[A 组 学业达标]
1．已知等比数列{a n }中，a 1＝32，公比q ＝－1
2，则a 6等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2
D.12
解析：由题知a 6＝a 1q 5＝32×(－1
2)5＝－1，故选B. 答案：B
2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128
D ．243
解析：∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3
a 1＋a 2＝q ＝2.
又a 1＋a 2＝3，
∴a 1＝1.故a 7＝1×26＝64. 答案：A
3．已知数列{a n }满足：a n ＋1a n ＋1＋1＝1
2，且a 2＝2，则a 4等于( )
A ．－12
B ．23
C ．12
D ．11 解析：因为数列{a n }满足：a n ＋1
a n ＋1＋1＝1
2，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即数列{a n ＋1}
是等比数列，公比为2.则a 4＋1＝22(a 2＋1)＝12，解得a 4＝11. 答案：D
4．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 3＝( ) A ．－10 B ．－6 C ．－8
D ．－4
解析：因为等差数列{a n }的公差为2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，
所以a 23＝a 1a 4，所以a 2
3＝(a 3－4)(a 3＋2)，
解得a 3＝－4. 答案：D
5．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( ) A. 2 B ．4 C ．2
D.1
2
解析：因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1·a 7，设{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1
＝
4d 2d ＝2. 答案：C
6．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项 是192，则n ＝________.
答案：5
7．数列{a n }为等比数列，a n >0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a n ＝________.
解析：由a 1·a 5＝16，a 4＝8，得a 21q 4＝16，a 1q 3＝8，所以q 2＝4，又a n >0，故q
＝2，a 1＝1，a n ＝2n －1. 答案：2n －1
8．在8和5 832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是________．
解析：设公比为q ，则8q 6＝5 832，所以q 6＝729，所以q 2＝9，所以a 5＝8q 4＝648. 答案：648
9．在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)－16
81是否为该数列的项？若是，为第几项？
解析：(1)∵2a n ＝3a n ＋1，∴a n ＋1a n
＝23，数列{a n }是公比为23的等比数列，又a 2·a 5＝8
27，
∴a 21? ????235＝? ??
??233
，由于各项均为负，故
a 1＝－32，a n ＝－? ??
??23n －2
.
(2)设a n ＝－1681，则－1681＝－? ????23n －2
，
? ????23n －2＝? ??
??234
，∴n ＝6， ∴－16
81是该数列的项，为第6项．
10．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝4，a 4＝16. (1)求公比q ；
(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，求数列{b n }的通项公式． 解析：(1)由已知得?????
a 2＝a 1q ＝4，
a 4＝a 1q 3
＝16，
所以q 2＝4，又q ＞0，所以q ＝2. (2)由(1)可得a n ＝2n . 所以b 3＝a 3＝8，b 5＝a 5＝32. 设等差数列{b n }的公差为d ， 则d ＝
32－85－3
＝12，
所以b n ＝8＋(n －3)×12＝12n －28.
[B 组 能力提升]
11．等比数列{a n }中，a 3－3a 2＝2，且5a 4为12a 3和2a 5的等差中项，则{a n }的公比等于( ) A ．3
B ．2或3
C ．2
D ．6
解析：由题意得?????
a 1q 2－3a 1q ＝2，
2(5a 1q 3)＝12a 1q 2＋2a 1q 4
，
解得a 1＝－1，q ＝2. 所以{a n }的公比等于2. 答案：C
12．已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，1
2a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的
值是( ) A.
5－1
2
B ．5＋12
C.3－52
D.
3＋52
解析：设等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0， 因为a 3，1
2a 5，a 4成等差数列，
所以2×1
2a 5＝a 3＋a 4，则a 3q 2＝a 3＋a 3q ， 化简得，q 2－q －1＝0，解得q ＝1±5
2， 则q ＝5＋1
2，
所以a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 5a 3q ＋a 5q ＝1q ＝25＋1＝5－12.
答案：A
13．在等比数列{a n }中，a n ∈R ，且a 3，a 11是方程3x 2－25x ＋27＝0的两根，则a 7＝________.
解析：由题意得??
