一、等差数列选择题
1.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且71124a a -=,则5S =( ) A .15
B .20
C .25
D .30
2.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( ) A .161
B .155
C .141
D .139
3.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200
B .100
C .90
D .80
4.等差数列{}n a 中,已知14739a a a ++=,则4a =( ) A .13
B .14
C .15
D .16
5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且62
10S S ,则34a a +=( )
A .2
B .3
C .4
D .5
6.在等差数列{}n a 中,3914a a +=,23a =,则10a =( ) A .11
B .10
C .6
D .3
7.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,3518a S +=,633a a =+,则n a =( ) A .1n -
B .n
C .21n -
D .2n
8.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()
12n n n S +=,则数列11n n a a +??????
的前10项的和为
( ) A .
89
B .
910
C .10
11
D .
1112
9.数列{}n a 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大21
2
,则该数列的项数是( ) A .8
B .4
C .12
D .16
10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,31567a a a +=+,则23S =( ) A .121
B .161
C .141
D .151
11.已知数列{}n a 中,11a =,22a =,对*n N ?∈都有333
122n n n a a a ++=+,则10a 等于
( ) A .10
B
C .64
D .4
12.在等差数列{}n a 中,10a >,81335a a =,则n S 中最大的是( )
A .21S
B .20S
C .19S
D .18S
13.已知等差数列{}n a 的公差d 为正数,()()111,211,
n n n a a a tn a t +=+=+为常数,则
n a =( )
A .21n -
B .43n -
C .54n -
D .n
14.已知等差数列{}n a 中,161,11a a ==,则数列{}n a 的公差为( ) A .
53
B .2
C .8
D .13
15.在等差数列{}n a 的中,若131,5a a ==,则5a 等于( ) A .25
B .11
C .10
D .9
16.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若718a a a -<<-,则必定有( ) A .70S >,且80S < B .70S <,且80S > C .70S >,且80S >
D .70S <,且80S <
17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且310179a a a ++=,则19S =( ) A .51
B .57
C .54
D .72
18.已知数列{x n }满足x 1=1,x 2=23
,且
11112n n n x x x -++=(n ≥2),则x n 等于( ) A .(
23
)n -1
B .(
23)n C .
21
n + D .
1
2
n + 19.在等差数列{}n a 中,520164a a +=,S ,是数列{}n a 的前n 项和,则S 2020=( ) A .2019
B .4040
C .2020
D .4038
20.已知数列{}n a 为等差数列,2628a a +=,5943a a +=,则10a =( ) A .29
B .38
C .40
D .58
二、多选题
21.(多选)在数列{}n a 中,若2
2
1(2,,n n a a p n n N p *
--=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .
(){}1n
- 是等方差数列
C .{}2
n
是等方差数列.
D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列
22.设数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈,关于数列{}n a ,下列四个命题中正确的是
( )
A .若1*()n n a a n N +∈=,则{}n a 既是等差数列又是等比数列
B .若2
n S An Bn =+(A ,B 为常数,*n N ∈),则{}n a 是等差数列
C .若()11n
n S =--,则{}n a 是等比数列
D .若{}n a 是等差数列,则n S ,2n n S S -,*
32()n n S S n N -∈也成等差数列
23.已知数列{}n a 满足0n a >,
121
n n n a n
a a n +=+-(N n *∈),数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )
A .11a =
B .121a a =
C .201920202019S a =
D .201920202019S a >
24.已知数列{}n a 满足()
*11
1n n
a n N a +=-∈,且12a =,则( ) A .31a =- B .201912
a =
C .332
S =
D . 2 0192019
2
S =
25.已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,57S S =,则( ) A .60a > B .6S 最大 C .130S >
D .110S >
26.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,则下列4个命题中正确的有( )
A .若100S =,则50a >,60a <;
B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15;
C .若150S >,160S <,则{}n S 中7S 最大;
D .若89S S <,则78S S <. 27.已知数列0,2,0,2,0,2,
,则前六项适合的通项公式为( )
A .1(1)n
n a =+-
B .2cos
2
n n a π= C .(1)2sin
2
n n a π
+= D .1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--
28.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项和,且56678,S S S S S <=>,则下列结论正确的是( ) A .0d < B .70a =
C .95S S >
D .67n S S S 与均为的最大值
29.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =,411a =,则( )
A .45n a n =-
B .23n a n =+
C .2
23n S n n =-
D .2
4n S n n =+
30.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且满足10a >,1118S S =,则对n S 描述正确的有( ) A .14S 是唯一最小值 B .15S 是最小值 C .290S =
D .15S 是最大值
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一、等差数列选择题 1.B 【分析】
设出数列{}n a 的公差,利用等差数列的通项公式及已知条件,得到124a d +=,然后代入求和公式即可求解 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=, 所以()51154
55254202
S a d a d ?=+=+=?= 故选:B 2.B 【分析】
画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】
所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ,根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列,即得到了一个等差数列,如图:
由图可得:3612107y x y -=??-=? ,解得155
48
x y =??=?.
