能值的数据序列变换为仅有几个互不相同
值的符号序列。 这是一个“粗粒化”(Coarse-grained)过程，这一过程能够捕获大尺
度的特征，从而降低动力学噪声和测量噪声的影响。而且，复杂度和熵不仅适用于混沌
时间序列，也适用于性质未知时间序列的特征提取和分析。
本文主要研究了时间序列的常用符号化过程，编码序列或原始时间序列的熵和复杂
度的计算。本章中各节主要内容如下：6.2节介绍了时间序列的几种常用符号化方法；6.3
节－6.10节介绍了各种熵的定义、计算方法和应用；6.11节为Lempel-Ziv 复杂度的计算、
应用和物理意义分析；6.12介绍了一种计算两时间序列相似度的方法；6.13节为海杂波
的熵和复杂度及其应用；6.14节为本章小结。
6.2 时间序列符号化方法
对于非线性时间序列复杂度的研究，时间序列粗粒化的方法有：均值法、一阶差分
法、移动均值一阶差分法等，这些方法共同的特征是把时间序列简化成容易处理的符号
序列[1-4]。目前采用较多的是如图1所示的均值化方法，即对于某一时间序列
(),1,2,,x i i n = ，令: 1
1()n ave i X x i n ==∑ (6.1) 为这一时间序列的平均值, ave X ()12n S s s s = 是一个与时间序列(),1,2,,x i i n = 长度
相同的空符号串。当时间序列中的某一元素()ave x i X >时，则取符号为“1”，否则为
“0”,由此建立的符号序列为。由于只考虑大于平均值和小于等于平均值这两种状态,
所以在动力学结构分析中,这种划分方法对噪声不敏感。而且只能体现出序列的整体特
性，不能体现出序列的局部特性。
i s S
1010110101Mean Value
1
Symbol Series Static transformation (fixed partition)
图表 6-1：连续模拟序列的静态均值符号序列化方法示意图
显然，以上取均值处理的方法存在明显缺陷，大量的细节信号被抹掉。为了体现时
间序列的细节信息，可以使用一阶差分方法符号化时间序列。对一时间序列，任意点与
其前一点进行比较，大于等于前者，记为1，否则记为0，得到的符号序列中的所有“01”
或“10”对应一次局部极值。如图表 6-2所示，这种方法在很大程序上提取了信号中的
细节成分。 010*******U p =1
D ow n =0
S y m b o l S eries D y n a m ic tra n sfo rm a tio n (first d ifferen ce)
图表 6-2：连续模拟序列的一阶差分符号序列化方法示意图
另外，为了综合上面两种方法的优点，也可动态符号化时间序列。动态符号化是指
对长度为的时间序列取长度为的矩形窗，对窗内序列取均值， 窗内大于均值的点
置于1，小于均值的点置为0，这样将一长度为的非“0，1”序列变换为个
长度为的“0，1”符号序列，然后对N L N 1N L ?+L 1N L ?+个序列分别计算其复杂度或熵，从而得
到复杂度随时间的动态变化。使用这种方法简单方便，不仅考虑了全局特征也提取了局
部细节信号。
图表 6-3给出了使用均值化方法根据原始数据据序列产生符号序列和符号编码序列的
示意图，它很好地解释了由原始时间序列到生成符号编码的整个过程。在原始数据被转
化为符号序列形式后，就要提取其特征量。一个非常有用的方法就是选择一个标准长度
的，个连续的符号组成一个字，每一个字被编码为十进制数，形成一个新的序列。
上述过程与时间延迟嵌入类似，即利用离散的符号代替连续的原始测量值。
L L
图表 6-3：根据原始数据据序列产生符号序列和符号码序列示意图
在符号编码序列产生以后，可以将出现的字的频率作为时间序列分析的一个指标，
如所示图表 6-4就是符号编码序列的直方图，它直观地描述了每一个字出现的概率，因
此为后面各种熵和复杂度的计算提供了基础。
图表 6-4：符号编码序列的直方图
6.3 热力学熵－克劳修斯(Clausius)熵[5, 6]
1854年克劳修斯(Clausius)发表了《力学的热理论的第二定律的另一种形式》的论
文,给出了可逆循环过程中热力学第二定律的数学表示形式: 0dQ T =∫ (6.2) 引入了一个新的后来定名为熵的态参量。1865年他发表了《力学的热理论的主要方程
S
之便于应用的形式》的论文，把这一新的态参量正式定名为熵。并将上述积分推广到更
一般的循环过程，得出了热力学第二定律的数学表示形式： 0dQ T ≤∫ (6.3) 其中等号对应于可逆过程，不等号对应于不可逆过程。在热力学过程中，为了描述不可
逆过程的单向性，引入态函数熵。对于只有热接触的封闭系统，熵变化为
S dS
dQ dS T ≥ (6.4) 或 b
a b a dQ S S T
?≥∫ (6.5) 上式中的a 、表示始末两个状态，、为始末两个状态的熵，为系统吸收的热
量，为热源的温度，可逆过程中T 也是系统的温度。
b a S b S dQ T 当系统经历绝热过程或系统是孤立的时候，系统与外界没有热量交换：
0dQ = (6.6) 因此有
(6.7) 0dS ≥或 0a b S S ?≥ (6.8) 即有“熵增加原理”：孤立系统或绝热过程是不可逆系统，熵总是增加的。
可逆过程只能沿熵增加的方向进行，最终达到平衡状态。由于系统的无序程度与熵
值存在对应关系，所以由“熵增加原理”导致的孤立系统达到的平衡态是均匀无序状态。
由此定义的熵称克劳修斯熵，或热力学熵。 熵是一个态函数，是热力学宏观量。对绝
热过程和孤立系统中所发生的过程，由熵函数的数值可判定过程进行的方向和限度。
对于非平衡的开放系统，Prigogine 等进一步推广熵的概念，将表示为
dS e i dS d S d S =+ (6.9) 其中表示与外界交换能量与物质时，引起熵变换，称为熵交换；表示系统内部
的不可逆过程产生的熵。根据式e d S i d S (6.9)，对于开放系统有
(6.10) 0i d S ≥
0e e d S d S d S <若，且有i > (6.11) 则由式(6.9)知，系统有 0dS < (6.12) 即开放系统的熵的总变化是负的，故开放系统有可能形成有序结构。有序结构的形成，
一方面需要外界条件，这是必要的；另一方面需要内部条件，这是充分的。由外界的能
量或物质维持一种空间或时间上的有序结构，称为耗散系统。
Prigogine 等还证明，相对于定态熵的二级偏差(超熵)总是负的，即
20S δ< (6.13)
超熵对时间的导数称为超熵产生，其值可取不同的符号，据稳定性理论有以下三种情形： (1) 当
()20d S dt
δ<时，定态是渐近稳定的 (2) 当()20d S dt
δ>时，定态是不稳定的 (3) 当()20d S dt δ=时，定态是临界稳定的 由系统的状态变量和动力学参量决定取三种定态情况中的哪一种。在接近平衡态区
域，已知定态应该是渐近稳定的；当变量变化使状态远离平衡时，系统可能越过(3)的
情形进入(2)的情形。此时均匀无序的定态变成不稳定的，从而通过分叉过程造成对称
的破缺，并出现有序结构(如极限环和混沌)，即有序结构只可能在远离平衡态的非线性
区域出现。
6.4 统计熵－玻尔兹曼(Boltzmann)熵[5]