?
a 3＋a 11＝25
3，
a 3·
a 11＝9，
等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1. 准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解 决等差数列的相关问题 2. 通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生 对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力 3?激情参与、惜时高效，禾U 用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值 【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用 【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用 【学法指导】 1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法 ； 2.完成教材助读设置的问题，然后结 合课本的基础知识和例题，完成预习自测； 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑” 一、知识温故 1?数列有几种表示方法？ 2?数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？ 教材助读 1?一般地，如果一个数列从第 ________ 项起，每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ___________ ，公差通常用字母 ___________________________ 表示。 2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。这时 A 叫做a 与b 的等差数列即 3. 如果数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则a 2 a 1 a 5 a 1 4.通项公式为a n =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗? ,a 3 a 1 a 4 a 1 1. 等差数列a 2d , a ,a 2d ?' A . a n a (n 1)d B. C . a n a 2(n 2)d D. 2.已知数列｛, a n } 的通项公式为 a n A . 2 B. 3 C. 2 3. 已知a 1 b - 1 ?的通项公式是（ a (n 3)d a 2nd 2n ，则它的公差为（ D. 3 ，则a 与b 的等差中项为 【预习自测】 a n a n
第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与通项公式 双基达标 (限时20分钟) 1．下列说法中，正确的是 ( )． A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C ．数列?? ?? ??n ＋1n 的第k 项是1＋1 k D ．数列0,2,4,6,8，…，可表示为a n ＝2n (n ∈N *) 解析 A 错，{1,3,5,7}是集合．B 错，是两个不同的数列，顺序不同．C 正确，a k ＝k ＋1k ＝1＋1 k .D 错，a n ＝2(n －1)(n ∈N *)． 答案 C 2．已知数列3，3，15，21，33，…，3(2n －1)，…，则9是这个数列的 ( )． A ．第12项 B ．第13项 C ．第14项 D ．第15项 解析 令a n ＝3(2n －1)＝9，解得n ＝14.
答案 C 3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于 ( )． A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 解析 从第三项起每一项都等于前连续两项的和，即a n ＋a n ＋1＝a n ＋2，所以x ＝5＋8＝13. 答案 C 4．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项． 解析 a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，n ＝24. 答案 24 5．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝1 2(n ∈N *)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递 减”)． 解析 由已知a 1>0，a n ＋1＝1 2a n (n ∈N *)， 得a n >0(n ∈N *)． 又a n ＋1－a n ＝12a n －a n ＝－1 2a n <0， ∴{a n }是递减数列． 答案 递减 6．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，1 3， (2) 53，( )，1715，2624，3735 ，… (3)2,1，( )，1 2，… (4)32，94，( )，65 16 ，… 解 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则 序号 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 数 912 812 712 ( ) 512 4 12 于是括号内填6 12，而分子恰为10减序号． 故括号内填1 2，通项公式为a n ＝10－n 12. (2) 53＝4＋14－1，1715＝16＋116－1，2624＝25＋125－1 ，
数列的概念及通项公式 [教学设计思想] 本课是数列的第一课，目标让学生很好理解数列的概念。 对数列概念的理解，对学生来说是没有困难的。因此，通过对简单概念的学习，让学生体会通过自己的学习，理解数列的概念，从中培养自主学习能力。 另外，通过对概念的学习，规范数列的写法，让学生能用数学符合语言来准确描述数列 [教学目标] 1、通过创设实际情景，产生数列的概念，让学生在实际生活中感悟出数列的概念 2、通过对教材的阅读，掌握学习的技巧和方法，养成自主学习能力 3、通过例题对概念的剖析，了解数列通项的基本概念，函数概念和图像概念 4、通过对概念的学习，规范数列的写法，使得学生能用数学符合语言来准确描述数列 教学重点难点 用数学语言描述出数列的通项公式 [教学策略与方法] 1、利用多媒体，通过实际问题的引入数列的学习。 2、通过阅读教材学习数学的概念。 3、学会用符合语言表示数列的通项。 [教学过程] 【导入】 一．对半还价法 从他们的讨价还价中，我们得到一串数列： 600，300，500，350，450，380…… 二．一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增 加一定数量的宝石，则第五件产品有多少颗珠宝？（1322++=n n a n ） 第4件 第3件 第1件 第2件
