高中数学总复习讲义
一、集合与逻辑
1、区分集合中元素的形式：如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，
如：（1）设集合{|3}M x y x ==+，集合N ＝{}
2
|1,y y x x M =+∈，则M
N =___
（答：[1,)+∞
（2）集合{}
342+-==x x y x M ，集合?
???
????????-∈+==3,6,c o s 3s i n
ππx x x y y N M N = （答：}1{）
2、条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况
如：（1）若非空集合}5312/{-≤≤+=a x a x A ，}0)22)(3/({≤--=x x x B ，则
使得B A A ??成立的a 的集合是______ （答：96≤≤a ）
（2）集合M=},04/{2<++a x x x N =},02/{2>--x x x 若N M ?，则实数a 的
取值范围为___________（条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况） （答：3≥a ）
（3）}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。 （答：a ≤0） 3、}|{B x A x x B A ∈∈=且 ;}|{B x A x x B A ∈∈=或
C U A={x|x ∈U 但x ?A};B x A x B A ∈∈??则;真子集怎定义？如：含n 个元素的集合的
子集个数为2n ,真子集个数为2n
－1; 如：满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7） 4、C U (A ∩B)=C U A ∪C U B; C U (A ∪B)=C U A ∩C U B;
5、A ∩B=A ?A ∪B=B ?A ?B ?C U B ?C U A ?A ∩C U B=??C U A ∪B=U
6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如：（1）若关于x 的不等式a x x <-++|1||2|的解集是?，则a 的取值范围是______（答：3≤a ）
（2）已知函数12)2(24)(2
2
+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实
数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3
(3,)2
-）
7、原命题: p q ?;逆命题: q p ?;否命题: p q ???；逆否命题: q p ???；互为逆否的两个命题是等价的.
如：（1）“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件。（答：充分非必要条件） （2）设命题:p “已知函数0,,1)(002>?∈?+-=y R x mx x x f ，使得00)(y x f =，
命题q ：“不等式2
2
9m x -<有实数解”，若p ?且q 为真命题，则实数m 的取值范围为_______ （答：)3,2[]2,3( --） 8、若p q ?且q p ≠
;则p 是q 的充分非必要条件（或q 是p 的必要非充分条件）;
如：写出“21<-x 成立”的一个必要而不充分条件_____ （答：比)3,1(-范围大即可） 9、注意命题p q ?的否定与它的否命题的区别:
命题p q ?的否定是p q ??；否命题是p q ???
命题“p 或q ”的否定是“?
P 且?
Q ”，“p 且q ”的否定是“?
P 或?
Q ” 注意：如：命题：“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”
否命题：“若a 和b 不都是偶数，则b a +是奇数” 命题的否定：“若a 和b 都是偶数，则b a +是奇数”
二、函数与导数
1、指数式、对数式：
m
n
a = 1m m n
a
a -=，
当n a =；当n 为偶数时，,0
||,0
a a a a a ≥?==?
-≠>，b a b a =log ，log a N a N =,
()log ()log m n a a n
b b m
=,
log ()log log a a a MN M N
=+;
log log log a
a a M M N N =-; 1
log log a b b a =
如：2
log
1(
)2
的值为______（答：
64
1） 33
)5(lg 5lg 2lg 3)
2(lg +?+= （答：1）
2、一次函数:y=ax+b(a ≠0) b=0时奇函数;
3、二次函数
①三种形式:一般式f(x)=ax 2
+bx+c (对称轴a b x 2-=,a ≠0,顶点)44,2(2
a
b a
c a b --
);顶点式f(x)=a(x-h)2
+k;零点式f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(对称轴2
2
1x x x +=
);b=0偶函数; ②区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系;
如：(1) 已知函数()224422+-+-=a a ax x x f 在区间[]2,0上有最小值3，求a 的值 (答:105,21+-=a ) （2）若函数422
12
+-=
x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2） ③实根分布:先画图再研究①开口、②△>0、③对称轴与区间关系、④区间端点函数值符号;
4、反比例函数:)0x (x
c y ≠=平移?b x c
a y -+=(中心为(b,a)) ，对勾函数x a x y +=是奇
函数,上为增函数，，
在区间时)0(),0(,0∞+-∞ 递增，在),a [],a (+∞--∞
5、幂、指数、对数函数的图象和性质：（1）若0.5
2a =，πlog 3b =，22π
log sin 5
c =,则c b a ,,的大小关系为 （答：a b c <<）
（2）设11132a ?
?∈-????
，，，，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为 1或3 （3）不等式1)1lg(<-x 的解集是 )11,1( 方程07369=-?-x
x
的解是 }7{log 3）
（4）函数2441()431x x f x x x x -≤?=?-+>?
， ，
，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是
（答：3个）
（5）、幂函数y=α
x ，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点A （1，0），B （0，1），连接
AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=αx ，y=β
x 的图像三等分，即有BM=MN=NA ．那么，αβ=_______ （答：1） （6）、设二元一次不等式组
2190802140x y x y x y +-≥??-+≥??+-≤?
所表示的平面区域(0x
M y a a =>为，若函数,1)a ≠的图象没有经过域,M a 则的取值范围 （答：9,21,10><<< 6、单调性①定义法;②导数法. （1）设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x -- []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 如：（1）已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是___ (答：(,3]-∞))； (2) 函数||||)(a x x x f ++=在),0[+∞上为增函数，则a 的取值范围为______（答： 0≥a ） 注意①：0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3 )(x x f =在) ,(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。 注意②：函数单调性与奇偶性的逆用吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）. 如：已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。（答：1223 m - <<） ③复合函数由同增异减判定 ④图像判定. ⑤作用:比大小,解证不等式. 如：（1）函数() 212 log 2y x x =-+的单调递增区间是________(答：（1,2）)。 （2）若函数)10)((log )(3<<-=a ax x x f a 在区间)0,2 1 (-内单调递增，则a 的取值范围是____(答： )1,4 3[) 7、奇偶性：f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。 如：（1）若函数2()12 x x k f x k -=+?（a 为常数）在定义域上为奇函数，则k = （答：1±=k ） （2）定义在R 上的偶函数)(x f 在]0,(-∞上是减函数，若)2()1(a f a f ->-，则a 的 取值范围是_______________ （答：2 3> a ） （3）已知函数y=f (x ),x ∈[－1，1]的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成（如 图所示）, 则不等式的()()->+f x f x 的解集为 （答：)2 1,0()21,1[ --） （4）已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ， 0)()(2 >-'x x f x f x ）（0>x ，则不等式0)(2 >x f x 的解集是 （答：),1()0,1(+∞- ） 8、周期性。 （1）类比“三角函数图像”得： 如：已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有_________个实数根（答：5） （2）由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的 周期函数”得： ①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数； ②若1 ()(0)()f x a a f x += ≠恒成立，则2T a =； ③若1 ()(0)() f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =. 如：(1) 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(， 则)5.47(f 等于_____(答：5.0-)； （2）若)(x f 是R 上的偶函数，)1(-x f 是R 上的奇函数，则)4(+x f 与)(x f 的大小 关系为_____________________ （答：)()4(x f x f =+） （3）定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若 ,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为_________ (答：(sin )(cos )f f αβ>) 9、常见的图象变换 ①函数()a x f y +=的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左)0(>a 或向右)0( 如：（1）要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再 向____平移3个单位而得到(答：y ；右)； （2）函数()lg(2)1f x x x =?+-的图象与x 轴的交点个数有____个(答：2) ②函数()x f y =+a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上)0(>a 或向下