完成情况
应用举例
班级：
姓名：
组号：
第二课时
一、旧知回顾
1．如图1，斜坡为2米，垂直距离为1米，则水平距离是AB BC 线段
，且
；
tan A =2．如图2，请按要求在图中画出相关的方向角。
①：北偏西；②：东南方向；③：南偏西。OA 40?OB OC 60?
二、新知梳理
3．认真阅读P76的例5及解答过程内容，完成下列各题：（1）本例题中利用了哪些角的哪一个三角函数？
学前准备
预习导航：认真阅读课本P76-77内容你将了解测量中方向角、坡度、坡角的概念；认识坡度与坡角的内在联系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题；把实际问题转化为数学问题。
A
2
1B C
图1
图2
（2）利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤是什么？
4．认真阅读P77《练习》的第2题，完成下列各题：（1）如图3，坡面的 和
的比叫做坡面的坡度，也叫
。记作
。
i =（2）坡度通常写成 的形式。如。
1:3i =（3） 与
的夹角叫坡角，记作，根据三角函数定义式我们有
αi ==tan 。
α（4）由上面的（1）～（3）我们可知：坡度越小，坡角就越 （填“大”或
α“小”），坡面就越
（填“平缓”或“陡峭”）。
（5）我们所说的坡度不是 ，而是
，它是坡角的 值。
三、试一试6．一斜坡的坡度，则坡 ；若某人沿斜坡水平距离前进了，则
3
3
=
i α=100m 这个人垂直高度上升了
。
m 7．如图4，一水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽米，坝高米，斜坡的ABCD 6.223.5AB 坡度，斜坡的坡度。
11:3i =CD 21:2.5i =求：（1）斜坡与坝底的长度；（精确到0.1米）
AB AD （2）斜坡CD 的坡角。（精确到1°，参考数据：，，
αtan 21.80.4?≈sin 23.6
0.4
?≈）
cos 66.40.4?≈★通过预习你还有什么困惑？
图3
图4
一、课堂活动、记录
1．小组合作学习有关坡角、坡度的定义。2．实际问题解答过程请注意什么？二、精练反馈
1．如图5，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m 。如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（
）
A ．5m
B ．6m
C ．7m
D ．8m
2．如图6，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5m ，那么这两树在坡面上的距离AB 为（
）
A ．5cos α
B ．5/cos α
C ．5sin α
D ．
5/sinα
3．一船上午8点位于灯塔A 的北偏东60°方向，在与灯塔A 相距64海里的B 港出发，向正西方向航行，到9时30分恰好在灯塔正北的C 处，则此船的速度为__________
三、课堂小结1．什么是坡度？
2．在实际问题中如何判断是否会有危险等。
3．在解直角三角形的问题中，要熟悉有关直角三形的知识有哪些？4．你的其他收获。
四、拓展延伸（选做题）
1．如图7，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是
。
课堂探究
图5
图6
2．我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图8所示，BC ∥AD ，斜坡AB ＝40m ，坡角∠BAD ＝60°，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米？(结果保留根号)
图7
图
8
【学前准备】
1．AC，
AC
BC
2．
3．（1）答：本例题中利用了∠APC的余弦、∠BPC的正弦。
（2）答：①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
②根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角行；
③得到数学问题的答案；
④得到实际问题的答案。
4．（1）铅直高度，水平宽度，坡比，h：l 。
（2）比
（3）坡面，水平面，h：l
（4）小，平缓
（5）角度，比值，正切
6．；
30
33
100
7．解：（1）tanA=i1=1：3，所以
AB=23.5/sinA=23.5×米
AD=23.5/（i1）+6.2+23.5/（i2）=135.5米（2）tana=i2=2/5 得a=22°
【课堂探究】
课堂活动、记录
略
精练反馈
2．B 3．
时海里/3
3
64课堂小结略拓展延伸1．210cm 。
2．解：作BG ⊥AD 于G ，作EF ⊥AD 于F ，
则在Rt △ABG 中，∠BAD=60°，AB=40，
所以就有BG=AB ·Sin60°，AG=AB ·cos60°=20，
同理在Rt △AEF 中，∠EAD=45°，则有
所以BE=FG=AF －AG=201）米。
《优化问题-----科学合理地安排时间》教学设计 教学内容：人教版四年级数学上册第八单元数学广角---优化---例1 教学目标：知识与技能：能够用合理、快捷的方式解决沏茶这一简单的生活问题，使学生初步体会到优化思想在解决实际问题中的应用。懂得在同一时间内，对事情的顺序进行合理安排，以达到提高效率的目的。 过程与方法：1、学会根据具体事件的情况，通过调整事件顺序，合理安排时间。 2、会画简单的事件流程图。 情感态度：1、锻炼学生思维的条理性，能从解决问题的多种方案中寻找出最优方案。2、对学生进行珍惜时间的思想教育。 教学重点：从解决问题的多种方案中寻找最优方案。 教学难点：学会根据具体事件的情况，通过调整事件顺序，合理安排时间。 教学准备：多媒体课件 教学过程：常规训练：口算 一、激发兴趣，导入新课 1、提问题：请看大屏幕： 1只小猫吃1条小鱼需要1分钟，那么5只小猫吃5条小鱼需要几分钟？师：谁愿意说一说？（生：可能回答：5分钟或1分钟） 师：为什么是1分钟？(生：5只小猫同时吃只需要1分钟。) 2、揭示课题：师：能同时进行，就可以节约时间，提高效率。生活中是不是很多事情都可以同时进行呢？ 3、课件出示。（1）为了节省时间，强强在乘车时认真读书。 （2）为了提高学习质量，小丽边吃饭边看《少儿英语电视》节目。
二、自主探究，学习新知。 1．（课件出示门铃声）师：小明家的门铃响了，你们猜发生了什么事？（课件出示主题图）（生：来客人了） 2、师：原来是李阿姨到小明家做客。 3、师出示教材104页例1.请同学们用讲故事的方法，对这个课件演示加以说 明。哪个同学愿意尝试一下。 生：（小明的妈妈在和李阿姨聊天，小明的妈妈让小明去给客人沏茶）4．师：我们来看看小明沏茶都需要做哪些事？分别需要多长时间？谁来大声地读一读？（课件出示工序图） 烧水：8分钟洗水壶：1分钟洗茶杯：2分钟 接水：1分钟找茶叶：1分钟沏茶：1分钟 5．学生猜测需要多长时间。 6．小组合作，探究策略。 师：小明要做这么多事,请你帮他想一想,哪些要先做?哪些可以同时做呢?怎样才能尽快让客人喝上茶? 请你们小组合作用准备好的工序图片摆一摆,设计一个最佳方案,并算一算需要多长时间? 生：小组合作交流 7．汇报交流： 生展示。预设情况： ①洗水壶（1分钟）→洗茶杯（2分钟）→接水（1分钟）→烧水（8分钟）→找茶叶（1分钟）→沏茶（1分钟）算式：1+2+1+8+1+1=14（分钟）师：还有更省时的方法吗？