三．兔子繁殖问题（斐波那契数列）：有一天，意大利著名数学家斐波那契在外面散步，看见一个男孩在院子里养了一对可爱的白兔。几个月后，他又去那儿散步，看见里面大大小小的兔子很多。于是就问小孩：“你又买了一些兔子吗？”小孩回答说：“没有，小兔子都是原先一对老兔子繁殖出来的。”经过询问之后，斐波那契知道，一对兔子每月都要生一对小兔，并且小兔子出生后两个月就可以再生一对小兔子。这引起了他的浓厚兴趣，经过思考，他提出了一个问题： Fibonacci数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，………… 四．循环程序图 A＝3，N＝1 前5项是：3，6，30，870，756030 提问：同学们能不能再举出一两个这样的一列数，它们可能是你生活中遇到的，也可能是你最喜欢，最难忘的一列数 【过程】 1.阅读教材第二项内容（第一段到第三段） 提问1：谁能给出数列的定义 提问2：数列1，3，5，7，9与9，7，5，3，1是同一数列吗？为什么？
【例1】 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和n S =_______． 【例2】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655-=S S ，则4=a ． 【例3】 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 63 3S S =，则96=S S （ ） A ．2 B ． 7 3 C ．83 D ．3 【例4】 设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令1(12)=+=L n n b a n ， ，，若数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782--， ，，，中，则6=q ． 【例5】 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若 105S S ＝31 32 ，则105a a 等于 ． 【例6】 等比数列{}n a 中，1512a =，公比1 2 q =-，用n ∏表示它前n 项的积：12...n n a a a ∏=， 则1∏，2∏，…，n ∏中最大的是_______． 【例7】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1 (1)()3 N n n S a n *=-∈． ⑴求1a ，2a ，3a 的值； ⑵求n a 的通项公式及10S ． 典例分析 等比数列的通项公式与求和
【例8】 在等比数列{}n a 中，12327a a a ??=，2430a a += 试求：⑴1a 和公比q ；⑵前6项的和6S . 【例9】 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有21n n S =-，则22212 n a a a +++=L ________． 【例10】 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠L ． 【例11】 在等比数列{}n a 中，423a = ，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2 n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【例12】 在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ?=，则3132log log b b ++……314log b +等于（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【例13】 等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+?+++n a a a a 32121n -， 则222 12n a a a ++???+=( ) A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1 413 n -
高中数学第二章数列2.1.1数列的概念与通项公式练习（含解析） 新人教A 版必修5 知识点一 根据数列的前几项求通项公式 1．数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是( ) A ．a n ＝(－1)n ·(2n －1) B ．a n ＝(－1)n ·(2n －1) C ．a n ＝(－1)n ＋1 ·(2n －1) D ．a n ＝(－1)n ＋1 ·(2n －1) 答案 A 解析 数列各项正、负交替，故可用(－1)n 来调节，又1＝21－1，3＝22－1，7＝23 －1，15＝24 －1，…，所以通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n －1)． 2．根据数列的前4项，写出下列数列的一个通项公式． (1)0．9，0．99，0．999，0．9999，…； (2)112，245，3910，416 17，…； (3)12，34，78，15 16，…； (4)3，5，9，17，…． 解 (1)0．9＝1－0．1＝1－10－1， 0．99＝1－10 －2， 0．999＝1－10 －3， 0．9999＝1－10－4 ， 故a n ＝1－10－n (n ∈N * )． (2)112＝1＋112＋1，245＝2＋22 22＋1，3910＝3＋32 32＋1，41617＝4＋42 42＋1，故a n ＝n ＋n 2 n 2＋1(n ∈ N * )． (3)12＝21 －121＝1－121，34＝22 －122＝1－122， 78＝23 －123＝1－123，1516＝24 －124＝1－124， 故a n ＝2n －12n ＝1－12 n (n ∈N * )． (4)3＝1＋2，5＝1＋22， 9＝1＋23， 17＝1＋24 ， 故a n ＝1＋2n (n ∈N * )．
学习札记 第2章 数列 【知识结构】 重点：数列及其通项公式的定义；数列的前n 项和与通项公式的关系及其求法； 难点：正确运用数列的递推公式求数列的通项公式；对用递推公式求出的数列的讨论； 等差等比数列的应用和性质。 第1课 数列的概念及其通项公式 2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列； 3．理解数列的通项公式的概念，并会 用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式； 4．提高观察、抽象的能力． 【自学评价】 1．数列的定义：___________________叫做数列(sequence of number). 【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的， 因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 思考:简述数列与数集的区别. __________________________________________________________________________. 2．数列的项：_________________都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3．数列的分类： 按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无限）. 4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项 与 之间的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term ）. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…； ⑵一个数列的通项公式有时是 不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是 2 )1(11 +-+=n n a ， 也可以是|2 1 cos |π+=n a n ； ⑶数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项. 5. 数列的图像都是一群孤立的点. 从映射、函数的观点来看，数列可 以看作是一个定义域为正整数集N * （或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象． 6．数列的表示形式：____________________ ____________________________________. 【精典范例】