1896年，玻尔兹曼(Boltzmann)建立了熵和系统宏观态所对应的可能微观态数目W
(即热力学概率) 的联系：
S
ln S W ∝ (6.14) 1900年普朗克( Planck)引进了比例系数k －称为玻尔兹曼常量，写出了玻尔兹曼－普朗克公式：
ln S k W = (6.15)
所定义的熵称为玻尔兹曼熵，或统计熵。由此玻尔兹曼表明了熵是同热力学概率W 相
联系的，揭示了宏观态与微观态之间的联系，指出了热力学第二定律的统计本质：熵增
加原理所表示的孤立系统中热力学过程的方向性，正相应于系统从热力学概率小的状态
向热力学概率大的状态过渡， 平衡态热力学概率最大， 对应于取极大值的状态；熵
自发地减小的过程不是绝对不可能的，不过概率非常小而已。 S S 6.5 信息熵－先农(Shannon)熵[5, 7]
通常认为，熵概念泛化的最早领域是信息论领域。Shannon 在1948年定义了信息熵
作为某件事件不确定度的最度。信息是信息论中一个重要的基本概念，从信息接收者的
角度来看，“信息是能够减少或消除不确定性的一种客观存在和能动过程”。不确定性
是一切客观事物的属性，当接收者未收到某事物的信息之前，对事物的认识是不确定的，
一旦收到信息，就了解了该事物，即可以说对它的认识上的不确定性减少或消除了。那
么我们应该怎么样度量信息呢？关于信息的度量，首先是Shannon 在通信领域进行研究
的，他建立了由信源(信息的发送者)，信道与编、译码器，信宿(信息的接收者)组成的
通信系统模型，而信息量就是解除信源不确定度所需的信息度量，或者说获得这样大的
信息量后，信源不确定度就被解除。Shannon 以概率和数理统计为工具，提出度量信息
量的数学公式，对于离散型信源，当它由若干随机事件所组成时，随机事件出现的不确
定度用其出现的概率来描述。事件出现的可能性愈小，概率就愈小，而所含信息量却愈
大;相反，事件出现可能性愈大，概率就愈大，而所含信息量却愈小，所以信息量可用事
件出现概率的单调减函数来表示，若各事件概率分布不等，则信源提供的平均信息量即为：
H
(6.16)
1
log n
i i H p ==?∑i p 上式就是信息熵，也称Shannon 熵。其中，i p 为第个符号出现的概率，且有
i 11n i i p
==∑ (6.17)
由符号编码序列直方图可得到反映符号序列总体特征的统计量－Shannon 熵。在二
进制符号化规则下，可定义长度为的Shannon 熵为
L (12121()ln ln 2L s s s s H L P P L =?∑ )
L s s s (6.18) 式中， 12L s s s P 为长度为的短符号序列经二进制至十进制变换得到序列编码后，在
直方图中出现的各个符号编码所对应的概率。
L 通过式(6.16)可以看出，信息熵是从平均意义上描述信源的总体特征的，它表 示信源输出的平均信息量，它表征信源的平均不确定性。控制论的主要创立者Wienner
曾说；“信息量是一个可以看做概率的量的对数的负数，它实质上是熵。”这实际上推
广了原来热力学熵的概念。信息熵越大，说明信号源发出的平均信息量越大，即信源的
不确定度大；而热力学概念的熵，是系统不确定性或无序度的量度。可见，信息熵与热
力学概念的熵在性质上是等同的，所以我们可以说信息熵是热力学熵的自然推广。通过
这种概念的扩展，我们可以看出：熵不仅不必与热力学过程相联系，而且也不必与微观
分子运动相联系，它可以成为系统状态不确定程度的度量，这个状态可以是热力学的，
也可以不是热力学的；可以是微观的，也可以是宏观的。
在熵的泛化当中，我们得到信息熵的表达式为式(6.16)，它把概率分布函数与熵联
系起来，即每一个概率分布对应着唯一的一个信息熵值。也就是说，一个信息熵值表达
了一个概率分布的不确定性程度。进一步推广，如果用满足式(6.17)条件的非概率分布
函数来代替上式中的概率分布函数，结果会如何？事实上，从数学上讲，只要是满足了
式(6.17)的分布函数，无论它是否是概率分布函数，并没有这方面的要求。所以，由式
(6.17)的各种不同形式，发展起来各种熵的定义形式。
6.6 Kolmogrov 熵和K2熵
1958年Kolmogrov 定义了测度熵，称为Kolmogrov 熵(又称信息维数)，用来度量系统
运动的混乱或无序的程度。随后Sinai 进行了改进，所以又称为Kolmogrov-Sinai 熵，简称
为K-S 熵。考虑一个维动力系统，将它的相空间分割成一个个边长为n ε的维立方体盒
子，对于状态空间的一个吸引子和一条落在吸引域的轨道n ()x t ，取时间间隔为一很小量
τ，令表示起始时刻轨道在第个格子中，t (01,,,d P i i i )0i τ=时在第个格子中的联合
概率，则Kolmogorov 熵定义为：
d i
()(00101001lim lim lim ,,,ln ,,,d d d i i )d K P i i i P i i i d τετ→→→∞=?∑ (6.19)
而阶Renyi 熵定义为
q (02010011lim lim lim log ,,,1d
q q d l d i i )K P i i i d q ττ→→→∞=??∑ (6.20) 由于K-S 熵的计算非常复杂，早期的定义主要是直接从定义入手，进行了一些研究，
这些研究虽然很有意思，但不很成功。Crassbreger 和Procaccia 于1983年提出了相关维数
的概念[8]，
并定义了相关熵(Correlation Entropy)的概念来逼近Kolmogorov 熵[9]，简写为熵，熵和关联积分存在如下关系：
2K 2K 2()d C l 22001lim lim lim log ()d r d K d ττ
→→→∞=?2C r (6.21) 对离散时间序列，固定延迟时间τ，式(6.21)为 2201lim lim log ()d r d K d τ
→→∞=?2C r (6.22) 关联积分在时与存在如下关系：
2()d C r 0r →r 220
lim ()D d r C r r →∝ (6.23) 其中，2D 为关联维数，为尺度。结合式r (6.22)和式(6.23)有
222lim lim ()D K d d r d C r r d τ?→∞→∞
= (6.24)
即为 2222lim lim log ()log d r d C r D r K d 2τ→∞→∞
=? (6.25) 若暂时不考虑式(6.25)左边的极限，重构分别为和d d m +维下，由(6.25)式有
d 维情况下：
2222log ()log d C r D r K d 2τ=? (6.26) d m +维情况下： 22222log ()log ()d m C r D r K d m τ+=?+ (6.27) 将上面两式相减可以得到 22220()1lim lim log ()d l d d m C r K m C τ
→→∞+=r (6.28) 在一般情况下，是的一个很好的估计，可以证明，在典型情况下K-S 熵在数值上趋
近于熵。熵的优点在于能直接地、容易地从信号中估计得到，具体的计算方法可
以通过计算关联维来实现。根据前面的讨论，在嵌入维按等间隔不断增加的情况下，