第7页应用举例导学案 【学习目标】 1． 会正确画出各种角度 :仰角，俯角，方位角; 2． 能综合运用正余弦定理解决简单的测量问题． 目标一 会正确画出各种角度：仰角，俯角,方位角 【新知介绍】 方位角-－-指从北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ; 仰角与俯角－--视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时,称为仰角；当视线在水平线之 下时,称为俯角． 坡度--－沿余坡向上的方向与水平方向的夹角． 【达标检测】如右图,点A 的方位角为点B 的方位角为 目标二 能综合运用正余弦定理解决简单的测量问题. 【例题展示】 1.想一想：能到达的两点之间的距离显然能够测量,在这个基础上怎么测出河两岸不能到达的两点A,B 之间的距离?如图，设A 、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。测量者在B 的同侧,在所在的河岸边选定一点C ，测定BC 的距离是55,∠ＡBC ＝4５°,∠AC Ｂ＝６０° .求A 、B 两点间的距离.变式:在上题的基础上如何测出不能到达的河对岸的两点A ，B 之间的距离呢? 在岸边选取相距3km 的C 、D 两点,并测得∠A ＣB =75°，∠ＢCD =45°,∠AD Ｃ＝3０°,∠ADB =45°，Ａ、Ｂ、C 、Ｄ在同一个平面,求两目标A 、B 间的距离．答案()623255 - 2．用同样高度的两个测角仪A Ｂ和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空, 如图1－2-5,分别测得气球的仰角是α和β,已知B ，C 间的距离为a ，测角仪的高度 是b ,求气球的高度。（b a +-)sin(sin sin βαβ α) 3. 某海上养殖基地A ，接到气象部门预报,位于基地南偏东6０°相距20(3＋1)海里的海面上有一台风中心,影响半径为２0海里。正以每小时102海里的速 度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且3＋1 小时后开始影响基地持续２小时，求台风移动的方向。 答案北偏西45 【达标检测】 1. 从高为h 的气球A 上测量铁桥BC 的长.如果测得桥头B 的俯角是α,桥 头C 的俯角是β,求该桥的长. 答案：11(-tan tan h βα） ２.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号,如图,我海军护航舰在A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为45° ，距离为１0海里的Ｃ处,并测得货船正沿方位角105° 的方向,以１０海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立 即以103海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间。答案方向角75° ，时间1小时 B A C a b E A D C B C D
1．2 应用举例(二) 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题. 2.能够运用正、余弦定理解决力学或几何方面的问题． 有人说物理学科中的题实质上是数学的应用题，事实上学习物理离不开数学，数学在物理学中的应用非常广泛，本节课我们来研究正、余弦定理在测量方面，及在物理中的力学、平面几何方面的应用． 要点一 测量角度问题 例1 如图在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间． 解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里． 在△ABC 中，由余弦定理， 得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6， ∴BC ＝6(海里)． 又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC ， ∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝2 2， ∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD ， ∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t ＝1 2.
∴∠BCD ＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶， 又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴∠CDB ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝ 6 10 小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟． 规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题． 跟踪演练1 甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解 如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则 在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B 得： sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin 120°3at ＝3 23＝1 2. ∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°. ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°. 所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 要点二 正、余弦定理在几何中的应用 例2 如图所示，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？