2.1 数列的概念与简单表示法 第一课时 数列的概念与通项公式 数列的概念 [提出问题] 观察下列示例，回答后面问题 (1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，12，13，14，15，1 6. (2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2,4，－8,16. (3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989,2072，…. (4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为：12，14，18，116，1 32 ，…. 问题：观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？ 提示：按照一定的顺序排列． [导入新知] 数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)， a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }． [化解疑难] 1．数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置． 2．项a n 与序号n 是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． 3．{a n }与a n 是不同概念：{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…；而a n 表示数列{a n }中的第n 项. 数列的分类 [提出问题] 问题：观察“知识点一”中的4个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列中从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？
数列公式数学学科导学案 教师寄语：做对国家有用的人 课题：数列的概念和通项公式 班级 17级姓名陈兆侠组别二年级 一、学习目标： 1.知识与能力： （1）理解数列及其有关概念； （2）理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； （3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式． 2.过程与方法： 理解数列的定义，表示法，分类，初步学会求数列通项公式的方法。 3.情感态度价值观： 提高观察，分析能力，理解从特殊到一般，从一般到特殊思想。 二、学习重、难点： 重点：了解数列的概念及其表示方法，会写出简单数列的通项公式 难点：数列与函数关系的理解，用归纳法写数列的通项 三、学习过程【导、探、议、练】 导 知识点一：数列及其有关概念 思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？ 梳理: (1)按照________排列的________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_____.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的__________(通常也叫做______)，排在第二位的数称为这个数列的……排在第n位的数称为这个数列的__________. (2) 数列的一般形式可以写成，简记为_________. 知识点二：通项公式 思考1:数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？ 思考2 数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？ 知识点三:数列的分类 思考:对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？ 梳理: (1)按项数分类，项数有限的数列叫做__________数列，项数无限的数列叫做__________数列． (2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做___________；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做；各项相等的数列叫做；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做_____________. 探、议 （一）自主探究 类型一:由数列的前几项写出数列的一个通项公式
数列的概念与通项公式 一、【教学目标】 1、掌握数列与通项公式的概念，了解数列的分类。 2、 掌握数列的通项的意义，并能根据通项公式写出数列的任一项。 重点：理解数列的概念； 难点：由通项公式写出前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式。 二、【基本知识】 三、【典型例题】 例题1：已知数列的通项公式为a n =n 2 —5n +4 2、已知数列 ￡(n +2)} (1)写出这个数列的第8项和第20项； (2) 323 是不是这个数列中的项？如果是，是第几项? 3、已知数列 & h 勺通项公式为a n =n 2 —8 n +5 2 1, 4, 9, 16 (1) 18是该数列的项吗？若是，则求出是第几 项。 (2)数列中有多少项是负数? (3) n 为何值时，a n 有最小值？并求出。 例题2、 写出下列各数列的一个 通项公式: 1 1 1 1 (1) — 1X2 2 X 3 3X 4 4X5 (3) 0, 2, 0, 2 变题1 : 1, 3, 3 1 3 ⑷ -1, _， —— 1 2 3 4 (6) 3, 33, 333, 3333 (8) 5, 0, —5, 0, 5, 0, — 5, 0, 根据数列的前几项, 1, 3 (5 ) (2) 3，5, 7, 9 变题 四、【当堂反馈】 1、写出数列的一个. 1 3 2, 48'16 (7) 11, 102, 1003, 7 15 10004 通项公式，使它的前四项分别是下列各数: (1)2, 4，6, 111111 (3) 1- 1 2 2 3 3 4 4 5
(1)写出这个数列的前 5项，并作出它的图像; (2 )这个数列所有项中有没有最小的项？