故选:B. 3.C
先求得1a ,然后求得10S . 【详解】
依题意120a a d =-=,所以101104545290S a d =+=?=. 故选:C 4.A 【分析】
利用等差数列的性质可得1742a a a +=,代入已知式子即可求解. 【详解】
由等差数列的性质可得1742a a a +=, 所以1474339a a a a ++==,解得:413a =, 故选:A 5.B 【分析】
根据等差数列的性质,由题中条件,可直接得出结果. 【详解】
因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,公差1d =,6
2
10S S ,
所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=, 解得343a a +=. 故选:B. 6.A 【分析】
利用等差数列的通项公式求解1,a d ,代入即可得出结论. 【详解】
由3914a a +=,23a =, 又{}n a 为等差数列, 得39121014a a a d +=+=,
213a a d =+=,
解得12,1a d ==, 则101+92911a a d ==+=; 故选:A. 7.B 【分析】
根据条件列出关于首项和公差的方程组,求解出首项和公差,则等差数列{}n a 的通项公式可求.
因为3518a S +=,63
3a a =+,所以11
161218
523a d a d a d +=??+=++?, 所以11
1a d =??
=?
,所以()111n a n n =+-?=, 故选:B. 8.C 【分析】
首先根据()12
n n n S +=得到n a n =,设11111n n n b a a n n +==-+,再利用裂项求和即可得
到答案. 【详解】
当1n =时,111a S ==, 当2n ≥时,()()11122
n n n n n n n a S S n -+-=-=
-=. 检验111a S ==,所以n a n =. 设()11111
11
n n n b a a n n n n +=
==-++,前n 项和为n T , 则10111111101122310111111T ??????=-+-++-=-= ? ? ???????
…. 故选:C 9.A 【分析】
设项数为2n ,由题意可得()21
212
n d -?=,及6S S nd -==奇偶可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的项数为2n , 末项比首项大
212
, ()212121;2
n a a n d ∴-=-?=① 24S =奇,30S =偶,
30246S S nd ∴-=-==奇偶②.
由①②,可得3
2
d =,4n =, 即项数是8, 故选:A.
10.B 【分析】
由条件可得127a =,然后231223S a =,算出即可. 【详解】
因为31567a a a +=+,所以15637a a a =-+,所以1537a d =+,所以1537a d -=,即
127a =
所以231223161S a == 故选:B 11.D 【分析】
利用等差中项法可知,数列{}
3n a 为等差数列,根据11a =,22a =可求得数列{}
3
n a 的公
差,可求得3
10a 的值,进而可求得10a 的值. 【详解】
对*n N ?∈都有3
3
3
122n n n a a a ++=+,由等差中项法可知,数列{}
3
n a 为等差数列,
由于11a =,22a =,则数列{}
3n a 的公差为33
217d a a =-=,
所以,33
101919764a a d =+=+?=,因此,104a .
故选:D. 12.B 【分析】
设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+,可得关系139
2
a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】
设等差数列的公差为d .由81335a a =得,()()1137512a d a d +=+,整理得,1392
a d =-. 又10a >,所以0d <,因此
222120(20)2002222n d d d d
S n a n n dn n d ??=
+-=-=-- ??