高二数学◆选修2-2◆导学案编写：刘方贵张晓丽审核：仇国宗陈兆平袁全升2011-03-21 1 建立数学模型§1.4生活中的优化问题举例 教学目标： 1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作 用 2．提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 一．创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节， 我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有 以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函 数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是 建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决， 在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路： 三．典例分析 例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。 如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 本节课精华记录预习心得：解决数学模型 作答用函数表示的数学问题 优化问题用导数解决数学问题 优化问题的答案
1.2 应用举例 目标 1．了解数学建模的思想； 2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题． 知识梳理 1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A 点的方位角为α. 3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一． 作业设计 一、选择题 1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′ 答案 C 2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 答案 B 解析 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ， ∴由余弦定理得AB ＝3a . 3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( ) A ．10 3 n mile B.1063 n mile
C ．5 2 n mile D ．5 6 n mile 答案 D 解析 在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理得：BC sin A ＝AB sin B ∴ BC sin 60°＝10 sin 45° 解得BC ＝5 6. 4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.252 2 m 答案 A 解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ， ∴AB ＝AC ·sin ∠ACB sin ∠ABC ＝50×22 12 ＝50 2 (m)． 5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( ) A ．20(6＋2) 海里/小时 B ．20(6－2) 海里/小时 C ．20(6＋3) 海里/小时 D ．20(6－3) 海里/小时
二、预习内容 ：生活中的优化问题，如何用导数来求函数的最小
二、学习过程 1.汽油使用效率最高的问题 阅读例1，回答以下问题： （1）是不是汽车速度越快，汽油消耗量越大？ （2）“汽车的汽油使用效率最高”含义是什么？ （3）如何根据图3.4-1中的数据信息，解决汽油的使用效率最高的问题？ 2.磁盘最大存储量问题 阅读背景知识，思考下面的问题： 问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域。（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？ （2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 阅读背景知识，思考下面的问题： （1）请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。 （2）分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。 （3）饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的？ 三、反思总结 通过上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：
收集一下各种型号打印纸的数据资料，并说明其中所蕴含的设计原理。【资料】打印纸型号数据（单位：厘米）
§3.4 生活中的优化问题举例教学目标： 1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式()y f x =，根据实际问题确定函数()y f x =的定义域； 2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答. 重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论 值应予舍去。 难点：在实际问题中，有()0f x '=常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值 在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。 教学方法：尝试性教学 教学过程： 前置测评： （1）求曲线y=x 2+2在点P(1,3)处的切线方程. （2）若曲线y=x 3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。 【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题 例1.汽油的使用效率何时最高 材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？ 通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度v （km/h ）之间的函数关系g=f(v) 如图3.4-1，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v 为多少时，汽油的使用效率最高？ 解：因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v 这样，问题就转化为求g/v 的最小值，从图象上看，g/v