等比数列的通项公式 例1 已知{a n}为等比数列， 求证：当m＋n=p＋l时 a m·a n=a p·a l 证明： 设等比数列的首项a1，公比为q， ∵m＋n=p＋l ∴a m·a n=a p·a l得证． 评注： 本题证明过程并不难，但结论：等比数列中，下标之和相等则对应项之积相等，这在解决有关等比数列的问题时常使解决的过程变得很简捷． 例2 在等比数列{a n}中 (1)已知：a1＋a2＋a3=6，a2＋a3＋a4=－3，求a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8的值； (2)已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5=31，a2＋a3＋a4＋a5＋a6=62，求通项a n． 分析：利用等比数列的定义和性质整体观察． 解 (1)不难看出a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，a4＋a5＋a6，a5＋a6＋a7，a6＋a7＋a8成等比数列，且公比为q(即数列{a n}的公比)．
设为{A n}，即A1=6，A2=－3， (2)由已知可以看到 ∴a1(1＋2＋4＋8＋16)＝31，a1=1 ∴a n=2n-1． 评注： 以上二题均可用列方程和方程组解决，但掌握等比数列有关性质整体考虑问题会使运算更简捷． 例3 在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6=9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10= [ ] A．12 B．10 C．8 D．2＋log35 解： 根据等比中项的性质， a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9．
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5=95． ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 =log3(a1a2 (10) =log395 =5log39 =10． 故正确答案为(B)． 评注： (1)应用等比中项求解某些等比数列问题，简便快捷． (2)对等比数列{a n}，有以下结论： 例4 若{a n}为等比数列，且a n＞0，已知a5a6=128 则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10的值为 [ ] A．5 B．28 C．35 D．40
第 1 页 共 2 页 2.2.1等差数列的概念与通项公式 学习目标: 1．知识目标：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式． 2．能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念 的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力． 3．情感目标:通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣． 学习重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式； 学习难点: 理解等差数列“等差”的特点及通项公式含义；等差数列的通项公式的推导过程． 学习过程： 一、新课导学:请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？ ① 0，5，10，15，20，25，… ② 10，12，14，16，… ③ 5，5，5，5，5，… ④ 101，100，99，98，97，96，95，… 对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于__________ 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于__________ 对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于__________ 对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于__________ 共同点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ______. 1.等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它前一项的差等于______常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示。 思考1：等差数列的递推公式为： 思考2：上面的四个数列都是等差数列，公差依次是______,______,______,______. 思考3：一个等差数列至少有几项，中间项与前一项、后一项有什么关系？ 2.等差中项的概念：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列是最简单的等差数列，这时数A 叫做数a 和b 的 等差中项，用等式表示为A = 3.等差数列的通项公式： 思考4：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 思考5：如果等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，你能否根据等差数列的递推公式得出通项公式 公式推导： 若一等差数列}{n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： 方法一（归纳法）：21a a -= ，即：21a a =+ ， 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 4 3a a -= ，即：431a a d a =+=+ ， …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d a a n ____1+=. 方法二（累加法）：____, ___,___,...... _____, _____,_____,12132342312=-=-=-=-=-=------n n n n n n a a a a a a a a a a a a 累加得： 结论：如果等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，则数列的通项公式为：d a a n ____1+= 反思：（1）从方程的角度考虑，等差数列通项公式未知量有 个，知三求一； （2）从函数的角度考虑：n a 是有关n 的_______函数，有2 个待定系数_____ （3）从单调性来考虑：①当d ＞0时，｛n a ｝为 数列；②当d ＜0时，｛n a ｝为 数列； ③当0,d =｛n a ｝为 数列。 三．典型例题与练习： 题型1：求等差数列的通项公式 例1：（1）求等差数列8，5，2，…的通项公式和第20项。 （2）—401是不是等差数列—5，—9，—13，…的项。如果是，是第几项？ 变式1：（1）求等差数列3，7，11，……的通项公式和第10项. （2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