在无标度区间内，由式2K 1K 2K 2K m (6.28)作等斜率线性回归，可同时得到关联维2D 和Kolmogorov 熵
的稳定估计[10]。
6.7 非广延熵-Tsallis 熵
1988年，为了解决非广延系统的问题Tsallis受多重分形的启示，提出非广延熵的
概念[11, 12]： 1
(1)
,(1)m
q i i q k p S q =?q R =∈?∑ (6.29)
其中，k 是Boltzman 常数，通常取1。以这种非广延熵为基础建立的统计力学称为非广
延统计力学, 或广义统计力学,而Boltzmann-Gibbs 统计力学则作为非广延统计力学在
时的极限情况被包括在内。为非广延参数，它刻画了系统的非广延程度，反映
在当系统有两个独立的子系统和1q →q A B 组成时，系统的熵(q S A B )+满足下面的非广延可
加性： ()()()()()(1)S A B S A S B S A S A q q q q q k k k k
+=++?q k (6.30) 当时，包含两个独立子系统的系统熵就不等于两个系统熵的和。
1q ≠(1)
时，系统对应着超广延性 1q <(2)
时，系统对应着广延性 1q =(3) 时，系统对应着次广延性 1q >
可以通过找到合适的通过非广延参数(不等于1时)来很好的描述复杂性既不是
规则也不是完全混沌或随机的一类运动。事实上，既不是规则也不是完全混沌或随机的
运动是无处不在的。
q q Tsallis 利用非广延熵函数极值的办法得出了广义的热力学统计的分布形式，即
Tsallis 分布。Tsallis 分布是在下面两个约束条件下获得的：
22()1||[()]q p x dx x p x dx δ+∞?∞+∞?∞=0?=∫
∫
(6.31) 根据最大熵原理引入lagrange 乘数,αβ
221221()(1()[])()1
1[()]11
q q q q q x S y d y ydx x y dx q y y x y dx q q δαβδδδαβδ+∞+∞+∞?∞?∞?∞?+∞?∞=?++??=+?++???∫∫∫∫ (6.32) 为了简化，表示成下式
1
22(,)()1q q q L x y y y x y q δαβδ?=?++?? (6.33) 因此 (6.34) ()()/S y y S y L y ydx δ+∞?∞
+?=??∫δ0 为了去求的最大值，令。可以得到分布
S /L y ??= 21/(1)1()[1(1)]q q
p x q x Z β?=+? (6.35) 6.8 近似熵－Approximate Entropy
相对于其它非线性动力学参数(如关联维数、Lyapunov 指数等)而言，90年代初由
Pincus 提出的近似熵(Approximale Entropy ，简记为ApEn)更主要的是从衡量时间序列复
杂性的角度来度量信号中产生新模式的概率大小，产生新模式的概率越大，序列的复杂
性越大，相应的近似熵也越大[13]。设采集到的原始数据为{}i x ，预先给定模式维数和
相似容限，则近似熵的值可通过以下步骤求得m r [14]：
1) 将序列{}i x 按顺序组成维矢量，即：
m [](),(1),,(1),1,2,1x i x i x i m i N m =++?=?X(i) 其中+ (6.36)
2) 定义与X(i)X(j)间的距离[](),()d X i X j 为两者对应元素中差值最大的一个，即
[]0~1
(),()max ()()m d X i X j x i k x j k ?=+?+ (6.37) 此时和X(i)X(j)中其他对应元素间差值自然都小于，并对每一个i 值计算
与其余矢量的距离d X(i),(1,2,,1)j N m =?X(j) +[](),()d X i X j 。
3) 按照给定的阈值，
对每一个i 值统计(0r r >)[](),()d X i X j r <的数目及此数目与总的矢量个数的比值，记作：
1N m ?+()m i C r []{}1()(),(),1,2,11
m i C r num d X i X j r i N m N m =<=?+?+ (6.38) 4) 先将取对数，再求其对所有的平均值，记做，即：
()m i C r i ()m r Φ 11
1()ln ()1N m m i i i N m ?+=Φ=?+∑m C r (6.39) 5) 再把维数加1，变成，重复1)－4)的过程，得到和：
1m +1()m r +Φ1()m i C r +[]{}11()(),(),1,2,m i C r num d X i X j r i N m N m +=
<=? ? 111
1()ln ()N m
m m i i r C N m ?++=Φ=?∑r 6) 此序列的近似熵为：
1(,)lim ()()m m N ApEn m r r r +→∞??=Φ?Φ?
? (6.40) 但在实际工作中不可能为，当取有限值时，估计：
N ∞N 1(,,)()()m m ApEn m r N r r +=Φ?Φ (6.41) (,,)ApEn m r N 的值与参数，和的选取有关。Pincus 曾指出，当，
m r N 2m =0.1~0.25x r SD =(x SD 为原始数据序列{}i x 的标准差)时，(,,)ApEn m r N 的值对序列长度
的依赖程度最小，即：
N (2,,)(2,)ApEn r N ApEn r ≈ (6.42) 因此实际的计算中，通常取2m =，0.1~0.25x r SD =(x SD 为原始数据序列{}i x 的标
准差)时，(,,)ApEn m r N 的值可以表示为： 1111111(2,,)()()11ln ()ln ()1()1ln 1()m m N m N m m i N i i m N m i m N i i ApEn r N r r C r C r N m N m C r N m C r +??+→∞==+?→∞=??=?Φ?Φ??
??=?????+??
??=???+?
?∑∑∑m i + (6.43)
分析式(6.43)可以看出，近似熵实际上是在衡量当维数变化时该时间序列中产生新模式的概率的大小，产生新模式的概率越大，序列就越复杂，对应的近似熵也就越大，因此从理论上讲，近似熵能够用来表征信号的不规则性和复杂程度。近似熵大致相当于维数变化时新模式出现的对数条件概率的均值，在衡量时间序列的复杂性方面具有一定意义。综合有关文献的论述，可总结出近似熵的主要特点如下[15]：
近似熵值的大小和采样序列复杂程度成正比关系。序列越复杂，对应的近似熵
值也就越大。
相对于K-S 熵、熵、E-R 熵而言，近似熵使用较短的数据就可以比较稳健的估
计值，分析出信号的特征，适合工程应用。
2K 它不仅仅是一个非线性动力学参数，由于它大致相当于某种条件概率，所以对
随机过程和确定性过程都适用。
近似熵具有一定的抗噪、抗野点能力，特别是对偶尔产生的瞬态强干扰有较好
的承受能力。这一点从近似熵的定义可以看出，若信号中嗓声的幅度低于相似容限该噪声将被抑制，若时间序列中存在较大的瞬态干扰时，干扰产生的数据(即所谓的“野点”)与相邻数据组成的矢量与的距离必定很大，因而在阈值检测中将被去除。因此，近似熵具有一定的抗噪、抗野点能力。