山西大学附中高中数学（必修4）学案 编号23 平面向量应用举例 【学习目标】用向量的方法解决简单的平面几何问题、物理问题，体会向量这种工具的作用． 【学习重点】用向量的方法解决简单的平面几何问题、力学问题，体会向量在几何、物理中的应用． 【学习难点】实际问题向量化 【学习过程】 探究：向量在几何中的应用 （一）推断线段长度关系 问题1：如图，在平行四边形ABCD 中，已2 12===BD AD AB ，，那么AC 的长是多少？ 思考1：根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？ 思考2：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？ 总结：用向量方法解平面几何问题的步骤（一般步骤） （１） 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几 何问题转化为向量． （２） 通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等． （３） 把运算结果＂翻译＂成几何关系． （二）推断直线位置关系 问题2：设ABC ?的两条高AD 与BE 相交于点P ，要说明AB 边上的高CF 经过点P ，你有哪些办法？ （三）计算夹角的大小 问题3：在等腰ABC ?中，D 、E 分别是两条腰AB 、AC 的中点，若BE CD ⊥，你认为A ∠的大小是否为定值？ 探究：在物理中的应用
问题4如图，一条河的两岸平行，河的宽度错误!未找到引用源。m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度h km v /101=，水流的速度h km v /52=，问行驶航程最短时，所用的时间是多少？ 课堂自测 1．已知D 、E 为ABC ?的边AB 、AC 的中点，延长CD 至M ，使CD DM =，延长BE 至N ,使BE NE =，求证M 、A 、N 三点共线． 2．在四边形ABCD 中，+=，·= 0，试证明：四边形ABCD 为菱形． 3．已知向量OA ，OB ，OC 满足条件OA +OB +OC =0，且|OA |=|OB |=|OC |=1， 求证：ABC ?为正三角形． 4．某人在静水中游泳速度为3m/s ，河水自西向东流速为1m/s ，若此人朝正南方向游去，则他的实际前进的方向___________，速度大小__________．
3.4生活中的优化问题举例（教学设计）（1）（2）（2课时） 教学目标： 知识与技能目标： 会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力。 过程与方法目标： 在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识，学生通过自主探究，体验数学发现与创造的历程，提高学生的数学素养。 情感、态度与价值观目标： 在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性。 教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学难点：将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题． 教学过程： 一．创设情景、新课引入 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．师生互动，新课讲解 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。 例1（课本P101例1）．海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要贴海报进行宣传。现让你设计一如图1.4-1所示的竖向贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128 x dm,此时四周空白面积为 128512 ()(4)(2)12828,0S x x x x x x =++-=++>。 求导数，得 '2 512()2S x x =- 。 令' 2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。 于是宽为128128 816x ==。 当(0,16)x ∈时，' ()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，' ()S x >0. 因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小。 答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小。 解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
27.2相似三角形 27.2.3 相似三角形应用举例 【知识与技能】 进一步巩固相似三角形的知识，学会用相似三角形解决不能直接测量的物体的长度和高度等一些实际问题. 【过程与方法】 通过把实际问题转化为有关相似三角形的模型，进一步体会数学建模的思想方法. 【情感态度】 培养学生分析问题、解决问题能力，增强观察、归纳、建模、应用能力，在活动中也培养学生良好的情感态度，主动参与、合作交流意识. 【教学重点】 运用相似三角形的知识求不能直接测量的物体的长度和高度. 【教学难点】 在实际问题中建立数学模型，灵活运用三角形相似的知识解决实际问题. 一、情境导入，初步认知 问题一天上午10:00时，九年级的小明带着弟弟在操场上玩，弟弟看见高高的旗杆，好奇地问：哥哥，这旗杆好高啊，你知道它有多高吗？”望着高高的旗杆，小明一下子愣住了.但小明是个要强的孩子，他不愿意失去弟弟心目中“大英雄”的地位，绕着旗杆转了几圈，抬头望望，低头看看，这时他的目光停留在自己的影子和电线杆的影子上，他记得自己身高为1.60 米，联想到了刚刚学过相似三角形的知识，终于想到求出旗杆高度的方法了，并给弟弟一个满意的答案.同学们，如果是你，你有办法求出旗杆的高度吗？与同伴交流你的想法. 【教学说明】通过学生能感受到的问题情境，提出问题，可激发学生的求知欲望，增强学习兴趣.在学生的相互交流过程中，慢慢感受到用相似三角形知识可以测量出不能直接测量的物体的高度的思路方法，引入新课. 二、典例精析，掌握新知 例1据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图，如果木杆EF长为2m，它的影长FD为3m.测得0A = 201m，求金字塔高度BO.