6．3 等比数列的通项公式 一、教学目标 1.知识目标： （1）理解等比数列的定义； （2）理解等比数列通项公式． 2.能力目标： （1）应用等比数列的通项公式，解决数列的相关计算，培养学生的计算技能； （2）应用等比数列知识，解决生活中实际问题，培养学生处理数据技能和分析解决问题的能力． 3.情感目标： （1）经历等比数列的通项公式的探索，增强学生的创新思维； （2）关注数学知识的应用，形成对数学的兴趣。 二、教学重难点 1.教学重点：等比数列的通项公式． 2.教学难点：等比数列通项公式的推导． 三、教学过程 （一）创设情境兴趣导入 做一做：将一张纸连续对折5次，列出每次对折纸的层数 （二）动脑思考探索新知 新知识： ?=（层）； 第1次对折后纸的层次为122 ?=（层）； 第2次对折后纸的层次为224 第3次对折后纸的层次为428 ?=（层）； 第4次对折后纸的层次为8216 ?=（层）； 第5次对折后纸的层次为16232 ?=（层）． 各次对折后纸的层次组成数列 2，4，8，16，32． 这个数列的特点是，从第2项起，每一项与它前面一项的比都等于2．如果一个数列的首项不为零，且从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母q来表示．
由定义知，若{}n a 为等比数列，q 为公比，则1a 与q 均不为零，且有1n n a q a +=，即 1n n a a q +=? (6.5) （三）巩固知识 典型例题 例１ 在等比数列{}n a 中，15a =，3q =，求2a 、3a 、4a 、5a ． 解 213243545315, 15345, 453135, 1353405.a a q a a q a a q a a q =?=?==?=?==?=?==?=?= 试一试：你能很快地写出这个数列的第９项吗？ 如何写出一个等比数列的通项公式呢？ （四）动脑思考 探索新知 与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关系，分析、探求规律． 设等比数列{}n a 的公比为q ，则 ()()2123211234311, , ,a a q a a q a q q a q a a q a q q a q =?=?=??=?=?=??=? …… 依此类推，得到等比数列的通项公式： .11-?=n n q a a 知道了等比数列{}n a 中的1a 和q ，利用公式（6.6），可以直接计算出数列的任意一项. 想一想：等比数列的通项公式中,共有四个量：n a 、1a 、n 和q ，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ （五）巩固知识 典型例题 例2求等比数列
§2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与通项公式 学习目标
1.理解数列及其有关概念. 2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项. 3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式． 知识点一数列及其有关概念 1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}． 思考数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 答案不是．顺序不一样． 知识点二通项公式
如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 知识点三数列的分类 1．按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． 2．按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．
1．1,1,1,1是一个数列．( √ ) 2．数列1,3,5,7，…的第10项是21.( × ) 3．每一个数列都有通项公式．( × ) 4．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( × ) 题型一 数列的分类 例1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，1 4，… B ．－1，－2，－3，－4，… C ．－1，－12，－14，－1 8，… D ．1，2，3，…，n
等比数列的定义及其通项公式 【基础回顾】 1.等比数列的定义 1 n n a q a -=（q 为常数且0q ≠，n ∈N +且2n ≥） 2.等比数列的通项公式及其性质 11n n m n n m a a q a a q --???→==←???推广 特例 等比数列中没有零这个项且其中的项要么全部是正或全部是负或正负间隔出现，总之，等比．．数列的奇数项符号相同．．．．．．．．．．，偶数项的符号相同．．．．．．．．.等比数列的通项形式是指数式．．． . 3.等比中项 2211(2)(1)()n n n n n k n k m n p q a a a n a a a n k a a a a m n p q -+-+???→???→=≥=≥+=+=+←???←???推广推广特例特例 4.等比数列的证明 （1）定义法：1 (2n n a q n a -=≥，n ∈N +，q 是非零常数) （2）等比中项法：211n n n a a a -+=?（2n ≥，且0n a ≠） （3）通项公式法：n n a kq =（,k q 为常数，且0kq ≠） （4）求和法：n n S Aq B =+，且0A B +=，0AB ≠. 5.函数性质 【典型例题】 例1 已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q . （1）数列n a ，1n a -， ，2a ，1a 也成等比数列吗？如果是，写出它的首项和公比； （2）依次取出{}n a 的所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，写出它的首项和公比； （3）数列{}n ca （其中c 为常数且0c ≠）是等比数列吗？如果是，写出它的首项和公比. 例2 在等比数列{}n a 中. （1）已知13a =，2q =-，则6a = ；（2）已知32n n a =?，则1a = ，d = ； （3）它的首项和公比均为2，若它的末项为32，则这个数列共有 项； （4）已知12a =，7128a =，则q = ；（5）已知427a =，3q =-，则7a = ； （6）已知320a =，6160a =，则n a = ；（7）若4n n a a +=，则q = . 例3 （1）已知{}n a 为等比数列，且243546225a a a a a a ++=，那么35a a +的值等于 ； （2）已知等比数列{}n a 中，3833a a +=，4732a a =，且数列{}n a 是递增数列，则数列{}n a 的公比q 为 . 练习：（1）等比数列1a -，2a ，8a ， 的第四项为 ； （2）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1235a a a ??=，78910a a a =，则456a a a = . 例4 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数和第三个数的和是12，求这四个数.