r X(i)6.9 样本熵－Sample Entropy
熵定义为新信息产生率。(,,)ApEn m r N 是对数据长度为，相似容限为，m 点数据段模式互相相似情况下点数据段模式互相相似的条件概率的负平均自然对数的近似值。关于参数需要牢记的一点是，它通常用数据的(标准差)的百分比表示，因此近似熵是一种标度不变的方法。我们定义N r 1m +CP r SD B 为维数m 时序列自相似的概率，A 为维数时序列自相似的概率，于是1m +CP A B =。从近似熵的算法可以看出，近似熵是以为计算模型，并计算所有该模型的平均值。为避免的出现，可知和(log CP ?)log(0)A B 都不应为0，作为修正，CP 应定义为(1)1A B )++。为保证这一点，在近似熵的定义中存在着对自身数据段的比较，但这显然与新信息的观点不相容，必然存在偏差。它包含两层含义：一方面ApEn 的值是与数据长度有关的，对短序列的ApEn 值明显比期望值小。 另一方面是一致性差，如一时间序列比另一时间序列有较高的ApEn 值的话，那对于其它的和m τ值，也应具有较高的ApEn 值，但ApEn 不一定满足。这种偏差也是导致它对微小的复杂性变化不灵敏的原因。事实上，即便如此，当、A B 过小，匹配数目过少，接近，时便出现较大的误差。因此，需要对近似熵的算法进行改进来克服这种偏差产生的影响1CP =0ApEn =[14]。
样本熵(, Sample Entropy)是由Richman 提出的一种新的时间序列复杂性测度方法SampEn [16, 17]。它是严格的自然对数，可以用来表示。其中，为长度，r 为相似容限，维数为m 及CP (,,)SampEn m r N N 1m +。样本熵在算法上相对于近似熵算法的改进：相对近似熵而言，样本熵的计算则是和的对数，优势在于包括更大的、A B 值，以及更加准确的估计。样本熵旨在降低近似熵的误差，与已知的随机部分有更加紧密的一致性，样本熵是一种与现在的近似熵类似但精度更好的方法。
CP 样本熵的具体算法如下[14]：
1) 将序列{}i x 按顺序组成维矢量，即：
m [](),(1),,(1),11x i x i x i m i N m =++?=?X(i) 其中+～ (6.44) 2) 定义与X(i)X(j)间的距离[](),()d X i X j 为两者对应元素中差值最大的一个，即 []0~1(),()max ()()m d X i X j x i k x j k ?=+?+ (6.45)
此时和X(i)X(j)中其他对应元素间差值自然都小于，并对每一个i 值计算 与其余矢量的距离d X(i),(1,2,,1)j N m =?X(j) +[](),()d X i X j 。
3) 按照给定的阈值，对每一个i 值统计(0r r >)[](),()d X i X j r <的数目及此数目与
总的矢量个数的比值，记作N m ?()m i B r ： []{}1()(),(),1,2,1,m i C r num d X i X j r i N m i j N m
=<=? ?+≠ (6.46) 4) 再对所有的平均值，记做i ()m B r ，即为： 11
1()()1N m m i i m B r N m ?+==?+∑B r (6.47) 5) 再把维数加1，变成，重复1)－4)的过程，得到1m +()m i B r 和()m B r 。
6) 因此理论上此序列的样本熵为： {}
1(,)lim ln ()()m m N SampEn m r B r B r +→∞??=??? (6.48) 但在实际工作中不可能为，当取有限值时，估计样本熵为：
N ∞N 1(,,)ln ()()m m SampEn m r N B r B r +??=??? (6.49) (,,)SampEn m r N 的值与参数，r 和的选取有关。不同的嵌入维数和相似容限对应的样本熵也不同。在一般情况下m N m r 12m =或，0.1~0.25x r SD =计算得到的样本熵具有较为合理的统计特性。
样本熵在算法上相对于近似熵算法的改进，具有以下很好的性质：
样本熵不包含自身数据段的比较，因此它是条件概率的负平均自然对数的精
确值，因此样本熵的计算不依赖数据长度
样本熵具有更好的一致性，如一时间序列比另一时间序列有较高的值的话，那对于其他m 和r 值，也具有较高的值
SampEn
SampEn 样本熵对于丢失数据不敏感，即使数据丢失多达13，对计算值影
响依然很小。
SampEn 6.10 多尺度熵－Multiscale Entropy
多尺度熵方法首先是由Costa 等人提出来的，已经广泛应用到生理时间序列的分析上
[18-21]。它基于样本熵，用于描述时间序列在不同时间尺度上的无规则程度。多尺度熵包含三个参数τ，和，其中m r τ是尺度因子，τ是嵌入维数，是阈值，也称相似系数，其计算方法如下：
r (1) 设一离散时间序列12,,,L x x x ，共个点：对时间序列进行粗－断点
(coarse-graining)变换，得到新的时间序列：
L ()
(1)11()j j i j y ττττ=?+=∑x i (6.50)
其中τ为尺度因子，每一个粗一断点时间序列的长度为L τ。当尺度1τ=时，粗－断点时间序列就是原始时间序列。图表 6-5和图表 6-6分别为2尺度和3尺度粗－断点时间序列的获取方法。
图表 6-5：多尺度熵的2尺度时间序列获取方法
图表 6-6：熵多尺度熵的3尺度时间序列获取方法
(2) 根据尺度τ变化所得到的时间序列，长度N L τ=，按连续序号组成一组维矢
m
量：从到，其中，
(τ)Y (1)(τ)Y (N -m +1) ()()()(),(1),,(1),1~1y i y i y i m i N m τττ??=++?=??
?(τ)Y (i) +?? (6.51) 这些矢量代表了从第个点开始的连续的个值。
i m y (3) 定义为尺度()()(),()d Y i Y j ττ??τ上矢量和对应元素相减并取绝对值
时最大的那个值，即
()()Y i τ()()Y j τ()()()()(),()max ()(),0~1,,1~1,d Y i Y j y i k y i k k m i j N m i j ττττ??=+??=?=?+≠?? (6.52) (此时和中对应元素间差的绝对值都小于)。并对每一个值计算与
其余矢量间的距离。
()()Y i τ()()Y j τr i ()()Y i τ()()Y j τ()()(),()d Y i Y j ττ????(4) 给定阈值，对于每一个r 1i N m ≤?+的值，统计()()(),()d Y i Y j ττ????小于r 的数目
以及数目与距离总数的比值，记作，即
N m ?,()m i C r τ{}
,()()1()(),(),1~1,m i C r d Y i Y j r i j N m i N m τττ????=<=?????的数目，j ?+≠ (6.53) 上式表示在时间尺度τ，以为中心，在嵌入维数为m ，阈值为情形下，其余矢量
与的距离小于的概率，表示所有与的关联程度，也就是表示矢量序列()Y i r ()()Y i τ()()Y j τ()()(),()d Y i Y j ττ??