2.5平面向量应用举例 一、教材分析 向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。 二、教案目标 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。 三、教案重点难点 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析 在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。 五、教案方法 1.例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。 2.学案导学：见后面的学案 3.新授课教案基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用 2.教师的教案准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排：1课时 八、教案过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教案具有了针对性。 (二）情景导入、展示目标 教师首先提问：（1）若O为ABC 重心,则OA+OB+OC=0 （2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=1 2 AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形 为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ 教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。 （设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。） （三）合作探究、精讲点拨。
对象、窗体与控件、窗体布局 组名：姓名： 一、【学习目标】 1、拓展对对象三要素的认识。 2、掌握窗体的常用属性及事件。 3、掌握焦点的概念及控件的分类。 4、了解窗体的布局。 二、【学习重难点】 窗体的常用属性及事件，焦点的概念。 三、【学习内容】——课前自学，课中交流。 任务一：复习下列内容： 导学链接：查阅上几次发的阅读材料P2、P10、P11、P14 1、什么是事件过程： 每个事件都与一段代码相关，与事件相关的代码称为“事件过程”。 2、打开代码窗口的方法： 1） 2） 3） 4） 3、运行VB应用程序的方法有： 1） 2） 3） 4、代码窗口上方包括、二个列表框。 5、VB保存工程的顺序为：先保存，再保存。 任务二：掌握与对象相关概念与操作。 按以下顺序阅读下发的阅读材料P18~P20，回答下列问题： 1、属性的设置有二种方法：和。 2、在属性窗口中根据属性的不同有以下3种设置方法： 1）、 2）、 3）、 3、写出事件过程的模板： 4、写出方法调用的格式并举例： 任务三：掌握窗体的常用属性及焦点的相关概念。 导学链接：阅读下发的阅读材料P20~P23，回答下列问题： 1、写出窗体的常用属性的名称（英文），理解它们的作用。
2、VB中所有涉及尺寸的默认单位是。（中文、英文都要写） 3、写出窗体的常用事件（英文）。 4、对象获得焦点有以下几种方法： 1）、 2）、 3） 5、只有当对象的和属性为时，它才具有焦点。 6、、、、等控件没有焦点。 7、VB中，控件可分为三类： 1）、 2）、 3） 任务四：掌握窗体布局的方法。 导学链接：阅读下发的阅读材料P24~P25，回答下列问题： 1、写出在窗体中添加控件的方法： 1）、 2）、 2、如果需要一次在窗体中加入多相相同的控件，则在单击工具箱中的控件时可先按住 键不放，这样就可在窗体上连续画出若干个相同的控件。 3、选中控件，再按键，可删除控件。 4、控件位置的调整有两种方法： 1）、 2）、 5、按住快捷键，再用鼠标移动可微调控件的位置。
§7 向量应用举例 1．了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离．(重点) 2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题．(难点) 3．进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具． [基础·初探] 教材整理 向量应用举例 阅读教材P 101～P 103，完成下列问题． 1．点到直线的距离公式 若M (x 0，y 0)是平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为：d ＝|Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2. 2．直线的法向量 (1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量． (2)公式：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，取其方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量n ＝(A ，B )． 3．向量的应用 向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)△ABC 是直角三角形，则AB →·BC → ＝0.( ) (2)若AB →∥CD → ，则直线AB 与CD 平行．( ) (3)向量AB →，CD → 的夹角与直线AB ，CD 的夹角不相等．( ) (4)直线Ax ＋By ＋C ＝0的一个法向量是(A ，B )．( ) 【解析】 △ABC 是直角三角形，若∠A ＝90°，则AB →·BC → ≠0，∴(1)×；两向量平行，对应的两直线可以是重合，∴(2)×；(3)(4)均正确． 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ [小组合作型] 向量在平面几何中的应用 已知ADB ＝60°， 求证：AB 是△BCD 外接圆的切线． 图2－7－1 【自主解答】 设△BCD 外接圆的圆心为O ， 半径为R ，连接OB ，OC ，OD ，取OB → ＝b ， OC → ＝c ，OD → ＝d ， 则|b |＝|c |＝|d |， 又由题意，知BDC 和BD 分别为120°和90°的弧． ∴b ·d ＝0，b ·c ＝|b ||c |cos 120°＝－12R 2 . 又∵OA →＝OC →＋CA →＝c ＋3CD → ＝c ＋3(d －c )＝3d －2c ， AB → ＝OB →－OA → ＝b －3d ＋2c . ∴AB →·OB →＝(b －3d ＋2c )·b ＝R 2＋2c ·b ＝R 2－R 2 ＝0， 即AB →⊥OB → ，∴AB 是⊙O 的切线．