?, 所以20S 最大. 故选:B. 13.A 【分析】
由已知等式分别求出数列的前三项,由2132a a a =+列出方程,求出公差,利用等差数列的通项公式求解可得答案. 【详解】
11a =,()()1211n n n a a tn a ++=+,
令1n =,则()()121211a a t a +=+,解得21a t =-
令2n =,则()()2322121a a t a +=+,即()2
311t a t -=-,若1t =,则20,1a d ==,
与已知矛盾,故解得31a t =+
{}n a 等差数列,2132a a a ∴=+,即()2111t t -=++,解得4t =
则公差212d a a =-=,所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选:A 14.B 【分析】
设公差为d ,则615a a d =+,即可求出公差d 的值. 【详解】
设公差为d ,则615a a d =+,即1115d =+,解得:2d =, 所以数列{}n a 的公差为2, 故选:B 15.D 【分析】
利用等差数列的性质直接求解. 【详解】 因为131,5a a ==,315529a a a a =+∴=,
故选:D . 16.A 【分析】
根据已知条件,结合等差数列前n 项和公式,即可容易判断. 【详解】
依题意,有170a a +>,180a a +< 则()177702a a S +?=
>
()()188
1884
02
a a S a a +?==+<
故选:A . 17.B 【分析】
根据等差数列的性质求出103a =,再由求和公式得出答案. 【详解】
317102a a a +=
1039a ∴=,即103a =
()11910
19191921935722
a a a S +?∴===?=
故选:B 18.C 【分析】 由已知可得数列1n x ??????是等差数列,求出数列1n x ??
????
的通项公式,进而得出答案. 【详解】
由已知可得数列1n x ??
????是等差数列,且121131,2x x ==,故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-?=,故21
n x n =+
故选:C 19.B 【分析】
由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+,则
()15202020
202016202010102
a a a a S +=
?=?+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+
()12020
202052016202010104101040402
a a a a S +=
==?=+?? 故选:B 20.A 【分析】
根据等差中项的性质,求出414a =,再求10a ; 【详解】
因为{}n a 为等差数列,所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选:A.
二、多选题
21.BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可.
对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222
(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故
{}n
a 不是等方差数列,故A 错误;
对于B ,数列
(){}1n
-中,222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数,{(1)}n ∴-是等方
差数列,故B 正确; 对于C ,数列{}
2
n
中,()(
)
2
2
221
11
2234n
n n n n a a ----=-=?不是常数,{}
2n
∴不是等方差
数列,故C 错误; 对于D ,
{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+,{}n a 是等方差数
列,()()2
2
2
112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,
故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,22
10n n a a --=是常数,故D 正确.
故选:BD. 【点睛】
关键点睛:本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义,利用定义进行判断. 22.BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列,当0n a =时不是等比数列,故错; 选项B:
2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列,故对;
选项C: ()11n
n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==?-≥,当1n =时也成立,
12(1)n n a -∴=?-是等比数列,故对;
选项D: {}n a 是等差数列,由等差数列性质得n S ,2n n S S -,*
32()n n S S n N -∈是等差数
列,故对; 故选:BCD 【点睛】
熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 23.BC 【分析】
根据递推公式,得到11n n n
n n a a a +-=-,令1n =,得到121a a =,可判断A 错,B 正确;
根据求和公式,得到1
n n n
S a +=
,求出201920202019S a =,可得C 正确,D 错.
由121n n n a n a a n +=+-可知2111
n n n n n a n n n a a a a ++--==+,即11n n n
n n a a a +-=-, 当1n =时,则12
1
a a =
,即得到121a a =,故选项B 正确;1a 无法计算,故A 错; 1221321
111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++??????-=++
+=-+-+
+-=-= ? ? ???????,所以1n n S a n +=,则201920202019S a =,故选项C 正确,选项D 错误. 故选:BC. 【点睛】 方法点睛:
由递推公式求通项公式的常用方法:
(1)累加法,形如()1n n a a f n +=+的数列,求通项时,常用累加法求解;
(2)累乘法,形如()1
n n
a f n a +=的数列,求通项时,常用累乘法求解; (3)构造法,形如1
n n a pa q +=+(0p ≠且1p ≠,0q ≠,n ∈+N )的数列,求通
项时,常需要构造成等比数列求解;
(4)已知n a 与n S 的关系求通项时,一般可根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解.