??r ()()()Y j i j τ≠()()Y i τ{}()()Y j τ的规律性程度。
(5) 对所有的点求平均值，即
(6.54)
1,11()(1)()N m m i i C i N M C r τ?+?==?+∑,m τ,()m C i τ表示矢量{}()()Y j τ在尺度τ下的(也就是时一间序列()y i 的平均自相关程度。
(6) 增加维数至，重复(2)一(5)步骤，从而得到尺度1m +τ，1m +维数下的，
求其平均值，得到。
,1()m i C i τ+,1()m C i τ+理论上该时间序列在尺度τ下的样本熵值定义为 ,1,(,)lim ln ()()m m N SampEn m r C r C r ττ+→∞??=??? (6.55) 当为有限值时，按上述步骤得出的是序列长度为，尺度N N τ时样本熵估计值，将估计值记作： ,1,(,,)ln ()()m m SampEn m r C r r τττ+??=??? (6.56) 多尺度熵定义为样本熵值在多个尺度下的集合，所以多尺度熵值为 {}
,1,|(,,)ln ()(m m )MSE SampEn m r C r C r ττττ+??==??? (6.57)
样本熵确定时间序列的在单一尺度上无规则程度，样本熵值越低，序列白相似性越高，样本熵值越大，序列越复杂。从多尺度熵的定义可以看出，它计算时间序列在多个尺度上的样本熵值，体现了时一间序列在尺度上的无规则度。若熵值在尺度上单调递减，则序列在尺度上白相似性较低，结构简单，属于随机时间序列；若熵值在尺度上越大，序列自相似性大，复杂度大；若一个时间序列的熵值在绝大部分尺度上大于另一个时间序列的熵值，则说明前者要比后者复杂[18, 19]。
6.11 Lempel-Ziv 复杂度
复杂性科学是一门最近发展起来的新兴交叉学科。20世纪60年代，柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)等人对复杂性作了定义：一个系统的复杂程度与该系统行为(空间结构或时间序列所表示的变化)的最小描述有关，一般称为柯尔莫哥洛夫复杂性。其基本思想是认为：某事物的算法复杂度等于产生该事物的图形结构或符号序列的最短程序长度与该图形结构或符号序列本身大小之比的极限(当后者趋于极限时)[22]。由于柯尔莫哥洛夫复杂性是不可计算的，1976年A.Lempel和J.Ziv提出一种度量符号序列复杂性的简单算法，称为Lempel-Ziv复杂度[23]。由于此法适用于符号序列，所以首先要对数据序列如6.2节进行符号化。
符号化时间序列以后，计算符号序列的Lempel-Ziv复杂度过程如下[22]：
令为某一给定的(一般为“0，1”)符号序列()c n ()12n S s s s = 的复杂性计数(复杂度)，
其中为一个字符)。令，Q 分别代表两个字符串，表示把，Q 两个字符串相加组成的总字符串，SQP 表示把中最后一个字符删去所得的字符串(表示删去最后一个字符的操作)。令表示的所有不同的子串集合。，S ，Q 的初始化为，，，因此,1,2,,i s i n ∈ S SQ S SQ P ()V SQP SQP ()c n ()1c n =1S s =2Q s =1SPQ s =。现假定12r S s s s = ，Q s 1r +=。若，则表示是字符串的一子串，那么不变，只将Q 更新为，再判断Q 是否属于(Q V SQP ∈)1r s +12r S s s s = S 12r r Q s s ++=()V SQP (此时，因为不变，Q 更新了，所以也要更新)，如此反复进行，直到发现S SQP ()Q V SQP ?时为止。设此时12r r r s +i Q s s ++= i ?+，即表明不是的子串。因此值将加1，然后将上述Q 组合到中，使更新为12r r r s s s +++ 1211r r r i s s s s s ++ ()c n S S 121r r r i S s s s s s += ，而取Q 为1r i Q s ++=。
重复以上步骤，直到Q 取到最后一位为止。这样就把分成了个不同的子串。根据A. Lempel 和J. Ziv 的研究，对几乎所有属于[0区间，12n s s s ()c n ,1]x 对应的二进制分解所表示的序列都会趋向一个定值[23]：
2lim ()()log n c n b n n n →∞
== (6.58) 其中是随机序列的渐进行为，可以用它来使归一化，称为“归一化复杂度”：
()b n ()c n ()()()LZN C n c n b n = (6.59) 通常就用这个函数来表达时间序列的复杂度的变化。从该算法可以看出，完全随机序列复杂度趋于1，而规则序列则趋于0，值越大，动力系统越复杂；相反越小，动力学系统的规律性就越明显。
LZN C 例如，序列的复杂度可由以下步骤得到：
(10101010)S =1) 先取，，11S s ==20Q s ==10SQ =，1SQP =，()Q V SQP ?，Q 为插入，10SQ =i
2) ，，1210S s s ==31Q s ==101SQ =，10SQP =，(Q V SQP )∈，故第2步Q 是复制，
101SQ =i i 3) ，，1210S s s ==3410Q s s ==1010SQ =，101SQP =，(Q V SQP )∈，故第2步Q 是复制，。
1010SQ =i i 4) 以后几步都是重复2)和3)，即都是复制。于是得：10101010S =i i ，整个序列分为3段，故。
()3c n =5) ，故得归一化复杂度为：2(8)8log 824b ==(8)(8)2240.125LZN C c b ===，结果表明此序列的复杂度较小，原因在于此序列是一周期序列。
S 根据Lempel-Ziv 复杂度算法可知，一个符号序列的复杂度越大，说明它的添加操作越多，新模式也越多，描述给定符号序列所需最少的、互不相同的“子串”个数越多，给定的符号序列周期性越弱，出现新模式的速率越快。反之，则复制操作越多，新模式越少，周期性越强，出现新模式的速率越慢。普遍认为复杂度的物理意义是它反映了一个时间序列随着序列长度的增加出现新模式的速率。复杂度越大，说明数据在窗口长度时期内随时间出现的新变化越多，发生新变化的速率越快，表明这一时期的数据变化是无序而复杂的。反之，复杂度越小，则说明发生新变化的速率越慢，数据变化是规则的，周期性越强。因此，计算一个时间序列的复杂度能够描述出系统的状态发生变化的情况，这是非常重要的性质。因此从这个意义上来说，可以用复杂度来描述动力学系统状态随时间变化的情况。不过要说明的一点：虽然这个描述是从数量(复杂度是一个具体数值) 上进行分析，但目前还不能据此做定量描述，只能做较为清晰的定性描述[22]。
6.12 相似指数分析[24]
对于时间序列{}12,,,N x x x ，我们检测n x 和它的临近值1n x ?的大小，根据如下规则生成一个新的二进制时间序列n I ：
110,1,n n n n n if x x I if x x ??≤?=?>?
(6.60) 接着我们将二进制序列n I 每个值当做一个bit 组成一个字，称为，整个过程如m k w 图表 6-7所示：
图表 6-7：在进行信息指数计算前的符号化和编码过程示意图
序列和的相似性指数可用如下公式进行计算：
1S 2S
()212121
1,()(21m
m k m k )()k k D S S R w R w F w ==??∑ (6.61) 其中 []11221()()log ()()log ()k k k k F w p w p w p w p w k Z
=?? (6.62) 其中1()k p w 和1()k R w 表示时间序列中的字的出现的概率和秩；同理1S k w 2(k )p w 和2()k R w 表示时间序列中的字的出现的概率和秩。2S k w Z 为归一化因子，它的表达式如下
[]1122()log ()()log ()k k k k p w p w p p Z ??=∑k w w (6.63)
6.13 海杂波的复杂度和熵
内容 (略)
6.14 本章小结
本章介绍了表征时间序列复杂程度的熵和复杂度，一般来讲，复杂度和熵在数学上与原始时间序列的对应关系并不十分严格，并且不一定要满足嵌入理论，不要求时间序列一定为混沌信号，因此非常适合于利用观测到的系统状态信号的有限时间序列对系统进行分析与评估。
6.15后记
本版本为“时间序列的复杂度和熵”的初稿，写作的原因是对于多尺度熵概念的关注，走马观花的看了一下，熵的各种定义非常多，它的外延和内涵一直在发展，对于非线性时间序列而言，应用熵和复杂度去描述和识别动力系统隐含的规律性是很重要的方向。
你的关注是我前进的最大动力?。
任何意见、建议、批评和讨论我都热烈欢迎。
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许小可.海杂波的非线性分析与建模:(博士学位论文).大连:大连海事大学,2007
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算法时间复杂度的计算 [整理] 基本的计算步骤 时间复杂度的定义 一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度(O是数量级的符号 )，简称时间复杂度。 根据定义，可以归纳出基本的计算步骤 1. 计算出基本操作的执行次数T(n) 基本操作即算法中的每条语句（以;号作为分割），语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。 2. 计算出T(n)的数量级 求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作： 忽略常量、低次幂和最高次幂的系数 令f(n)=T(n)的数量级。 3. 用大O来表示时间复杂度 当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。 一个示例： (1) int num1, num2; (2) for(int i=0; i 算法的时间复杂度计算 定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。 当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。 我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。 此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。 “大O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。 