2019-2020学年高中数学 1.2 应用举例学案新人教A版必修5 学习目标 1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题； 2．三角形的面积及有关恒等式． 教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 学习过程 一、课前准备 复习1：解三角形应用题的关键：将实际问题转化为解三角形问题来解决． 复习2：基本解题思路是： ①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）； ②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中； ③确定用哪个定理转化，哪个定理求解； ④进行作答，并注意近似计算的要求． 二、新课导学 ※典型例题 例1. 某观测站C在目标A的南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路上有一人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，求此人在D处距A还有多远？
例2. 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角 为2θ，再继续前进 至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高． 例3. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S△ADC AB的长． B C
※动手试试 练1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？ 练2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？ 三、总结提升 ※学习小结 1. 解三角形应用题的基本思路，方法； 2．应用举例中测量问题的强化. ※知识拓展 秦九韶“三斜求积”公式：
正余弦定理应用举例导学案及练习题 【学习目标】 ．复习巩固正弦定理、余弦定理． ．能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题． 【学习重难点】 能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题． 【复习巩固】 ．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA＝______＝csinc＝2R． ．应用：利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题： ①已知两角与一边，解三角形； ②已知两边与其中一边的对角，解三角形． 做一做：在△ABc中，a＝4，b＝3，A＝30°，则sinB 等于 A．1B.12c.38D.34 ．余弦定理：三角形中任何一边的______等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的____倍．即：在△ABc中，a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝____________，c2＝a2＋b2－2abcosc.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝______________，cosc＝a2＋b2－c22ab. 应用：利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问
题： ①已知三边，解三角形； ②已知两边及其夹角，解三角形． 做一做：在△ABc中，AB＝3，Bc＝13，Ac＝4，则A＝__________. 【典例分析】 题型一测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题 例题1：如图，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点之间的距离，先在岸边取基线Ac，测得Ac＝120，∠BAc＝45°，∠BcA＝75°，求A，B两点间的距离．题型二测量两个不可到达的点之间的距离问题 例题2：如图，隔河看到两个目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距3的c，D两点，并测得∠AcB＝75°，∠BcD ＝45°，∠ADc＝30°，∠ADB＝45°，求两个目标A，B之间的距离． 【课堂达标】 已知A，B两地相距10，B，c两地相距20，且∠ABc＝120°，则A，c两地相距 A．10B．c．D． 设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点c，测出A，c的
《1. 4. 1生活中的优化问题举例》导学案 【学习目标】 1.掌握有关实际问题中的优化问题; 2.形成求解优化问题的思路和方法 【重点难点】 理解导数在解决实际问题时的作用 【学习过程】 、情景问题: 汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度V（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量W是汽车速度V的函数?根据你的生活经验，思考下面两个问题： ①是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ ②“汽油的使用率最高”的含义是什么？ 二、合作探究、精讲点拨[来源：学&科&网] 例1：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm .如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 例2?饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 ①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ ②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8兀r2分,
其中r是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且 制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm. 问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ ② 瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 反思：如果我们直接从函数的图像上观察，会有什么发现？ 例3．磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上. 磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区. 磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域. 磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特(bit) . 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m ，每比特所占用的磁道长度不得小于n . 为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数. 问题：现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 与R 之间的环形区域． ①是不是r 越小，磁盘的存储量越大？ ②r 为多少时，磁盘具有最大存储量( 最外面的磁道不存储任何信息) ？ 反思：如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？此时，是不是r 越小，磁盘的存储量越大？ 三、反思总结 1、解决优化问题的方法是怎样的？利用导数解决优化问题的基本思路：