24.ACD 【分析】
先计算出数列的前几项,判断AC ,然后再寻找规律判断BD . 【详解】
由题意211122a =-=,31
1112a =-=-,A 正确,313
2122
S =+-=,C 正确;
41
121
a =-
=-,∴数列{}n a 是周期数列,周期为3. 2019367331a a a ?===-,B 错;
201932019
67322
S =?=,D 正确.
故选:ACD . 【点睛】
本题考查由数列的递推式求数列的项与和,解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质:周期性,然后利用周期函数的定义求解. 25.ABD 【分析】
转化条件为670a a +=,进而可得60a >,70a <,再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】
因为57S S =,所以750S S -=,即670a a +=,
因为数列{}n a 递减,所以67a a >,则60a >,70a <,故A 正确; 所以6S 最大,故B 正确; 所以()113137
131302
a a S a
+?==<,故C 错误; 所以()111116
111102
a a S a
+?=
=>,故D 正确.
故选:ABD. 26.ABD 【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质,逐一检验选项,即可得答案. 【详解】
对于A :因为正数,公差不为0,且100S =,所以公差0d <, 所以1101010()
02
a a S +=
=,即1100a a +=, 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=,又0d <, 所以50a >,60a <,故A 正确; 对于B :因为412S S =,则1240S S -=,
所以561112894()0a a a a a a ++???++=+=,又10a >, 所以890,0a a ><, 所以115815815()15215022a a a S a +?=
==>,116891616()16()
022
a a a a S ++===, 所以使0n S >的最大的n 为15,故B 正确; 对于C :因为1158
15815()15215022
a a a S a +?=
==>,则80a >, 116891616()16()022
a a a a S ++=
==,则890a a +=,即90a <, 所以则{}n S 中8S 最大,故C 错误;
对于D :因为89S S <,则9980S a S =->,又10a >, 所以8870a S S =->,即87S S >,故D 正确, 故选:ABD 【点睛】
解题的关键是先判断d 的正负,再根据等差数列的性质,对求和公式进行变形,求得项的正负,再分析和判断,考查等差数列性质的灵活应用,属中档题. 27.AC 【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项,看是否满足题意,得出答案. 【详解】
对于选项A ,1(1)n
n a =+-取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件;
对于选项B ,2cos 2
n n a π
=取前六项得:0,2,0,2,0,2--,不满足条件; 对于选项C ,(1)2sin
2
n n a π
+=取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件; 对于选项D ,1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得:0,2,2,8,12,22,不满足条件; 故选:AC 28.ABD 【分析】
由1n n n S S a --=()2n ≥,判断6780,0,0a a a >=<,再依次判断选项. 【详解】
因为5665600S S S S a ->?>,677670S S S S a =?-==,
788780S S S S a >?-=<,所以数列{}n a 是递减数列,故0d <,AB 正确;
()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<,所以95S S <,故C 不正确;
由以上可知数列{}n a 是单调递减数列,因为6780,0,0a a a >=<可知,67n S S S 与均为的最大值,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和的最值,重点考查等差数列的性质,属于基础题型. 29.AC 【分析】
由535S =求出37a =,再由411a =可得公差为434d a a =-=,从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】
由题可知,53535S a ==,即37a =,所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=, 所以()4445n a a n d n =+-=-,()2451232
n n n S n n --==-.
故选:AC. 【点睛】
本题考查等差数列,考查运算求解能力. 30.CD 【分析】
根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <,再根据二次函数的性质可知15S 是最大值,同时可得150a =,进而得到290S =,即可得答案; 【详解】
1118S S =,∴0d <,
设2n S An Bn =+,则点(,)n n S 在抛物线2
y Ax Bx =+上,
抛物线的开口向下,对称轴为14.5x =,
∴1514S S =且为n S 的最大值,
1118S S =12131815070a a a a ?+++=?=,
∴129291529()
2902
a a S a +=
==, 故选:CD. 【点睛】
本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.