数列的概念与通项公式 【基本概念】 1．数列、数列的项 按照一定顺序排列着的一列数叫做数列，数列中的每个数叫做这个数列的项． 2．数列的通项公式 数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．数列与函数的关系 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *或它的有限子集{1,2,3，…，n }的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值． 4．数列可用图象来表示 在直角坐标系中，以序号为横坐标来表示一个数列．图象是一些相应的项为纵坐标来描点画图孤立的点，它们位于 第一象限、第四象限或x 轴的正半轴. 5．数列的递推公式 如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1 (或前几项)(n ≥2，n ∈N *)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 6．通项公式与递推公式的区别与联系 区别 联系 通项公式 项a n 是序号n 的函数式a n ＝f (n ) 都是数列的一种表示方法， 可求出数列中任意一项 递推公式 已知a 1及相邻项间的关系式 1.数列的有关概念与分类 例1 已知下列数列： （1）2019,2019,2019,2019； （2）0，12，23，…，n －1n ，…； （3）1，12，14，…，12 n －1，…； （4）1，－23，35，…，－1n － 1·n 2n －1 ，…； （5）1,0，－1，…，sin nπ2，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是______，递增数列是_______，递减数列是________，
《等比数列》（第1课时）教学设计 授课地点：武威八中 授课时间：2015年4月22日 授课人：武威六中杨志隆 一、教学目标 知识与技能 1.理解等比数列的概念； 2.掌握等比数列的通项公式； 3.会应用定义及通项公式解决一些实际问题。 过程与方法 培养运用归纳类比的方法去发现并解决问题的能力。通过实例，归纳并理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，培养学生严密的思维习惯。 情感态度与价值观 充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 二、教学重点、难点 教学重点： 等比数列的概念及通项公式； 教学难点： 通项公式的推导及初步应用。 三、教学方法 发现式教学法，类比分析法 四、教学过程 （一）旧知回顾，情境导入 1. 回顾等差数列的相关性质 设计意图：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点，为等比数列的学习做铺垫。 2.情境展示 情境1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 情境2：一张纸的折叠问题 把以上实例表示为数学问题，并引导学生通过观察、联想，得到两个数列： ① ②1,2,4,8,16,32,64 设计意图：让学生通过观察，得到两个数列的共同特点：从第二项起，每一项与它前面一项的比都等于同一个常数．由此引入等比数列。 （二）概念探究 1．引导学生通过联想并类比等差数列给出该数列的名称：等比数列 2．归纳总结，形成等比数列的概念． 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比（引导学生经过类比等差数列的定义得出）。同时给出等比中项的定义，并和等差中项做比较，加深学生对概念的理解。 3．对等比数列概念的深化理解
构造等比等差数列求通项公式 一． 预备知识： 问题：已知数列{}n a 的首项为14a =. （1）若12n n a a -=+，求n a ； （2）若12n n a a -=，求n a （3）若1(3)2(3)n n a a --=-； （4）若1(1)3(1)n n a a --=- （5）若1()()n n a A B a A --=-（A ，B 为常数且n a A ≠，B 0≠），求n a 上述2,3,4,5题从结构形式上看有何共同特点？_______________________ 公比与哪项的系数有关？ _____________________________________ 二． 典例分析： 例1：已知111,22(2,)n n a a a n n N -+==+≥∈，求n a 反思：（1）确认什么类型可以化归成等比数列？如何化？ 巩固练习：1.已知数列{}n a 的首项为16a =. (1) 若131(1)n n a a n +=+≥，求n a ；（2）1124(2),n n a a n +-=+≥求n a 2.已知数列{}n a 中，13a =，1323n n a a +=-，求n a 例2. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,a =当2n ≥时，1.n n a tS n -+=求{}n a 的通项公式
一：预备知识：（1）已知数列{}n a 中，11a =，12(2),n n a a n -=+≥求n a （2）已知数列{}n a 中，11a =，1 112,n n a a --=求n a （3）已知数列{}n a 中，11a =，1130n n n n a a a a -+--=，求n a （4）已知数列{}n a 中，11a =，112250n n n n a a a a -+--=，求n a 上述2,3,4题形式有何共同特点？ 你能出一道类似的题目吗？ 推广：110n n n n Aa Aa Ba a ---+=（AB 0≠），且1a c =，求n a 二. 典例分析： 例:3：已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足1120n n n n S S S S +++-=且11a =，求n a 变式练习：已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足113n n n a S S ++=，且12a =，求n a 练习1：设(),(2) x f x a x =+()x f x =有唯一解，111(),()()1003n n f x f x x n N ++==∈，求2004x 的值及n x 2.已知函数()(0)3 ax f x b bx = ≠+的图像经过点()3,1，且方程()f x x =有两个相等的实数根.（1）求实数,a b 的值；（2）若正项数列{}n a 满足：113,()2n n a a f a +==，求通项n a 3．已知数列{}n a ，1121,43 n n n a a a a +==+，求{}n a 的通项公式 4.已知数列{}n a 满足：11,1,21n n n a a a a +==+求数列11n n a a +?????? 的前n 项和 5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111(2), 2.21 n n n S S n a S --=≥=+ （1）求证：1n S ??????是等差数列；（2）求n a 的表达式.