这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。 O(1) Temp=i;i=j;j=temp; 以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。 O(n^2) 2.1. 交换i和j的内容 sum=0；（一次） for(i=1;i<=n;i++) （n次） for(j=1;j<=n;j++) （n^2次） sum++；（n^2次） 解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2) 2.2. for (i=1;i 昆明理工大学信息工程与自动化学院学生实验报告 （ 2011 —2012 学年第 1 学期） 一、上机目的及内容 1.上机内容 求两个自然数m和n的最大公约数。 2.上机目的 （1）复习数据结构课程的相关知识，实现课程间的平滑过渡； （2）掌握并应用算法的数学分析和后验分析方法； （3）理解这样一个观点：不同的算法能够解决相同的问题，这些算法的解题思路不同，复杂程度不同，解题效率也不同。 二、实验原理及基本技术路线图（方框原理图或程序流程图） （1）至少设计出三个版本的求最大公约数算法； （2）对所设计的算法采用大O符号进行时间复杂性分析； （3）上机实现算法，并用计数法和计时法分别测算算法的运行时间； （4）通过分析对比，得出自己的结论。 三、所用仪器、材料（设备名称、型号、规格等或使用软件） 1台PC及VISUAL C++软件 四、实验方法、步骤（或：程序代码或操作过程） 实验采用三种方法求最大公约数 1、连续整数检测法。 2、欧几里得算法 3、分解质因数算法 根据实现提示写代码并分析代码的时间复杂度： 方法一： int f1(int m,int n) { int t; if(m>n)t=n; else t=m; while(t) { if(m%t==0&&n%t==0)break; else t=t-1; } return t; } 根据代码考虑最坏情况他们的最大公约数是1，循环做了t-1次，最好情况是只做了1次，可以得出O（n）=n/2; 方法二：int f2(int m,int n) { r=m%n; while(r!=0) { m=n; n=r; r=m%n; } return n; } 根据代码辗转相除得到欧几里得的O(n)= log n 方法三： int f3(int m,int n) { int i=2,j=0,h=0; int a[N],b[N],c[N]; while(i 梦享考研系列 2016年考研核心考点命题思路解密 统考408核心题型 梦享团队组编 内容简介 《2016年考研核心考点命题思路解密统考408核心题型》严格按照最新计算机考研408统考大纲编写，并精心将考研大纲细分成考点，有利于408统考和自主命题高校的考生抓住重点，着重训练。 本书每一个考点中的命题，绝大部分来源于历年名校计算机考研真题和408统考真题，少部分来源名校期末考试试题中的精华部分，是全国408统考大纲和高校考研真题的较好结合。为了提高考题的质量和解析的准确度，参考资料采用以考研权威教材、习题、考研真题为主，多方借鉴众多高校从事多年教育的教师课堂资料。梦享团队对每一个命题的思路和解题方法进行深入详细地讲解，并附上大量的图来帮助考生理解记忆，力求考生能够通过掌握一个题目而达到举一反三，有利于考生利用更少的时间掌握更多的知识。 本书可作为考生参加计算机专业研究生入学考试的备考复习用书，也可作为计算机专业的学生的习题集。 前言 梦享团队成立于2013年10月份，目前共有31人，队员以中科院、清华大学和北京交通大学3所高校的学生为主，其他名校学生为辅，都是上研不久的研究生，以及一些考研论坛上参与答疑多年的版主等。在考研复习和辅导上，梦享团队队员有着相对丰富的阅历。在考研的路上，梦享团队队员也经历过和大家一样的坎坷辛苦。我们深切地体会到，每一个考研的同学十分不容易。 计算机专业考研的命题，侧重于考查同学们对基础知识的掌握，考研书更应该侧重于培养同学们的实战能力。但目前的考研教材绝大多数倾向于知识点的讲解，不注重培养考生的实战能力，导致很多考生知识很丰富，但是很难这些知识很好地运用于解题。编写偏向于实战的参考书不同于知识讲解，需要编者花费大量的时间来规划和布置章节、考点和解析考题。目前能找到的计算机考研命题解析类参考资料，要么题目特别少但讲解特别详细啰嗦，要么题目太多的而对命题的讲解十分粗略甚至只有一个最终答案。因而，梦享团队决定写一套注重实战、解析详细、直击重点、严格参考大纲的参考书。 经过两年多的努力，“梦享考研系列”参考书终于一本一本地和大家见面了，到目前为止，我们总共有5本图书已经出版。其中，《计算机网络》完成于2013年10月，《数据结构》完成于2014年3月，《计算机操作系统》完成于2014年9月，《计算机组成原理》完成于2015年3月。最后一本书，也就是本书，初稿完成于2015年5月。 为了提高图书的权威性，本套图书严格按照408统考大纲编写，涵盖了统考大纲所有指定的内容，并融合了统考真题和历年名校考研真题的精华，是全国408统考大纲、统考真题和高校考研真题的较好结合。为了提高考题的质量和解析的准确度，参考资料采用以考研权威教材、习题、考研真题为主，多方借鉴众多高校从事多年教育的教师课堂资料。 本套图书具有以下特色： 1. 组织严谨，结构清晰 梦享考研系列图书通过对统考大纲和历年高校考研真题的深入剖析和总结，精心规划和部署了各个章节，对每一个章节的考点作了独家策划，使得本套图书组织严谨，结构清晰，便于考生对各章考点逐个击破。 2.突出重点，注重实战 对于每一个计算机专业的考研同学而言，复习任务是相当繁重的。除了四门统考专业 第1章绪论 1、填空题 1.常见的数据结构有_________结构，_________结构，_________结构等三种。 2.常见的存储结构有_________结构，_________结构等两种。 3.数据的基本单位是_________，它在计算机中是作为一个整体来处理的。 4.数据结构中的结构是指数据间的逻辑关系，常见的结构可分为两大类，_________和_________。 2、应用题 1、给出以下算法的时间复杂度. void fun(int n) { int i=1,k=100; while(i while(i for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) for(k=1;k<=j;k++) x++; 它的时间复杂度是多少？ 自己计算了一下，数学公式忘得差不多了，郁闷； （1）时间复杂性是什么？ 时间复杂性就是原子操作数，最里面的循环每次执行j次，中间循环每次执行 a[i]=1+2+3+...+i=i*(i+1)/2次，所以总的时间复杂性=a[1]+...+a[i]+..+a[n]; a[1]+...+a[i]+..+a[n] =1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+n) =1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+...+n*(n-(n-1)) =n+2n+3n+...+n*n-(2*1+3*2+4*3+...+n*(n-1)) =n(1+2+...+n)-(2*(2-1)+3*(3-1)+4*(4-1)+...+n*(n-1)) =n(n(n+1))/2-[(2*2+3*3+...+n*n)-(2+3+4+...+n)] =n(n(n+1))/2-[(1*1+2*2+3*3+...+n*n)-(1+2+3+4+...+n)] =n(n(n+1))/2-n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2 所以最后结果是O(n^3)。 【转】时间复杂度的计算 算法复杂度是在《数据结构》这门课程的第一章里出现的，因为它稍微涉及到一些数学问题，所以很多同学感觉很难，加上这个概念也不是那么具体，更让许多同学复习起来无从下手， 下面我们就这个问题给各位考生进行分析。 首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。 当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。 此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。 常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。 下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。 1、设三个函数f,g,h分别为f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn 请判断下列关系是否成立： （1）f(n)=O(g(n)) （2）g(n)=O(f(n)) （3）h(n)=O(n^1.5) （4）h(n)=O(nlgn) 这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n))，这里的"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤C?f(n)。"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常数。这么一来，就好计算了吧。 ◆(1)成立。题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。 ◆（2）成立。与上同理。 ◆（3）成立。与上同理。 ◆（4）不成立。由于当n→∞时n^1.5比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数， 时间复杂度计算 首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。 当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。 此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。 常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。 1. 大O表示法 定义 设一个程序的时间复杂度用一个函数 T(n) 来表示，对于一个查找算法，如下： int seqsearch( int a[], const int n, const int x) { int i = 0; for (; a[i] != x && i < n ; i++ ); if ( i == n) return -1; else return i; } 这个程序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较，找出与之相等地元素。 