27.2.3 相似三角形的应用举例青海一中李清 〔学习设计〕
例 5：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和 CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿 着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与 左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的 树的顶端点C？ 分析：, AB l CD l ⊥⊥?AB∥CD，?AFH∽?CFK。 ? FH AH FK CK =，即 8 1.6 6.4 512 1.610.4 FH FH - == +- ，解得FH=8。 数学建模的关键 是生活中的实际 问题转化为数学 问题，转化的方法 之一是画数学示 意图，在画图的过 程中可以逐渐明 问题中的数量关 系与位置关系，进 而形成解题思路。
【素材积累】 1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。 ２、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。
向量的应用举例 使用说明：认真阅读课本100~101页，并完成下列预习案内容。 【学习目标】 1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识. 2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯. 【重点难点】 重点: 1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算. 2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法. 难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题 一、知识链接 1.设点M(x 0,y 0)到直线l:ax+by+c=0的距离为d, d |) (| |) ()(| 2 2 002 2 00b a by ax by ax b a y y b x x a ++-+=+-+-= 2.向量加法符合三角形法则或平行四边形法则，数乘向量仍然是一个向量，但a*b 却是一 个实数，并且a ⊥b ?a ·b =0。这为我们证明垂直问题提供了新思路 3..a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0， 4.设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥ ?02121=+y y x x 。 二、教材助读 1.在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗? 预习自测 1. 已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上),大小为50 N,一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少?(g=10 m/s 2) 1. 一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地,然后向C 地飞行.设C 地恰好在A 地的南偏西60°,并且A,C 两地相距2 000 km,求飞机从B 地到C 地的位移. 2.一轮船欲横渡某条江，已知江水流速为3km/h ，船的静水速度为6km/h. （1）求轮船的航行方向 （2）若江面宽23km ，求轮船到达对岸所需的时间 探究案 预习案
正、余弦定理及解斜三角形的方法。 二：新课讲解： 1、基本概念 ①坡角： 。②仰角： 。 ③俯角： 。 ④方向角： 。 ⑤视角： 。 2：例题选讲 例1、设A 、B 在河的两岸，测量者在与A 同侧的河岸边选取测点C ，测得AC 的距离是50m ，007551=∠=∠ACB ，BAC ，求A 、B 两点间的距离。 练习：为了测定对岸两点A 、B 的距离，在岸边选定1km 长的基线CD ，并测得 00030756090=∠=∠=∠=∠ADC ，BDC ，BCD ，ACD 求A 、B 两点间的距离。
例2、设A 、B 是两个不能到达的海岛，如何测量它们之间的距离。 练习：如图，在河对岸可以看到两个目标M 、N ，但不能到达，在河岸边选取相距40m 的P 、Q 两点，并测得 000045304575=∠=∠=∠=∠MQN ，MQP ，NPQ ，MPN ，试求两个目标M 、N 之间的距离。 总结；解决距离问题的一般思路： 例3：测量一个底部不能到达的建筑物的高度。 练习：课本114A P 三、1. 2《 应用举例》当堂检测 姓名： 分数： 1、两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东030，灯塔B 在观察站C 的南偏东060，求A 、B 、两灯塔的距离。 2、在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为 a 2 3 的军事基地C 和D 测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且 000045603030=∠=∠=∠=∠ACB ，DCA ，BDC ，ADB ，求蓝方这两支精 锐部队的距离。
1、解斜三角形实际应用举例常见几种题型 2、解斜三角形实际应用题的基本思路。 二：例题选讲 例1、 （见课本例1） 练习：课本19p 巩固与提高12T 例2、在海岸A 处，发现北偏东045方向，距A 处n )13( mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西075的方向，距离A 处2n mile 的C 处的缉私船奉命以310n mile/h 的速度追截走私船。此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东030方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？