课时达标训练(五) 数列的概念与通项公式 [即时达标对点练] 题组1 数列的概念及分类 1．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，13，132，1 33，… B ．sin π13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π 13 ，… C ．－1，－12，－13，－1 4，… D ．1,2,3,4，…，30 解析：选C 数列1，13，132，1 33，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列； 数列sin π13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π 13 ，…是无穷数列，但它既不是递增数列，也不是递减数列；数列－1，－12，－13，－1 4，...是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4， (30) 递增数列，但不是无穷数列． 2．已知下列数列： (1)2 014，2 016，2 018，2 020，2 022； (2)1，12，14，…，1 2 n －1，…； (3)1，－23，3 5，…，（－1）n － 1·n 2n －1，…； (4)1，0，－1，…，sin n π 2 ，…； (5)9，9，9，9，9，9. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________． 解析：分析可知：(1)是有穷递增数列； (2)是无穷递减数列； (3)是摆动数列，是无穷数列； (4)是摆动数列，是无穷数列； (5)是常数列，是有穷数列． ★答案★：(1)(5) (2)(3)(4) (1) (2) (5) (3)(4) 题组2 根据数列的前几项写出通项公式 3．数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是( )
求等比数列通项公式的常用方法 等比数列的通项公式是研究等比数列的性质与其前n 项和的基础，也是研究数列问题的基石，所以等比数列通项公式的求法在等比数列的研究中占有重要的地位，下文就介绍求等比数列通项公式的常用方法. 一．定义法：先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等比数列定义直接求它的通项公式. 例1．求下列数列的通项公式 5，-15，45，-135，405，-1512… 解：所给的数列是等比数列，且是首项为5，公比为-3。所以通项1)3(5--?=n n a 二．公式法：如果数列是等比数列，只要知道首项与公比，就可以根据等比数列的通顶公式11n n a a q -=来求。 例2：数列{}n a 为等比数列，若1231237,8a a a a a a ++==，求通项n a 解，由已知得3 2 1238a a a a ==（利用等比数列的性质）22a ∴=，1237,a a a ++= 2227a a a q q ∴ ++= 即 2250q q +-=2 2520q q ∴-+=，解得 2q =或12 q = 当2q =时，得11a =，12n n a -∴= 当12 q = 时，得14a =，32n n a -∴= 评：等比数列的通项公式有时为了需要，不一定非得由1a 与q 来表示，也可以用其他项来相互表示如n m n m a a q -= 例3：已知等比数列{}n a 中，3103,384a a ==，则该数列的通项n a = 解： 103103,a a q -=∴7103 3841283 a q a = ==2,q ∴=∴3 3 332 n n n a a q --==? 注：此类题目都会很醒目的出现等比数的字眼，目的求首项与公比，当然求首项和公比可灵活一些，如用等比数列的性质以及变换式n m n m a a q -=. 三．递推关系式法：给出了递推公式求通项，常用方法有两种： （一）是配常数转化为等比数列，从而再求通项 例4．已知数列{}n a 中11=a ，121+=+n n a a ，求通项公式n a