在第一个元素就找到需要比较一次，在第二个元素找到需要比较2次，……，在第n个元素找到需要比较n次。对于有n个元素的数组，如果每个元素被找到的概率相等，那么查找成功的平均比较次数为: f(n) = 1/n (n + (n-1) + (n-2) + ... + 1) = (n+1)/2 = O(n) 这就是传说中的大O函数的原始定义。 用大O来表述 要全面分析一个算法，需要考虑算法在最坏和最好的情况下的时间代价，和在平 算法的时间复杂度 Prepared on 22 November 2020 时间复杂度：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数，T(n)称为这一算法的“时间复杂度”。渐近时间复杂度：当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂度”。 当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。 此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。 常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶 O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。 下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。 1、设三个函数f,g,h分别为 f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^+5000nlgn 请判断下列关系是否成立： （1） f(n)=O(g(n)) （2） g(n)=O(f(n)) （3） h(n)=O(n^ （4） h(n)=O(nlgn) 这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n))，这里的"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤Cf(n)。"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常数。这么一来，就好计算了吧。 ◆ (1)成立。题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。 ◆（2）成立。与上同理。 ◆（3）成立。与上同理。 ◆（4）不成立。由于当n→∞时n^比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数，故不成立。 2、设n为正整数，利用大"O"记号，将下列程序段的执行时间表示为n的函数。 (1) i=1; k=0 while(i 基本计算步骤 示例一： (1) int num1, num2; (2) for(int i=0; i 算法时间复杂度计算示 例 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 基本计算步骤？ 示例一：？ (1) int num1, num2; (2) for(int i=0; i 算法的时间复杂度和空间复杂度-总结通常，对于一个给定的算法，我们要做两项分析。第一是从数学上证明算法的正确性，这一步主要用到形式化证明的方法及相关推理模式，如循环不变式、数学归纳法等。而在证明算法是正确的基础上，第二部就是分析算法的时间复杂度。算法的时间复杂度反映了程序执行时间随输入规模增长而增长的量级，在很大程度上能很好反映出算法的优劣与否。因此，作为程序员，掌握基本的算法时间复杂度分析方法是很有必要的。 算法执行时间需通过依据该算法编制的程序在计算机上运行时所消耗的时间来度量。而度量一个程序的执行时间通常有两种方法。 一、事后统计的方法 这种方法可行，但不是一个好的方法。该方法有两个缺陷：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，必须先依据算法编制相应的程序并实际运行；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优势。 二、事前分析估算的方法 因事后统计方法更多的依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优劣。因此人们常常采用事前分析估算的方法。 在编写程序前，依据统计方法对算法进行估算。一个用高级语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素： (1). 算法采用的策略、方法；(2). 编译产生的代码质量；(3). 问题的输入规模；(4). 机器执行指令的速度。 一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环3种）和原操作（指固有数据类型的操作）构成的，则算法时间取决于两者的综合效果。为了便于比较同一个问题的不同算法，通常的做法是，从算法中选取一种对于所研究的问题（或算法类型）来说是基本操作的原操作，以该基本操作的重复执行的次数作为算法的时间量度。 1、时间复杂度 （1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。 （2）时间复杂度在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n))为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。 时间复杂度的计算 学习数据结构时，觉得时间复杂度计算很复杂，怎么也看不懂，差不多三年之后，还是不懂，马上就要找工作了，赶紧恶补一下吧： 首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。 当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。 此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。 常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。 1. 大O表示法 定义 设一个程序的时间复杂度用一个函数 T(n) 来表示，对于一个查找算法，如下： int seqsearch( int a[], const int n, const int x) { int i = 0; for (; a[i] != x && i < n ; i++ ); if ( i == n) return -1; else return i; } 这个程序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较，找出与之相等地元素。 在第一个元素就找到需要比较一次，在第二个元素找到需要比较2次，……，在第n个元素找到需要比较n次。对于有n个元素的数组，如果每个元素被找到的概率相等，那么查找成功的平均比较次数为: f(n) = 1/n (n + (n-1) + (n-2) + ... + 1) = (n+1)/2 = O(n) 理工大学信息工程与自动化学院学生实验报告 （2011 —2012 学年第 1 学期） 课程名称：算法设计与分析开课实验室：信自楼机房444 2011 年10月 12日 一、上机目的及容 1.上机容 求两个自然数m和n的最大公约数。 2.上机目的 （1）复习数据结构课程的相关知识，实现课程间的平滑过渡； （2）掌握并应用算法的数学分析和后验分析方法； （3）理解这样一个观点：不同的算法能够解决相同的问题，这些算法的解题思路不同，复杂程度不同，解题效率也不同。 二、实验原理及基本技术路线图（方框原理图或程序流程图） （1）至少设计出三个版本的求最大公约数算法； （2）对所设计的算法采用大O符号进行时间复杂性分析； （3）上机实现算法，并用计数法和计时法分别测算算法的运行时间； （4）通过分析对比，得出自己的结论。 三、所用仪器、材料（设备名称、型号、规格等或使用软件） 1台PC及VISUAL C++6.0软件 四、实验方法、步骤（或：程序代码或操作过程） 实验采用三种方法求最大公约数 1、连续整数检测法。 根据实现提示写代码并分析代码的时间复杂度： 方法一： int f1(int m,int n) { int t; if(m>n)t=n; else t=m; while(t) { if(m%t==0&&n%t==0)break; else t=t-1; } return t; } 根据代码考虑最坏情况他们的最大公约数是1，循环做了t-1次，最好情况是只做了1次，可以得出O（n）=n/2; 方法二：int f2(int m,int n) { int r; r=m%n; while(r!=0) { m=n; n=r; r=m%n; } return n; } 根据代码辗转相除得到欧几里得的O(n)= log n 方法三： int f3(int m,int n) { int i=2,j=0,h=0; int a[N],b[N],c[N]; while(i 排序法最差时间分析平均时间复杂度稳定度空间复杂度 冒泡排序()() 稳定() 快速排序()(*) 不稳定()() 选择排序()() 稳定() 二叉树排序()(*) 不一顶() 插入排序()() 稳定() 堆排序(*) (*) 不稳定() 希尔排序不稳定() 、时间复杂度 （）时间频度一个算法执行所耗费地时间，从理论上是不能算出来地，必须上机运行测试才能知道.但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费地时间多，哪个算法花费地时间少就可以了.并且一个算法花费地时间与算法中语句地执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多.一个算法中地语句执行次数称为语句频度或时间频度.记为(). （）时间复杂度在刚才提到地时间频度中，称为问题地规模，当不断变化时，时间频度()也会不断变化.但有时我们想知道它变化时呈现什么规律.为此，我们引入时间复杂度概念. 一般情况下，算法中基本操作重复执行地次数是问题规模地某个函数，用()表示，若有某个辅助函数(),使得当趋近于无穷大时，（)()地极限值为不等于零地常数，则称()是()地同数量级函数.记作()Ｏ(()),称Ｏ(()) 为算法地渐进时间复杂度，简称时间复杂度. 在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为(),另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如()与()它们地频度不同，但时间复杂度相同，都为(). 按数量级递增排列，常见地时间复杂度有：常数阶(),对数阶(),线性阶(), 线性对数阶(),平方阶()，立方阶(),...，次方阶(),指数阶().随着问题规模地不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法地执行效率越低. 、空间复杂度与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间地度量.记作: ()(()) 我们一般所讨论地是除正常占用内存开销外地辅助存储单元规模.讨论方法与时间复杂度类似，不再赘述. （）渐进时间复杂度评价算法时间性能主要用算法时间复杂度地数量级(即算法地渐近时间复杂度)评价一个算法地时间性能. 、类似于时间复杂度地讨论，一个算法地空间复杂度( )()定义为该算法所耗费地存储空间，它也是问题规模地函数.渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度. 空间复杂度( )是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小地量度.一个算法在计算机存储器上所占用地存储空间，包括存储算法本身所占用地存储空间，算法地输入输出数据所占用地存储空间和算法在运行过程中临时占用地存储空间这三个方面.算法地输入输出数据所占用地存储空间是由要解决地问题决定地，是通过参数表由调用函数传递而来地，它不随本算法地不同而改变.存储算法本身所占用地存储空间与算法书写地长短成正比，要压缩这方面地存储空间，就必须编写出较短地算法.算法在运行过程中临时占用地存储空间随算法地不同而异，有地算法只需要占用少量地临时工作单元，而且不随问题规模地大小而改变，我们称这种算法是“就地"进行地，是节省存储地算法，如这一节介绍过地几个算法都是如此；有地算法需要占用地临时工作单元数与解决问题地规模有关，它随着地增大而增大，当较大时，将占用较多地存储单元，例如将在第九章介绍地快速排序和归并排序算法就属于这种情况.文档收集自网络，仅用于个人学习 如当一个算法地空间复杂度为一个常量，即不随被处理数据量地大小而改变时，可表示为()；当一个算法地空间复杂度与以为底地地对数成正比时，可表示为()；当一个算法地空司复杂度与成线性比例关系时，可表示为().若形参为数组，则只需要为它分配一个存储由实参传送 数据结构时间复杂度的计算 for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) for(k=1;k<=j;k++) x++; 它的时间复杂度是多少？ 自己计算了一下，数学公式忘得差不多了，郁闷； （1）时间复杂性是什么？ 时间复杂性就是原子操作数，最里面的循环每次执行j次，中间循环每次执行 a[i]=1+2+3+...+i=i*(i+1)/2次，所以总的时间复杂性=a[1]+...+a[i]+..+a[n]; a[1]+...+a[i]+..+a[n] =1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+n) =1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+...+n*(n-(n-1)) =n+2n+3n+...+n*n-(2*1+3*2+4*3+...+n*(n-1)) =n(1+2+...+n)-(2*(2-1)+3*(3-1)+4*(4-1)+...+n*(n-1)) =n(n(n+1))/2-[(2*2+3*3+...+n*n)-(2+3+4+...+n)] =n(n(n+1))/2-[(1*1+2*2+3*3+...+n*n)-(1+2+3+4+...+n)] =n(n(n+1))/2-n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2 所以最后结果是O(n^3)。 【转】时间复杂度的计算 算法复杂度是在《数据结构》这门课程的第一章里出现的，因为它稍微涉及到一些数学问题，所以很多同学感觉很难，加上这个概念也不是那么具体，更让许多同学复习起来无从下手，下面我们就这个问 题给各位考生进行分析。 首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。 当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中 频度最大的语句频度。 时间复杂度计算 学习数据结构时，觉得时间复杂度计算很复杂，怎么也看不懂，差不多三年之后，还是不懂，马上就要找工作了，赶紧恶补一下吧： 首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。 当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。 此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。 常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。 1. 大O表示法 定义 设一个程序的时间复杂度用一个函数 T(n) 来表示，对于一个查找算法，如下： int seqsearch( int a[], const int n, const int x) { int i = 0; for (; a[i] != x && i < n ; i++ ); if ( i == n) return -1; else return i; } 这个程序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较，找出与之相等地元素。 在第一个元素就找到需要比较一次，在第二个元素找到需要比较2次，……，在第n个元素找到需要比较n次。对于有n个元素的数组，如果每个元素被找到的概率相等，那么查找成功的平均比较次数为: f(n) = 1/n (n + (n-1) + (n-2) + ... + 1) = (n+1)/2 = O(n) 如何计算时间复杂度 求解算法的时间复杂度的具体步骤是： ⑴ 找出算法中的基本语句； 算法中执行次数最多的那条语句就是基本语句，通常是最内层循环的循环体。 ⑵ 计算基本语句的执行次数的数量级； 只需计算基本语句执行次数的数量级，这就意味着只要保证基本语句执行次数的函数中的最高次幂正确即可，可以忽略所有低次幂和最高次幂的系数。这样能够简化算法分析，并且使注意力集中在最重要的一点上：增长率。 ⑶ 用大Ο记号表示算法的时间性能。 将基本语句执行次数的数量级放入大Ο记号中。 如果算法中包含嵌套的循环，则基本语句通常是最内层的循环体，如果算法中包含并列的循环，则将并列循环的时间复杂度相加。例如： for (i=1; i<=n; i++) x++; for (i=1; i<=n; i++) for (j=1; j<=n; j++) x++; 第一个for循环的时间复杂度为Ο(n)，第二个for循环的时间复杂度为 Ο(n2)，则整个算法的时间复杂度为Ο(n+n2)=Ο(n2)。 常见的算法时间复杂度由小到大依次为： Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!) Ο(1)表示基本语句的执行次数是一个常数，一般来说，只要算法中不存在循环 语句，其时间复杂度就是Ο(1)。Ο(log2n)、Ο(n)、Ο(nlog2n)、Ο(n2)和 Ο(n3)称为多项式时间，而Ο(2n)和Ο(n!)称为指数时间。计算机科学家普遍认为前者是有效算法，把这类问题称为P类问题，而把后者称为NP问题。 这只能基本的计算时间复杂度，具体的运行还会与硬件有关。 时间复杂度的定义 一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度(O 是数量级的符号)，简称时间复杂度。 根据定义，可以归纳出基本的计算步骤 1. 计算出基本操作的执行次数T(n) 基本操作即算法中的每条语句（以;号作为分割），语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。 2. 计算出T(n)的数量级 求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作： 忽略常量、低次幂和最高次幂的系数 令f(n)=T(n)的数量级。 3. 用大O来表示时间复杂度 当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。 一个示例： (1) int num1, num2; (2) for(int i=0; i 算法时间复杂度 The final edition was revised on December 14th, 2020. 实验一算法的时间复杂度 一、实验目的与要求 熟悉C/C++语言的集成开发环境； 通过本实验加深对算法分析基础知识的理解。 二、实验内容: 掌握算法分析的基本方法，并结合具体的问题深入认识算法的时间复杂度分析。三、实验题 定义一个足够大的整型数组，并分别用起泡排序、简单选择排序、快速排序和归并排序对数组中的数据进行排序（按从小到大的顺序排序），记录每种算法的实际耗时，并结合数据结构中的知识对算法的时间复杂度分析进行说明。实验数据分两种情况： 1、数组中的数据随机生成； 2、数组中的数据已经是非递减有序。 四、实验步骤 理解算法思想和问题要求； 编程实现题目要求； 上机输入和调试自己所编的程序； 验证分析实验结果； 整理出实验报告。 五、实验程序 #include算法的时间复杂性
最大公约数的三种算法复杂度分析时间计算
2016年考研核心题型【数据结构部分】【第1章 算法的时间复杂度和空间复杂度】
给出以下算法的时间复杂度
算法的时间复杂度计算
渐进时间复杂度的计算
算法的时间复杂度
算法时间复杂度计算示例
算法时间复杂度计算示例
算法的时间复杂度和空间复杂度-总结
时间复杂度的计算
最大公约数的三种算法复杂度分析时间计算
常用的排序算法的时间复杂度和空间复杂度
数据结构时间复杂度的计算
时间复杂度的计算
如何计算时间复杂度
数据结构算法时间复杂度的计算
算法时间复杂度
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